广东省惠来县第一中学2024-2025学年高二下学期期末数学专项复习（非主干内容、新定义、数学文化、数学情境）

惠来一中高二非主干内容、新定义、数学文化、数学情境期末复习 一、单选题 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则的虚部为（ ） A. 2 B. C. D. 3. 的展开式中常数项是（ ） A. 14 B. C. 42 D. 4. 已知，，且，则的最小值为（ ） A. B. C. 4 D. 5. 某中学推出了篮球､足球､排球､羽毛球､乒乓球共5门球类体育选修课供同学们选择，其中羽毛球火爆，只剩下一个名额，其余4门球类课程名额充足.现有某宿舍的四位同学报名选课，每人只选择其中的1门课程，四位同学选完后，恰好选择了3门不同球类课程，则不同的选课情况总共有（ ） A. 316种 B. 360种 C. 216种 D. 288种 6. 如图，“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现，比欧洲发现早500年左右.现从杨辉三角第20行随机取一个数，该数大于2024的概率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 7. 已知 ，则（ ） A. 展开式中的常数项为1 B. 展开式中各项系数之和为0 C. 展开式中二项式系数最大的项为第1012项 D. 8. 已知复数z，下列说法正确的是（ ） A. 若，则z为实数 B. 若，则 C. 若，则的最大值为2 D. 若，则z为纯虚数 三、填空题 9. 已知关于的不等式，若此不等式的解集为，则实数m的取值范围是 ． 10.菱形中，，点在线段上，则的取值范围是 ． 四、解答题 11. 记分别为函数的导函数．若存在，满足且，则称为函数与的一个“点”． （1）证明：函数与不存在“点”； （2）若函数与存在“点”，求实数的值． 12. 有3名男生，4名女生，按下列要求排成一行，求不同的方法种数. （1）男生必须排在一起（2）男、女生各不相邻（3）甲乙两人中间必须有3人 13. 3名同学去听同时举行的，，课外知识讲座，每名同学只能随机选择听其中1个讲座（每个讲座被选择是等可能的）. （1）记选择课外知识讲座的人数为随机变量，求的分布列与数学期望； （2）对于两个不相互独立的事件，，若，，称为事件，的相关系数. ①已知，证明； ②记事件“课外知识讲座有同学选择”，事件“至少有两个课外知识讲座有同学选择”，判断事件，是否独立，若独立，说明理由；若不独立，求. 14. 在平面直角坐标系中，求两条直线的夹角的大小有以下公式：设直线，的夹角为，斜率分别为，，则．求椭圆的切线方程有以下结论：已知椭圆的左右焦点分别为，，为上一点，则在点的切线的方程为．椭圆的光学性质：自发出的光线照射到点处，被切线反射，反射光线一定经过点． （1）证明椭圆的光学性质； （2）如图，过的直线交椭圆于，两点（非左右顶点）． （i）求面积的最大值； （ii）求证：椭圆在，两点的切线的交点在定直线上． 惠来一中高二非主干内容、新定义、数学文化、数学情境期末复习参考答案 1.【答案】D【解析】【分析】解不等式化简集合A，B，再利用交集的定义求解即得. 【详解】由，得，即，由，得，即， 所以.故选：D 2.【答案】C【解析】【分析】根据复数乘除法运算法则得到，再结合虚部的定义判断即可. 【详解】，则的虚部为-2.故选：C. 3.【答案】A【解析】【分析】利用二项式展开式的通项公式，即可容易求得结果. 【详解】展开式通项为， 由，得，那么展开式中常数项是.故选：A. 【点睛】本题考查由二项式定理的通项公式求指定项，属基础题. 4.【答案】D【解析】【分析】借助“1”的活用，结合基本不等式计算即可得. 【详解】， 当且仅当，即，时，等号成立.故选：D. 5.【答案】D【解析】【分析】分选不选羽毛球两种情况讨论，再分别利用分步乘法原理计算报名情况，利用分类加法原理求和即得结果. 【详解】分两种情况讨论：不选羽毛球，其余4门球类课程选3门，有种选法，四人中有2人选择同1门课程，其余2人各自选1门课程，有种选法，故报名的情况有种； 1人选羽毛球，则种选法，再从其余4门球类课程选2门课程，则种选法， 其余3人中选1人选一门课程，其余2人同选另1门课程，则种， 故报名的情况有种.所以他们报名的情况总共有种.故选：D 6.【答案】D【解析】【分析】先明确杨辉三角第20行的数的个数，通过和结合组合数对称性质得出杨辉三角第20行中比2024大的数的个数即可得解. 【详解】由题意可知杨辉三角第20行共有21个数，其中从左往右第4个数为，从左往右第5个数为， 所以根据组合数的对称性得杨辉三角第20行的21个数里有个大于2024， 故从杨辉三角第20行随机取一个数，该数大于2024的概率为.故选：D. 7.【答案】AD【解析】【分析】A选项，赋值法得到；B选项，令得到展开式各项系数之和；C选项，根据二项式系数的对称性和单调性作出判断；D选项，令，结合得到D正确.【详解】A选项，中，令得， ，常数项为1，A正确；B选项，中，令得，展开式中各项系数之和为1，B错误； C选项，展开式共有2025项，根据二项式系数的单调性和对称性，二项式系数最大的项为第项，C错误；D选项，中，令，得，又，故，D正确.故选：AD 8.【答案】AC【解析】【分析】根据题意，由复数的运算以及其几何意义，对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】设，则，若，即，即，则z为实数，故A正确；若，即，化简可得 ，即，即，当时，，，此时不一定满足，当时，，，此时不一定满足，故B错误； 若，即，所以，即表示以为圆心，以为半径的圆上的点，且表示圆上的点到原点的距离，所以的最大值为2，故C正确； 若，即，， 即，化简可得，则且， 此时可能为实数也可能为纯虚数，故D错误；故选：AC 9.【答案】【解析】【分析】对进行和分类，再结合不等式的解集为讨论求解即可. 【详解】当时，，与客观事实矛盾， 故此时不等式的解集为，符合；当时，为一元二次不等式，若此不等式的解集为， 则有，综上，实数m的取值范围是.故答案为：. 10.【答案】【解析】【分析】根据菱形对角线垂直的性质建立直角坐标系，表示出各点的坐标，结合点E的坐标满足的条件和范围，再代入数量积即可求解. 【详解】建立如图所示坐标系，，，，，设，，， 则，，，所以.答案：． 11.【解析】【分析】（1）由新定义可得，求解即可； （2）由新定义可得，求解即可. 【小问1详解】函数，则． 由且，得， 由得，此方程无解．因此，与不存在“”点． 【小问2详解】函数，则． 设为与的“”点，由且， 得，即①，得，即，则． 当时，满足方程组①，即为与的“”点．因此，的值为． 12.【解析】【分析】（1）先男女分别全排，再根据乘法原理计算即可；（2）先将女生全排，再将男生插空，再根据乘法原理计算即可；（3）先确定甲、乙两人的位置，再在甲、乙两人中间插入3人，再将剩下的2人与排好的5人组成的整体进行排列，最后根据乘法原理计算即可. 【小问1详解】男生必须排在一起 第一步：将3名男生看作一个整体，与4名女生进行排列，共有种排法. 第二步：在男生内部进行排列，共有种排法. 第三步：根据乘法原理，男生必须排在一起的排法共有种. 【小问2详解】若男女各不相邻，必须是3名男生将4名女生隔开， 第一步：将4名女生进行排列，共有种排法. 第二步：将3名男生插入4名女生之间的3个空位中（两端除外，不合题意），共有种排法. 第三步：根据乘法原理，男女各不相邻的排法共有种. 【小问3详解】甲、乙两人中间必须有3人 第一步：将甲、乙两人全排列，则共有种情况. 第二步：在甲、乙两人中间插入3人，可以从剩下的5人中选出3人进行排列，共有种排法. 第三步：将剩下的2人与排好的5人组成的整体进行排列，共有种排法. 第四步：根据乘法原理，甲、乙两人中间必须有3人的排法共有种. 13.【解析】【分析】（1）依题意可得，根据二项分布的概率公式求出分布列，再求出数学期望； （2）①依题意可得，再由条件概率公式即可证明； ②首先求出，，，根据相互独立事件的定义判断即可，再根据所给公式计算. 【小问1详解】由题意每位同学选择课外知识讲座的概率均为，则， 即的可能的取值为， 所以，， ，， 所以的分布列为： 所以； 【小问2详解】①因为，且， 所以，又，， 即，而，所以成立； ②事件不相互独立， 事件课外知识讲座有同学选择，则事件课外知识讲座没有同学选择， 由（1）可知，所以， 事件：至少有两个课外知识讲座有同学选择，则事件：有一个课外知识讲座有同学选择， 所以，所以. 事件：至少有两个课外知识讲座有同学选择且课外知识讲座有同学选择， 分为两种情况，一种是三个课外知识讲座都有同学选择； 另一种是两个课外知识讲座都有同学选择且课外知识讲座有同学选择， 此时或者是没有同学选择，故按照、分组即可， 故，所以，即事件不相互独立， 所以，化简得. 【点睛】关键点点睛：第二问的①关键是所给公式的应用，结合条件概率公式即可证明，②关键是分析事件、、所包含的基本事件数. 14.【解析】【分析】（1）设与直线，的夹角分别为，，即证即可； （2）（i）设，，，结合椭圆方程消元得，由韦达定理得，计算，代入即可求解； （ii）设两条切线的方程分别为，，消去得：，代入即可求证. 【小问1详解】当时，，，性质成立； 当时，，，， 因为点在椭圆上，所以，， 设与直线，的夹角分别为，，则 ．同理，，，．该性质成立； 【小问2详解】（i）设，，， 所以，消元得， 所以， 所以 ．令，则． 当时，，当且仅当，即时取等号，得 ，所以的最大值为； 当时，在上单调递增， 时，取最大值，的最大值为． 当时，面积的最大值为；当时，面积的最大值为． （ii）设两条切线的方程分别为，，消去得： ，，， 因为，所以．点在定直线上． 47 1 学科网（北京）股份有限公司 $$