同角三角函数的基本关系式与诱导公式讲义-2026届高三数学一轮复习

同角三角函数的基本关系式与诱导公式 课前学习任务 一、必备知识 1．同角三角函数的基本关系 基本关系 常用变形 平方 关系 ____ sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)， cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α) 商数 关系 tan α＝____ sin α＝tan αcos α 2．三角函数的诱导公式 角 2kπ＋α (k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α ____ 余弦 cos α －cos α cos α ___ sin α －sin α 正切 tan α tan α －tan α ___ 律及 解释 奇变偶不变，符号看象限 “奇”“偶”指的是“k·＋α(k∈Z)”中的k是奇数还是偶数； “变”与“不变”是指函数的名称的变化； “符号看象限”指的是在“k·＋α(k∈Z)”中，将α看成锐角时，“k·＋α(k∈Z)”的终边所在的象限 3．常见的互余和互补的几组角 互余的角 －α与＋α；＋α与－α；＋α与－α等 互补的角 ＋θ与－θ；＋θ与－θ等 二、练基础 1．(人A必一P194习题T5)已知sin＝，那么cosα＝(　　) A．－ B．－ C． D． 2．若α为第二象限角，且sinα＝，则tanα＝(　　) A．2 B．－2 C． D．－ 3．(人A 必一P195习题T8)已知sin＝，且0＜x＜，则sin＝____，cos＝____． 4．(人A 必一P186习题T16)已知α为第二象限角，化简：－＝___． 5．(人A 必一P255复习参考题T17改编)已知sinα－cosα＝，0≤α≤π，则sin2α＝___，cos2α＝___． 课堂核心考点 考点一 同角关系式的基本应用 视角1　知一求二 例 1－1　(1) 已知sinα＝，求cosα，tanα的值； (2) 已知tanα＝－，求sinα，cosα的值． 视角2　齐次式的计算 例 1－2　已知tanα＝－． (1) 求的值； (2) 求sin2α－3sinαcosα＋1的值． 视角3　和积转换 例 1－3　(1) 已知α是三角形内角，若sinα－cosα＝，则sinα＋cos α的值为(　　) A．－ B．－ C． D． (2) 已知α∈，且sinα＋cosα＝，求tanα的值． 变式 1－3　(1) 若sinα＋cosα＝，则tanα＋＝____． (2) (2021·新高考Ⅰ卷)若tan θ＝－2，则＝(　　) A．－ B．－ C． D． 考点二 诱导公式的应用 例2　(1) 求值：sin(－1 200°)cos 1 290°＋cos(－1 020°)sin(－1 770°)＝____． (2) 化简： ＝____． (3) 已知cos(75°＋α)＝，则cos(105°－α)＋sin(15°－α)＝____． 变式2　(1) (2025·黄冈期初)若sin＋3cos＝0，则tan 2α＝(　　) A．－ B． C．－ D． (2) 已知sin＝，则cos＝(　　) A．－ B．－ C． D． 考点三 三角函数的化简与证明 例3　已知函数f(α)＝． (1) 求证：f(α)＝sinα； (2) 若f(α)＝，且α为第二象限角，求tanα·－1的值． 课后提升练 1．已知角α的终边上有一点P，则cos＝(　　) A．－ B． C．－ D． 2．已知tan α＝2，则＝(　　) A．－ B． C．－ D． 3．已知α∈，cos＝，则tan α＝(　　) A． B． C．2 D．4 4．已知sin α·cos α＝，且＜α＜，则cos α－sin α＝____． 答案解析 课前学习任务 1．sin2α＋cos2α＝1　(α≠kπ＋，k∈Z) 2. cos α　－cos α　－tan α 1. B　【解析】 因为sin ＝sin ＝sin (－＋α)＝－sin ＝－cos α＝，所以cos α＝－. 2. D　【解析】 因为α为第二象限角，sin α＝，所以cos α＝－＝－，则tanα＝＝－. 3. 　－　【解析】 因为0<x<，所以－<－x<，又sin ＝>0，所以0<－x<，所以cos ＝＝.sin＝sin ＝cos ＝；cos ＝cos [π－(－x)]＝－cos ＝－. 4. －2tan α　【解析】 因为α为第二象限角，所以sin α>0，cos α<0，－＝－＝－＝－＋＝－2tan α. 5. 　