湖北省黄冈市蕲春县第一高级中学2026届高三数学周测试题（一）

2026届高三数学周测试题（一） 测试时间：2025年7月10日 一、单选题 1．（24-25高二下·湖北荆州·期末）已知集合，则在的所有子集中，恰有2个元素的集合个数为（    ） A．3 B．6 C．10 D．15 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、交集的概念及运算 【分析】根据交集求出，再根据题意求解即可. 【详解】因为，所以， 在的所有子集中，恰有2个元素的集合为，，. 故选：A. 2．（24-25高二下·重庆·期中）已知等差数列，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】判断命题的充分不必要条件、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】利用等差数列的通项公式分别写出，再分析与关系，根据充分必要的定义判断即可. 【详解】等差数列，设等差数列的公差为，则. 当时，，恒成立，则由不能推出； 因为，， 则， 则由可以推出. 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3．（22-23高二下·山东青岛·期中）根据变量Y和x的成对样本数据，由一元线性回归模型得到经验回归模型，求得残差图.对于以下四幅残差图，满足一元线性回归模型中对随机误差假设的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】残差的计算 【分析】根据一元线性回归模型中对随机误差的假定进行判断. 【详解】根据一元线性回归模型中对随机误差的假定，残差应是均值为、方差为的随机变量的观测值. 对于A选项，残差与有线性关系，故A错误； 对于B选项，残差的方差不是一个常数，随着观测时间变大而变小，故B错； 对于C选项，残差与有非线性关系，故C错； 对于D选项，残差比较均匀地分布在以取值为的横轴为对称轴的水平带状区域内，故D正确. 故选：D. 4．（2025高一·全国·专题练习）用二分法求方程的近似解，求得的部分函数值数据如表所示： x 1 2 1.5 1.625 1.75 1.875 1.812 5 f（x） －6 3 －2.625 －1.459 －0.14 1.341 8 0.579 3 则当精确度为0.1时，方程的近似解可取为（　　） A．1.6 B．1.7 C．1.8 D．1.9 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】零点存在性定理的应用、二分法求方程近似解的过程 【分析】根据二分法求方程的的近似解以及零点存在定理得出零点存在区间即可. 【详解】由表格可得，函数的零点在区间内. 结合选项可知，方程的近似解可取为1.8. 故选：C. 5．（24-25高二下·湖北荆州·期末）6名同学排成一排照相，则其中甲、乙不相邻的不同排法种数为（    ） A．240 B．480 C．960 D．1920 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】不相邻排列问题 【分析】不相邻问题用“插空法”即可求得结果. 【详解】先对除甲、乙之外的四个人全排种排法，再将甲、乙插空：,根据分步计数原理得：种排法， 故选：B 6．（24-25高二下·湖北荆州·期末）函数在处取得极大值，则的单调增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、根据极值求参数 【分析】先根据题意先求出，再对函数进行求导求其单调增区间. 【详解】因为， ， 因为在处取得极大值， 所以，解得， 故，定义域为， ， 当时，，单调递增 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 故的单调增区间为. 故选：B. 7．（24-25高二下·湖南长沙·期末）已知 ，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小 【分析】根据指对数函数的性质判断大小关系即可. 【详解】，且， ，且， . 故选：C 8．（24-25高二下·湖北荆州·期末）过点可以作3条直线与函数的图象相切，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】求过一点的切线方程、函数单调性、极值与最值的综合应用 【分析】设切点，利用求导写出切线方程，将代入并将其转化成，设，判断其在上的单调性，得到函数的极值与图象趋势，作出图象，由与有3个交点即可求得参数范围. 【详解】设过点的直线与函数的图象相切于， 对函数求导，，则切线方程为：， 将代入得：，化简：， 设，则， 当或时，，故在和上单调递减； 当时，，故在上单调递增； 故极小值为，极大值为， 因，当时，作出的示意图. 由题意，直线与的图象有3个公共点等价于． 故选：D. 二、多选题 9．（24-25高二下·湖北荆州·期末）下列说法正确的有（    ） A．利用残差图分析模型的刻画效果，若残差比较均匀的分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内，则说明该模型刻画数据的效果较好 B．可以用决定系数来比较两个模型的拟合效果，越大模型拟合效果越好 C．已知样本数据的方差为4，则数据的标准差是4 D．设两个变量的样本相关系数为，则越大其线性相关程度越强 【答案】ABC 【难度】0.85 【知识点】计算几个数据的极差、方差、标准差、相关系数的意义及辨析、相关指数的计算及分析 【分析】应用线性相关系数、残差图的意义，决定系数、方差的性质等一一检验即可. 【详解】对于A：在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适，故A正确； 对于B：决定指数来刻画回归的效果，值越大，说明模型的拟合效果越好，故B正确； 对于C：样本数据的方差为4，则数据的方差为，故标准差为4，故C正确； 对于D：相关系数的绝对值的大小越接近于1，两个变量的线性相关性越强，反之，线性相关性越弱，因此D选项错误； 故选：ABC 10．（24-25高二下·湖北荆州·期末）如图，已知正方体顶点处有一质点Q，点Q每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同，从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次，若质点Q的初始位置位于点A处，记点Q移动n次后仍在底面ABCD上的概率为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．点Q移动4次后恰好位于点的概率为0 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】利用全概率公式求概率 【分析】根据题意找出在下或上底面时，随机移动一次仍在原底面及另一底面的概率即可逐步分析计算确定各选项的正误. 【详解】依题意，每一个顶点有3个相邻的顶点，其中两个在同一底面. 所以当点在下底面时，随机移动一次仍在下底面的概率为， 在上底面时，随机移动一次回到下底面的概率为， 所以，故A选项正确； 对于B：，故B选项正确； 对于C：，故C选项错误； 对于D：点由点移动到点处至少需要3次， 任意折返都需要2次移动，所以移动4次后不可能到达点， 所以点Q移动4次后恰好位于点的概率为0.故D选项正确； 故选：ABD. 11．（24-25高二下·广东深圳·期末）对于正整数是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目（若两个正整数的最大公因数是1，则称这两个正整数互质）.函数以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如（10与1，3，7，9均互质），则（    ） A． B．若p为质数，则数列为等比数列 C．数列的前5项和等于 D．，使得 【答案】ABD 【难度】0.15 【知识点】由定义判定等比数列、数列求和的其他方法、数列新定义 【分析】A选项利用的定义即可求解判断；B选项利用的定义写出，再利用等比数列的定义进行判断即可；C选项利用B选项的结论写出通项公式，进而可求前5项和；D选项利用B选项的结论写出，和，再代入即可判断. 【详解】对于A选项，与20不互质的是2的倍数（10个）以及5的倍数（4个）， 减去重复计数的10的倍数（2个），总共12个，； 与25不互质的只有5的倍数（5个），所以， 所以，故A正确； 对于B选项，设为质数，则小于等于的正整数中与不互质的数只有的倍数， 所以互质的数的数目为， 故，所以为常数， 所以数列为等比数列，故B正确； 对于C选项，根据选项B可知，， 数列的前5项和为，故C错误； 对于D选项， ，， 4不是质数，， 即判断是否存在使得，观察得到时等式成立，故D正确． 故选：ABD. 三、填空题 12．（24-25高三上·上海·期中）已知是定义在上的奇函数，当时，，则 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】求函数值、函数奇偶性的应用 【分析】结合指数幂的运算，根据奇函数的性质求解即可. 【详解】依题意，是定义在上的奇函数，所以， 所以. 故答案为： 13．（24-25高二下·湖北荆州·期末）今天是星期四，则天后是星期 ． 【答案】五 【难度】0.65 【知识点】整除和余数问题 【分析】利用二项式定理的整除问题即可求得结果. 【详解】因为, 前10个数除以7都能除尽，最后的那个数1即是余数，故天后是星期五. 故答案为：五 14．（24-25高二下·广东深圳·期末）一只蚂蚁从正四面体的顶点A出发，每次只沿着棱爬行并爬到另一个顶点，若它选择三个方向爬行的概率相等，则蚂蚁爬行5次后走遍四个顶点（初始顶点A视为已走过）的概率为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】计算古典概型问题的概率 【分析】根据题意，先计算所有情况共有种，利用对立事件，计算没有走遍四个点的情况，然后计算概率即可. 【详解】因为每次爬行有3种选择，故5次爬行共有种情况， 考虑5次爬行之后仍未走遍所有顶点，有以下两种情况： ①走了2个顶点，即只在顶点与另一个顶点来回走，总共只有3种情况； ②走了3个顶点，即沿着一个正三角形的边走， 以为顶点的正三角形共有三个，选定其中一个， 蚂蚁每次路径有2种选法，再去掉仅在2个顶点来回走的情况，有种， 故三个三角形共有种， 所以蚂蚁爬行5次后走遍所有顶点的概率为． 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高二下·广东深圳·期末）已知函数． (1)求函数在处的切线方程； (2)当时，求函数的极值． 【答案】(1) (2)极小值，无极大值． 【难度】0.85 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、基本初等函数的导数公式、导数的运算法则、求已知函数的极值 【分析】（1）对求导，利用导数的几何意义，求出切线的斜率，并求出切点坐标，利用点斜式，即可求解； （2）先求出导数为0的的值，即为极值点，然后进行讨论，根据的区间是单调增区间，的区间是单调减区间，判断极值点是极大值点还是极小值点，再代入原函数求出极值即可. 【详解】（1）因为，所以，切点为， 因为，所以， 根据直线的点斜式方程，得切线方程为，即． （2）由（1）可知，有， 当时，令，得， 当x变化时，和的变化情况如下表： 单调递减 极小值 单调递增 所以当时，有极小值，无极大值． 16．（陕西省汉中市2024-2025学年高一下学期期末校际联考数学试题）已知函数，将函数图象向左平移个单位长度，得到函数的图象. (1)求的单调递增区间； (2)在中，若，求面积的最大值 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】求图象变化前（后）的解析式、二倍角的余弦公式、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）利用辅助角可得，结合题意可得，从而可求解； （2）由（1）可得，再由余弦定理及基本不等式可得，再利用三角形的面积公式即可求解. 【详解】（1）由， 将向左平移个单位得， 则得当，时，单调递增， 故的单调递增区间为. （2）由，因，所以， 由余弦定理得，当且仅当时取等号， 所以， 故面积的最大值为. 17．（24-25高二下·广东揭阳·阶段练习）已知首项为1的正项数列满足. (1)求； (2)求的通项公式； (3)求数列的前项和. 【答案】(1)4 (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】由递推关系式求通项公式、利用定义求等差数列通项公式、裂项相消法求和 【分析】（1）赋值代入解方程即可； （2）由，发现数列是等差数列，可求的通项，再求即可； （3）根据题意，把通项代入得，再利用裂项相消法求和即可. 【详解】（1），， ，即， 解得. （2）有（1）得， 所以是首项为1，公差为的等差数列， ，则. （3） ， 故数列的前项和. 18．（2024·湖北·二模）某高中学校为了解学生参加体育锻炼的情况，统计了全校所有学生在一年内每周参加体育锻炼的次数，现随机抽取了60名同学在某一周参加体育锻炼的数据，结果如下表： 一周参加体育锻炼次数 0 1 2 3 4 5 6 7 合计 男生人数 1 2 4 5 6 5 4 3 30 女生人数 4 5 5 6 4 3 2 1 30 合计 5 7 9 11 10 8 6 4 60 (1)若将一周参加体育锻炼次数为3次及3次以上的，称为“经常锻炼”，其余的称为“不经常锻炼”．请完成以下列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系； 性别 锻炼 合计 不经常 经常 男生 女生 合计 (2)若将一周参加体育锻炼次数为0次的称为“极度缺乏锻炼”，“极度缺乏锻炼”会导致肥胖等诸多健康问题．以样本频率估计概率，在全校抽取20名同学，其中“极度缺乏锻炼”的人数为，求和； (3)若将一周参加体育锻炼6次或7次的同学称为“运动爱好者”，为进一步了解他们的生活习惯，在样本的10名“运动爱好者”中，随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男生人数为，求的分布列和数学期望． 附： 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 【答案】(1)填表见解析；性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系 (2)， (3)分布列见解析；期望为 【难度】0.65 【知识点】独立性检验解决实际问题、写出简单离散型随机变量分布列、超几何分布的均值、二项分布的均值 【分析】（1）由60名同学的统计数据可得列联表，代入公式可得，即可得结论； （2）求出随机抽取一人为“极度缺乏锻炼”者的概率，由二项分布即可得和； （3）易知的所有可能取值为，利用超几何分布公式求得概率即可得分布列和期望值. 【详解】（1）根据统计表格数据可得列联表如下： 性别 锻炼 合计 不经常 经常 男生 7 23 30 女生 14 16 30 合计 21 39 60 零假设为：性别与锻炼情况独立，即性别因素与学生体育锻炼的经常性无关； 根据列联表的数据计算可得 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系，此推断犯错误的概率不超过0.1 （2）因学校总学生数远大于所抽取的学生数，故近似服从二项分布， 易知随机抽取一人为“极度缺乏锻炼”者的概率 即可得， 故，． （3）易知10名“运动爱好者”有7名男生，3名女生， 所以的所有可能取值为； 且服从超几何分布： 故所求分布列为 0 1 2 3 可得 19．（24-25高一下·河北保定·期末）已知函数的最小正周期为． (1)求实数的值； (2)设函数，，证明：有且只有一个零点，且． 【答案】(1) (2)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】零点存在性定理的应用、由正弦（型）函数的周期性求值 【分析】（1）由三角函数周期计算公式求解即可； （2）由题可得，由单调性，正负情况结合零点存在性定理可得零点情况，然后由单调性可完成证明. 【详解】（1）的最小正周期为， ，； （2）由（1）可得，定义域为， ①当时，函数在上单调递增， 因为，， 所以，根据零点存在定理，使得， 故在上有且只有一个零点； ②当时，因为单调递增，单调递减， ，，所以， 所以在上不存在零点； ③当时，因为单调递增，，因为 所以，所以在上不存在零点； 综上：有且只有一个零点，且， 因为，所以， 所以， 在上单调递减，，所以． 第 2 页 共 15 页 第 1 页 共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2026届高三数学周测试题（一） 测试时间：2025年7月10日 一、单选题 1．已知集合，则在的所有子集中，恰有2个元素的集合个数为（    ） A．3 B．6 C．10 D．15 2．已知等差数列，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．根据变量Y和x的成对样本数据，由一元线性回归模型得到经验回归模型，求得残差图.对于以下四幅残差图，满足一元线性回归模型中对随机误差假设的是（   ） A． B． C． D． 4．用二分法求方程的近似解，求得的部分函数值数据如表所示： x 1 2 1.5 1.625 1.75 1.875 1.812 5 f（x） －6 3 －2.625 －1.459 －0.14 1.341 8 0.579 3 则当精确度为0.1时，方程的近似解可取为（　　） A．1.6 B．1.7 C．1.8 D．1.9 5．6名同学排成一排照相，则其中甲、乙不相邻的不同排法种数为（    ） A．240 B．480 C．960 D．1920 6．函数在处取得极大值，则的单调增区间为（    ） A． B． C． D． 7．已知 ，则（   ） A． B． C． D． 8．过点可以作3条直线与函数的图象相切，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．下列说法正确的有（    ） A．利用残差图分析模型的刻画效果，若残差比较均匀的分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内，则说明该模型刻画数据的效果较好 B．可以用决定系数来比较两个模型的拟合效果，越大模型拟合效果越好 C．已知样本数据的方差为4，则数据的标准差是4 D．设两个变量的样本相关系数为，则越大其线性相关程度越强 10．如图，已知正方体顶点处有一质点Q，点Q每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同，从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次，若质点Q的初始位置位于点A处，记点Q移动n次后仍在底面ABCD上的概率为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．点Q移动4次后恰好位于点的概率为0 11．对于正整数是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目（若两个正整数的最大公因数是1，则称这两个正整数互质）.函数以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如（10与1，3，7，9均互质），则（    ） A． B．若p为质数，则数列为等比数列 C．数列的前5项和等于 D．，使得 三、填空题 12．已知是定义在上的奇函数，当时，，则 ． 13．今天是星期四，则天后是星期 ． 14．一只蚂蚁从正四面体的顶点A出发，每次只沿着棱爬行并爬到另一个顶点，若它选择三个方向爬行的概率相等，则蚂蚁爬行5次后走遍四个顶点（初始顶点A视为已走过）的概率为 ． 四、解答题 15．已知函数． (1)求函数在处的切线方程； (2)当时，求函数的极值． 16．已知函数，将函数图象向左平移个单位长度，得到函数的图象. (1)求的单调递增区间； (2)在中，若，求面积的最大值 17．已知首项为1的正项数列满足. (1)求； (2)求的通项公式； (3)求数列的前项和. 18．某高中学校为了解学生参加体育锻炼的情况，统计了全校所有学生在一年内每周参加体育锻炼的次数，现随机抽取了60名同学在某一周参加体育锻炼的数据，结果如下表： 一周参加体育锻炼次数 0 1 2 3 4 5 6 7 合计 男生人数 1 2 4 5 6 5 4 3 30 女生人数 4 5 5 6 4 3 2 1 30 合计 5 7 9 11 10 8 6 4 60 (1)若将一周参加体育锻炼次数为3次及3次以上的，称为“经常锻炼”，其余的称为“不经常锻炼”．请完成以下列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系； 性别 锻炼 合计 不经常 经常 男生 女生 合计 (2)若将一周参加体育锻炼次数为0次的称为“极度缺乏锻炼”，“极度缺乏锻炼”会导致肥胖等诸多健康问题．以样本频率估计概率，在全校抽取20名同学，其中“极度缺乏锻炼”的人数为，求和； (3)若将一周参加体育锻炼6次或7次的同学称为“运动爱好者”，为进一步了解他们的生活习惯，在样本的10名“运动爱好者”中，随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男生人数为，求的分布列和数学期望． 附： 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 19．已知函数的最小正周期为． (1)求实数的值； (2)设函数，，证明：有且只有一个零点，且． 第 2 页 共 18 页 第 1 页 共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 $$