精品解析：河南省安阳市滑县部分学校2024—2025学年高一下学期期末测评数学试卷

绝密★启用前 2024－2025学年下学期期末测评试卷 高一数学 注意事项： 1．本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效． 2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、准考证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上． 3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡的指定位置，在其他位置答题一律无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知为两个不同的平面，则的必要不充分条件是（ ） A. 平行于同一条直线 B. 平行于同一平面 C. 内有无数条直线与平行 D. 内有两条相交直线与平行 3. 在中，，，若，则（ ） A. B. C. D. 2 4. 如图是一个古典概型的样本空间和随机事件，其中样本空间包含的样本点个数，，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 在中，，则的形状为（ ） A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰或直角三角形 6. 已知甲、乙两袋中均装有若干个大小相同的红球和白球，从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋中各摸出一个球，则2个球中恰有1个红球的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，正方体的棱长为3，分别在上，且，，过三点的平面截该正方体，则所截得的截面的最长边的边长为（ ） A. B. C. D. 8. 已知的内角所对的边分别为，记边上的高为，若为锐角，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，则（ ） A. 复数的虚部为 B. C. 复数的共轭复数为 D. 10. 某中学高三学生有1000人，其中男生有600人，女生有400人，现采用分层随机抽样方法抽取了容量为100的样本，经计算得到男生身高样本均值为170cm，方差为；女生身高样本均值为160cm，方差为，则（ ） A. 男生身高的样本容量为60 B. 每个男生被抽入到样本的可能性均为 C. 所有样本的均值为166cm D. 所有样本的方差为 11. 如图，为圆锥底面圆的直径，点是圆上异于的动点，，则下列结论正确的是（ ） A. 圆锥的侧面积为 B. 三棱锥体积的最大值为 C. 若为线段上的动点，则的最小值为 D. 圆锥外接球的表面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 从装有3个红球和2个黑球的盒子中不放回地一次随机抽取2个球（球除颜色外，其余完全相同），则至少抽到1个黑球的概率为______． 13. 已知等边的边长为1，平面，且，则点到平面的距离为______． 14. 高铁是我国国家名片之一，高铁的修建凝聚着中国人的智慧与汗水.如图所示，为山的两侧共线的三点，且与山脚处于同一水平线上，在山顶处测得三点的俯角分别为，计划沿直线开通穿山遂道，现已测得三条线段的长度分别为，则隧道的长度为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数，，． （1）当时，求的值； （2）若是纯虚数，求的值； （3）若在复平面内对应的点在第二象限，求实数的取值范围． 16. 在中，内角的对边分别为，已知． （1）若的面积为2，求的值； （2）设，，且，求的值． 17. 如图，在四棱锥中，，，，平面． （1）证明：平面平面； （2）若是棱的中点，且平面，求异面直线与所成角的余弦值． 18. 某校在2025年高三二轮复习备考中，年级备课组命制了一套与数学新定义有关的专题训练卷（满分100分），并对整个高三年级的学生进行了测试.现从全部高三年级学生的成绩中随机抽取了100名学生的成绩，并将成绩按照，，，，分成了5组.制成了如图所示的频率分布直方图（假定每名学生的成绩均不低于50分）. （1）求频率分布直方图中的x的值： （2）估计所抽取的100名学生成绩的平均数、中位数；（同一组中的数据用该组所在区间的中点值作代表） （3）若按人数比例用分层随机抽样的方法从样本中成绩不低于70分的学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取3人参加这次考试的考后分析会，试求成绩在内的至少有2人被抽到的概率. 19. 阅读数学材料：“设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，平面，平面和平面为多面体的所有以为公共点的面．”已知在直四棱柱中，底面为菱形，．（角的运算均采用弧度制） （1）若，求四棱柱在任意三个顶点处的离散曲率的和； （2）若与平面所成角的正弦值为，求四棱柱在顶点处的离散曲率； （3）截取四面体，若该四面体在点处的离散曲率为与平面交于点，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 2024－2025学年下学期期末测评试卷 高一数学 注意事项： 1．本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效． 2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、准考证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上． 3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡的指定位置，在其他位置答题一律无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的乘法、除法运算可得复数，再由复数即几何意义可得在复平面对应的点即可求解. 【详解】复数， 所以复数在复平面内对应的点为，位于第三象限． 故选：C 2. 已知为两个不同的平面，则的必要不充分条件是（ ） A. 平行于同一条直线 B. 平行于同一平面 C. 内有无数条直线与平行 D. 内有两条相交直线与平行 【答案】C 【解析】 【分析】要判断是否为的必要不充分条件，就要依据的是能推出该条件，但该条件不能推出，结合面面平行的判定定理和性质定理一一判断即可. 【详解】对于A，若平面平行于同一条直线，则平面可能平行，也可能相交，若，当直线时，，此时不平行于同一条直线， 所以“平行于同一条直线”不是“”的必要不充分条件； 对于B，易得“平行于同一平面”是“”的充要条件； 对于C，若内有无数条直线与平行，则平面可能平行，也可能相交，若，则内一定有无数条直线与平行， 所以“内有无数条直线与平行”是“”的必要不充分条件； 对于D，由面面平行的判定定理知，“内有两条相交直线与平行”是“”的充分条件， 由面面平行的性质知，若，则内任意一条直线都与平行， 所以内有两条相交直线与平行，所以“内有两条相交直线与平行”是“”的充要条件． 故选：C. 3. 在中，，，若，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由向量的线性运算可求（用线性表示），即可得. 【详解】 根据向量的运算法则，可得 ， 所以． 4. 如图是一个古典概型的样本空间和随机事件，其中样本空间包含的样本点个数，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题可知，然后利用古典概型即可求概率. 【详解】因为，，，， 所以， 则， 则． 故选：A. 5. 在中，，则的形状为（ ） A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰或直角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】方法一：利用正弦两角和差公式进行化简得到，再结合题意讨论即可求解； 方法二 ：利用正弦定理及余弦定理进行化简可得，再结合题意讨论即可求解； 【详解】方法一 ，， ， ， ，或， 又由可知，，， ，为直角三角形．故A正确. 方法二 ：记的内角所对的边分别为，由正弦定理、余弦定理及题设条件可得，且， 化简得，，即， 为直角三角形.故A正确. 故选：A. 6. 已知甲、乙两袋中均装有若干个大小相同的红球和白球，从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋中各摸出一个球，则2个球中恰有1个红球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用相互独立事件的概率及互斥事件的概率公式列式计算得解. 【详解】设“从甲袋中摸出一个红球”为事件，“从乙袋中摸出一个红球”为事件， 则，，且相互独立， 则2个球中恰有1个红球的概率为． 故选：C 7. 如图，正方体的棱长为3，分别在上，且，，过三点的平面截该正方体，则所截得的截面的最长边的边长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】延长交于点，取的中点为，可得截面为梯形，然后求最长边即可. 【详解】如图，延长交于点，则， 即为的一个三等分点， 连接，取的中点为，连接，则， 所以四点共面，故梯形即为截面图形， 显然为最长边，长度为． 故选：B. 8. 已知的内角所对的边分别为，记边上的高为，若为锐角，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由正弦定理求得，由余弦定理得到，由面积公式得到，联立二式，利用均值不等式得到答案. 【详解】因为，由正弦定理得， 又，则，因为为锐角，所以， 由余弦定理可知． 由等面积法可知，即，即． 将代入，则 ，当且仅当时取等号， 则的最大值为． 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，则（ ） A. 复数的虚部为 B. C. 