广东省惠来县第一中学2024-2025学年高二下学期期末数学专项复习（概率、统计、随机变量）

惠来一中高二概率、统计、随机变量期末复习 一、单选题 1. 袋中有5个白球，4个黑球，从中依次不放回取球，当取出三个相同颜色的球时停止取球，记X为取出球的总数，则的概率为（ ） A. B. C. D. 2. 某校为了研究学生的性别和对待某一活动的态度（支持与不支持）的关系，运用列联表进行独立性检验.整理所得数据后发现，若依据的独立性检验，则认为学生性别与是否支持该活动无关；若依据的独立性检验，则认为学生性别与是否支持该活动有关，则的值可能为（ ） 附表： 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 A. 4.238 B. 4.972 C. 6.687 D. 6.069 3. 为了预测某地的经济增长情况，某经济学专家根据该地2023年1~6月的GDP的数据（单位：百亿元）建立了线性回归模型，得到的经验回归方程为，其中自变量指的是月的编号，其中部分数据如表所示： 时间 1月 2月 3月 4月 5月 6月 编号 1 2 3 4 5 6 百亿元 11.1 参考数据：.则下列说法不正确的是（ ） A. 经验回归直线经过点 B. C. 根据该模型，该地2023年12月的GDP的预测值为14.4百亿元 D. 相应于点的残差为0.1 4.设，若随机变量的分布列如下： 0 2 则下列方差值中最大的是（    ） A． B． C． D． 5.已知一组成对数据中y关于x的一元非线性回归方程， 已知，则（ ） A. B. 1 C. D. 6. 甲、乙两人进行一场游戏比赛，其规则如下：每一轮两人分别投掷一枚质地均匀的骰子，比较两者的点数大小，其中点数大的得3分，点数小的得0分，点数相同时各得1分．经过三轮比赛，在甲至少有一轮比赛得3分的条件下，乙也至少有一轮比赛得3分的概率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 7. 现有甲、乙两家检测机构对某品牌的一款智能手机进行拆解测评，具体打分如下表（满分100分）．设事件M表示“从甲机构测评分数中任取3个，至多1个超过平均分”，事件N表示“从甲机构测评分数中任取3个，恰有2个超过平均分”．下列说法正确的是（ ） 机构名称 甲 乙 分值 90 98 90 92 95 93 95 92 91 94 A. 甲机构测评分数的平均分小于乙机构测评分数的平均分 B. 甲机构测评分数的方差大于乙机构测评分数的方差 C. 乙机构测评分数的中位数为92.5 D. 事件互为对立事件 8. 某校举办了一次法律知识竞赛，为了解学生的法律知识掌握程度，学校采用简单随机抽样从全校2400名学生中抽取了一个容量为200的样本，已知样本的成绩全部分布在区间内，根据调查结果绘制学生成绩的频率分布直方图.对于该组数据，下列说法正确的是（ ） A. 样本的众数为70 B. 样本中得分在区间内的学生人数的频率为0.03 C. 用样本数据估计该校学生成绩在80分以上的人数约为600人 D. 用样本数据估计该校学生成绩平均数约为71.5 三、填空题 9. 若甲筐中有5个苹果，3个梨子，2个橙子，乙筐中有个苹果､1个梨子､2个橙子，现从甲筐中随机取出一个水果放入乙筐，再从乙筐中随机取出一个水果，记“从乙筐中取出的水果是苹果”为事件， 若，则整数的最小值为 ． 10.已知随机变量，且，则的最小值为 ． 四、解答题 11.某企业举行招聘考试，共有1000人参加，分为初试和复试，初试成绩总分100分，初试通过后参加 复试． （1）若所有考生的初试成绩X近似服从正态分布，其中，试估计初试成绩不低于75分的人数；（精确到个位数） （2）复试共三道题，每答对一题得10分，答错得0分，答完三道题后的得分之和为考生的复试成绩．已知某考生进入复试，他在复试中第一题答对的概率为，后两题答对的概率均为，且每道题回答正确与否互不影响．记该考生的复试成绩为Y，求Y的分布列及期望． 附：若随机变量X服从正态分布，则：． 12.2025年4月23日是第30个“世界读书日”.为了倡导学生享受阅读带来的乐趣、尊重和保护知识产权，立德中学举办了一次阅读知识竞赛.初赛中每支队伍均要参加两轮比赛，只有两轮比赛均通过的队伍才能晋级.现有甲、乙两队参赛，初赛中甲队通过第一轮和第二轮的概率均为，乙队通过第一轮和第二轮的概率分别为，，且各队各轮比赛互不影响. (1)记甲、乙两队中晋级的队伍数量为X，求X的分布列和数学期望； (2)经过激烈的比拼，甲、乙两队成功进入决赛争夺冠军.决赛共有两道抢答题.第一题中，某支队伍若抢到并答对则加10分，若抢到但答错则对方加10分.第二题中，某支队伍若抢到并答对则加20分，若抢到但答错则对方加20分.最终得分高的队伍获胜.假设两支队伍在每一题中抢到答题权的概率均为，且每一题答对的概率分别与初赛中通过对应轮次的概率相等.各队各题作答互不影响.已知甲队获得了冠军，计算第二题是由甲队抢到答题权的概率. 13.已知甲、乙两个箱子中均装有1个黑球和2个白球（各球大小，质地均相同），每次操作从甲、乙两个箱子中各任取一个球交换放入另一箱子. （1）当进行1次操作后，设甲箱子中黑球个数为，求的分布列及数学期望； （2）重复次这样的操作后，记甲箱子中恰有1个黑球的概率为，求. 14. 为提升学生体质，弘扬中华传统文化，某校本学期开设了武术社团，有10位武术爱好同学参加，并邀请专业体育教师帮助训练.教师训练前对10位同学测试打分，训练一段时间后再次打分，两次得分情况如表格所示.规定满分为10分，记得分在8分以上（包含8分）的为“优秀”. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 训练前 4 7 5 9 5 2 8.5 6 7 5 训练后 8.5 9.5 7.5 9.5 8.5 6 9.5 85 9 9 优秀人数 非优秀人数 合计 训练前 训练后 合计 （1）将上面的列联表补充完整，并根据小概率值的独立性检验，判断武术社团同学的武术优秀情况与训练是否有关？并说明原因； （2）从这10人中任选4人，在这4人中恰有3人训练后为“优秀”的条件下，求这4人中恰有1人是训练前也为“优秀”的概率； （3）为迎接汇报表演，甲同学连续4天每天进行和两个武术项目的训练考核，、项目考核相互独立，且每天考核互相不影响，项若为优秀得2分，概率为，项若为优秀得3分，概率为，否则都只得1分.设甲同学在这4天里，恰有3天每天得分不低于3分的概率为，求为何值时，取得最大值. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2706 3.841 6.635 7.879 10.828 惠来一中高二概率、统计、随机变量期末复习参考答案 1.【答案】A【解析】【分析】先明确所代表的意义以及所包含的可能情况，再根据全概率公式即可计算所求概率.【详解】根据题意第一、二、三、四次取出的球的颜色符合的情况有以下六种：白白黑白、白黑白白、黑白白白、黑黑白黑、黑白黑黑、白黑黑黑，这六种情况的发生是相互互斥的，所以由全概率公式得： .故选：A. 2.【答案】D【解析】【分析】依据的取值，得出的取值范围，判断即可. 【详解】由题知，故的值可能为6.069.故选：D 3.【答案】D【解析】【分析】求得数据的样本中心点，即可判断A；结合回归直线方程求出可判断B；将代入回归直线方程求得预测值，可判断C；根据残差的定义计算可判断D. 详解】选项A：由题意得：， 因为，，所以，得， 因此该经验回归直线经过样本点的中心，故A正确；选项B：由A知，，得，故B正确；选项C：由B得，则当时，， 故该地2023年12月的GDP的预测值为百亿元，故C正确；选项D：当时，， 相应于点的残差为，故D错误，故选：D. 4.【答案】C【分析】由概率分布列求出参数，然后求出相应的均值和方差再比较． 【详解】由题意，，，， ，． ，，．其中最大．故选：C． 5.【答案】B【解析】【分析】根据题意，求得和的平均数，根据样本中心满足回归方程，即可求解. 【详解】因为y关于x的一元非线性回归方程，设，则回归直线方程， 又因为，可得，即样本中心为， 将样本中心代入回归直线方程，可得，解得，即.故选：B. 6.【答案】B【解析】【分析】先根据古典概型得出一轮游戏中，甲得3分、1分、0分的概率.进而求出三轮比赛，在甲至少有一轮比赛得3分的概率，以及事件三轮比赛中，事件甲乙均有得3分的概率.即可根据条件概率公式，计算得出答案. 【详解】用分别表示甲、乙两人投掷一枚骰子的结果，因为甲、乙两人每次投掷均有6种结果，则在一轮游戏中，共包含个等可能的基本事件.其中，甲得3分，即包含的基本事件有，共15个，概率为.同理可得，甲每轮得0分的概率也是，得1分的概率为. 所以每一轮甲得分低于3分的概率为．设事件A表示甲至少有一轮比赛得3分，事件表示乙至少有一轮比赛得3分，则事件表示经过三轮比赛，甲没有比赛得分为3分. 则，.事件可分三类情形： ①甲有两轮得3分，一轮得0分，概率为； ②甲有一轮得3分，两轮得0分，概率为； ③甲有一轮得3分，一轮得0分，一轮得1分，概率为. 所以，所以. 故选：B． 7.【答案】BD【解析】【分析】直接由平均数、方差、百分位数及对立事件的概念，逐一对各个选项分析判断，即可得出结果.【详解】对于A，甲机构测评分数的平均分， 乙机构测评分数的平均分，A错误；对于B，甲机构测评分数的方差， 乙机构测评分数的方差，B正确； 对于C，乙机构测评分数从小排到大为：91，92，93，94，95，乙机构测评分数的中位数为93，C错误； 对于D，由甲机构测评分数中有且仅有2个测评分数超过平均分，事件不可能同时发生， 但必有一个发生，因此事件互为对立事件，D正确.故选：BD 8.【答案】ACD【解析】【分析】由频率分布直方图众数的定义判断选项A；补全频率分布直方图求指定组的频率判断选项B；由频率计算频数判断选项C；由频率分布直方图平均数的算法判断选项D. 【详解】对A,众数为区间的中点横坐标70，A选项正确； 对B,由，得，得分在区间内的学生人数的频率为0.3 ，B选项错误；对C,样本中成绩在80分以上的频率约为，用样本估计总体，总体人数为2400人，其中成绩在80分以上的人数约为，C选项正确； 对D,样本平均数为，D选项正确.故选：ACD. 9.【答案】3【解析】【分析】记、、分别表示从甲筐中随机取出一个水果为苹果、梨子、橙子，则利用全概率公式即可得解. 【详解】记、、分别表示从甲筐中随机取出一个水果为苹果、梨子、橙子的事件，则、、相互互斥，所以由全概率公式得： ，故整数的最小值为3.故答案为：3. 10.【答案】8【分析】先根据正态分布的性质得出，再结合常值代换应用不等式求出最值即可. 【详解】由随机变量，则正态分布的曲线的对称轴为，又因为，所以，所以．当时， ，当且仅当，即时等号成立，故最小值为8．故答案为：8. 11.【解析】【分析】（1）分析可知，计算出的值，乘以可得结果； （2）分析可知随机变量的取值分别为、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值. 【小问1详解】由学生初试成绩服从正态分布，其中，，得， 因此， 所以估计初试成绩不低于的人数为人. 【小问2详解】的可能取值为，，，， 则，， ，，所以的分布列为： 数学期望为. 12.【分析】（1）设“甲队晋级”为事件，“乙队晋级”为事件，求得，，得到的可能取值为，求得相应的概率，出分布列，结合期望的公式，即可求解； （2）记事件 “甲队获得冠军”， “该题由甲队抢到答题权”，结合条件概率的公式，即可求解. 【详解】（1）解：设“甲队晋级”为事件，“乙队晋级”为事件， 可得，，则随机变量的可能取值为， 可得；.. 所以随机变量的分布列为 0 1 2 则期望. （2）由题意，第二题得分的那队获得胜利，记事件 “甲队获得冠军”， “第二题由甲队抢到答题权”， 可得， 又由， 故 13.【解析】【分析】（1）写出随机变量的所有取值，求出对应概率，即可得出分布列，再根据期望公式求期望即可；（2）根据全概率公式求出与的关系，再利用构造法即可得解. 【小问1详解】由题意知的可能取值为，， ，，所以的分布列为 0 1 2 所以； 【小问2详解】重复次这样的操作后，记甲箱子中恰有0个黑球的概率为， 则甲箱子中恰有2个黑球的概率为，根据全概率公式可得， 当时，，， 由（1）知，所以数列是首项为，公比为的等比数列， 故，所以. 14.【解析】【分析】（1）将列联表完善，计算出卡方，与比较后得到结论；（2）设出事件，结合组合知识，利用条件概率求出答案；（3）计算出甲同学一天得分不低于3分的概率，从而得到，，求导后得到单调性，从而确定当时，取得最大值. 【小问1详解】零假设：假设武术社团同学的武术优秀情况与训练无关.列联表为 优秀人数 非优秀人数 合计 训练前 2 8 10 训练后 8 2 10 合计 10 10 20 . 故根据小概率值的独立性检验，零假设不成立，即同学的优秀情况与训练有关. 【小问2详解】设“所选4人中恰有3人训练后为优秀”为事件，“所选4人中恰有1人训练前也为优秀”为事件，事件为所选4人中，有1人训练前优秀，有2人为训练前非优秀，训练后变为优秀， 有1人训练前非优秀，训练后也非优秀， 从（1）中可知，有6人训练前非优秀，训练后变为优秀，有2人训练前非优秀，训练后也非优秀， 则，，所以. 【小问3详解】设“甲同学一天得分不低于3分”为事件，有， 则恰有3天每天得分不低于3分的概率 ，， ， 当时，，时，， 故在上单调递增，在单调递减.所以当时，取得最大值. 47 1 学科网（北京）股份有限公司 $$