6.2 不等式的基本性质 课件 2025--2026学年青岛版八年级数学上册

第6章 一元一次不等式 6.2 不等式的基本性质 第1课时 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 1 1.通过观察、对比和归纳,探究不等式的基本性质,体会不等式变形和等式变形的区别和联系. 2.掌握不等式的基本性质,并能利用不等式的基本性质把简单不等式化成x>a或x<a的形式. 学习目标 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 2 课堂导入 文字语言 符号语言 性质1 性质2 等式两边都加上(或减去)同一个整式，所得结果仍是等式 等式两边都乘以(或除以)同一个数(除数不能为0)，所得结果仍是等式 如果 a = b, 那么 a±c = b±c 如果 a = b, 那么 ac = bc ， 不等式也有这样的性质吗？ 等式有哪些性质？分别用文字语言和符号语言表示 类比等式的基本性质，我们一起来探究不等式的基本性质。 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 3 新知探究 图中天平倾斜， 说明 a＞b. 在一台天平两端的托盘中分别放置了质量为 a，b 的砝码. 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 4 新知探究 + c - c 图中天平仍然倾斜 a + c ＞ b + c 这时，如果在两端托盘中同时加上质量为 c 的砝码， 天平的倾斜方向会改变吗？这反映的数量关系是什么呢？ 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 5 新知探究 + c - c 不等式的基本性质 1 不等式的两边都加上( 或减去 ) 同一个数(或式子)，不等号的方向不变，即 如果 a ＞b，那么 a + c ＞ b + c，a – c ＞ b – c . 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 6 新知探究 利用数字进行分析 对于倾斜的天平，如果两边砝码的质量同时扩大相同的倍数或同时缩小为原来的几分之一，那么天平的倾斜方向会改变吗？ 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 7 新知探究 第一组： 6 ______ 2 6 × 5 ______ 2 × 5 第二组： -2 ______ 3 -2 × 6 ______ 3 × 6 > > < < 6 ÷ 5 ______ 2 ÷ 5 > -2 ÷ 6 ______ 3 ÷ 6 < 用“ > ”或“ < ”完成下列两组填空. 观察这两组不等式，你发现了什么？ 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 8 新知探究 不等式的基本性质 2 不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变，即 如果 a＞b， c ＞0，那么ac＞bc， . 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 9 新知探究 a b 0 – b – a – a ＜ – b 1. 如果 a ＞ b，那么它们的相反数 – a 与 – b 哪个大，你能用数轴上点的位置关系和具体的例子加以说明吗？ 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 10 新知探究 2. 如果 a ＞ b，那么 – a＜ – b，这个式子可理解为： a×(-1) < b×(-1) 这样，对于不等式 a ＞b，两边同乘以 –3，会得到什么结果呢？ a > b a×(-1) < b×(-1) a×(-3) < b×(-3) ×(-1) ×3 ×(-3) 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 11 新知探究 a > b -a < -b ×(-1) ac < bc ×c (c < 0) ×- c (c < 0) 你还有其他 方法吗？ 3. 如果 a ＞ b，c＜0，那么 ac 与 bc 有怎样的大小关系？ 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 12 新知探究 2 < 3 2 ×(-1) ____ 3 ×(-1) 2 < 3 2 ÷ ____ 3 ÷ 不等式的两边 同时乘 -1 不等式的两边 同时除以 你发现了什么？ 不等式的两边同时乘(或除以)同一个负数，不等号的方向__________ > > 改变 完成下列填空 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 13 新知探究 不等式的基本性质 3 不等式的两边都乘以 (或除以)同一个负数，不等号的方向改变，即 如果a ＞ b， c ＜ 0，那么ac ＜ bc， . 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 14 新知探究 性质 3 不等式的两边都乘以 (或除以)同一个负数，不等号的方向改变. 如果a ＞ b， c ＜ 0，那么ac ＜ bc， . 对于乘法(或除法)运算，不等式性质要乘以(或除以)的数正负不同，结果也不同. 性质 2 不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变. 如果 a＞b， c ＞0，那么ac＞bc， . 不等式性质2和不等式性质3有什么区别？ 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 15 新知探究 1 不等式两边同乘或除以的数不能为0； 2 未知数的系数为分数时，常乘系数的倒数，将未知数的系数化为1； 3 不等式的两边都乘（或除以）同一个数时，先看时正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变. 不等式性质2、3注意事项： 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 16 跟踪训练 （1）已知a＞b，则 a + _______b + ； （5）已知a<b，则 _______ ； （6）已知a>b，则 _______ . （2）已知3＜7，则3 - x_______ 7 – x； ＞ ＜ （4）已知a>b，则 _______ ； （3）已知a<b，则 _______ ； ＞ ＜ ＜ ＞ 不等式的性质1 不等式的性质1 不等式的性质2 不等式的性质2 不等式的性质3 不等式的性质3 用“＞”或“＜”填空： 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 17 新知探究 (1) 已知 3 > 2，则 2 ____ 3. (2) 已知 -5 < 5，则 5 ____ -5. (3) 已知 3 > x，则 x ____ 3. 性质 4 如果 a ＞ b，那么b ＜ a. 不等式的对称性（反身性） < > < 用“＞”或“＜”填空，并说说你的发现. 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 18 新知探究 a b 0 c C B A b＞c a > c a＞b 性质 5 如果 a ＞ b，b > c 那么 a > c. 不等式的传递性 如图，设数轴上的三个点 A，B，C 分别表示三个实数 a，b，c，从中你能发现不等式的什么性质？ 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 19 新知探究 类别 相同点 不同点 不等式 等式 (1)两边都加上(或减去)同一个数(或式子)，不等式和等式仍然成立； (2)两边都乘以(或除以)同一个正数，不等式和等式仍然成立. 两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向要改变. 两边都乘以(或除以)同一个负数，等式仍然成立. 等式与不等式的基本性质有哪些相同点和不同点？ 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 20 新知探究 （1）x+6＞5； （2）3x＜2x-2 解： （1）不等式的两边都减去6，由不等式基本性质1， 得 x+6-6＞5-6 即 x＞-1 把下列不等式化为x＞a或x＜a的形式 （2）不等式的两边都减去2x ，由不等式基本性质1， 得 3x-2x＜2x-2-2x 即 x＜-2 为什么不等式两边都减去2x？ 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 21 新知探究 从变形前后的两个不等式可以看出，这种变形就是把不等式一边的某一项变号后移到另一边，我们把这种变形称为移项. （2）3x-2x＜-2 变形前：（2）3x＜2x-2 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 22 随堂练习 1.将不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式，实质是利用不等式的性质对不等式进行变形，把不等式的右边化成常数，左边化成只含有系数1的未知数的一次式的形式. 2.不等式的两边同乘或除以同一个数时，要分清乘或除的是正数还是负数，若是正数，不等号的方向不变，若是负数，不等号方向要改变． 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 23 新知探究 我们知道三角形任意两边之和大于第三边，即如图所示，在△ABC中，有 AB+BC＞AC BC+AC＞AB AC+AB＞BC 那么，三角形中两边之差与第三边又有怎样的关系呢？ AB+BC＞AC→ AB＞AC-BC BC+AC＞AB→ BC＞AB-AC AC+AB＞BC→ AC＞BC-AC 三角形任意两边之差小于第三边 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 24 新知探究 解：(1)根据不等式的性质1，不等式两边减 3x，不等号的方向不变， 所以 4x-3x<3x-5-3x ， 即 x<-5. 这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示：　 0 -5 用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示解集. (1) 4x<3x-5； 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 25 新知探究   0 用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示解集. (2) -8x>10. 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 26 随堂练习 (1) 4a________ 4b； (2) a-10________ b-10； (3) a________ b； (4) a________ b. < < < > 1. 如果a < b，用不等号填空： 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 27 随堂练习 (1) m - 7 < n – 7. ( ) (2) 3m < 3n . ( ) (3) -5m > -5n . ( ) (4) ( ) × × × √ 2. 若m > n，判断下列不等式是否正确： 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 28 随堂练习 (1) ________ ; (2) bx________ by； (3) 2x________ x + y； (4) abx________ aby. ≤ ≥ ≥ ≤ 3. 如果 x ≥ y，a < 0， b > 0，用不等号填空： 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 29 随堂练习 （1）1+x＞3； （2）2x＜x+6. 解：等式两边都减1 1+x-1＞3-1 x＞2 解：等式两边都减x 2x-x＜x+6-x x＜6 4.把下列不等式化为x＞a或x＜a的形式： 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 30 随堂练习 解： 25-5x＜15 -5x＜-10 x＞2 5.一根25cm长的蜡烛，假设点燃后每小时烧去5cm，燃烧xh后，长度已不足15 cm.请你根据上面的描述列出一个不等式，并将所列不等式化为x>a或x<a的形式. 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 31 随堂练习 解：当a>3时， 当a＝3时， 当a＜3时， ∵a-3＞0，x＞y，∴(a-3)x＞(a-3)y ∵a-3=0， ∴(a-3)x=(a-3)y=0 ∵a-3＜0，x＞y，∴(a-3)x＜(a-3)y 6.若x>y,请比较(a-3)x与(a-3)y的大小 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 32 随堂练习 7.如果不等式 (a-1)x>a-1 的解集是 x<1，那么 a 的取值范围是( ) A. a≤1 B. a≥1 C. a<1 D. a<0 不等号方向改变 a-1<0 a<1 C 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 33 随堂练习 8.将物体“▲”的质量用 a 表示，物体“●”的质量用 b 表示，现已知 a<b，则下列四个天平的倾斜度一定正确的是( ) b+a a+a   B 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 34 随堂练习 9.若实数 a，b，c 在数轴上的位置如图所示，则下列不等式成立的是( ) A. ab<ac B. ac>bc C. a+c>b+c D. a+b<c+b c<0<a<b c<b，a>0 a<b，c<0 b>a，c<0 a>c，b>0 B 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 35 随堂练习     2 0 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 36 随堂练习   解：(2)根据不等式的性质1，不等式两边减 7x，不等号的方向不变， 所以 5x-6-7x≤7x-4-7x，即 -2x-6≤-4. 根据不等式的性质1，不等式两边加 6，不等号的方向不变， 所以 -2x-6+6≤-4+6，即 -2x≤2. 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 37 随堂练习     0 -1 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 38 随堂练习 1＜k≤3 11.已知实数x、y满足2x-3y=4，且x＞-1，y≤2，设k=x-y，则k的取值范围是 . 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 39 随堂练习 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 40 课堂小结 不等式的性质 基本性质1 基本性质2 如果 a>b，那么 a±c>b±c.   基本性质3   如果 a ＞ b，那么b ＜ a. 如果 a ＞ b，b > c 那么 a > c. 性质4 性质5 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 41 $$