三角函数式的化简与求值讲义-2026届高三数学一轮复习

三角函数式的化简与求值 课前学习任务 必备知识 知识点一　两角和与差的正弦、余弦和正切公式 知识点二　二倍角的正弦、余弦、正切公式 1．sin 2α＝ 2sin αcos α； 2．cos 2α＝ cos2α－sin2α＝ 2cos2α－1＝1－ 2sin2α； 3．tan 2α＝ . 知识点三　半角公式(不要求记忆) 1．sin ＝±； 2．cos ＝±； 3．tan ＝±＝＝. 归 纳 拓 展 1．常用拆角、拼角技巧：例如，2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β；β＝－＝(α＋2β)－(α＋β)；α－β＝(α－γ)＋(γ－β)；15°＝45°－30°；＋α＝－等． 2．公式变形：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan α·tan β)． ＝tan，＝tan， cos α＝，sin 2α＝. 3．降幂公式：cos2α＝，sin2α＝. 4．升幂公式：1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos 2α＝2sin2α. 5．万能公式：cos 2α＝，1±sin 2α＝(sin α±cos α)2. 6．辅助角(“二合一”)公式： asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)， 其中cos φ＝，sin φ＝. 课堂核心考点 考点一 三角函数式的化简 例化简下列各式： (1)； (2)－； (3). [解析]　(1)原式 ＝ ＝ ＝＝－tan(α－β)． (2)原式＝ ＝＝tan 2θ. (3)原式＝ ＝ ＝ ＝＝cos 2x. 考点点拨： 1．此类化简题，对公式既要会正用，又要会逆用，甚至变形应用． 2．应用公式时特别注意角不要化错，函数名称、符号一定要把握准确． 3．对asin x＋bcos x化简时，辅助角φ的值如何求要清楚． 【变式训练】 化简sin＋2sin－cos＝________. [答案]　0 [解析]　解法一：原式＝sin xcos ＋cos xsin ＋2sin xcos －2cos xsin －cos cos x－sin sin x＝sin x＋－2sin －cos cos x＝sin x＋cos x＝0. 解法二：原式＝sin－cos＋2sin＝2sin＋2sin＝2sin＋2sin＝2sin＋2sin＝－2sin ＋2sin＝0. 解法三：速解．设x＝0，原式＝sin －2sin －cos ＝0. 考点二 求值问题 角度1　给角求值 例1．cos 20°·cos 40°·cos 100°＝(　　) A． B．－ C． D．－ [答案]　B [解析]　cos 20°·cos 40°·cos 100° ＝－cos 20°·cos 40°·cos 80° ＝－ ＝－ ＝－ ＝－ ＝－＝－.故选B. 2．(2025·辽宁丹东阶段测试)求值：＝________. [答案]　1 [解析]　 ＝＝ ＝＝＝＝1. 考点点拨：给角求值问题的解题思路 给角求值问题往往给出的角是非特殊角，求值时要注意： 1．观察角，分析角之间的差异，巧用诱导公式或拆分； 2．观察名，尽可能使函数统一名称； 3．观察结构，利用公式，整体化简． 角度2　给值求值 例1．(2024·福建漳州质检)已知cos＝，则sin＋sin＝(　　) A． B．－ C． D． [答案]　A [解析]　令α＋＝t，则α＝t－，cos t＝，所以sin＋sin＝sin＋sin＝cos t－cos 2t＝cos t＋1－2cos2t＝＋1－＝.故选A. 2．(2025·河北冀州一中月考)若tan(α＋2β)＝3，tan(α－β)＝2，则tan(α＋5β)＝(　　) A． B． C． D． [答案]　B [解析]　因为tan(α＋2β)＝3， 所以tan 2(α＋2β)＝＝＝－， 所以tan(α＋5β)＝tan[2(α＋2β)－(α－β)] ＝ ＝＝.故选B. 考点点拨：给值求值问题的解题关键 给值求值问题的解题关键在于“变角”，把所求角用含已知角的式子表示，求解时一定要注意角的范围的讨论．如α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)，＋α＝－等． 角度3　给值求角 例1．(2025·常州模拟)已知cos α＝，sin(β－α)＝－，α，β均为锐角，则β＝(　　) A． B． C． D． [答案]　C [解析]　因为cos α＝，sin(β－α)＝－<0，α，β均为锐角，所以sin α＝＝，β－α∈，可得cos(β－α)＝＝，sin β＝sin[(β－α)＋α]＝sin(β－α)cos α＋cos(β－α)sin α＝－×＋×＝，则β＝.故选C. 2．已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tan β＝－，则2α－β的值为(　　) A． B．－ C． D．－ [答案]　D [解析]　∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝＝＝>0，∴0<α<.又tan 2α＝＝＝>0，∴0<2α<，∴tan(2α－β)＝＝＝1.∵tan β＝－<0，∴<β<π，∴－π<2α－β<0，∴2α－β＝－. 考点点拨： 1．已知三角函数值求角的解题步骤 (1)求出角的某一三角函数值； (2)确定角的范围； (3)根据角的范围确定角． 2．给值求角的原则 (1)已知正切函数值，选正切函数； (2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好． 【变式训练】 1．(角度1)(2025·宁夏银川二中测试)＝________. [答案]　 [解析]　原式＝ ＝＝ ＝＝. 2．(角度2)(2025·黑龙江哈师大附中模拟)已知α∈，且2cos 2α＝cos，则sin 2α的值为(　　) A． B．－ C． D．－ [答案]　C [解析]　由题意可得2(cos2α－sin2α)＝cos cos α＋sin sin α，即2(cos α＋sin α)(cos α－sin α)＝(cos α＋sin α)．由α∈，可得cos α＋sin α≠0，所以cos α－sin α＝，等式两边平方，可得1－sin 2α＝，所以sin 2α＝，故选C. 3．(角度3)已知α，β为锐角，cos α＝，sin β＝，则cos 2α＝________,2α－β＝________. [答案]　　 [解析]　因为cos α＝， 所以cos 2α＝2cos2 α－1＝. 又α，β为锐角，sin β＝， 所以sin α＝，cos β＝， 因此sin 2α＝2sin αcos α＝， 所以sin(2α－β)＝×－×＝. 因为α为锐角，所以0<2α<π. 又cos 2α>0，所以0<2α<， 又β为锐角，所以－<2α－β<， 又sin(2α－β)＝，所以2α－β＝. 课后素养提升 三角形中的恒等变换问题 在三角形中，常用的角的变形结论有：A＋B＝π－C；2A＋2B＋2C＝2π；＋＋＝. 三角函数的结论有：sin(A＋B)＝sin C，cos(A＋B)＝－cos C，tan(A＋B)＝－tan C，sin ＝cos ，cos ＝sin . A>B⇔sin A>sin B⇔cos A<cos B． 例1．设A，B是△ABC的内角，且cos A＝，sin B＝，则sin C＝(　　) A．或－　　　　　　　 B． C．或－ D． [分析]　由sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B知求sin A、cos B即可． [答案]　D [解析]　∵cos A＝，0<A<π，∴A为锐角， 且sin A＝＝. 又sin B＝<sin A，∴B<A， ∴B为锐角且cos B＝＝. ∴sin C＝sin [π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝.故选D. [误区警示]　本题极易求得两解，问题出在∠B上，因为由sin B＝，可得两个B值，考虑A的因素，只有一个适合，因此sin C只有一个结果． 2．(2025·河北唐山一中质检)在△ABC中，若sin(A－B)＝1＋2cos(B＋C)sin(A＋C)，则△ABC的形状一定是(　　) A．等边三角形 B．不含60°的等腰三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 [分析]　利用cos(B＋C)＝－cos A，sin(A＋C)＝sin B及两角差的正弦公式求解． [答案]　D [解析]　∵sin(A－B)＝1＋2cos(B＋C)·sin(A＋C)， ∴sin Acos B－cos Asin B＝1－2cos Asin B， ∴sin Acos B＋cos Asin B＝1，即sin(A＋B)＝1， ∴sin C＝1，又0<C<π，∴C＝， ∴△ABC为直角三角形，故选D. 考点点拨： 利用三角函数解决三角形问题要注意一些隐含条件，再根据所给的三角函数值确定角的范围，然后再进行求值．本题应用三角形中大角对大边，也可知A>B⇔a>b⇔sin A>sin B，知B为锐角． 【变式训练】 1．在△ABC中，若sin(2π－A)＝－sin(π－B)，cos A＝－cos(π－B)，则C＝(　　) A． B． C． D． [答案]　D [解析]　由已知得 ①2＋②2，得2cos2A＝1，即cos A＝±. 当cos A＝时，cos B＝，又A，B是三角形的内角， 所以A＝，B＝，所以C＝π－(A＋B)＝. 当cos A＝－时，cos B＝－，又A，B是三角形的内角， 所以A＝π，B＝π不符题意，舍去． 综上可得C＝，故选D. 2．(2024·宁夏平罗中学期中)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足sin A＝2sin Bcos C，则△ABC一定是(　　) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 [答案]　A [解析]　由题意知sin(B＋C)＝2sin Bcos C， 整理化简得sin Bcos C－cos Bsin C＝0 即sin(B－C)＝0，又－π<B－C<π， ∴B－C＝0，即B＝C，故选A. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 三角函数式的化简与求值 课前学习任务 必备知识 知识点一　两角和与差的正弦、余弦和正切公式 知识点二　二倍角的正弦、余弦、正切公式 1．sin 2α＝ 2sin αcos α； 2．cos 2α＝ cos2α－sin2α＝ 2cos2α－1＝1－ 2sin2α； 3．tan 2α＝ . 知识点三　半角公式(不要求记忆) 1．sin ＝±； 2．cos ＝±； 3．