精品解析：安徽省蚌埠第五中学、田家炳中学2024-2025学年八年级下学期期末素养考察数学试题

蚌埠五中2024-2025学年第二学期初中年级期末素养考察试卷 初二数学 考试时间：90分钟 试卷分值： 120分 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 要使式子有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 关于一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（ ） A. 只有一个实数根 B. 没有实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 3. 用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（ ） A. B. C. D. 4. 若正多边形的一个外角的度数为45°，则这个正多边形是（ ） A. 正五边形 B. 正六边形 C. 正八边形 D. 正十边形 5. 已知的、和的对边分别是a，b和c，下面给出了五组条件：①；②；③；④；⑤，，．其中能独立判定是直角三角形的条件有（ ）个． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6. 某校组织九年级各班开展学生排球一次性垫球团队比赛，每班各选派7名学生组成参赛团队，其中九年级（1）班选派的7名学生一次性垫球成绩（单位：个）如图所示．则下列结论中，正确的是（ ） A. 中位数为17 B. 众数为26 C. 平均成绩为20 D. 方差为0 7. 某厂一月份生产某大型机器20台，计划二、三月份共生产90台，设二、三月份每月的平均增长率为x，根据题意列出的方程是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，于点D，E是中点，且交于点F，已知，，连接，则长（ ） A. 4 B. 5 C. D. 9. 定义新运算：对于两个不相等的实数，，我们规定符号表示，中的较大值，如：，等等；按照这个规定，若，则的值是（ ） A. 5 B. 5或 C. 或 D. 5或 10. 如图，在直角三角形ABC中，，，，点M是边AB上一点（不与点A，B重合），作于点E，于点F，若点P是的中点，则CP的最小值是（ ） A. 1.2 B. 1.5 C. 2.4 D. 2.5 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分． 11. 若最简二次根式与是同类二次根式，则_____________． 12. 小明参加“建团百年，我为团旗添光彩”主题演讲比赛，其演讲形象、内容、效果三项分别是分、分、分．若将三项得分依次按的比例确定最终成绩，则小明的最终成绩为____分． 13. 若是方程的一个根，则的值为______． 14. 如图，在矩形中，，．为边上一点，，连接．点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着边向终点运动，连接．设点运动的时间为秒，当为_______时，为直角三角形． 三、解答题：本题共8小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 解方程：． 16. 计算： 17. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题： （1）判断的形状，并说明理由； （2）求边上的高． 18. 观察下列各式的规律：①；②；③…… （1）按照此规律写出第4个等式：______； （2）猜想第个等式是：______；说明你猜想的正确性；（的整数） 19. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：对于任意实数k，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根是1，求k的值及方程的另一个根． 20. 某校深入开展了以“珍爱生命 谨防溺水”为主题的安全教育活动，并在九年级举办了防溺水知识竞赛，从两班各随机抽取了名学生的成绩，整理如下：（成绩得分用表示，共分成四组：，，，） 九年级（1）班名学生的成绩是：，，，，，，，，， 九年级（2）班名学生的成绩在组中的数据是：，， 通过数据分析，结果如下： 九年级（1）班、（2）班抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 九年级（1）班 九年级（2）班 九年级（2）班学生成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出上述、、的值： ， ， ； （2）学校欲选派成绩更稳定的班级参加下一阶段的活动，根据表格中的数据，学校会选派哪一个班级？说明理由． （3）九年级两个班共有人参加了此次活动，估计两个班参加此次活动成绩优秀的学生总人数是多少？ 21. 小明大学毕业后和同学创业，合伙开了一家网店，暑期销售原创设计的手绘图案恤衫．已知每件恤衫的成本价为60元，当销售价为100元时，每天能售出20件；经过一段时间销售发现，当销售价每降低1元时，每天就能多售出2件， （1）若降价8元，则每天销售恤衫的利润为多少元？ （2）小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大，则每件恤衫的销售价应该定为多少？ （3）为了保证每件恤衫的利润率不低于，小明每天能否获得1200元的利润？若能，求出定价；若不能，请说明理由．（利润率） 22. 如图，已知四边形是正方形，点（不与点重合）是对角线上一个动点． （1）如图①，连接，求证：； （2）如图②，连接，过点作交线段于点，连接．求的度数； （3）如图③，连接，过点作交线段于点，在点的运动过程中，请直接写出线段，，的数量关系______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 蚌埠五中2024-2025学年第二学期初中年级期末素养考察试卷 初二数学 考试时间：90分钟 试卷分值： 120分 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 要使式子有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握相关定义是解题关键．直接利用二次根式有意义的条件得出，求解即可得出答案． 【详解】解：根据题意得：， ∴， 故选：D． 2. 关于一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（ ） A. 只有一个实数根 B. 没有实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，能够熟练计算判别式的值并能根据判别式的值判断根的情况是解题关键．计算判别式的值，再确定根的情况即可． 【详解】解：， 方程有两个不相等的实数根， 故选：D． 3. 用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，根据配方法的步骤，进行配方，判断即可． 【详解】解：， ∴， ∴； 故选B． 4. 若正多边形的一个外角的度数为45°，则这个正多边形是（ ） A. 正五边形 B. 正六边形 C. 正八边形 D. 正十边形 【答案】C 【解析】 【分析】正多边形的外角和是360°，这个正多边形的每个外角相等，因而用360°除以外角的度数，就得到外角的个数，外角的个数就是多边形的边数． 【详解】解：这个正多边形的边数：360°÷45°=8． 故选：C． 【点睛】本题考查了多边形的内角与外角的关系，熟记正多边形的边数与外角的关系是解题的关键． 5. 已知的、和的对边分别是a，b和c，下面给出了五组条件：①；②；③；④；⑤，，．其中能独立判定是直角三角形的条件有（ ）个． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查直角三角形的判定，根据有一个角是直角的三角形是直角三角形，以及勾股定理逆定理，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴是直角三角形；故①正确； ∵， 设， ∵， ∴是直角三角形；故②正确； ∵，， ∴， ∴是直角三角形；故③正确； ∵， ∴， ∴是直角三角形；故④正确； ∵，，， ∴， ∴是直角三角形；故⑤正确； 故选D． 6. 某校组织九年级各班开展学生排球一次性垫球团队比赛，每班各选派7名学生组成参赛团队，其中九年级（1）班选派的7名学生一次性垫球成绩（单位：个）如图所示．则下列结论中，正确的是（ ） A. 中位数为17 B. 众数为26 C. 平均成绩为20 D. 方差为0 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查中位数、众数、平均数和方差概念．根据中位数、众数、平均数和方差概念即可解答． 【详解】解：A选项：将这组数据从小到大排列为：17、19、22、26、26、30、35， 从中可以看出，一共7个数据，第4个数据为26，所以这组数据的中位数为26； B选项：这组数据中26出现的次数最多，所以这组数据的众数为26； C选项：（个），所以这组数据的平均数为25； D选项：方差是一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，所以当方差等于0时，这组7个数据应相同，不符合题意； 故选：B． 7. 某厂一月份生产某大型机器20台，计划二、三月份共生产90台，设二、三月份每月的平均增长率为x，根据题意列出的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据关系式：原有台数×(1+增长率)=现有台数，可分别求得二、三月份的机器台数，从而可得方程． 【详解】由题意知，二月份生产机器台数为：20(1+x)台，三月份生产机器台数为：20(1+x)2台，根据二、三月份计划共生产90台可得方程：． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是掌握好关系式：原有台数×(1+增长率)=现有台数． 8. 如图，在中，于点D，E是中点，且交于点F，已知，，连接，则长（ ） A. 4 B. 5 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查斜边上的中线，三线合一，勾股定理．斜边上的中线得到，，得到，三线合一，结合勾股定理，进行求解即可． 【详解】解：∵，E是中点，， ∴，， ∴， ∴； 故选B． 9. 定义新运算：对于两个不相等的实数，，我们规定符号表示，中的较大值，如：，等等；按照这个规定，若，则的值是（ ） A. 5 B. 5或 C. 或 D. 5或 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，分两边情况：时，，；时，，，据此分别求出的值即可．此题主要考查了实数大小比较的方法，因式分解法和公式法解一元二次方程，解答此题的关键是注意分两种情况讨论． 【详解】解：表示，中的较大值，， 当时，，， ， 解得或，舍去）． 当时，，， ， 解得或，舍去）． 综上，可得若， 则的值是5或． 故选：B． 10. 如图，在直角三角形ABC中，，，，点M是边AB上一点（不与点A，B重合），作于点E，于点F，若点P是的中点，则CP的最小值是（ ） A. 1.2 B. 1.5 C. 2.4 D. 2.5 【答案】A 【解析】 【分析】先由勾股定理求出，再证四边形CEMF是矩形，得，当时，CM最短，此时EF也最小，则CP最小，然后由三角形面积求出，即可得出答案． 【详解】解：连接CM，如图所示： ∵，，， ∴， ∵，，， ∴四边形CEMF是矩形， ∴， ∵点P是EF的中点， ∴， 当CM⊥AB时，CM最短， 此时EF也最小，则CP最小， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、三角形面积以及最小值等知识；熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分． 11. 若最简二次根式与是同类二次根式，则_____________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据同类二次根式的定义：几个最简二次根式的被开方数相同，这几个最简二次根式叫做同类二次根式，进行计算即可． 【详解】解：， ∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得：； 故答案为：2． 【点睛】本题考查同类二次根式的定义．熟练掌握同类二次根式的定义，是解题的关键． 12. 小明参加“建团百年，我为团旗添光彩”主题演讲比赛，其演讲形象、内容、效果三项分别是分、分、分．若将三项得分依次按的比例确定最终成绩，则小明的最终成绩为____分． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了加权平均数，熟练掌握加权平均数的公式是解题的关键．根据加权平均数的公式计算，即可求解． 【详解】解：小明的最终比赛成绩为（分）， 故答案为：． 13. 若是方程的一个根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了整体代入的方法．先利用一元二次方程解的定义得到，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：是方程的一个根， ， ， ． 故答案为：． 14. 如图，在矩形中，，．为边上一点，，连接．点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着边向终点运动，连接．设点运动的时间为秒，当为_______时，为直角三角形． 【答案】或6 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，先求出，则由勾股定理得，依题意得，则，再由得当是直角三角形时，有以下两种情况：①当时；②当时，由矩形性质及勾股定理列方程求解即可得的值．熟练运用矩形的性质、勾股定理是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点． 【详解】解：∵四边形是矩形，且， ， ∵为边上一点，， ， 在中，由勾股定理得， 依题意得， ， ， ∴当是直角三角形时，有以下两种情况： ①当时， 过点作于点，如图1所示： ， ∴四边形是矩形， ， ， 在和中，由勾股定理得：， ， 解得：； ②当时，如图2所示： ， ∴四边形是矩形， ， ， 解得：； 综上所述：当为或6时，为直角三角形， 故答案为：或6． 三、解答题：本题共8小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 解方程：． 【答案】 , 【解析】 【分析】根据求根公式进行解题. 【详解】解: a=1,b=-6,c=4 ∴△=36-16=20 ∴ ∴ , 【点睛】本题考查了一元二次方程的求解,属于简单题,熟悉一元二次方程的求解方法是解题关键. 16. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，先进行乘除运算，去绝对值运算，再合并同类二次根式即可． 【详解】解：原式． 17. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题： （1）判断的形状，并说明理由； （2）求边上的高． 【答案】（1） 解：是直角三角形；理由如下： 由勾股定理，得：， ∴， ∴是直角三角形； （2）边上的高为2 【解析】 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理： （1）勾股定理求出三边长，勾股定理逆定理，判断三角形形状即可； （2）等积法求高即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设边上的高为， ∵， ∴， ∴； 即：边上的高为2． 18. 观察下列各式的规律：①；②；③…… （1）按照此规律写出第4个等式：______； （2）猜想第个等式是：______；说明你猜想的正确性；（的整数） 【答案】（1） （2）， 证明如下： ． 【解析】 【分析】本题考查二次根式的性质，数字类规律探究： （1）根据题干给定的等式，写出第四个等式即可； （2）根据给定的等式，猜想出第个等式，再证明即可 【小问1详解】 解：， ， ， ∴第4个等式为：； 故答案为：； 【小问2详解】 略 19. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：对于任意实数k，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根是1，求k的值及方程的另一个根． 【答案】（1） 证明：由题意得，， ∵， ∴， ∴， ∴对于任意实数k，方程总有两个不相等的实数根； （2）； 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，熟知根的判别式和根与系数的关系是解题的关键． （1）只需要证明即可； （2）设方程的另一个根为m，由根与系数的关系可得，据此求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设方程的另一个根为m， 由根与系数的关系可得， ∴， ∴， 解得． 20. 某校深入开展了以“珍爱生命 谨防溺水”为主题的安全教育活动，并在九年级举办了防溺水知识竞赛，从两班各随机抽取了名学生的成绩，整理如下：（成绩得分用表示，共分成四组：，，，） 九年级（1）班名学生的成绩是：，，，，，，，，， 九年级（2）班名学生的成绩在组中的数据是：，， 通过数据分析，结果如下： 九年级（1）班、（2）班抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 九年级（1）班 九年级（2）班 九年级（2）班学生成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出上述、、的值： ， ， ； （2）学校欲选派成绩更稳定的班级参加下一阶段的活动，根据表格中的数据，学校会选派哪一个班级？说明理由． （3）九年级两个班共有人参加了此次活动，估计两个班参加此次活动成绩优秀的学生总人数是多少？ 【答案】（1），， （2） 这次比赛，学校会选派九年级（1）班， ，且两班的平均数相同， 九年级（1）班成绩更稳定， 学校会选派九年级（1）班； （3）人 【解析】 【分析】本题考查扇形统计图，平均数，中位数，众数，方差，用样本估计总体，理解相关统计量的意义，能从统计图中获取有用数据是解题的关键； （1）先求出组所占百分比，再将减去其他三组所占百分比，即可求出的值；根据中位数和众数的概念即可确定，的值； （2）根据方差的意义即可判断会选派哪一个班级； （3）用样本估计总体的思想即可解决问题． 【小问1详解】 解：组占， ， ， ∵九年级（2）班名学生的成绩A组有（人），B组有（人）， 九年级（2）班名学生的成绩在组中的数据是：，， ∴第5名和第6名的成绩为92，94， ， 九年级（1）班名学生的成绩中，出现两次，是出现最多的数据， ； 故答案为：，，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 （人）， 答：估计两个班参加此次活动成绩优秀的学生总人数为人． 21. 小明大学毕业后和同学创业，合伙开了一家网店，暑期销售原创设计的手绘图案恤衫．已知每件恤衫的成本价为60元，当销售价为100元时，每天能售出20件；经过一段时间销售发现，当销售价每降低1元时，每天就能多售出2件， （1）若降价8元，则每天销售恤衫的利润为多少元？ （2）小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大，则每件恤衫的销售价应该定为多少？ （3）为了保证每件恤衫的利润率不低于，小明每天能否获得1200元的利润？若能，求出定价；若不能，请说明理由．（利润率） 【答案】（1）若降价8元，则每天销售恤衫的利润为元 （2）每件恤衫的销售价应该定为元 （3） 解：不能，理由如下： 设每件恤衫降价元， ∵为了保证每件恤衫的利润率不低于， ∴， 解得：， 由题意得：， 解得：或， ∵， ∴或都不符合题意，舍去， ∴为了保证每件恤衫的利润率不低于，小明每天不能获得1200元的利润． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次不等式的应用、有理数的混合运算的应用，理解题意，正确列出方程和不等式是解此题的关键． （1）根据题意列出式子计算即可得出答案； （2）设每件恤衫降价元，则每天的销售量为件，根据“每天获得的利润达到1050元”列出一元二次方程，解方程即可得出答案； （3）设每件恤衫降价元，根据“为了保证每件恤衫的利润率不低于”列出一元一次不等式，解不等式即可得出的取值范围，再根据“获得1200元的利润”列出一元二次方程，解方程即可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意得：（元）， ∴若降价8元，则每天销售恤衫的利润为元； 【小问2详解】 解：设每件恤衫降价元，则每天的销售量为件， 由题意得：， 解得：或， 当时，售价为（元）， 当时，售价为（元）， ∵优惠最大， ∴， ∴每件恤衫的销售价应该定为元； 【小问3详解】 略 22. 如图，已知四边形是正方形，点（不与点重合）是对角线上一个动点． （1）如图①，连接，求证：； （2）如图②，连接，过点作交线段于点，连接．求的度数； （3）如图③，连接，过点作交线段于点，在点的运动过程中，请直接写出线段，，的数量关系______． 【答案】（1） 证明：四边形是正方形， ，， 又， ； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质得到，，再加上公共边即可用判定； （2）过点作于，于，证四边形是正方形，得到，再用判定，得到，推出是等腰直角三角形即可解决问题； （3）过点作于，的延长线交于，于，根据（2）中的结论，由等腰直角推出与的关系，判定四边形是矩形，得到与、、的关系，即可推出线段，，的数量关系． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图②，过点作于，于， ， 四边形是矩形， 平分，于，于， ， 矩形是正方形， ， ， ， ， 又， ， ， 又， 是等腰直角三角形， ； 【小问3详解】 解：如图③，过点作于，的延长线交于，于， 由（2）可知四边形是正方形， ， ， 四边形是矩形， ， 又， ， ，， 是等腰直角三角形， ，， ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $