湖南省永州市宁远县第二中学2024-2025学年高二下学期7月期末考试数学试题

宁远二中2025年7月高二期末考试 数学 本试卷共4页。全卷满分150分,考试时间120分钟。 注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上。 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑,如有改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案;回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.抛物线的焦点坐标为( ) A. B. C. D. 2.有一组按从小到大顺序排列数据:3,5,,8,9,10,若其极差与平均数相等,则这组数据的中位数为( ) A. 7 B. 7.5 C. 8 D. 6.5 3.在等比数列中,,,前项和,则此数列的项数等于( ) A. B. C. D. 4.有5辆车停放6个并排车位,货车甲车体较宽,停靠时需要占两个车位,并且乙车不与货车甲相邻停放,则共有( )种停放方法. A. 72 B. 144 C. 108 D. 96 5.已知,则( ) A. 3 B. C. D. 2 6.最早的测雨器记载见于南宋数学家秦九韶所著的《数书九章》(1247年).该书第二章为“天时类”,收录了有关降水量计算的四个例子,分别是“天池测雨”、“圆罂测雨”、“峻积验雪”和“竹器验雪”.如图“竹器验雪”法是下雪时用一个圆台形的器皿收集雪量(平地降雪厚度器皿中积雪体积除以器皿口面积),已知数据如图(注意:单位),则平地降雪厚度的近似值为( ) A. B. C. D. 7.已知是的重心,是空间中的一点,满足,,则( ) A. B. C. D. 8.已知正数满足为自然对数的底数,则下列不等式一定成立的是( ) A. B. C. D. 2、 多项选择题:本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对得6分,部分选对得部分分,选错得0分. 9.已知复数是关于x的方程的两根,则下列说法中正确的是( ) A. B. C. D. 若,则 10.若函数,则( ) A. 的最小正周期为 B. 的图像关于直线对称 C. 的最小值为-1 D. 的单调递减区间为 11.已知函数的部分图象如图所示,下列说法正确的是( ) A. B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数在上单调递减 D. 将函数图象向左平移个单位所得图象关于y轴对称 3、 填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.设集合,,则_. 13.已知的展开式中的系数为240,则实数_. 14.若函数在区间内没有零点,则正数 的取值范围是_. 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.已知在 ABC中,A+B=3C,2sin(A-C)=sin B. (1)求sin A; (2)设AB=5,求AB边上的高. 16.如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为等腰梯形,AD=2AB=2BC=2.点P在底面的射影点Q在线段AC上. (1)在图中过A作平面PCD的垂线段,H为垂足,并给出严谨的作图过程; (2)若PA=PD=2.求平面PAB与平面PCD所成角的余弦值. 17.已知椭圆E:=1(a>b>0),以椭圆E的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形,过点(0,t)(t>)且斜率存在的直线与椭圆E交于不同的两点A,B,过点A和C(0,1)的直线AC与椭圆E的另一个交点为D. (1)求椭圆E的方程及离心率; (2)若直线BD的斜率为0,求t的值. 18,某校机器人社团为了解市民对历年“数博会”科技成果的关注情况,在市内随机抽取了1 000名市民进行问卷调查,问卷调查的成绩 近似服从正态分布N(77, 2),且P(77≤ ≤80)=0.3. (1)估计抽取市民中问卷成绩在80分以上的市民人数; (2)若本次问卷调查得分超过80分,则认为该市民对“数博会”的关注度较高,现从市内随机抽取3名市民,记对“数博会”关注度较高的市民人数为随机变量X,求X的分布列和数学期望. 19,设函数f(x)=ln(a-x),已知x=0是函数y=xf(x)的极值点. (1)求a; (2)设函数g(x)=.证明:g(x)<1. 答案 1.抛物线的焦点坐标为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由可得抛物线标准方程为:,其焦点坐标为. 故选:D. 2.有一组按从小到大顺序排列数据:3,5,,8,9,10,若其极差与平均数相等,则这组数据的中位数为( ) A. 7 B. 7.5 C. 8 D. 6.5 【答案】B 【解析】依题意可得极差为,平均数为, 所以,解得, 所以中位线为. 故选:B. 3.在等比数列中,,,前项和,则此数列的项数等于( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由已知条件可得,解得或. 设等比数列的公比为. ①当,时,由,解得, ,解得; ②当,时,由,解得, ,解得. 综上所述,. 故选:B. 4.有5辆车停放6个并排车位,货车甲车体较宽,停靠时需要占两个车位,并且乙车不与货车甲相邻停放,则共有( )种停放方法. A. 72 B. 144 C. 108 D. 96 【答案】A 【解析】先停入货车甲,若货车甲不靠边,共有种停法,则乙车有种停法, 除甲、乙外的其它三辆车共有种停法; 若货车甲靠边,共有种停法,则乙车有种停法, 除甲、乙外的其它三辆车的排法共有种, 故共有种停放方法. 故选:A. 5.已知,则( ) A. 3 B. C. D. 2 【答案】A 【解析】因为,可得, 且,则,可得, 则, 所以. 故选:A. 6.最早的测雨器记载见于南宋数学家秦九韶所著的《数书九章》(1247年).该书第二章为“天时类”,收录了有关降水量计算的四个例子,分别是“天池测雨”、“圆罂测雨”、“峻积验雪”和“竹器验雪”.如图“竹器验雪”法是下雪时用一个圆台形的器皿收集雪量(平地降雪厚度器皿中积雪体积除以器皿口面积),已知数据如图(注意:单位),则平地降雪厚度的近似值为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】如图所示,可求得器皿中雪表面的半径为, 所以平地降雪厚度的近似值为. 故选:C 7.已知是的重心,是空间中的一点,满足,,则( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由题意知是的重心,则,即 所以, 又因为, 所以. 故选:C. 8.已知正数满足为自然对数的底数,则下列不等式一定成立的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由题设,则,且,则, 令且,故, 令,则在上递增,故, 所以在上递增,故, 所以在上递增,故, 即在上恒成立,故,A错,B对; 对于的大小关系,令且,而,, 显然在上函数符号有正有负,故的大小在上不确定, 即的大小在上不确定,所以C、D错. 故选:B 4、 多项选择题:本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对得6分,部分选对得部分分,选错得0分. 9.已知复数是关于x的方程的两根,则下列说法中正确的是( ) A. B. C. D. 若,则 【答案】ACD 【解析】,∴,不妨设,, ,A正确; ,C正确; ,∴,时,,B错; 时,,,计算得, ,,同理,D正确. 故选:ACD. 10.若函数,则( ) A. 的最小正周期为 B. 的图像关于直线对称 C. 的最小值为-1 D. 的单调递减区间为 【答案】BCD 【解析】由得的定义域为. 对于A:当时,不在定义域内,故不成立,易知的最小正周期为,故选项错误; 对于B:又,所以的图像关于直线对称,所以选项正确; 对于C:因为,设,所以函数转化为, 由得,.得.所以在上单调递减,在上单调递增,故,即,故选项正确; 对于D:因为在上单调递减,在上单调递增,由,令得,又的定义域为,解得, 因为在上单调递增,所以的单调递减区间为, 同理函数的递增区间为,所以选项D正确. 故选:BCD. 11.已知函数的部分图象如图所示,下列说法正确的是( ) A. B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数在上单调递减 D. 将函数图象向左平移个单位所得图象关于y轴对称 【答案】AC 【解析】由函数的部分图象知,, ,所以, 又因为, 所以; 解得 又因为,所以, 所以; 所以,选项A正确; 时, , 所以的图象不关于对称,选项B错误; 时,函数单调递减,选项C正确; 函数图象向左平移个单位,得,所得图象不关于y轴对称,选项D错误. 故选:AC. 5、 填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.设集合,,则_. 【答案】 【解析】在中,由得,即, 又由可得:,解得:,即, 故. 故答案为: 13.已知的展开式中的系数为240,则实数_. 【答案】 【解析】, 二项式通项公式为, 其中的展开式中无含项,含的项为, ∴中含的项为,则.解得. 故答案为: 14.若函数在区间内没有零点,则正数 的取值范围是_. 【答案】 【解析】由,可得,即, 令,则 又在区间内没有零点, 则区间内不存在整数, 又,则正数 满足, 则,则,解之得, 则正数 的取值范围是. 故答案为: 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.已知在 ABC中,A+B=3C,2sin(A-C)=sin B. (1)求sin A; (2)设AB=5,求AB边上的高. 解析 (1)∵A+B+C= ,A+B=3C,∴C=,B=-A, 又∵2sin(A-C)=sin B, ∴2sin, 即2sin A, 整理得sin A=3cos A, 又∵sin2A+cos2A=1,A∈, ∴sin A=. (5分) (2)由(1)知C=,sin A=,cos A=, 则sin B=sin. (6分) 在 ABC中,由正弦定理得, ∴,∴AC=2,BC=3, (8分) ∴S ABC==15. (9分) 设AB边上的高为h,则 5h=15,∴h=6. (10分) 16.如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为等腰梯形,AD=2AB=2BC=2.点P在底面的射影点Q在线段AC上. (1)在图中过A作平面PCD的垂线段,H为垂足,并给出严谨的作图过程; (2)若PA=PD=2.求平面PAB与平面PCD所成角的余弦值. 解析 (1)连接PQ,则PQ⊥平面ABCD,因为CD⊂平面ABCD,所以PQ⊥CD. 在等腰梯形ABCD中,过C作CE⊥AD于E,则DE=,所以cos∠ADC=,所以∠ADC=, 由余弦定理求得AC=,故AC2+CD2=AD2,即AC⊥CD. 又因为PQ∩AC=Q,PQ,AC⊂平面PAC,所以CD⊥平面PAC. 又CD⊂平面PCD,所以平面PCD⊥平面PAC. 过A作AH垂直PC于点H,则由面面垂直的性质定理得AH⊥平面PCD. (2)连接DQ,依题意,AQ==DQ,故Q为AC,BD的交点,且=2. 所以AQ=,PQ=. 在平面PAC内,过C作直线PQ的平行线l,则l,AC,CD两两垂直, 以C为原点建立如图所示的空间直角坐标系,则D(1,0,0),P,A(0,,0),B,所以=(1,0,0),, ,.设平面PCD的法向量为m=(x1,y1,z1), 则 令z1=1,则y1=-2,即m=(0,-2,1). 设平面PAB的法向量为n=(x2,y2,z2), 则令z2=-1,则y2=-,x2=,即n=(,-,-1),设平面PAB与平面PCD所成角为 , 所以cos =|cos<m,n>|=. 17.已知椭圆E:=1(a>b>0),以椭圆E的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形,过点(0,t)(t>)且斜率存在的直线与椭圆E交于不同的两点A,B,过点A和C(0,1)的直线AC与椭圆E的另一个交点为D. (1)求椭圆E的方程及离心率; (2)若直线BD的斜率为0,求t的值. 解析 (1)由已知条件可知b=c=,∴a=2, ∴椭圆E的方程为=1,离心率e=. (2)设直线AB的方程为y=kx+t(t>),A(x1,y1),B(x2,y2). 联立消去y得(2k2+1)x2+4ktx+2t2-4=0, =(4kt)2-4(2k2+1)(2t2-4)>0,即4k2-t2+2>0, x1+x2=,x1x2=. ∵直线BD的斜率为0,∴点B与点D关于y轴对称, 得D(-x2,y2),∵A、C、D三点共线,∴kAC=kCD, 即,∴(kx1+t-1)x2=-x1(kx2+t-1), ∴2kx1x2+(t-1)(x1+x2)=0, ∴=0, ∴t2-t=t2-2,解得t=2. 18,某校机器人社团为了解市民对历年“数博会”科技成果的关注情况,在市内随机抽取了1 000名市民进行问卷调查,问卷调查的成绩 近似服从正态分布N(77, 2),且P(77≤ ≤80)=0.3. (1)估计抽取市民中问卷成绩在80分以上的市民人数; (2)若本次问卷调查得分超过80分,则认为该市民对“数博会”的关注度较高,现从市内随机抽取3名市民,记对“数博会”关注度较高的市民人数为随机变量X,求X的分布列和数学期望. 解析 (1)由问卷调查的成绩 近似服从正态分布N(77, 2),且P(77≤ ≤80)=0.3, 得P( >80)=P( ≥77)-P(77≤ ≤80)=0.5-0.3=0.2, 1 000 0.2=200, 所以抽取市民中问卷成绩在80分以上的市民人数约为200. (2)由(1)知,事件“对‘数博会’的关注度较高”的概率为P=, X的可能取值为0,1,2,3,易知X~B, 则P(X=0)=, P(X=1)=, P(X=2)=, P(X=3)=, 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P X的数学期望为E(X)=3 . 19,设函数f(x)=ln(a-x),已知x=0是函数y=xf(x)的极值点. (1)求a; (2)设函数g(x)=.证明:g(x)<1. 解析 (1)由题意得y=xf(x)=xln(a-x),x∈(-∞,a), ∴y'=ln(a-x)+x (-1)=ln(a-x)-, ∵x=0是函数y=xf(x)的极值点, ∴ln(a-0)-=0,可得a=1. 经检验,a=1时x=0是函数y=xf(x)的极值点.∴a=1. (2)由(1)知a=1,∴f(x)=ln(1-x),x∈(-∞,1), 当x∈(0,1)时, f(x)=ln(1-x)<0, ∴xf(x)<0, 当x∈(-∞,0)时, f(x)=ln(1-x)>0, ∴xf(x)<0, ∴要证g(x)=<1,只需证x+f(x)>xf(x). 只需证x+ln(1-x)>xln(1-x), 只需证x+(1-x)ln(1-x)>0, 令h(x)=x+(1-x)ln(1-x), 则h'(x)=1-ln(1-x)-1=-ln(1-x), ∴当x∈(0,1)时,h'(x)>0,h(x)单调递增, 当x∈(-∞,0)时,h'(x)<0,h(x)单调递减, ∴当x∈(-∞,0)∪(0,1)时,h(x)>h(0)=0, ∴x+(1-x)ln(1-x)>0在(-∞,0)∪(0,1)上恒成立. ∴g(x)<1. 学科网(北京)股份有限公司 $$