tan ＝±＝＝. 归 纳 拓 展 1．常用拆角、拼角技巧：例如，2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β；β＝－＝(α＋2β)－(α＋β)；α－β＝(α－γ)＋(γ－β)；15°＝45°－30°；＋α＝－等． 2．公式变形：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan α·tan β)． ＝tan，＝tan， cos α＝，sin 2α＝. 3．降幂公式：cos2α＝，sin2α＝. 4．升幂公式：1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos 2α＝2sin2α. 5．万能公式：cos 2α＝，1±sin 2α＝(sin α±cos α)2. 6．辅助角(“二合一”)公式： asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)， 其中cos φ＝，sin φ＝. 课堂核心考点 考点一 三角函数式的化简 例化简下列各式： (1)； (2)－； (3). 考点点拨： 1．此类化简题，对公式既要会正用，又要会逆用，甚至变形应用． 2．应用公式时特别注意角不要化错，函数名称、符号一定要把握准确． 3．对asin x＋bcos x化简时，辅助角φ的值如何求要清楚． 【变式训练】 化简sin＋2sin－cos＝________. 考点二 求值问题 角度1　给角求值 例1．cos 20°·cos 40°·cos 100°＝(　　) A． B．－ C． D．－ 2．(2025·辽宁丹东阶段测试)求值：＝________. 考点点拨：给角求值问题的解题思路 给角求值问题往往给出的角是非特殊角，求值时要注意： 1．观察角，分析角之间的差异，巧用诱导公式或拆分； 2．观察名，尽可能使函数统一名称； 3．观察结构，利用公式，整体化简． 角度2　给值求值 例1．(2024·福建漳州质检)已知cos＝，则sin＋sin＝(　　) A． B．－ C． D． 2．(2025·河北冀州一中月考)若tan(α＋2β)＝3，tan(α－β)＝2，则tan(α＋5β)＝(　　) A． B． C． D． 考点点拨：给值求值问题的解题关键 给值求值问题的解题关键在于“变角”，把所求角用含已知角的式子表示，求解时一定要注意角的范围的讨论．如α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)，＋α＝－等． 角度3　给值求角 例1．(2025·常州模拟)已知cos α＝，sin(β－α)＝－，α，β均为锐角，则β＝(　　) A． B． C． D． 2．已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tan β＝－，则2α－β的值为(　　) A． B．－ C． D．－ 考点点拨： 1．已知三角函数值求角的解题步骤 (1)求出角的某一三角函数值； (2)确定角的范围； (3)根据角的范围确定角． 2．给值求角的原则 (1)已知正切函数值，选正切函数； (2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好． 【变式训练】 1．(角度1)(2025·宁夏银川二中测试)＝________. 2．(角度2)(2025·黑龙江哈师大附中模拟)已知α∈，且2cos 2α＝cos，则sin 2α的值为(　　) A． B．－ C． D．－ 3．(角度3)已知α，β为锐角，cos α＝，sin β＝，则cos 2α＝________,2α－β＝________. 课后素养提升 三角形中的恒等变换问题 在三角形中，常用的角的变形结论有：A＋B＝π－C；2A＋2B＋2C＝2π；＋＋＝. 三角函数的结论有：sin(A＋B)＝sin C，cos(A＋B)＝－cos C，tan(A＋B)＝－tan C，sin ＝cos ，cos ＝sin . A>B⇔sin A>sin B⇔cos A<cos B． 例1．设A，B是△ABC的内角，且cos A＝，sin B＝，则sin C＝(　　) A．或－　　　　　　　 B． C．或－ D． 2．(2025·河北唐山一中质检)在△ABC中，若sin(A－B)＝1＋2cos(B＋C)sin(A＋C)，则△ABC的形状一定是(　　) A．等边三角形 B．不含60°的等腰三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 [分析]　利用cos(B＋C)＝－cos A，sin(A＋C)＝sin B及两角差的正弦公式求解． 考点点拨： 利用三角函数解决三角形问题要注意一些隐含条件，再根据所给的三角函数值确定角的范围，然后再进行求值．本题应用三角形中大角对大边，也可知A>B⇔a>b⇔sin A>sin B，知B为锐角． 【变式训练】 1．在△ABC中，若sin(2π－A)＝－sin(π－B)，cos A＝－cos(π－B)，则C＝(　　) A． B． C． D． 2．(2024·宁夏平罗中学期中)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足sin A＝2sin Bcos C，则△ABC一定是(　　) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 学科网（北京）股份有限公司 $$