复数的共轭复数为 D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据复数的乘法公式可得复数，再利用复数的概念、模长及乘方运算可逐项判断. 【详解】复数， 对于A，复数的虚部为，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，的共轭复数为，故C错误； 对于D，，D错误． 故选：AB. 10. 某中学高三学生有1000人，其中男生有600人，女生有400人，现采用分层随机抽样方法抽取了容量为100的样本，经计算得到男生身高样本均值为170cm，方差为；女生身高样本均值为160cm，方差为，则（ ） A. 男生身高的样本容量为60 B. 每个男生被抽入到样本的可能性均为 C. 所有样本的均值为166cm D. 所有样本的方差为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据分层抽样可知抽取男生60人，则每个男生被抽到的概率为即可判断AB，利用分层抽样均值及方差公式可直接计算确定CD. 【详解】对于A，由题意可知，应抽取男生人，故A正确； 对于B，每个男生被抽入到样本的可能性均为，故B错误； 对于C，所有样本的均值为，故C正确； 对于D，所有样本的方差为，故D正确． 故选：ACD. 11. 如图，为圆锥底面圆的直径，点是圆上异于的动点，，则下列结论正确的是（ ） A. 圆锥的侧面积为 B. 三棱锥体积的最大值为 C. 若为线段上的动点，则的最小值为 D. 圆锥外接球的表面积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A，计算圆锥侧面积需用到圆锥侧面积公式；对B，求三棱锥体积最大值，要先明确其体积公式，这里高是圆锥的高，底面积是的面积，需找出面积的最大值；对C，求的最小值，可通过将侧面展开，利用平面上两点之间线段最短的原理求解；对D，求圆锥外接球表面积，要先确定外接球的半径，可根据圆锥的轴截面特征结合外接球的性质来计算. 【详解】对于A，由条件可知，，圆锥的侧面积为，故A错误； 对于B，当是的高时，的面积最大，则三棱锥的体积最大，体积的最大值是，故B正确； 对于C，若，则是等腰直角三角形，，， 所以是等边三角形，如图，将沿翻折，使四点共面， 当三点共线时，的最小值是， 在中，，， 由余弦定理可知，，故C正确； 对于D，因为，所以圆锥外接球的球心即为点，半径为，所以外接球的表面积为，故D正确． 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 从装有3个红球和2个黑球的盒子中不放回地一次随机抽取2个球（球除颜色外，其余完全相同），则至少抽到1个黑球的概率为______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用列举法可得总样本空间为10个，符合的有7个，利用古典概率即可求解. 【详解】设3个红球分别为，2个黑球分别为， 则试验的样本空间为，共10个样本点， 选出的2个球中至少有1个黑球包含的样本点为，共7个， 则所求概率为． 故答案为：. 13. 已知等边的边长为1，平面，且，则点到平面的距离为______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用等体积法即可求点到平面的距离. 【详解】如图，因为平面，所以为三棱锥的高， 则， 由平面，平面，得， 在直角中，，同理， 则等腰的底边上的高为， 则， 设点到平面的距离为，则， 得． 故答案为：. 14. 高铁是我国国家名片之一，高铁的修建凝聚着中国人的智慧与汗水.如图所示，为山的两侧共线的三点，且与山脚处于同一水平线上，在山顶处测得三点的俯角分别为，计划沿直线开通穿山遂道，现已测得三条线段的长度分别为，则隧道的长度为__________. 【答案】 【解析】 【分析】过作于，设，则有，从而可得，，在中，可得，从而解得，再由求解即可. 【详解】解：过作于，如图所示： 设， 由题意可知设， 则有，, 所以， 解得， 所以， 在中，， 所以， 所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数，，． （1）当时，求的值； （2）若是纯虚数，求的值； （3）若在复平面内对应的点在第二象限，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1），可得，再根据复数的乘法运算即可求解； （2）根据复数的分类，即可求； （3）根据复数的乘法、除法运算法则可得，然后根据复数的几何意义在复平面对应点所在的象限可求实数的取值范围. 【小问1详解】 当时，． 【小问2详解】 因为为纯虚数，所以，所以． 【小问3详解】 ， 该复数在复平面内对应的点在第二象限， 则，解得， 故实数的取值范围是． 16. 在中，内角的对边分别为，已知． （1）若的面积为2，求的值； （2）设，，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由同角三角函数关系得到，由三角形面积公式得到，由向量数量积的定义得到的值； （2）由向量平行得到，由诱导公式、二倍角公式和两角和的正弦公式得到的值. 