精品解析：浙江省杭州第七中学2024-2025学年高一新生入学分班考试数学试卷

2024年杭州第七中学高一新生入学分班考试试卷 数学 （满分100分，时间60分钟） 一、选择题（本题有6小题，每小题4分，共24分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.请选出各题中一个最符合题意的选项，并在答题卷上将相应题次中对应字母的方框涂黑，不选、多选、错选均不给分. 1. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据多项式的运算法则可逐项判断. 【详解】，故A错误； ，故B错误； ，故C正确； ，故D错误； 故选：C. 2. 乐乐一家四人现在的年龄与他们年后的年龄组成的两组数据相比较，一定不会发生变化的是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】D 【解析】 【分析】根据平均数、中位数、方差公式以及众数的定义逐项判断即可. 【详解】设乐乐一家四人的年龄由小到大依次为、、、， 平均数为，中位数为， 方差为， 三年后，这四个人的年龄由小到大依次为、、、， 平均数为， 中位数为， 方差为 ， 则众数在原众数的基础上加上，故平均数、中位数、众数都改变，但方差不变， 故选：D. 3. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式组进行求解可得，再利用数轴的含义即可. 【详解】，解得， 所以解集在数轴上表示为 故选：C. 4. 已知二次函数，当时，函数最大值为，最小值为.若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对实数的取值进行分类讨论，分析二次函数的增减性，求出、，根据可求得实数的值. 【详解】二次函数的对称轴为直线，且， 若，且当时，随着的增大而减小， 故，， 因为，故，整理得，， 故方程无解，不合乎题意； 若，当时，随着的增大而减小；当时，随着的增大而增大. 故， 若，则，此时， 若，则，由得，可得， 因为，解得，所以，. 综上所述，. 故选：C. 5. 如图，点P，Q，R为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作轴，轴的垂线，与轴的交点分别为点C，B，A，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次记为，，，其中，若，则（ ） A. 10 B. 12 C. 15 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】有题可设反比例函数，则，设，结合可得，再利用面积公式即可求解. 【详解】设反比例函数， 则， 又，所以可设， 则， ，解得， . 故选：A. 6. 对于关于的一元二次方程的根的情况，有以下四种表述： ①当，，时，方程一定有实数根； ②当，，时，方程一定没有实数根； ③当，时，方程一定没有实数根； ④当，，时，方程一定有两个不相等的实数根. 其中表述正确的序号是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，利用不等式的基本性质，结合二次函数的性质，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于①中，当，，时，可得， 因为，所以，所以方程有两个不相等的实数根，所以①正确； 对于②中，当时，满足，，， 此时，此时方程有两个不相等的实数根，所以②不正确； 对于③中，当时，满足，， 此时， 此时方程有两个不相等的实数根，所以③不正确； 对于④中，当，，时，可得， 可得，此时方程有两个相等的实数根，所以④错误. 故选：A 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 7. 一个不透明的袋子里装有个红球和个黄球，它们除颜色外其余都相同.从袋中任意摸出一个球是红球的概率为_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】由题意可知，从袋中任意摸出一个球是红球的概率为. 故答案为：. 8. 若扇形的圆心角为，半径为18，则扇形的弧长为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据扇形的弧长公式，代入计算即可. 【详解】扇形的弧长. 故答案为：. 9. 如图，正五边形的边长为2，以顶点为圆心，长为半径画圆，图中阴影部分的面积为_____. 【答案】## 【解析】 【分析】由题可求正五边形顶角，即是阴影部分扇形的圆心角，再利用扇形面积公式. 【详解】在正五边形中，，解得， 所以阴影部分扇形的面积. 故答案为：. 10. 如图，顶点落在轴上，斜边上的中线轴于点，为坐标原点，反比例函数经过直角顶点，若的面积为，则的值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】连接，依题意得，再根据和的公共边上的高相等得，再根据反比例函数比例系数的几何意义得，据此可得的值． 【详解】连接，如下图所示： 在中，斜边上的中线轴于点，的面积为， ，轴， 和的公共边上的高相等，， 反比例函数经过直角顶点， 根据反比例函数比例系数的几何意义得：， ， 反比例函数的图象在第一象限，． 故答案为：． 三、解答题（本题有4小题，共60分） 11. 甲、乙两工厂为某公司生产同一款衬衫，质检员在两个工厂各抽查六次进行质检.每次随机抽取件，获得数据后绘制成如图统计图并对数据统计如表，公司规定合格率大于等于视作本次质检通过. 工厂 通过次数（次） 平均数（件） 中位数（件） 众数（件） 甲工厂 乙工厂 （1）求、、、的值. （2）公司打算从甲、乙两工厂中选择一个继续生产.请你以质检员的身份向公司推荐一家工厂，从多个角度分析数据，简述推荐理由. 【答案】（1），，， （2）推荐甲工厂，理由见解析 【解析】 【分析】（1）先由折线图找出甲、乙工厂通过的次数，然后利用平均数的计算方法求出平均数，再对乙工厂的数值进行排列，找到居于中间的两个数求出中位数即可； （2）根据折线图的走势和中位数、平均数作比较即可进行决策． 【小问1详解】 由折线图可以得到甲工厂大于等于的有次，乙工厂大于等于的有次，所以， 甲工厂的平均数为：，所以， 乙工厂排列后居于中间两个数为、，所以， 因此，，，，. 小问2详解】 推荐甲工厂，虽然甲工厂的质检通过次数比乙少一次，但是平均数与乙相同， 中位数、众数均大于乙，并且从折线统计图看，甲工厂在质检中衬衫的合格数量越来越多，而乙越来越少． 12. 定义：对于关于的函数，函数在范围内的最大值，记作.如函数，在范围内，该函数的最大值是，即.请根据以上信息，完成以下问题：已知函数（为常数）. （1）若. ①直接写出该函数的表达式，并求的值； ②已知，求的值. （2）若该函数的图象经过点，且，求的值. 【答案】（1）①；②. （2）时，或；当时，. 【解析】 【分析】（1）①当时，可得出，分析二次函数在的增减性，即可求出的值； ②对实数的取值进行分类讨论，分析函数在上的增减性，结合可求得实数的值； （2）根据已知条件求出的值，然后对实数的取值进行分类讨论，并对的取值进行分类讨论，分析函数在时的增减性，结合可求得实数的值. 【小问1详解】 ①若，则， 当时，随着的增大而减小；当时，随着的增大而增大. 当时，；当时，，故； ②若，且当时，随着的增大而减大， 此时，不合乎题意； 若，且时，随着增大而减小；当时，随着的增大而增大. 若，则，不合乎题意， 若，则，因为，解得，合乎题意； 综上所述，. 【小问2详解】 因为函数（为常数），则，解得. 若，则，当时，，则，合乎题意； 若，则， 若，且当时，随着的增大而增大， 此时，即，因为，解得； 若，且当时，随着的增大而增大， 当时，随着的增大而减小，此时，合乎题意； 综上所述，当时，或；当时，. 13. 已知二次函数，且，. （1）当时，求方程的根； （2）已知该二次函数的对称轴为，求证：； （3）已知该二次函数的图象与轴、轴分别交于、、三点（在的左侧），且，若为直角三角形，求该二次函数表达式. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）将代入，得到，解方程即可； （2）由题意得，化简得到，确定，即可求解； （3）先求得、，由对称轴得到，由于为直角三角形，则，故，解得，故， ，即可求解． 【小问1详解】 当时即， 由，得，而， 则，所以，所以， 又，故解得 【小问2详解】 由题意得，又，所以， 因为，且，所以，，故， 所以. 【小问3详解】 由于点在点的左侧，因此， 又，所以， 而由得到是方程的根，故，， 所以、，所以该二次函数图象的对称轴为，得， 又，所以， 由于直角三角形，只能为， 所以，所以， 因为，所以，故，所以， 故，故， 因为，故，则，解得， 又因为，故，所以， 因此，所求二次函数的解析式为． 14. （1）如图，平分，、分别在射线、上，若，求证：； （2）如图，在中，交边于点，于点.已知，，，求的面积； （3）如图，在等边中，点在边上，为延长线上一点，为边上一点，已知平分，，，，求的长. 