－　【解析】 将sin α－cos α＝两边平方得1－2sin αcos α＝，所以2sin αcos α＝，又0≤α≤π，所以α∈，所以(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝1＋＝，从而sin α＋cos α＝.联立得所以sin 2α＝2sin αcos α＝，cos 2α＝cos2α－sin2α＝－. 课堂核心考点 例1-1　【解答】 (1) 由sin α＝>0，可知α为第一或第二象限角．若α为第一象限角，则cos α＝＝＝，tanα＝＝；若α为第二象限角，则cos α＝－＝－＝－，tanα＝＝－. (2) 由tan α＝－<0，可知α为第二或第四象限角．因为tan α＝－，所以＝－.又因为sin2α＋cos2α＝1，所以或当α为第二象限角时，sin α＝，cos α＝－；当α为第四象限角时，sin α＝－，cos α＝. 例1-2　【解答】 (1) ＝＝＝＝－. (2) sin2α－3sinαcos α＋1＝sin2α－3sinαcos α＋(sin2α＋cos2α)＝＝＝＝＝2. 例1-3　(1)C　【解析】 因为α是三角形内角，所以α∈(0，π).因为(sin α－cos α)2＝sin2α＋cos2α－2sinαcos α＝1－2sin αcos α＝，所以2sin αcos α＝，所以(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝1＋＝.因为sin αcos α>0且α∈(0，π)，所以sin α>0，cos α>0，所以sin α＋cos α>0，所以sin α＋cos α＝. (2) 【解答】 因为sin α＋cos α＝，所以1＋2sin αcos α＝，sin αcos α＝－.又α∈，所以cos α>0，sin α<0，即α∈，所以tan α<0.由sin αcos α＝＝＝－，解得tanα＝－2±.又sin α＋cos α＝>0，所以sin α>－cos α，而cos α>0，所以tan α>－1，所以tan α＝－2＋. 变式1-3　(1) 4　【解析】 因为sin α＋cos α＝，两边同时平方得(sin α＋cos α)2＝，即1＋2sin αcos α＝，所以sin αcos α＝，因此tan α＋＝＋＝＝＝4. (2) C　【解析】 ＝＝sin θ(sin θ＋cos θ)＝＝＝＝. 例2　(1) 1　【解析】 原式＝－sin 1 200°cos 1 290°－cos 1 020°·sin 1 770°＝－sin (3×360°＋120°)cos (3×360°＋210°)－cos (3×360°－60°)sin (5×360°－30°)＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝sin (60°＋30°)＝1. (2) tan α　【解析】 由诱导公式得，原式＝＝＝tanα. (3) 0　【解析】 因为(105°－α)＋(75°＋α)＝180°，(15°－α)＋(α＋75°)＝90°，所以cos (105°－α)＝cos [180°－(75°＋α)]＝－cos (75°＋α)＝－，sin (15°－α)＝sin [90°－(α＋75°)]＝cos (75°＋α)＝.故cos (105°－α)＋sin (15°－α)＝－＋＝0. 变式2　(1) D　【解析】 原方程可化为－cos α＋3sin α＝0⇒tan α＝，故tan 2α＝＝＝. (2) C　【解析】 cos ＝sin ＝sin (－x)＝. 例3　【解答】 (1) f(α)＝＝＝sin α，得证． (2) 因为f(α)＝sin α＝，且α为第二象限角，所以cos α＝－＝－，所以tanα＝＝－，所以tan α·－1＝×－1＝－. 课后提升练 1. A　【解析】 由题意知角α的终边上有一点 P(－，)，则OP＝＝1，故sin α＝，则cos (＋α)＝－sin α＝－. 2. A　【解析】 ＝＝＝＝＝＝－. 3．A　【解析】 由cos ＝，得sin 2α＝，所以2sin αcos α＝⇒＝⇒＝⇒tan α＝4或tan α＝.又α∈，所以0<tan α<1，所以tan α＝. 4. －　【解析】 因为＜α＜，所以sin α＞cos α，而(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×＝，所以cos α－sin α＝－. 学科网（北京）股份有限公司 $$