吉林省白城市实验高级中学2024-2025学年高一下学期7月期末考试数学试题

白城实验高中2024-2025学年度高一下学期期末考试 数学试卷 一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1.已知函数f(x)＝2sin的最小正周期为π，则函数f(x)在区间上的最大值和最小值分别是(　　) A. 2和－2 B. 2和0 C. 2和－1 D. 和－ 2.已知实数x，y满足x>y>0，且x＋y＝2，则＋的最小值为(　　) A. 3＋2 B. C. 3－2 D. 3.某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄的分布饼状图、90后从事互联网行业者的岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是( ) A. 互联网行业从业人员中90后占一半以上 B. 90后互联网行业者中从事技术岗位的人数超过90后总人数的20％ C. 互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多 D. 互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多 4.若函数f(x)＝2sin ωx在区间上存在最小值－2，则非零实数ω的取值范围是(　　) A. (－∞，－2] B. [6，＋∞) C. (－∞，－2]∪ D. ∪[6，＋∞) 5.函数的图象与函数的图象所有交点的横坐标之和等于（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 6.若方程x2－2x－lg(2a2－a)＝0有一个正根和一个负根，则实数a的取值范围是(　　) A. {a|a>1或a<－} B. {a|－<a<1} C. {a|a>－} D. {a|a<1} 7.已知集合是由某些正整数组成的集合,且满足:若,则当且仅当(其中正整数、且)或(其中正整数、且)．现有如下两个命题:①;②集合．则下列判断正确的是() A. ①对②对 B. ①对②错 C. ①错②对 D. ①错②错 8.已知函数f(x)＝x2＋－3，g(x)＝2x＋a，若对任意x1∈[1,2]，总存在x2∈[2,3]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数a的取值范围是(　　) A. (－∞，－7] B. (－∞，－6] C. (－∞，－3] D. (－∞，－2] 二、多项选择题（本大题共3小题.每题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.） 9.已知函数，则（ ） A. 函数为单调减函数 B. C. 若，使得成立，则 D. 函数（且的与函数的的所有交点纵坐标之和为20 10.已知实数a，b满足，则下列结论正确的有（ ） A. 若，则 B. 的最小值为2 C. 若，则 D. 若，则的最小值为1 11.已知函数部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数在单调递减 D. 函数的图象关于对称 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12.已知函数f(x)＝x2＋ax＋4，若∀x∈[－2，2]且满足f(x)≥0.则实数a的取值范围为________． 13.已知，则关于x的方程有6个互不相等的实数解的充要条件为 ． 14.如图，等边三角形的边长为2，以A为圆心，1为半径作圆分别交，边于，，再以点为圆心，的长为半径作圆交边于，连接，，那么图中阴影部分的面积为 . 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.已知函数f(x)＝2sin＋a，a为常数． (1)求函数f(x)的最小正周期； (2)求函数f(x)的单调递增区间； (3)若x∈时，f(x)的最小值为－2，求a的值． 16.某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下： 随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表： (1)记A为事件：“续保人本年度的保费不高于基本保费”，求P(A)的估计值； (2)记B为事件：“续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”，求P(B)的估计值； (3)求续保人本年度平均保费的估计值． 17.在信号处理技术中，函数的调和零点至关重要，它用于检测系统的稳定性与性能.定义：若集合，称为函数的一个调和零点，的所有调和零点之和记为，表示集合中的所有元素的个数. 已知. （1）当，时，求的值； （2）若，，求、的值. 18.若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“依赖函数”． （1）判断函数是否为“依赖函数”，并说明理由； （2）若函数在定义域（）上为“依赖函数”，求的取值范围； （3）已知函数在定义域上为“依赖函数”，若存在实数，使得对任意的，不等式都成立，求实数s的最大值． 19.已知函数f(x)＝是定义在[－1,1]上的奇函数，且＝. (1)判断函数f(x)在[－1,1]上的单调性，并用定义证明； (2)设g(x)＝kx＋5－2k(k>0)，若对于任意的x1∈[－1，1]，总存在x2∈[0,1]使得f(x1)≤g(x2)成立，求正实数k的取值范围． 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 白城实验高中2024-2025学年度高一下学期期末考试 数学试卷 一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1.已知函数f(x)＝2sin的最小正周期为π，则函数f(x)在区间上的最大值和最小值分别是(　　) A. 2和－2 B. 2和0 C. 2和－1 D. 和－ 【答案】C 【解析】由题意知＝π，得ω＝2，所以函数f(x)＝2sin. 又因为x∈，所以2x－∈，所以sin∈， 所以2sin∈[－1,2]， 故函数f(x)的最大值为2，最小值为－1. 2.已知实数x，y满足x>y>0，且x＋y＝2，则＋的最小值为(　　) A. 3＋2 B. C. 3－2 D. 【答案】B 【解析】∵x＋y＝2， ＝＝1， ∵x>y>0，∴x－y>0， 所以，＋ ＝ ＝ ≥＝. 当且仅当x＋3y＝(x－y)时，等号成立， 因此，＋的最小值为. 3.某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄的分布饼状图、90后从事互联网行业者的岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是( ) A. 互联网行业从业人员中90后占一半以上 B. 90后互联网行业者中从事技术岗位的人数超过90后总人数的20％ C. 互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多 D. 互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多 【答案】D 【解析】选项A；由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图得到互联网行业从业人员中90后占56％，故A正确； 选项B：设整个互联网行业总人数为a，90后从事技术岗位人数为56％×39.6％a，而90后总人数的20％为56％×20％a，故B正确； 选项C：设整个互联网行业总人数为a，互联网行业中从事运营岗位的90后人数为56％a×17％=9.52％a，超过80前的人数6％a，且80前中从事运营岗位的人数比例未知，故C正确； 选项D：设整个互联网行业总人数为a，互联网行业中从事技术岗位的90后人数为56%a×39.6%=22.176%a，小于80后的人数38％a，但80后中从事技术岗位的人数比例未知，故D错误． 故选：D． 4.若函数f(x)＝2sin ωx在区间上存在最小值－2，则非零实数ω的取值范围是(　　) A. (－∞，－2] B. [6，＋∞) C. (－∞，－2]∪ D. ∪[6，＋∞) 【答案】C 【解析】①当ω>0时，ωx∈， ∵函数f(x)＝2sin ωx在区间上存在最小值－2， ∴－ω≤－，可得ω≥. ②当ω<0时，ωx∈， ∵函数f(x)＝2sin ωx在区间上存在最小值－2， ∴ω≤－，可得ω≤－2. 综上所述，非零实数ω的取值范围是(－∞，－2]∪. 5.函数的图象与函数的图象所有交点的横坐标之和等于（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 【答案】A 【解析】由函数图象的平移可知， 函数与函数的图象都关于对称. 作出函数的图象如图， 由图象可知交点个数一共8个（四组，两两关于点对称）， 所以所有交点的横坐标之和等于.故选：A 6.若方程x2－2x－lg(2a2－a)＝0有一个正根和一个负根，则实数a的取值范围是(　　) A. {a|a>1或a<－} B. {a|－<a<1} C. {a|a>－} D. {a|a<1} 【答案】A 【解析】设f(x)＝x2－2x－lg(2a2－a)，大致图象如图所示． 由图可知，只需满足即 解得a>1或a<－. 7.已知集合是由某些正整数组成的集合,且满足:若,则当且仅当(其中正整数、且)或(其中正整数、且)．现有如下两个命题:①;②集合．则下列判断正确的是() A. ①对②对 B. ①对②错 C. ①错②对 D. ①错②错 【答案】A 【解析】由题意有,若,则当且仅当a能表示成S中的两个不相等的正数的和或a能表示成不在S中的两个不相等的正数的和. 对于① 1,2不能表示成两个正数的和,则,, ,且,,故, ,且,,故, ,,,故,故①对; 对于② 当时,; 当时,,,,故; 当时,,,,故; 当时,,,,故; … 当时,,,,故, 则,故②对. 正确答案为A. 8.已知函数f(x)＝x2＋－3，g(x)＝2x＋a，若对任意x1∈[1,2]，总存在x2∈[2,3]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数a的取值范围是(　　) A. (－∞，－7] B. (－∞，－6] C. (－∞，－3] D. (－∞，－2] 【答案】C 【解析】任意x1∈[1,2]，存在x2∈[2,3]，使得f(x1)≥g(x2)⇔f(x1)min≥g(x2)min，其中x1∈[1,2]，x2∈[2,3]．对于函数f(x)＝x2＋－3， 由基本不等式知f(x)≥2－3＝1， 当且仅当x2＝，即x＝时，等号成立． 又g(x)＝2x＋a在[2,3]上单调递增， ∴g(x)min＝g(2)＝4＋a，从而有1≥4＋a，即a≤－3. 故所求实数a的取值范围为(－∞，－3]. 二、多项选择题（本大题共3小题.每题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.） 9.已知函数，则（ ） A. 函数为单调减函数 B. C. 若，使得成立，则 D. 函数（且的与函数的的所有交点纵坐标之和为20 【答案】BD 【解析】对于A，当时，；时，. 因为函数在上单调递增，所以在以及上分别为单调递减函数，但在整个定义域上不是单调函数，A错误. 对于B，，所以关于点对称. 因为，则，B正确. 对于C，由且，可得，即在有解. 当时，，所以，则，解得，C错误. 对于D，也关于点对称，且的周期. 在与有个交点，根据对称性，这些交点纵坐标之和为，D正确. 综上，答案选BD. 10.已知实数a，b满足，则下列结论正确的有（ ） A. 若，则 B. 的最小值为2 C. 若，则 D. 若，则的最小值为1 【答案】ACD 【解析】由，得，取，，则， 对于A选项，若，则，所以，即，故A正确； 对于B选项，因为，所以当，即时，，此时，故2不可能是的最小值，故B错误 对于C选项，若，则，，所以，当且仅当，即，时等号成立，所以成立，故C正确. 对于D选项，若，则， 所以 ， 当且仅当即，也即时等号成立，所以最小值为1，故D正确. 故选：ACD. 11.已知函数部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数在单调递减 D. 函数的图象关于对称 【答案】BD 【解析】选项A：由图象可知，则，可知函数的最小正周期不是，A错误. 选项B：由得，则. 又过点，所以，即. 因为，所以，则. 当时，， 所以函数的图象关于直线对称，B正确. 选项C： 令， 则. 当时，单调递减区间为， 所以函数在不是单调递减，C错误. 选项D：当时，， 所以函数的图象关于点对称，D正确. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12.已知函数f(x)＝x2＋ax＋4，若∀x∈[－2，2]且满足f(x)≥0.则实数a的取值范围为________． 【答案】[－4，4] 【解析】若a≥4，则函数f(x)在区间[－2，2]上单调递增， 所以f(x)min＝f(－2)＝8－2a≥0，解得a≤4， 又a≥4，所以a＝4. 若－4＜a＜4，则函数f(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以f(x)min＝f＝4－≥0，解得－4≤a≤4，所以－4＜a＜4. 若a≤－4，则函数f(x)在区间[－2，2]上单调递减，所以f(x)min＝f(2)＝8＋2a≥0，解得a≥－4， 又a≤－4，所以a＝－4. 综上所述，实数a的取值范围为[－4，4]. 13.已知，则关于x的方程有6个互不相等的实数解的充要条件为 ． 【答案】且 【解析】因为， 定义域为，所以为偶函数. 当时，， 画出在上的图象， 利用偶函数的对称性，易得f(x)在其定义域上的图象(如图所示). 由图象可知，当时，有两个解；当时，有四个解. 设，则原方程变为， 所以原方程有6个不同的实数解的充要条件是 方程的两根满足且. 又时，， 且，而，则问题等价于， 所以且． 故答案为：且． 14.如图，等边三角形的边长为2，以A为圆心，1为半径作圆分别交，边于，，再以点为圆心，的长为半径作圆交边于，连接，，那么图中阴影部分的面积为 . 【答案】 【解析】 过A作于于， ∵等边三角形的边长为 ∴图中阴影部分的面积为： . 故答案为: . 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.已知函数f(x)＝2sin＋a，a为常数． (1)求函数f(x)的最小正周期； (2)求函数f(x)的单调递增区间； (3)若x∈时，f(x)的最小值为－2，求a的值． 【答案】解　(1)f(x)＝2sin＋a， 所以f(x)的最小正周期T＝＝π. (2)由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)， 得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)， 所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z)． (3)当x∈时，2x－∈， 所以当2x－＝－， 即x＝0时，f(x)取得最小值－2， 即2sin＋a＝－2， 故a＝－1. 16.某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下： 随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表： (1)记A为事件：“续保人本年度的保费不高于基本保费”，求P(A)的估计值； (2)记B为事件：“续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”，求P(B)的估计值； (3)求续保人本年度平均保费的估计值． 【答案】解　(1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2， 由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为＝0.55，故P(A)的估计值为0.55. (2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4， 由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为＝0.3，故P(B)的估计值为0.3. (3)由所给数据得 调查的200名续保人的平均保费为0.85a×0.30＋a×0.25＋1.25a×0.15＋1.5a×0.15＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.192 5a. 因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a. 17.在信号处理技术中，函数的调和零点至关重要，它用于检测系统的稳定性与性能.定义：若集合，称为函数的一个调和零点，的所有调和零点之和记为，表示集合中的所有元素的个数. 已知. （1）当，时，求的值； （2）若，，求、的值. 【答案】解：（1）当，时， . 令，即，则 . 因式分解得，解得或 . 根据调和零点定义，，所以 . （2）已知， . 令，其判别式 . 情况一：有个零点 的个零点中必有（因为关于对称 ），另外两个零点为、 . 当时， . 此时即，由韦达定理得， . 因为，即，也就是 . 将，代入得， 整理得，即，解得 . 情况二：有个零点，且有一个为 此时 . 方程 . 当时，解得或 . 当时，，即 . 由韦达定理得， . 因为，这里，所以， 整理得，即，解得 . 综上，或 . 18.若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“依赖函数”． （1）判断函数是否为“依赖函数”，并说明理由； （2）若函数在定义域（）上为“依赖函数”，求的取值范围； （3）已知函数在定义域上为“依赖函数”，若存在实数，使得对任意的，不等式都成立，求实数s的最大值． 【答案】解：（1）函数定义域，当时，，由得，但值域为，方程无解，所以不是“依赖函数”. （2）在上递增，则，即， ，所以. 由，，解得. ， 二次函数对称轴，在上递增，所以 . （3）若，在上最小值，不存在使，舍去. 若，在上单调递减. 由，即，解得（舍）或. 存在，使对任意成立， 即恒成立. ，得. 因为，所以. 函数在单调递减，当时，. 则，解得，所以实数的最大值为. 19.已知函数f(x)＝是定义在[－1,1]上的奇函数，且＝. (1)判断函数f(x)在[－1,1]上的单调性，并用定义证明； (2)设g(x)＝kx＋5－2k(k>0)，若对于任意的x1∈[－1，1]，总存在x2∈[0,1]使得f(x1)≤g(x2)成立，求正实数k的取值范围． 【答案】解　(1)由题意可知，函数f(x)＝是定义在[－1,1]上的奇函数，且＝， 则解得 故f(x)＝. 函数f(x)＝在[－1,1]上单调递增，证明如下： 任取x1，x2∈[－1,1]，且x1<x2， f(x1)－f(x2)＝－＝ ＝ ＝， ∵x1，x2∈[－1,1]，且x1<x2， ∴x2－x1>0，x1x2<1， (＋1)(＋1)>0， ∴x1x2－1<0， ∴f(x1)－f(x2)<0，f(x1)<f(x2)， ∴f(x)＝在[－1,1]上单调递增． (2)由题意，任意的x1∈[－1,1]，总存在x2∈[0,1]使得f(x1)≤g(x2)成立， 转化为存在x2∈[0,1]，使得f(x)max≤g(x2)， 即f(x)max≤g(x)max， 由(1)知函数f(x)＝在[－1,1]上单调递增， ∴f(x)max＝f(1)＝， ∵k>0， ∴g(x)＝kx＋5－2k在[0,1]上单调递增， ∴g(x)max＝g(1)＝5－k， 故有⇒0<k≤， 即正实数k的取值范围为[0，]. 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$