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）. 【解析】 【分析】（1）证明出，即可得出结论； （2）过C作于点D．通过导角证明，利用角平分线的性质定理得出，最后利用三角形面积公式即可求解； （3）在线段上取一点，使，连接．先证，求出相关边长度，再证，根据对应边成比例即可求解． 【详解】（1）因为平分，所以， 又因为，，故， 因此； （2）如图，过作于点． 因为，， 所以，故， 又因为，所以， 因为，，所以， 故； （3）如图，在线段上取一点，使，连接． 因为平分，所以， 又因为，，故， ，，所以， 因为，，故， 所以，即，故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年杭州第七中学高一新生入学分班考试试卷 数学 （满分100分，时间60分钟） 一、选择题（本题有6小题，每小题4分，共24分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.请选出各题中一个最符合题意的选项，并在答题卷上将相应题次中对应字母的方框涂黑，不选、多选、错选均不给分. 1. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 乐乐一家四人现在的年龄与他们年后的年龄组成的两组数据相比较，一定不会发生变化的是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 3. 不等式组解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 4. 已知二次函数，当时，函数最大值为，最小值为.若，则值为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，点P，Q，R为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作轴，轴的垂线，与轴的交点分别为点C，B，A，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次记为，，，其中，若，则（ ） A. 10 B. 12 C. 15 D. 16 6. 对于关于的一元二次方程的根的情况，有以下四种表述： ①当，，时，方程一定有实数根； ②当，，时，方程一定没有实数根； ③当，时，方程一定没有实数根； ④当，，时，方程一定有两个不相等的实数根. 其中表述正确序号是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 7. 一个不透明的袋子里装有个红球和个黄球，它们除颜色外其余都相同.从袋中任意摸出一个球是红球的概率为_____. 8. 若扇形的圆心角为，半径为18，则扇形的弧长为_____. 9. 如图，正五边形的边长为2，以顶点为圆心，长为半径画圆，图中阴影部分的面积为_____. 10. 如图，顶点落在轴上，斜边上的中线轴于点，为坐标原点，反比例函数经过直角顶点，若的面积为，则的值为_____. 三、解答题（本题有4小题，共60分） 11. 甲、乙两工厂为某公司生产同一款衬衫，质检员在两个工厂各抽查六次进行质检.每次随机抽取件，获得数据后绘制成如图统计图并对数据统计如表，公司规定合格率大于等于视作本次质检通过. 工厂 通过次数（次） 平均数（件） 中位数（件） 众数（件） 甲工厂 乙工厂 （1）求、、、的值. （2）公司打算从甲、乙两工厂中选择一个继续生产.请你以质检员的身份向公司推荐一家工厂，从多个角度分析数据，简述推荐理由. 12. 定义：对于关于的函数，函数在范围内的最大值，记作.如函数，在范围内，该函数的最大值是，即.请根据以上信息，完成以下问题：已知函数（为常数）. （1）若 ①直接写出该函数的表达式，并求的值； ②已知，求的值. （2）若该函数图象经过点，且，求的值. 13. 已知二次函数，且，. （1）当时，求方程的根； （2）已知该二次函数的对称轴为，求证：； （3）已知该二次函数的图象与轴、轴分别交于、、三点（在的左侧），且，若为直角三角形，求该二次函数表达式. 14. （1）如图，平分，、分别在射线、上，若，求证：； （2）如图，在中，交边于点，于点.已知，，，求的面积； （3）如图，在等边中，点在边上，为延长线上一点，为边上一点，已知平分，，，，求的长. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$