【小问1详解】 因为，，所以，所以． 因为，所以， 所以． 【小问2详解】 因为，所以，即，所以． 因为，所以， 所以， ， 所以． 17. 如图，在四棱锥中，，，，平面． （1）证明：平面平面； （2）若是棱的中点，且平面，求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】（1）证明：因为平面，平面，所以， 又因为，即， 而，平面，平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面． （2） 【解析】 【分析】（1）由线面垂直性质定理得到，由线面垂直判定定理得到平面，由面面垂直判定定理得到平面平面； （2）利用平行关系找到异面直线与所成角，利用勾股定理求得边长，进而得到余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，取的中点，记为，连接， 因为为的中点，所以，所以为与所成角（或补角）． 因为平面，平面，所以平面， 又因为平面，，平面，平面， 所以平面平面， 又平面平面，平面平面，所以， 由（1）知，平面，所以平面， 又平面，所以， ，，， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为． 18. 某校在2025年高三二轮复习备考中，年级备课组命制了一套与数学新定义有关的专题训练卷（满分100分），并对整个高三年级的学生进行了测试.现从全部高三年级学生的成绩中随机抽取了100名学生的成绩，并将成绩按照，，，，分成了5组.制成了如图所示的频率分布直方图（假定每名学生的成绩均不低于50分）. （1）求频率分布直方图中的x的值： （2）估计所抽取的100名学生成绩的平均数、中位数；（同一组中的数据用该组所在区间的中点值作代表） （3）若按人数比例用分层随机抽样的方法从样本中成绩不低于70分的学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取3人参加这次考试的考后分析会，试求成绩在内的至少有2人被抽到的概率. 【答案】（1）0.03 （2）平均数为74；中位数为 （3） 【解析】 【分析】（1）由面积和为1可解； （2）将每个矩形的中点值乘以对应矩形的面积，再将所得结果全部相加可得平均数；根据中位数左边的矩形面积之和为0.5可求得中位数的值； （3）分析可知后三组中所抽取的人数分别为3,2,1，将这人进行标记，列举出所有的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【小问1详解】 由直方图可得，解得； 【小问2详解】 平均数； 由图可得前两组的频率为0.4，前三组为0.7，所以中位数在之间，设为， 则，解得； 【小问3详解】 易得后三组学生人数分别为30,20,10，所以抽取人数分别3,2,1， 记成绩在这组的3名学生分别为，成绩在这组的2名学生分别为，成绩在这组的1名学生为， 则从中任抽取3人的所有可能结果为、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，共20种， 其中至少有2人被抽到包含10种结果，故所求概率为. 19. 阅读数学材料：“设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，平面，平面和平面为多面体的所有以为公共点的面．”已知在直四棱柱中，底面为菱形，．（角的运算均采用弧度制） （1）若，求四棱柱在任意三个顶点处的离散曲率的和； （2）若与平面所成角的正弦值为，求四棱柱在顶点处的离散曲率； （3）截取四面体，若该四面体在点处的离散曲率为与平面交于点，求． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题可推导直四棱柱为正方体，根据概念即可求离散曲率； （2）由题可证平面，即即为与平面所成的角，利用其正弦值为，可得，根据余弦定理的推论可求，即可得到在点处的离散曲率； （3）由点处的离散曲率为，可得，继而可得四棱柱为正方体，然后可推导是三棱锥的高，即可求的值. 【小问1详解】 若，则菱形为正方形，即． 因为平面，，所以直四棱柱为正方体， 故在任意顶点处的离散曲率均为， 所以四棱柱在任意三个顶点处的离散曲率的和为． 【小问2详解】 因为底面为菱形，所以． 又直四棱柱，所以平面， 因为平面，所以． 又平面，，所以平面． 设，则即为与平面所成的角， 在中，， 所以，所以，则． 因为平面，平面，所以，， 所以直四棱柱在顶点处的离散曲率为． 【小问3详解】 如图，在四面体中，，，， 所以，， 所以四面体在点处的离散曲率为， 所以， 所以为等边三角形，所以． 又在中，，所以， 所以直四棱柱为正方体． 因为平面，平面，所以． 又，，，平面， 所以平面． 又平面，所以． 因为平面，平面，所以． 又平面，，所以平面． 又平面，所以． 又，，平面，所以平面， 所以是三棱锥的高． 设正方体的棱长为，则， 因为，所以， 所以，所以， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $