广东省惠来县第一中学2024-2025学年高二下学期期末数学专项复习（解析几何）

惠来一中高二解析几何期末复习 一、单选题 1. 椭圆的左、右焦点分别为，，过点且与长轴垂直的直线交椭圆于，两点．若为等边三角形，则椭圆的离心率为（　　）． A. B. C. D. 2. 已知圆与抛物线的准线相切，则的值为（ ） A. B. C. 4 D. 2 3.已知直线与椭圆相切，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 过坐标原点向圆作两条切线，切点分别为，则（ ） A. B. C. D. 5.已知双曲线的左、右焦点分别为，直线与双曲线的右支交于点，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 6.设双曲线的左焦点为F，O为坐标原点，P为双曲线C右支上的一点，，在上的投影向量的模为，则双曲线C的离心率为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、多选题 7. 已知曲线C：，，则下列结论正确的是（ ） A. 曲线C可能是圆，不可能是直线 B. 曲线C可能是焦点在y轴上的椭圆 C. 当曲线C表示椭圆时，则越大，椭圆越圆 D. 当曲线C表示双曲线时，它的离心率有最小值，且最小值为 8. 在平面直角坐标系中，动点的轨迹为曲线C，且动点到两个定点的距离之积等于3．则下列结论正确的是（ ） A. 曲线C关于y轴对称 B. 曲线C的方程为 C. 面积的最大值 D. 的取值范围为 三、填空题 9.双曲线的一个焦点是，则 ． 10.已知双曲线的左、右焦点分别为的三个顶点都在上， 且直线过原点，直线斜率的乘积为3，则双曲线的离心率为 ． 四、解答题 11.已知F是抛物线E：的焦点，过点F的直线l与E交于A，B两点．当轴时，（O为坐标原点）的面积为2． （1）求E的方程； （2）设过点F的直线与E交于C，D两点，且．当时，求直线l的方程． 12.已知椭圆的长轴长为，离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）过作一条斜率存在且不为0的直线交于两点. （i）证明：直线和直线的斜率均存在且互为相反数； （ii）若直线与直线交于点，求的轨迹方程. 13.抛物线与的焦点分别为，为的一个交点，且． （1）求的值； （2）是上的两点，若四边形（按逆时针排列）为平行四边形，求此四边形的面积． 14.如图，已知椭圆和抛物线，的焦点是的上顶点，过的直线交于、两点，连接、并延长之，分别交于、两点，连接，设△OMN、的面积分别为、． （1）求的值；（2）求的值；（3）求的取值范围. 惠来一中高二解析几何期末复习参考答案 1.【答案】A【解析】【分析】借助等边三角形性质与离心率定义计算即可得. 【详解】设，因为为等边三角形，则，， 因为，所以椭圆的离心率为．故选：A. 2.【答案】A【解析】【分析】写出抛物线的准线方程，根据该准线与圆相切求出实数的值. 【详解】由题意可知，圆是圆心为原点，半径为的圆，抛物线的准线方程为， 由于抛物线的准线方程与圆相切，则，解得.故选：A 3.【答案】C【解析】【分析】联立直线与椭圆方程，由相切得到，从而得解. 【详解】依题意，联立，得， 化解得，因为直线与椭圆相切， 所以，化简整理得，所以.故选：C. 4.【答案】B【解析】【分析】解法一 ：先求出，再由两角和的正切值求解即可得出答案；解法二：设直线的方程为，由圆心到直线的立即等于半径，解方程即可得出答案. 【详解】解法一 由，得，该圆的圆心为，半径为1，如图所示，连接，易知， 所以， 解法二:由，得，该圆的圆心为，半径为1，设直线的方程为，则， 解得：或，所以．故选：B． 5.【答案】A【解析】【分析】首先求出焦点坐标，再联立直线与双曲线方程，求出交点的坐标，再由数量积的坐标表示计算可得. 【详解】双曲线的左、右焦点分别为，，由，解得或，所以，则，， 所以.故选：A 6.【答案】C【解析】【分析】取M为的中点，为右焦点，根据条件得，由在上的投影向量的模为得，利用双曲线的定义可得结果. 【详解】取M为的中点，为右焦点，∵, ∴，∴，∵在上的投影为，∴, ∴，∴，∴，∵，∴，∴，故选：C. 【点睛】方法点睛：解决圆锥曲线的离心率问题往往需根据题目条件建立关于的一个等量关系或不等关系，结合离心率定义得解. 7.【答案】BD【解析】【分析】设，由的符号和取值结合对应方程的特点，结合条件逐项判断可得答案.【详解】设，故曲线C的方程可表示为， 对A，当时，曲线C的方程为，可得，此时曲线C为两条直线； 当时，曲线C的方程为，此时曲线C是一个圆；故A错误；对B，当时，，曲线C的方程为，此时曲线C为焦点在y轴上的椭圆，故B正确；对C，当曲线C表示椭圆时，离心率为，则越大椭圆越扁，故C错误；对D，当时，，曲线C的方程为，此时曲线C为焦点在x轴上的双曲线，此时离心率为， 由，可得，即它的离心率有最小值，且最小值为，故D正确.故选： BD. 8.【答案】ABD【解析】【分析】根据给定的信息，列式求出曲线C的方程，再逐项分析判断即可. 【详解】对于B，依题意，，整理得， 因此曲线C的方程为，B正确；对于A，方程中的换成方程不变，因此曲线C关于轴对称，A正确；对于C，显然，则，解得：， 令，则，即， 的面积，C错误；对于D，，因此的取值范围为，D正确.故选：ABD 【点睛】结论点睛：曲线C的方程为，①如果，则曲线C关于y轴对称；②如果，则曲线C关于x轴对称；③如果，则曲线C关于原点对称. 9.【答案】【解析】【分析】化双曲线方程为标准形式，再结合焦点坐标求出值. 【详解】双曲线方程为，依题意，，所以.故答案为： 10.【答案】2【解析】【分析】由已知结合点差法及直线的斜率公式可得a，b，c的关系，然后结合离心率公式即可求解．【详解】由题意可知关于原点对称，故可设， 因为直线斜率的乘积为3，所以,因为，，两式相减得，，所以，故．故答案为：2． 11.解：（1）当轴时，AB为抛物线E的通径，此时．…………（1分） 易知，所以OF是△OAB的高， 所以△OAB的面积，……………………………………（3分） （注：如果面积公式对，1分段没有写不扣分） 解得，所以E的方程为．……………………………………………（4分） （2）由题意可设直线l的方程为，，，……………（5分） 联立得， ，则，．…………………………………………………（6分） 根据抛物线的定义，得，， 所以，…………………………………（7分） 整理得． 设直线的方程为，同理可得．………………………（8分） 因为，所以， 解得（舍去）或，即，……………………………………（9分） （注：9分段，只要出现间关系也给分） 所以， 同理可得．……………………（10分） （注：10分段采分点为用表示CD） 当时，即，解得，………………………………………（11分） 所以直线l的方程为或．…………………………………（13分） （方法二）(2)由题意可知不垂直于轴，若垂直于轴，不成立, 因此斜率存在且斜率不为0；……………………………………………（5分） 设直线方程为， 联立方程组消y得 ,……………………………………………………（6分） ……………………………………………………（7分） 得………………………………………………………………（8分） ……………………（9分） 同理设方程为可得…………………………（10分） 由得…………………………………………………（11分） 所以直线l的方程为或． ………………………………（13分） 12.【解析】【分析】（1）根据已知条件直接计算出椭圆相关基本量即可； （2）（i）设，，直线的方程为，联立方程组，利用韦达定理证明；（ii）设直线，直线，联立方程组得，，采用代入法可得的轨迹方程. 【小问1详解】根据题意，，因为椭圆离心率为，所以， 所以，，所以椭圆的方程为； 【小问2详解】（i）设，，直线的方程为， 联立方程，消去y得：， 则，即，由韦达定理得，，， 当时，，，不合题意，故， 所以直线和直线的斜率均存在，， 所以 ， 即直线和直线的斜率均存在且互为相反数； （ii）由（i）知，且，可设直线， 直线，设，则，整理得①， 由题意知，由①知，所以由①知，，②， 将②代入得，化简得，又因为，所以， 所以的轨迹方程为. . 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为，； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或y）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为的形式；（5）代入韦达定理求解. 13.【解析】【分析】（1）由结合抛物线焦半径公式可得，再将点坐标代入抛物线可得，再将坐标代入抛物线可得；（2）借助平行四边形性质可得中点坐标，再借助点差法计算可得，从而可得方程，再联立方程与方程，消去可得与横坐标有关一元二次方程，即可借助韦达定理、弦长公式与面积公式计算得解. 【小问1详解】抛物线，准线方程为，，所以，所以，因为点在抛物线上，所以，又，所以， 将代入抛物线，可得，故，，； 【小问2详解】由（1）可知，设中点为，因为四边形为平行四边形，所以为中点，设，所以，因为在抛物线上，所以，则，即，所以，所以，且直线过点，所以，即，联立，所以， 所以， 到距离，所以． 14.【解析】【分析】（1）由抛物线的焦点坐标求的值；（2）设直线的方程，与抛物线联立方程组，利用韦达定理求的值；（3）设直线、的方程，与椭圆联立方程组表示出，由，化简并结合基本不等式求取值范围. 【小问1详解】椭圆的上顶点坐标为，则抛物线的焦点为，故. 【小问2详解】若直线与轴重合，则该直线与抛物线只有一个公共点，不符合题意， 所以直线的斜率存在，设直线的方程为，点、， 联立可得，恒成立，则， . 【小问3详解】设直线、的斜率分别为、，其中，， 联立可得，解得， 点在第三象限，则，点在第四象限，同理可得， 且， ，当且仅当时，等号成立. 的取值范围为. 【点睛】方法点睛：解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 47 1 学科网（北京）股份有限公司 $$