平面向量的概念及线性运算学案-2026届高三数学一轮复习

平面向量的概念及线性运算　 课前学习任务 一、课标要求 1.理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义.2.掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义.3.了解向量线性运算的性质及其几何意义. 二、主干知识 1.向量的有关概念 名称 定义 备注 向量 既有　　　　又有　　　　　　的量  平面向量是自由向量 长度(模) 向量的　　　  记作|a|或|| 零向量 长度为0，其方向是任意的 记作0 单位向量 长度等于1个单位长度的向量 与非零向量a共线的单位向量为± 平行向量(共线向量) 方向　　　　　或　　　的非零向量 0与任意向量平行(或共线) 相等向量 长度　　　　且方向　　　　的向量 两向量不能比较大小 相反向量 长度　　　　且方向　　　　的向量 0的相反向量为0 2.向量的线性运算 向量运算 法则(或几何意义) 运算律 加法 交换律： a＋b＝　　　　　；  结合律： (a＋b)＋c＝　　　　　　　  减法 a－b＝a＋(－b) 数乘 |λa|＝　　　　　，当λ>0时，λa的方向与a的方向　　　　　　；  当λ<0时，λa的方向与a的方向　　　　　　；  当λ＝0时，λa＝　　　  设λ，μ为实数，则 λ(μa)＝　　　　　；  (λ＋μ)a＝　　　　；  λ(a＋b)＝　　　  3.向量共线定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa. 三、重点结论 1.熟记平面向量线性运算的常用结论 (1)设P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则). (2)在△ABC中，点P满足＝0⇔P为△ABC的重心⇔). (3)＝λ＋μ(λ，μ为实数，点O，B，C不共线)，若A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1. (4)对于任意两个向量a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|. 2.解决向量的概念问题的两个注意点 (1)不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向. (2)考虑零向量是否也满足条件，要特别注意零向量的特殊性. 四、基础自测 1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b.(　　) (2)单位向量都相等.(　　) (3)若a＝b，b＝c，则a＝c.(　　) (4)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立.(　　) 2.下列命题正确的是(　　) A.零向量是唯一没有方向的向量 B.若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b C.向量与是平行向量 D.平行向量不一定是共线向量 3.在△ABC中，＝3，则等于(　　) A. B. C. D. 4.已知a，b是两个不共线向量，向量b－ta与a－b共线，则实数t＝　　　　　　.  课堂核心考点 考点 一　平面向量的基本概念 例1　(1)下列四个命题中正确的有(　　) A.若a∥b，b∥c，则a∥c B.“a＝b”的充要条件是“|a|＝|b|且a∥b” C.若，则A，B，C，D四点组成平行四边形 D.与非零向量a共线的单位向量为± (2)如图，在等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在两腰AD，BC上，EF过点P，且EF∥AB，则下列等式中成立的是(　　) A. B. C. D. 跟踪训练1　(1)(多选)下列关于向量的说法正确的是(　　) A.若|a|＝0，则a＝0 B.若a，b同向，且|a|>|b|，则a>b C.对于任意向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋|b| D.若a∥b，则存在唯一实数λ，使a＝λb (2)在如图所示的向量a，b，c，d，e中(小正方形的边长为1). ①是共线向量的有　　　　　　　　　　　　　　　　　；  ②方向相反的向量有　　　　　　　　　；  ③模相等的向量有　　　　　　　　　.  考点 二　平面向量的线性运算 命题点1　向量加、减法的几何意义 例2　若点O是△ABC所在平面内的一点，且满足||＝|－2|，则△ABC的形状为(　　) A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 命题点2　向量的线性运算 例3　(2025·广州模拟)在平行四边形ABCD中，点E满足，则等于(　　) A. B.－ C. D.－ 命题点3　根据向量线性运算求参数 例4　(2024·宁波统考)在△ABC中，，，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则等于(　　) A.3 B. C. D. 跟踪训练2　(1)若||＝7，||＝4，则||的取值范围是(　　) A.[3，7] B.(3，7) C.[3，11] D.(3，11) (2)如图，在四边形ABCD中，＝3，E为边BC的中点，若＝x＋y(x，y为实数)，则x＋y＝　　　　　　；若＝λ＋μ(λ，μ为实数)，则λ＋μ＝　　　　　　　　.  考点 三　共线定理及其应用 例5　(1)(2025·福州模拟)已知e1，e2是两个不共线的向量，若2e1＋λe2与μe1＋e2(λ，μ为实数)是共线向量，则(　　) A.＝－2 B.λμ＝－2 C.＝2 D.λμ＝2 (2)如图，在△ABC中，，P是BN上的点，若＝m，则实数m的值是　　　　　　.  跟踪训练3　(1)(2024·浙江联考)已知向量e1，e2是平面内两个不共线的单位向量，且＝e1＋2e2，＝－3e1＋2e2，＝3e1－6e2，则(　　) A.A，B，C三点共线 B.A，B，D三点共线 C.A，C，D三点共线 D.B，C，D三点共线 (2)如图所示，在△ABC中，O是BC的中点，过点O的直线分别交AB，AC所在直线于点M，N，若＝m，＝n，m，n∈R，则m＋n的值为　　　　　　　.  答案精析 二、主干知识 1.大小　方向　大小　相同　相反　相等　相同　相等　相反 2.b＋a　a＋(b＋c)　|λ||a|　相同 相反　0　(λμ)a　λa＋μa　λa＋λb 四、基础自测 1.(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2.C　[A项，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A错误； B项，|a|＝|b|说明a，b的长度相等，不能判断它们的方向，故B错误； C项，向量与方向相反，是平行向量，故C正确； D项，平行向量就是共线向量，故D错误.] 3.C　[∵＝3， ∴.] 4. 解析　由题意知，存在实数λ，使得b－ta＝λ， 则解得t＝. 课堂核心考点 例1　(1)D　[A不正确，若b＝0，则由a∥b，b∥c，无法得到a∥c；B不正确，当|a|＝|b|且a∥b时，a，b的方向可能相反，此时a与b是相反向量，即a＝－b；当a＝b时，a与b的模相等且方向相同，即|a|＝|b|且a∥b，故“|a|＝|b|且a∥b”是“a＝b”的必要不充分条件；C不正确，若，则A，B，C，D四点共线或不共线，当四点不共线时，A，B，C，D才能组成平行四边形；D正确，由单位向量和共线向量定义可知与非零向量a共线的单位向量为±.] (2)D　[方法一(排除法) ，不共线，，不共线，故A，B错误；，方向相反，C错误；故选D. 方法二　在等腰梯形ABCD中，，不平行，，不平行，故A，B错误； ∵AB∥CD，∴， ∴， 则， 即，即， ∵EF∥AB， ∴， ∴PE＝PF，即P为EF的中点， ∴，故C错误，D正确.] 跟踪训练1　(1)AC　[对于A， 若|a|＝0，则a＝0，故A正确； 对于B，因为向量不能比较大小，故B错误； 对于C，若a，b方向相同，则|a＋b|＝|a|＋|b|，若a，b方向相反， 则|a＋b|<|a|＋|b|， 若a，b不共线，根据向量加法的三角形法则及三角形两边之和大于第三边可知|a＋b|<|a|＋|b|. 综上可知，对于任意向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋|b|，故C正确； 对于D，若a≠0，b＝0，则a∥b，此时不存在实数λ，使a＝λb，故D错误.] (2)①a和d，b和e　②a和d，b和e ③a，c，d 解析　①a∥d，b∥e，故a和d，b和e是共线向量；②a和d，b和e是方向相反的向量；③由勾股定理可得，模相等的向量有a，c，d. 例2　B　[－2＝()＋()＝，， ∴||＝||.故A，B，C为矩形的三个顶点，△ABC为直角三角形.] 例3　B　[因为四边形ABCD为平行四边形， 则有)， ∴)－＝－.] 例4　A　[)＝×， ＝， 因为＝λ＋μ， 所以λ＝，μ＝，所以＝3.] 跟踪训练2　(1)C　[由题意知 ||＝7，||＝4， 且||＝||， 当，同向时，||取得最小值，||＝|| ＝|||－|||＝|4－7|＝3； 当，反向时，||取得最大值，||＝|| ＝||＋||＝4＋7＝11； 当，不共线时，3＝|||－|||<||<||＋||＝11， 故|| 的取值范围是[3，11].] (2)　 解析　 ＝－ ＝－， ∴x＝－，y＝1，∴x＋y＝. 连接AC，如图所示， ) ＝ ＝， ∴λ＝，μ＝， 则λ＋μ＝. 例5　(1)D　[由题意，可设2e1＋λe2＝t(μe1＋e2)，t∈R， 又e1，e2是两个不共线的向量， 故解得λμ＝2.] (2) 解析　因为， 所以＝3， 因为＝m ＝m， 且B，P，N三点共线， 所以m＋＝1，所以m＝. 跟踪训练3　(1)C　[因为向量e1，e2是平面内两个不共线的单位向量，所以{e1，e2}可以作为平面内一个基底， 对于A，因为＝e1＋2e2，＝－3e1＋2e2，若A，B，C三点共线，设＝λ，λ∈R， 则无解，所以A，B，C三点不共线，故A错误； 对于B，若A，B，D三点共线，设＝μ，μ∈R，则无解，所以A，B，D三点不共线，故B错误； 对于C，因为＝(e1＋2e2)＋(－3e1＋2e2)＝－2e1＋4e2＝，因为AC，AD有公共点A，所以A，C，D三点共线，故C正确； 对于D，因为＝(3e1－6e2)＋(e1＋2e2)＝4e1－4e2，＝－3e1＋2e2，设＝k，k∈R，则无解，所以B，C，D三点不共线，故D错误.] (2)2 解析　连接AO(图略)， 则) ＝， 因为M，O，N三点共线， 所以＝1，所以m＋n＝2. 学科网（北京）股份有限公司 $$