天津市第一百中学2025届高三下学期数学复习题7

2025高三复习题7 一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知函数，则(    ) A. 的最小正周期为 B. 为偶函数 C. 的图象关于对称 D. 为奇函数 2.已知集合，，则(    ) A. B. C. D. 3.对四组数据进行统计，获得如下散点图，将四组数据相应的相关系数进行比较，正确的是(    ) A. B. C. D. 4.已知函数的图象如下，则的解析式可能为(    ) A. B. C. D. 5.已知命题，命题，则命题是命题的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6.直三棱柱的各条棱长均为，为棱中点，则点到直三棱柱的外接球球心的距离是(    ) A. B. C. D. 7.下列说法中正确的是(    ) A. 一组数据，，，，，，，，，的第百分位数为 B. 某新能源汽车企业基于领先技术的支持，从某年起改进并生产新车型，设改进后该企业第年的生产利润为单位：亿元，现统计前年的数据为，根据该组数据可得关于的回归直线方程为，且，预测改进后该企业第年的生产利润为亿元 C. 若随机变量服从正态分布，且，则 D. 若随机变量，满足，则， 8.已知双曲线的左、右焦点分别为、，点为关于渐近线的对称点若，且的面积为，则的方程为(    ) A. B. C. D. 9.若在处取得极大值，则的值为(    ) A. 或 B. 或 C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10.已知为虚数单位，则复数           ． 11.大学生甲去某企业应聘，需要进行英语和专业技能两个项目的考核，先进行英语考核．每个项目有一次补考机会，补考不合格者被淘汰，不能进入下一个项目的考核．若每个学生英语考核合格和补考合格的概率都是，专业技能考核合格和补考合格的概率都是，每一次考试是否合格互不影响．则大学生甲不被淘汰的概率是          ；若大学生甲不放弃每次考试的机会，表示他参加补考的次数，则的数学期望是          ． 12.的二项展开式中项的系数为          用数值回答 13.已知正项数列的前项和满足，则           ． 14.已知抛物线的焦点为，圆，过点作直线，当圆心到直线的距离最大时，直线的方程为          ． 15.已知函数 ，若函数有且只有个零点，则实数的取值范围是          ． 三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.本小题分 设函数，． 求的最小正周期和对称中心； 若函数，求函数在区间上的最值． 17. 如图，在多面体中，侧面为矩形，平面，平面，，，．    求直线与平面所成角的正弦值； 求平面与平面的夹角的余弦值； 求点到平面的距离． 18. 椭圆的左、右焦点分别为和，左顶点为，下顶点为． 求椭圆的离心率； 已知过的直线与椭圆交于两点，若在直线上存在一点，使得为面积是的等边三角形，求直线的方程与椭圆的标准方程． 19. 已知等比数列的前项和为． 求数列的通项公式； 在与之间插入个数，使这个数组成一个等差数列，记插入的这个数之和为，若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围； 记，求证：． 20 已知函数． 时，求在点处的切线方程； 有个零点，且． 求的取值范围； 证明：． 答案和解析 1.【答案】  【解答】 解：对于函数，它的最小正周期，故A错误； 函数不满足，故不是偶函数，故B错误； 令，求得，故的图象关于对称，故C正确； 由于 ，其为偶函数，故D错误， 故选：． 2.【答案】  【解析】解：，，． 故选：． 3.【答案】  【解析】解：由给出的四组数据的散点图可以看出， 图和图是正相关，相关系数大于， 图和图是负相关，相关系数小于， 图和图的点相对更加集中，所以相关性要强，所以接近于，接近于， 由此可得． 故选：． 4.【答案】  【解析】解：由图可知函数为偶函数，而函数和函数为奇函数，故排除选项A、， 又当时，，此时， 由图可知当时，，故C不符合，符合． 故选：． 5.【答案】  【解析】解：由可得， 由可得， 因此， 但不能推出， 因此命题是命题的充分不必要条件， 故选：． 6.【答案】  【解析】解：由题意，分别取上下底面正三角形的中心为，取的中点，连接，如下图： 易知点为三棱柱的外接球球心，且平面， 因为平面，所以， 在正中，，易知， 在中，． 故选：． 7.【答案】  【解析】解：对于，因为，所以这组数据的第百分位数为，故A错误； 对于，，， 所以，即，则， 当时，亿元，故B正确； 对于，由于随机变量服从正态分布，则， 因为，所以， 则，故C错误； 对于，由，则，，故D错误． 故选：． 8.【答案】  【解答】 解：设点为关于渐近线的对称点，则直线垂直平分线段， 设垂足为，则为的中点，． 直线的方程为，即， 则为坐标原点， 又为的中点，故，， 且是的中位线，所以， 又，所以． 因为，所以，所以． 又的面积为， 所以，即，得， 所以，， 故C的方程为． 故选C． 9.【答案】  【解答】 解：， ， 又在处取得极大值， ，， ， ，或，． 当，时，， 当时，，当时，， 在处取得极小值，与题意不符； 当，时，， 当时，，当时，， 在处取得极大值，符合题意， 则， 故选：． 10.【答案】  【解析】解：． 故答案为：． 11.【答案】   【解析】解：英语合格概率为，专业技能考核合格的概率为， 所以大学生甲不被淘汰的概率； 由题意可知，， ，， ， 所以． 故答案为：； 12.【答案】  【解析】解：的展开式的通项是， 由题意得，， 因此的系数是． 故答案为：． 13.【答案】  【解析】解：由题知，即，因为，解得， 时，，即，因为，解得， 时，，即，即，因为，解得， 同理可得，． 故答案为：． 14.【答案】  【解析】解：对于抛物线，则，，所以，故其焦点为， 圆的标准方程为，圆心为， 当时，圆心到直线的距离最大时， 因为，此时直线的斜率为， 因此，直线的方程为，即． 故答案为：． 15.【答案】  【解析】解：的图像是在轴下方的部分向上翻折形成， 画出函数图像，如图所示： 当时，，有两个零点，不满足； 当时，过点， 与相切与点，， 故，即，解得，， 根据图像知当时，有且只有个零点； 当时，，过点， 与相切与点，， 故，即，解得，， 根据图像知，当，即时，有且只有个零点； 综上所述：当时，有且只有个零点． 故答案为：． 16.【答案】解：由已知，有 ， 最小正周期为， 由，得，， 对称中心为； 由，得， 当时，，可得在区间上单调递增， 当时，，可得在区间上单调递减， ， 又，．  【解析】本题考查三角函数的恒等变换应用，考查正弦型函数的图象和性质，属于中档题． 把已知函数解析式变形，再由辅助角公式化积，利用周期公式求周期，再由求得值，可得函数的对称中心； 求出的解析式，得到函数在区间上的单调性，则最值可求． 17.【答案】解：由侧面为矩形，得， 又平面，，平面， 则，， 即直线，，两两垂直． 建立如图所示的空间直角坐标系 则，，，，，， ，，．    设平面的法向量为， 则，令，得， 设直线与平面所成的角为， 则． 所以直线与平面所成角的正弦值为． ，， 设平面的法向量为， 则，令，得， 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面的夹角的余弦值为． 由可知，平面的法向量为，， 点到平面的距离． 18.【答案】解：依题意，且， 所以，又，所以， 整理得． 由有，故椭圆方程可写成． 当直线斜率不存在时，直线为，显然不成立； 当直线斜率存在时，设直线为，设直线与椭圆交于不同的两点中点为， 由方程组整理得 由已知可得，所以，且， ， ， 式代入，整理得，满足，即， 代入式，求得， 故椭圆方程为， 直线方程为或．   【解析】详细解答和解析过程见【答案】 19.【答案】解：设等比数列的公比为， 当时，有，则  当时，，两式相减可得：， 整理得，可知，代入可得， 所以等比数列的通项公式为 由已知在与之间插入个数，组成以为首项的等差数列， 所以， 则， 设，则是递增数列， 当为偶数时，恒成立，即， 所以； 当为奇数时，恒成立，即， 所以； 综上所述，的取值范围是． 证明：由得， 则有 ， ，原不等式得证．   【解析】 详细解答和解析过程见【答案】 20.【答案】解：当时，，， 则，则，且， 则切点，且切线的斜率为， 故函数在点处的切线方程为； 令，， 得， 设， 则， 由解得或，其中，， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 且当时，；当时，， 如图作出函数的图象， 要使函数有个零点， 则方程在内有个根，即直线与函数的图象有个交点， 结合图象可知，， 故的取值范围为； 证明：由图象可知，， 设，则， 满足，由可得 两式相减可得， 则， 证明当时，， 即要证，即要证， 令，即要证， 即要证， 令， 所以在单调递减， 又因为，所以，即， 所以， 又因为，故， 则，故要证， 即证，只需证， 即证，又因为，则， 所以，故只需证， 设函数，则， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 故，即， 而由， 可知成立，故命题得证． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$