01函数的概念学案-2026届高三数学一轮复习

函数的概念 【学习目标】1.理解函数的概念 2.函数三要素 1、 重难点知识精讲 1. 函数的定义 设是非空数集，若存在某种对应关系，使对中任意，在中都有唯一确定的与之对应，则称为函数，记作. 注意事项： （1）A,B必非空数集 （2）存在性：存在y （3）任意性：x是任意的 （4）唯一性：一个x只有对应一个y 2. 三要素： （1）定义域：自变量的取值范围 （2）对应关系（对应法则）：的本质关系 （3）值域：函数值的集合。 3. 定义域的求法 （1）分式分母不为0； （2）偶次根式被开方数非负； （3）零次方底数不为0；’ （4）对数真数大于0； （5）实际问题需符合现实意义 4. 同一函数的判断： 如果两个函数定义域和对应关系一样，那么两个函数是同一个函数. 5. 函数解析式的求法 方法1：直接法 方法2：换元法 方法3：配凑法 方法4：待定系数法 方法5：解方程组法 6. 值域的求法 方法1：直接法 方法2：图像法 方法3：配方法 方法4：分离常数法 方法5：单调性法 方法6：换元法 方法7：基本不等式法 方法8：导数法 二、题型讲解 题型一：函数的概念辨析 【例1】以下是函数的为（ ） A. B. C. D. 【变式1-1】下列是函数图像的是（ ） A. B. C.D. 题型二：同一函数的判断 【例2】下列是两个函数是同一函数的是（ ） A. B. C. D. 【变式2-1】下列是同一函数的是（ ） A. B. C. D. 题型三：定义域的求解 【例3】（1）函数的定义域为 （2）已知的定义域为，求的定义域 【变式3-1】的定义域为 【变式3-2】的定义域为，求的定义域. 题型四：函数解析式的解法 【例4】，求. 【变式4-1】，求. 【例5】，求. 【变式5-1】，求. 【变式5-2】，求. 【例6】，求. 【变式6-1】，求 【例7】已知是一次函数，若，求. 【变式7-1】已知是二次函数，若，求 【例8】若，求 【变式8-1】若，求 题型五：函数值域的求解 【例1】已知函数 ，求其值域. 【变式1】函数 ，求其值域 【例2】函数，,求其值域 【变式2】函数，，求其值域. 【例3】函数，求其值域 【变式3-1】函数，求其值域 【变式3-2】函数，求其值域 【变式3-3】函数，求其值域 【例4】函数，求其值域 【变式4】函数，求其值域 【例5】函数，求其值域 【变5】函数，求其值域 三、知识总结 20 学科网（北京）股份有限公司 $$ 函数的概念参考答案 题型一：函数的概念辨析 【例1】以下是函数的为（ ） A. B. C. D. 解析： A： 表示圆，对于，存在两个y 值（如x = 0 时)，不满足唯一性，不是函数。 B： 表示抛物线，对于x > 0，存在两个y 值（如x = 1 时)，不满足唯一性，不是函数。 C： 是显式表达式，对每个x，有唯一y 值，是函数。 D： 表示椭圆，对于，存在两个y 值（如x = 0 时)，不是函数。 答案：C 【变式1-1】下列是函数图像的是（ ） 答案： D （一对一，一个x只能对应一个y） 题型二：同一函数的判断 【例2】下列两个函数是同一函数的是（ ） A. B. C. D. 解答： 两个函数是同一函数当且仅当定义域相同且对应关系相同（对所有输入输出一致）。 A： ，定义域；（平方根返回非负值），对应关系不同（如 时，)，定义域相同但对应关系不同，不是同一函数。 B： ，定义域； ，对应关系不同（如 时，不是同一函数。 C：，定义域R；，定义域R，对应关系相同（仅变量名不同），是同一函数。 D： ，要求（因未定义），定义域； ，定义域R，定义域不同，不是同一函数。 答案：C 【变式2-1】下列是同一函数的是（ ） A. B. C. D. 解答： A： ，对应关系不同（如x = -1 时f(-1) = 1，g(-1) = -1)，不是同一函数。 B：，定义域R；（当)，但 时g(x) 未定义（分母为零），而，定义域不同（ 定义域R， 定义域)，不是同一函数。 C： ，有恒等式，对应关系相同；定义域均为R（三角函数定义），是同一函数。 D： ，定义域；，定义域，定义域不同，不是同一函数。 答案：C 题型三：定义域的求解 【例3】（1）函数 的定义域为 解答： 定义域需满足： 平方根： 对数： 交集为 答案： （2）已知 的定义域为[1, 4]，求 的定义域 解答： 的定义域[1, 4] 表示。 令 ，当 时（，故 u 单调增），。 因此 的定义域为[1, 16]，即 的定义域为[1, 16]。 答案：[1, 16] 【变式3-1】 的定义域为 解答： 定义域需满足： 零次幂：底数 对数分母：（分母非零）⇒ ⇒ 对数定义： 综合：。 答案： 【变式3-2】 的定义域为[-1, 4]，求 的定义域 解答： 的定义域[-1, 4] 表示 。 令 ，当 时， ，故 。 因此 的定义域为[-1, 9]。 现在求 的定义域，需满足 : ，解得 答案： 题型四：函数解析式的解法 【例4】 ，求 解答： 令 ，则 。 代入： 故 。 答案： 【变式4-1】 ，求 解答： 令 则 。 代入： 故。 答案： 【例5】 ，求. 解答： 注意右边 。 左边：。 令 ，则 。 代入： 故 。 答案： 【变式5-1】 ，求 解答： 令 则 ， 。 代入： 故 。 答案： 【变式5-2】，求 解答： 令 ，则 。 代入： 故 。 答案： 【例6】 ，求. 解答： 注意右边：。 左边： 。 故 即 。 答案： 【变式6-1】 解答： 右边：。 又 。 代入： 故 。 令 ，则 ，即 。 答案： 【例7】 已知是一次函数，若，求. 解答： 设 （一次函数）。 则 。 给定等于 : 比较系数： 若 ，则 2 若 ，则 验证： 答案：或 【变式7-1】已知是二次函数，若，求 解答： 设 。 则 即 所以 所以 . 答案：. 【例8】若，求 解答： 方程： 用 替换 : 令 ，则： 解得： 。 答案： 。 【变式8-1】若，求 解答： 方程： 用 替换 : 令 ，则： 解方程组： 故 答案： 题型五：函数值域的求解 【例1】已知函数 ，求其值域. 解答： 因为，所以 答案： 【变式1】函数 ，求其值域 解答： 因为，所以. 答案： 【例2】函数 ，求其值域 解答： 简化：。 当 ，故 。 所以 答案：(2, 3] 【变式2】函数，求其值域 解答： 简化：。 答案： 【例3】函数 ，求其值域 解答： 设 ，则： 所以 当时，则有.满足题意; 当时，因为，所以 即 。 解 。 二次式开口向上， ，且端点可取。 答案： 【变式3-1】函数 ，求其值域 解答： 设 ，则： 。 化简得 . 当时，即时，则有，解得. 当时，即时，因为取任意实数，所以 : 即。 解得. 答案： 【变式3-2】函数 ，求其值域 解答： ，则： 所以 当 时，判别式 。 即，解得 . 答案： 【变式3-3】函数 ，求其值域 解答： ，即 所以 因为，所以 所以，即，所以 答案： 【例4】函数 ，求其值域 解答： 定义域： 。 令 ，则。 代入： 当 ，故 。 答案： 【变式4】函数 ，求其值域 解答： 定义域： 。 因为在定义域上单调递增， 所以在定义域上单调递增 因为，当 所以 答案： 【例5】函数 ，求其值域 解答： 令 （当且仅当即时取等） 答案： 【变5】函数 ，求其值域 解答： 令，则 所以， 所以（当且仅当时取等号,取不到等号） 所以 答案：(0, 1) 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$