二项式定理课时专练-2026届高三数学一轮复习

2026高考数学一轮复习 课时专练 二项式定理 基础巩固练 1.(2024·广东深圳模拟)(2x2-)6的展开式中二项式系数最大的项为(　　) A.第2项 B.第3项 C.第4项 D.第5项 2.(2024·河北张家口三模)(1-x2)(1+x)5的展开式中x4的系数为(　　) A.-5 B.5 C.-10 D.10 3.(2024·辽宁沈阳三模)已知二项式(2x2-)7的展开式中x2的系数是280,则实数a的值等于(　　) A.1 B.2 C.±1 D.±2 4.(2024·浙江金丽衢十二校模拟)(1+x-y)5展开式中含x2y项的系数为(　　) A.30 B.-30 C.10 D.-10 5.(2024·贵州贵阳二模)已知x5=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+a3(x+1)3+a4(x+1)4+a5(x+1)5,则a2=(　　) A.15 B.10 C.-10 D.-15 6.(2024·湖南长沙二模)(1+x)i的展开式中x3的系数为(　　) A.180 B.210 C.240 D.250 7.(2024·浙江温州三模)已知m∈N*,(1+x)2m和(1+x)2m+1的展开式中二项式系数的最大值分别为a和b,则(　　) A.a<b B.a=b C.a>b D.a,b的大小关系与m有关 8.(2024·安徽皖江名校二模)已知(x-)n的展开式中二项式系数和为256,则展开式中系数最大的项为(　　) A.第5项 B.第6项 C.第7项 D.第8项 9.(2024·浙江嘉兴模拟)(x+)(2x-)5展开式中的常数项是120,则实数a=　　　　　. 10.(2024·河南三模)若()n(n∈N*)的展开式中存在常数项,则n的值可以是　　　　.(写出一个值即可) 综合提升练 11.(2024·江西上饶模拟)《孙子算经》对同余除法有较深的研究.设a,b,m(m>0)为整数,若a和b同时除以m所得的余数相同,则称a和b对模m同余,记为a≡b(mod m).若a=+…+,a≡b(mod 10),则b的值可以是(　　) A.2 021 B.2 022 C.2 023 D.2 024 12.(多选题)若(x2+x-2)10=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a20x20,则(　　) A.a0=1 024 B.a1=1 C.a19=10 D.a1+a3+a5+…+a19=-512 13.(多选题)(2024·福建泉州一模)已知(x+)n(n∈N*)的展开式中共有8项,则该展开式结论正确的是(　　) A.所有项的二项式系数和为128 B.所有项的系数和为()8 C.系数最大项为第2项 D.有理项共有4项 14.(2025·上海同济大学一附中高三检测)已知(1+2 024x)50+(2 024-x)50= a0+a1x+a2x2+…+a50x50,若ak<0,k∈{0,1,2,…,50},则实数k的最大值为　　　　. 15.(2024·河北“五个一”名校联盟模拟)已知(x+)n+2的展开式中各项系数和为8,则展开式中常数项为　　　　　. 创新应用练 16.(2024·江西景德镇三模)若关于x,y的多项式的展开式中各项系数之和为64,则n=　　　　;其中含xy的项的系数的最大值为　　　　. 17.(15分)(2025·上海五爱高级中学检测)已知(+x)6=aixi. (1)无穷等比数列{bn}的首项b1=a3,公比q=a4.求bi的值; (2)无穷等差数列{cn}的首项c1=a5,公差d=a6.求{cn}的通项公式和ci. 答案解析 1.C　解析 由题意可知二项展开式共有7项,所以二项式系数最大的项为第4项. 2.A　解析 (1+x)5的展开式通项为Tr+1=xr, 则(1-x2)(1+x)5的展开式中x4项为x4-x2x2=()x4=-5x4,所以(1-x2)(1+x)5的展开式中x4的系数为=-5. 3.C　解析 由二项式(2x2-)7展开式的通项为Tr+1=(-)r=27-r·(-a)rx14-3r,令14-3r=2,解得r=4,所以23·(-a)4=280,解得a=±1. 4.B　解析 由题意得,(1+x-y)5展开式中含x2y的项为(x2)·[(-y)]·(12)=-30x2y,所以(1+x-y)5展开式中含x2y项的系数为-30. 5.C　解析 因为x5=[-1+(x+1)]5,由二项展开式的通项公式,可得T3=(-1)3(x+1)2,所以a2=-10. 6.B　解析 (1+x)i=(1+x)3+(1+x)4+(1+x)5+(1+x)6+(1+x)7+(1+x)8+(1+x)9,所以x3系数为+…++…+=210. 7.A　解析 根据二项式系数的性质,得a=,b=,所以b==a,从而a<b. 8.C　解析 由已知2n=256,故n=8,故展开式的通项公式为Tk+1=x8-k(-)k=(-1)k2kx8-2k(k=0,1,…,8),故奇数项的系数为正数,偶数项的系数为负数,20=1,22<24,26=424,则>1,>1,故26最大,因此第7项的系数最大. 9.2　解析 ∵(2x-)5展开式的通项公式为Tr+1=(-1)r25-rx5-2r(r=0,1,2,…,5),令5-2r=-1,得r=3,即T4=-22x-1=- 令5-2r=1,得r=2,即T3=23x=80x, ∴(x+)(2x-)5展开式中的常数项为x·T4+T3=-40+80a,故-40+80a=120,解得a=2. 10.5(答案不唯一,满足n=5k,k∈N*即可)　解析 ()n的展开式的通项公式为Tr+1=)r=2r=2r=2r(0≤r≤n且r∈N),令(2n-5r)=0,则r=,又0≤r≤n且r∈N,所以n=5k,k∈N*. 11.C　解析 a=+…+=230-1=810-1=(10-2)10-1=1010+109×(-2)+108×(-2)2+…+(-2)10-1=10[109+108×(-2)+…+(-2)9]+1 024-1=10[109+108×(-2)+…+(-2)9+102]+3,所以a除以10的余数为3,选项中除以10余数为3的数只有2 023. 12.ACD　解析 令x=0,得a0=(-2)10=1 024,故A正确; 令x=1,得a0+a1+…+a20=0, 令x=-1,得a0-a1+a2-a3+…+a18-a19+a20=1 024, 两式相减得a1+a3+a5+…+a19=-512,故D正确; 易知=(x-1)10(x+2)10,而(x-1)10中的常数项为1,含x项为x×(-1)9=-10x,含x9项为x9×(-1)=-10x9,含x10项为x10,同理(x+2)10中的常数项为1 024,含x项为x×29=5 120x,含x9项为x9×2=20x9,含x10项为x10,所以a1=1×5 120+(-10)×1 024=-5 120,故B错误; a19=-10×1+1×20=10,故C正确. 故选ACD. 13.AD　解析 因为(x+)n的展开式共有8项,所以n=7.故所有项的二项式系数和为27=128,故A正确;令x=1,可得所有项的系数和为(1+)7≠()8,故B错误;因为展开式的通项公式为Tr+1=x7-r·()r=()r,r=0,1,2,…,7.设Tr+1项系数最大,由解得则r=2,故第3项的系数最大,故C错误;由7-为整数,且r=0,1,2,…,7,可知r的值可以为0,2,4,6,所以展开式中,有理项共有4项,故D正确.故选AD. 14.23　解析 因为(1+2 024x)50展开式中xk的系数为 2 024k,(2 024-x)50展开式中xk的系数为2 02450-k(-1)k,所以(1+2 024x)50+(2 024-x)50展开式中xk的系数为2 024k+2 02450-k(-1)k=2 024k[1+2 02450-2k(-1)k],k=0,1,2,…,50.要使ak<0,则k为奇数,且2 02450-2k>1,所以50-2k>0,则k<25,所以k的最大值为23. 15.-2　解析 令x=1,可得展开式中各项系数的和为(1+1)n+2=2n+2=8,解得n=1. (x+)3的展开式的通项公式为Tr+1=x3-r·()r=x3-2r, 因为(x3-x+1)(x+)3=x3(x+)3-x·(x+)3+(x+)3, 所以展开式中常数项为x3·x-3-xx-1=1-3=-2. 16.6　　解析 的展开式中各项系数之和为64,则令x=y=1,得2n=64,解得n=6,所以的展开式中含xy的项的系数为cos2θsin2θ=30cos2θsin2θ≤30()2=, 当且仅当cos2θ=sin2θ=时等号成立,即最大值为 17.解 (1)(+x)6的展开式的通项公式为Tk+1=xk, 因为aixi,所以a3==b1,q=a4=, 所以bi==5[1-],故bi=5. (2) 由(1)知,等差数列{cn}首项c1=a5=,公差d=a6==1,所以等差数列{cn}的通项公式为cn=+(n-1)×1=,等差数列{cn}的前n项和为ci= 学科网（北京）股份有限公司 $$