精品解析：天津市弘毅中学2024-2025学年高二上学期第一次过程性诊断数学试题

天津市弘毅中学2024—2025学年度第一学期第一次过程性诊断 高二数学 本试卷满分120分，考试用时100分钟. 一、单选题（每小题4分，共48分） 1. 已知直线：，则下列结论正确的是（ ） A. 直线的倾斜角是 B. 若直线：，则 C. 点到直线的距离是 D. 过与直线平行的直线方程是 【答案】D 【解析】 【分析】求解直线的倾斜角判断A，B；点到直线的距离判断C；求解直线方程判断D. 【详解】对于，直线的斜率为，倾斜角为，A错误； 对于，直线的倾斜角为的倾斜角为，两直线不垂直，B错误； 对于，点到直线的距离为，C错误； 对于，设与直线平行的直线方程为，因为它过， 所以 过与直线平行的直线方程是，D正确， 故选：D． 2. 如图，在空间四边形中，，分别是，的中点，则（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】借助向量线性运算法则计算即可得. 【详解】. 故选：A. 3. 点关于直线的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出垂直于直线且过点的表达式，求出交点坐标，即可得出关于直线的对称点． 【详解】由题意， 在直线中，斜率为， 垂直于直线且过点的直线方程为，即， 设两直线交点为， 由，解得：， ， 点关于直线的对称点的坐标为， 即． 故选：D． 4. 已知向量，，且，则x的值为（ ） A. 4 B. C. 5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量垂直得到方程，求出. 【详解】由题意得，解得. 故选：A 5. “”是“直线与直线平行”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线平行的条件，判断“”和“直线与直线平行”之间的逻辑关系，即可得答案. 【详解】当时，直线与平行； 当直线与直线平行时， 有且，解得， 故“”是“直线与直线平行”的充要条件. 故选：A. 6. 在棱长为2的正方体中，O是底面的中心，E，F分别是的中点，那么异面直线和所成角的余弦值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】取BC的中点G，连接GC1，则GC1FD1，再取GC的中点H，连接HE、OH，则∠OEH为异面直线所成的角，在△OEH中，利用余弦定理可得结论． 【详解】取BC的中点G．连接GC1，则GC1FD1，再取GC的中点H，连接HE、OH，如图所示， ∵E是CC1的中点，∴GC1EH，∴∠OEH为异面直线和所成的角． 在△OEH中，，HE＝，OH＝． 由余弦定理，可得cos∠OEH＝． 故选：B 【点睛】本题考查异面直线所成的角，考查余弦定理的运用，解题的关键是作出异面直线所成的角，属于中档题． 7. 点到直线的距离最大时，其最大值以及此时的直线方程分别为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由直线的方程求出其所过定点坐标，由此确定最大距离及此时直线的方程. 【详解】直线的方程可化为， 联立，解得， 所以直线经过定点， 当时，点到直线的距离最大，最大距离为， 因为直线的斜率，， 所以直线的斜率， 所以， 所以， 所以，故， 所以直线的方程为. 故选：C. 8. 已知点，，若过点的直线与线段相交，则该直线斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先求出直线、的斜率，然后结合图象即可写出答案． 【详解】记为点，直线的斜率，直线的斜率， 因为直线l过点，且与线段相交， 结合图象，可得直线的斜率的取值范围是． 故选：B． 9. 直线过点，和两点到直线l的距离相等，则直线l的方程为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】分类讨论直线斜率存在与否，利用点线距离公式判断或得到方程，解之即可. 【详解】依题意，得 当直线斜率不存在时，直线为，此时到直线的距离为，到直线的距离为，不满足题意； 当直线斜率存在时，设直线为，即， 因为和两点到直线l的距离相等， 所以，即，解得或， 所以直线为或，即或. 故选：B. 10. 若点在圆的内部，则a的取值范围是（　　）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，将点的坐标代入圆的方程计算，即可得到结果. 【详解】由题可知，半径，所以，把点代入方程， 则，解得，所以故a的取值范围是. 故选：D 11. 平面上一动点满足：且，则动点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，借助两点间距离公式代入计算后化简即可得. 【详解】设，由，所以6， 整理得，即动点的轨迹方程为. 故选：C. 12. 直线分别与x轴，y轴交于两点，点在圆，则面积的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意首先求得的长度，然后确定圆上的点到直线的距离，最后确定三角形面积的取值范围. 【详解】解：因为，所以. 圆的标准方程，圆心， 圆心到直线的距离为， 所以，点到直线的距离的取值范围为：， 所以. 故选:C. 二、填空题（每小题4分，共32分） 13. 已知，，则_____________. 【答案】 【解析】 【分析】首先求出、的坐标，再根据数量积的坐标表示计算可得. 【详解】因为，， 所以， ， 所以. 故答案为： 14. 圆与圆的公共弦长为______． 【答案】 【解析】 【分析】先求两圆公共弦方程，再利用弦心距，弦长，半径之间的关系求解 【详解】设圆：与圆：交于，两点 把两圆方程相减，化简得 即： 圆心到直线的距离，又 而，所以 故答案为： 15. 已知圆C与直线相切于点，且圆心C在直线上．过原点引圆C的切线，则切线长为________． 【答案】 【解析】 【分析】设出圆心的坐标，用两种角度表示出半径的表达式，列方程即可求出圆心坐标还有半径，然后求切线长即可. 【详解】设圆心坐标为，圆的半径为，由题意，圆心到的距离为，即， 又圆心到的距离也是，即，故， 整理得，即，则圆心坐标为，半径为，原点到圆心的距离是， 于是过原点作圆的切线长为：. 故答案为： 16. 已知空间三点A(1，-1，-1)，B(-1，-2，2)，C(2，1，1)，则在上的投影向量的模是______. 【答案】 【解析】 【分析】先求得，再根据投影向量的模的公式求解即可 【详解】由题，，故在上的投影向量的模 故答案为：. 17. 长方体中，，，则点B到平面的距离为________． 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用点到平面的距离公式求解即可. 【详解】解：在长方体中，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系， 因为，，所以，， ，，，， 设平面的法向量为： ， ，令得： 又 点B到平面的距离为：. 故答案为：. 18. 已知点，点P是直线上动点，则的最小值是________． 【答案】13 【解析】 【分析】先作A点关于直线的对称点，连接即可. 【详解】解：作A点关于直线的对称点，如图所示， 易知， 故，此时与直线的交点为P点， 故的最小值是13． 故答案为：13 19. 已知三角形的三个顶点、、，则边所在直线方程是______，边上的垂直平分线所在直线的方程是______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据两点斜率公式求直线斜率，进而根据点斜式即可写出直线的方程. 【详解】由题知：,所以方程为，即， 中点,, 所以边上的垂直平分线所在直线的方程为，即， 故答案为：，. 20. 已知直线，相交于点，则点的坐标为_________，圆，过点作圆的切线，则切线方程为__________. 【答案】 ①. ②. 或 【解析】 【分析】第一空 两直线方程联立得方程组的解即为交点坐标，第二空 利用圆心到切线的距离等于半径可得关于k的方程.解得k值。设直线方程时注意斜率存在和不存在两种情况。 【详解】联立，得. 若切线斜率存在，则设切线方程为， ∴， ∴，∴； 若斜率不存在，则切线方程为. 综上，切线方程为或. 故答案为：，或. 三、解答题（21题12分，22题14分，23题14分，共40分） 21. 已知直线l1：3x+y+2=0；l2：mx+2y+n=0． （1）若l1⊥l2，求m的值； （2）求过点(1，2)且与直线l1平行的直线的方程； （3）若l1∥l2，且直线l1与直线l2之间的距离为，求m、n的值． 【答案】（1） （2）3x+y-5=0 （3）m=6，或n=24 【解析】 【分析】(1)利用直线的一般式的垂直关系求解即可；(2) 利用平行关系设出直线，然后代点求解即可；(3) 根据两直线平行求出，再利用平行线间的距离公式求解即可. 【小问1详解】 直线l1：3x+y+2=0；l2：mx+2y+n=0，l1⊥l2， 所以3m+2=0，解得. 【小问2详解】 由题意，设所求直线方程为3x+y+c=0， 把点(1，2)代入，得3+2+c=0，解得c=-5， 故过点(1，2)且与直线l1平行的直线的方程为：3x+y-5=0. 【小问3详解】 因为l1∥l2，所以，解得且， 从而直线的方程为：，即， 因为直线l1与直线l2之间的距离为，所以， 解得或. 22. 如图所示，在几何体中，四边形和均为边长为2的正方形，，底面，M、N分别为、的中点，. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求平面与平面所成角的余弦值. 【答案】（1）如图，以A为原点，分别以，，方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系， 由题意可得，，，，，， ，，， 则，， 设平面的一个法向量为，则， 故，即，则， 令，得， 所以， 所以，又平面， 所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）依据题意建立以A为原点，分别以，，方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，求出和平面的一个法向量，计算即可得证. （2）由（1）得直线的方向量，平面的一个法向量，设直线与平面所成角为，则由即可得解. （3）求出平面的一个法向量，计算，则由计算结果即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 设平面的一个法向量，由（1）可得，， 则，故，即， 令，得， 所以， 所以平面与平面所成角的余弦值为. 23. 已知圆C经过坐标原点O，圆心在x轴正半轴上，且与直线相切． （1）求圆C的标准方程； （2）直线与圆C交于A，B两点． ①求k的取值范围； ②证明：直线OA与直线OB的斜率之和为定值． 【答案】（1）； （2）（ⅰ）； （ⅱ）设， 由根与系数的关系：， 所以. 即直线OA，OB斜率之和为定值. 【解析】 【分析】（1）设出圆心，进而根据题意得到半径，然后根据圆与直线相切求出圆心，最后得到答案； （2）（ⅰ）联立直线方程和圆的方程并化简，根据判别式大于零即可得到答案；（ⅱ）设出两点坐标，进而通过根与系数的关系与坐标公式进行化简，即可得到答案. 【详解】（1）由题意，设圆心为，因为圆C过原点，所以半径r=a， 又圆C与直线相切， 所以圆心C到直线的距离（负值舍去），所以圆 C的标准方程为：. （2）（ⅰ）将直线l代入圆的方程可得：， 因为有两个交点， 所以，即k的取值范围是. （ⅱ）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市弘毅中学2024—2025学年度第一学期第一次过程性诊断 高二数学 本试卷满分120分，考试用时100分钟. 一、单选题（每小题4分，共48分） 1. 已知直线：，则下列结论正确的是（ ） A. 直线的倾斜角是 B. 若直线：，则 C. 点到直线的距离是 D. 过与直线平行的直线方程是 2. 如图，在空间四边形中，，分别是，的中点，则（　　） A. B. C. D. 3. 点关于直线的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，，且，则x的值为（ ） A. 4 B. C. 5 D. 5. “”是“直线与直线平行”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 在棱长为2的正方体中，O是底面的中心，E，F分别是的中点，那么异面直线和所成角的余弦值等于（ ） A. B. C. D. 7. 点到直线的距离最大时，其最大值以及此时的直线方程分别为（ ） A. B. C. D. 8. 已知点，，若过点的直线与线段相交，则该直线斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 直线过点，和两点到直线l的距离相等，则直线l的方程为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 10. 若点在圆的内部，则a的取值范围是（　　）. A. B. C. D. 11. 平面上一动点满足：且，则动点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 12. 直线分别与x轴，y轴交于两点，点在圆，则面积的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题4分，共32分） 13. 已知，，则_____________. 14. 圆与圆的公共弦长为______． 15. 已知圆C与直线相切于点，且圆心C在直线上．过原点引圆C的切线，则切线长为________． 16. 已知空间三点A(1，-1，-1)，B(-1，-2，2)，C(2，1，1)，则在上的投影向量的模是______. 17. 长方体中，，，则点B到平面的距离为________． 18. 已知点，点P是直线上动点，则的最小值是________． 19. 已知三角形的三个顶点、、，则边所在直线方程是______，边上的垂直平分线所在直线的方程是______. 20. 已知直线，相交于点，则点的坐标为_________，圆，过点作圆的切线，则切线方程为__________. 三、解答题（21题12分，22题14分，23题14分，共40分） 21. 已知直线l1：3x+y+2=0；l2：mx+2y+n=0． （1）若l1⊥l2，求m的值； （2）求过点(1，2)且与直线l1平行的直线的方程； （3）若l1∥l2，且直线l1与直线l2之间的距离为，求m、n的值． 22. 如图所示，在几何体中，四边形和均为边长为2的正方形，，底面，M、N分别为、的中点，. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求平面与平面所成角的余弦值. 23. 已知圆C经过坐标原点O，圆心在x轴正半轴上，且与直线相切． （1）求圆C的标准方程； （2）直线与圆C交于A，B两点． ①求k的取值范围； ②证明：直线OA与直线OB的斜率之和为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $