精品解析：安徽省合肥市百花中学等四校2024-2025学年高二下学期7月期末考试数学试题

合肥百花中学等四校2024~2025学年度第二学期高二年级期末考试 数学 本试卷共4页.全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点，则它的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意设双曲线方程为，则其渐近线方程为，将代入中可求出，从而由可求出离心率. 【详解】由题意设双曲线方程为，则其渐近线方程为， 因为双曲线的一条渐近线经过点， 所以，所以， 所以离心率， 故选：D 2. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先判定点是否为切点，再利用导数的几何意义求解. 【详解】当时，，即点在曲线上． 则在点处的切线方程为，即． 故选C． 【点睛】本题考查利用导数工具研究曲线的切线方程，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取导数法，利用函数与方程思想解题．学生易在非切点处直接求导数而出错，首先证明已知点是否为切点，若是切点，可以直接利用导数求解；若不是切点，设出切点，再求导，然后列出切线方程． 3. 已知抛物线：的焦点为,是C上一点，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】解方程即得解. 【详解】解：由题得抛物线的准线方程为，则有，即有，解得． 故选：A 4. 现有2名导游与6位游客站成一排拍照，则导游不站在一起的排法共有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】D 【解析】 【分析】利用插空法求解即可. 【详解】由插空法可得导游不站在一起的排法共有种． 故选：D. 5. 若是函数的极值点，则的极小值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题可得， 因为，所以， 则，故， 令，解得或，令，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的极小值为． 6. 将名教师，名学生分成个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动， 每个小组由名教师和名学生组成，不同的安排方案共有 A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：第一步，为甲地选一名老师，有种选法；第二步，为甲地选两个学生，有种选法；第三步，为乙地选名教师和名学生，有种选法，故不同的安排方案共有种，故选A． 考点：排列组合的应用． 7. 展开式中的常数项为（ ） A. B. C. 20 D. 40 【答案】D 【解析】 【分析】求出展开式中和的系数，与中相应项相乘相加可得． 【详解】由题意常数项为：， 故选：D. 【点睛】本题考查二项式定理，考查求展开式中某一项系数．注意本题是两个多项式相乘，因此所求系数要由多项式乘法法则计算． 8. 如图，一环形花坛分成四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为 A. 96 B. 84 C. 60 D. 48 【答案】B 【解析】 【详解】解：分三类：种两种花有种种法； 种三种花有2种种法； 种四种花有种种法． 共有2++=84． 故选B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某物理量的测量结果服从正态分布，则下列结论中正确的是（ ） A. 越小，该物理量在一次测量中落在内的概率越大 B. 该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5 C. 该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等 D. 该物理量在一次测量中结果落在与落在的概率相等 【答案】ABC 【解析】 【分析】越小，正态密度曲线越“瘦高”，可知选项A；根据正态密度曲线的对称性，可判断BCD． 【详解】为数据的方差，所以越小，数据在均值附近越集中，所以测量结果落在内的概率越大，故A正确； 由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为0.5，故B正确； 由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等，故C正确； 因为该物理量一次测量结果落在的概率与落在的概率不同， 所以一次测量结果落在的概率与落在的概率不同，故D错误. 故选：ABC. 10. 南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法.商功》中出现了如图所示的形状，后人称之为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，，以此类推.设从上到下各层球数构成一个数列，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意可得，由此推得通项公式，再利用裂项相消法求得，从而对各选项进行判断即可. 【详解】根据题意，可知从第二层起，某一层的球数比上一层的球数多的数量刚好是其层数，即，即， 对于A，因为，所以，故A错误； 对于B，因为，所以，故B正确； 对于C，因为，，，，且， 所以上述各式相加得，， 经检验：满足，所以，则，故C正确； 对于D，由选项C可知， 所以，故D正确. 故选：BCD. 11. 袋子中有2个黑球，1个白球，现从袋子中有放回地随机取球4次，取到白球记0分，黑球记1分，记4次取球的总分数为X，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】求出一次摸到黑球的概率，根据题意可得随机变量服从二项分布，再利用二项分布列及期望公式、方差公式求解即可. 【详解】从袋子中有放回的取球4次，则每次取球互不影响，并且每次取到的黑球概率相等， 又每次取一个球，取到白球记0分，黑球记1分，4次取球的总分数相当于抽到黑球的总个数， 又每次摸到黑球的概率为，由有放回地取4次球，得，A正确； ，B错误； 由二项分布期望公式得，C正确； 由二项分布方差公式得，D错误. 故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中所有项的系数和与二项式系数和分别为___________，___________. 【答案】 ①. 1 ②. 128 【解析】 【分析】写出的二项展开式，令可所有项的系数和，二项式系数和为，即可求解. 【详解】, 令，则可得所有项系数和为， 二项式系数和为. 故答案为：1；128. 13. 从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A：“取到的2个数之和为偶数”，事件B：“取到的2个数均为偶数”，则___________. 【答案】##0.25 【解析】 【分析】根据条件概率计算公式求解即可. 【详解】事件A：“取到的2个数之和为偶数”，则事件A包含的基本事件个数为， 又事件B：“取到的2个数均为偶数”，则事件A与事件B同时发生包含的基本事件个数为， 所以. 故答案为： 14. 甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是____________． 【答案】0.18 【解析】 【分析】本题应注意分情况讨论，即前五场甲队获胜的两种情况，应用独立事件的概率的计算公式求解．题目有一定的难度，注重了基础知识、基本计算能力及分类讨论思想的考查． 【详解】前四场中有一场客场输，第五场赢时，甲队以获胜的概率是 前四场中有一场主场输，第五场赢时，甲队以获胜的概率是 综上所述，甲队以获胜的概率是 【点睛】由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是思维的全面性是否具备，要考虑甲队以获胜的两种情况；易错点之三是是否能够准确计算． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列的前n项和为，，. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前n项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列前和公式求解即可得公差，从而可求得等差数列的通项公式； （2）利用等比数列前和公式，即可求解. 【小问1详解】 设公差为，，， 即. 【小问2详解】 由（1）得，， ，是首项为8，公比为4的等比数列， 16. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）若恒成立，求a的取值范围. 【答案】（1） 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减； （2） 【解析】 【分析】（1）求定义域，求导，分与两种情况，求解单调性； （2）参变分离，得到，构造，求导，得到其单调性，求出最大值，得到. 【小问1详解】 . 当时，，所以在上单调递增； 当时，令，解得， 当时，； 当时，； 所以在上单调递增，在上单调递减； 【小问2详解】 的定义域为， 若恒成立，则恒成立，即恒成立， 令，只需，又， 令得， 时，，则单调递增； 时，，则单调递减； 故在时取得极大值，也时最大值. 所以，解得：， 故a的取值范围是. 17. 甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立． （1）求甲学校获得冠军的概率； （2）用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望． 【答案】（1）； （2）的分布列为 0 10 20 30 0.16 0.44 0.34 0.06 .【解析】 【分析】（1）设甲在三个项目中获胜的事件依次记为，再根据甲获得冠军则至少获胜两个项目，利用互斥事件的概率加法公式以及相互独立事件的乘法公式即可求出； （2）依题可知，的可能取值为，再分别计算出对应的概率，列出分布列，即可求出期望． 【小问1详解】 设甲在三个项目中获胜的事件依次记为，所以甲学校获得冠军的概率为 ． 【小问2详解】 依题可知，的可能取值为，所以， , ， ， . 即的分布列为 0 10 20 30 0.16 0.44 0.34 0.06 期望. 18. 已知椭圆的离心率为，长轴长为4． （1）求C的方程； （2）过点的直线l交C于两点，为坐标原点.若的面积为，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据长轴长和离心率求出基本量后可得椭圆方程； （2）设出直线方程并联立椭圆方程后结合韦达定理用参数表示面积后可求的值，从而可求弦长. 【小问1详解】 因为长轴长为4，故，而离心率为，故， 故，故椭圆方程为：. 【小问2详解】 由题设直线的斜率不为0，故设直线，， 由可得， 故即， 且， 故， 解得， 故. 19. 2023年9月26日，第十四届中国（合肥）国际园林博览会在合肥骆岗公园开幕．本届园博会以“生态优先，百姓园博”为主题，共设有5个省内展园、26个省外展园和7个国际展园，开园面积近3.23平方公里，游客可通过乘坐观光车、骑自行车和步行三种方式游园． （1）若游客甲计划在5个省内展园和7个国际展园中随机选择2个展园游玩，记甲参观省内展园的数量为X，求X的分布列及数学期望； （2）为更好地服务游客，主办方随机调查了500名首次游园且只选择一种游园方式的游客，其选择的游园方式和游园结果的统计数据如下表： 游园方式 游园结果 观光车 自行车 步行 参观完所有展园 80 80 40 未参观完所有展园 20 120 160 用频率估计概率，若游客乙首次游园，选择上述三种游园方式的一种，求游园结束时乙能参观完所有展园的概率． 【答案】（1）分布列见解析， （2）0.4 【解析】 【分析】（1）根据题意结合超几何分布求分布列和期望； （2）根据题意结合全概率公式运算求解. 【小问1详解】 由题意知：所有可能取值为，则有： ，，， 可知的分布列为： 0 1 2 所以的数学期望为：. 【小问2详解】 记事件A为“游客乙乘坐观光车游园”，事件为“游客乙骑自行车游园”，事件为“游客乙步行游园”，事件为“游园结束时，乙能参观完所有展园”， 由题意可知：，， 由全概率公式可得， 所以游园结束时，乙能参观完所有展园的概率为0.4. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 合肥百花中学等四校2024~2025学年度第二学期高二年级期末考试 数学 本试卷共4页.全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点，则它的离心率为（ ） A. B. C. D. 2. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知抛物线：的焦点为,是C上一点，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 4. 现有2名导游与6位游客站成一排拍照，则导游不站在一起的排法共有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 5. 若是函数的极值点，则的极小值为（ ）． A. B. C. D. 6. 将名教师，名学生分成个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动， 每个小组由名教师和名学生组成，不同的安排方案共有 A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 7. 展开式中的常数项为（ ） A. B. C. 20 D. 40 8. 如图，一环形花坛分成四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为 A. 96 B. 84 C. 60 D. 48 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某物理量的测量结果服从正态分布，则下列结论中正确的是（ ） A. 越小，该物理量在一次测量中落在内的概率越大 B. 该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5 C. 该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等 D. 该物理量在一次测量中结果落在与落在的概率相等 10. 南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法.商功》中出现了如图所示的形状，后人称之为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，，以此类推.设从上到下各层球数构成一个数列，则（ ） A. B. C. D. 11. 袋子中有2个黑球，1个白球，现从袋子中有放回地随机取球4次，取到白球记0分，黑球记1分，记4次取球的总分数为X，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中所有项的系数和与二项式系数和分别为___________，___________. 13. 从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A：“取到的2个数之和为偶数”，事件B：“取到的2个数均为偶数”，则___________. 14. 甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列的前n项和为，，. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前n项和. 16. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）若恒成立，求a的取值范围. 17. 甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立． （1）求甲学校获得冠军的概率； （2）用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望． 18. 已知椭圆的离心率为，长轴长为4． （1）求C的方程； （2）过点的直线l交C于两点，为坐标原点.若的面积为，求． 19. 2023年9月26日，第十四届中国（合肥）国际园林博览会在合肥骆岗公园开幕．本届园博会以“生态优先，百姓园博”为主题，共设有5个省内展园、26个省外展园和7个国际展园，开园面积近3.23平方公里，游客可通过乘坐观光车、骑自行车和步行三种方式游园． （1）若游客甲计划在5个省内展园和7个国际展园中随机选择2个展园游玩，记甲参观省内展园的数量为X，求X的分布列及数学期望； （2）为更好地服务游客，主办方随机调查了500名首次游园且只选择一种游园方式的游客，其选择的游园方式和游园结果的统计数据如下表： 游园方式 游园结果 观光车 自行车 步行 参观完所有展园 80 80 40 未参观完所有展园 20 120 160 用频率估计概率，若游客乙首次游园，选择上述三种游园方式的一种，求游园结束时乙能参观完所有展园的概率． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $