精品解析：甘肃省会宁县第一中学2025年普通高等学校招生全国统一考试模拟数学试题

2025年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题 数学 本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、考号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先得到，根据补集和并集概念进行求解 【详解】由题得，因为，所以. 又，所以. 故选：B. 2. 已知函数，，则“”是“为减函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】判断“”和“为减函数”之间的逻辑推理关系，即得答案. 【详解】当时，为减函数； 当为减函数时，，，不一定是， 故“”是“为减函数”的充分不必要条件. 故选：A. 3. 等比数列中，，，则（ ） A. 2 B. 4 C. 5 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】利用等比数列的项的性质和通项的基本量运算即得. 【详解】因为等比数列，故，解得， 又，解得， 设数列的公比为，则，故. 故选：D. 4. 粽子古称“角黍”，由粽叶包裹糯米等食材蒸煮而成，是中国传统节庆食物之一，因各地饮食习惯不同，粽子的形状和味道也不同.如图所示的是我国南方流行的“广式五角粽”，其形状可以近似看成正四棱锥.若一个广式五角粽的底面棱长为，并测得其侧面与底面夹角的正切值为，则该广式五角粽的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分析可知该广式五角粽的直观图为正四棱锥，取底面的中心，棱的中点，连接、、、，由二面角的定义可知即为侧面与底面的夹角，求出的长，结合勾股定理求出的长，进而可求得该正四棱锥的侧面积. 【详解】设该广式五角粽的直观图为如图所示的正四棱锥， 则， 取底面的中心，棱的中点，连接、、、， 则，为的中点， 因为为的中点，所以，且， 因为，故， 所以即为侧面与底面的夹角，所以. 由正棱锥的几何性质可知平面， 所以，则， 故该广式五角粽的侧面积为. 故选：C. 5. 若函数为偶函数，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数特征和分子为偶函数，得到分母也为偶函数，时满足要求，结合，求出答案. 【详解】因为为偶函数，且为偶函数， 所以为偶函数，若，则满足要求， 若，则，此时不是偶函数，不合要求， 所以.所以，又，所以. 故选：A. 6. 已知复数，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由几何意义得到点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，，的几何意义为过圆C上的点与定点的直线的斜率，设出直线的方程，由点到直线距离得到不等式，求出答案. 【详解】因为，所以，所以， 故复数在复平面内对应的点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆. ，的几何意义为过圆C上的点与定点的直线的斜率， 设斜率为k，则直线的方程为， 圆心C到直线的距离，即，解得， 即，所以. 故选：C. 7. 若直线与球面恰好有一个公共点，则称该直线为球的切线，该公共点为切点.如图，过球O外一点P作球O的两条切线，切点分别为A，B，且A，B，O，P四点共面.已知球O的表面积为36π，点P与球面上的点的距离的最大值为8，记，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出球的半径，由题意求出的长，利用三角形相似转化角，借助于二倍角公式和三角函数的定义即可求得. 【详解】设与交于点，球的半径为.则，解得. 点P与球面上的点的距离的最大值为，则， 因为PA，PB均与球O相切，所以，， 则在中，， 易得，则， 则. 故选：D. 8. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过点且垂直于x轴的直线与C交于点M，与C交于点N，设，若，则C的离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先确定的坐标，由的坐标结合求得的坐标，根据在双曲线上，得出和离心率的关系，进而得解. 【详解】 由题可得，，根据对称性设点M在第一象限，可得， 设，由，得，所以， 解得，即， 因为点N在双曲线C上，所以， 所以，解得. 因为，所以，则， 所以，又.所以. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 若，可以作为平面向量的一组基底，则 C. ， D. 若与的夹角为锐角，则m的取值范围为 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A，根据向量减法的坐标公式求，再利用向量模的坐标公式求，结合二次函数性质求其最小值，对于B，由条件可得，不共线，列不等式求的范围，判断B，根据向量垂直的坐标表示列方程，解方程判断C，由条件可得，且，不共线，列式求m的取值范围. 【详解】对于A，，则.所以当时，取最小值，，故A正确； 对于B，若，可以作为平面向量的一组基底，则与不共线，所以，解得，故B正确； 对于C，，若，则，即，解得.故C错误； 对于D，若与的夹角为锐角，则，且，所以且.故D错误. 故选：AB. 10. 函数的部分图象如图所示，则（ ） A. ， B. 图象的对称中心为 C. 不等式的解集为 D. 当时，在区间上单调递增 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据图象求出即可判断A；根据正切函数的性质求解判断BCD. 【详解】由图可得，则， 所以，则，解得，故A错误： 此时，则，解得， 所以， 令，得， 所以图象的对称中心为，故B正确； 由，得，则， 解得，故C正确； 当时，，， 则， 当时，，且在区间上单调递增， 所以在区间上单调递增，故D正确. 故选：BCD. 11. 已知函数若函数恰有4个零点，分别为，，，，且，则（ ） A. B. C. D. 当时，关于方程最多有4个不相等的实根 【答案】AC 【解析】 【分析】画出函数的图象，根据函数零点的性质、基本不等式、函数单调性的性质，结合换元法、数形结合法逐一判断即可. 【详解】由题意，， 函数图象如下图所示： ， 因为函数恰有4个零点，分别为，，，，且， 所以结合函数图象可知：， 又因为，所以. A：由上可知：， 因为， 所以，因此A正确； B：因为， 所以 ，所以B错误； C：因为， 所以， ， 设，且， 根据函数单调性的性质可知，当时，函数单调递增， 于是有，因此有，所以C正确； D：令，则， 由绝对值的非负性可知：，且只有当时，函数值为零. 因此由或， 当时，，函数图象与直线有两个不同的交点， 当时，由函数的图象可知，函数图象与直线有三个不同的交点， 所以关于的方程最多有5个不相等的实根，因此D错误. 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知点P在抛物线C：上，且点P到C的焦点F的距离为，则点P到x轴的距离为______. 【答案】4 【解析】 【分析】设，，根据焦半径公式得到方程，求出，得到答案. 【详解】由，得，则抛物线C的准线方程为. 设，，则，∴， ∴点P到轴的距离为4. 故答案为：4 13. 如图，某农科所将一块试验田分成1，2，3，4共四个不同的区域，该农科所准备在这四个区域中栽种农作物，并要求相邻两个区域的农作物品种不同.现有4种不同的农作物品种可供选择，则不同的栽种方案共有________种；其中恰好用了3种不同农作物品种的概率为_____. 1 2 3 4 【答案】 ①. 84 ②. 【解析】 【分析】（1）将方案总数分三种情况讨论，计算出每种情况的方案数，即可求出总方案数；（2）计算出恰好使用3种不同农作物品种的方案数，根据所求得的方案总数，即可求出相应概率. 【详解】【答题空1】由题意， 若选择4种农作物，则有种种植方案， 若选择3种农作物， ∵相邻的区域种植的农作物品种不同， ∴只能是1、4区域或2、3区域相同， 若1、4区域种植相同农作物，有种方法， 同理若2、4区域种植相同农作物，也有24种方法， 若选择2种农作物，只能是1、4区域和2、3分别种植相同的农作物， 有种方法， ∴共有种植方案， 故答案为：84. 【答题空2】由题意及（1）得， 共有84种植方案， 其中恰好用了3种不同农作物的方法有种方案， ∴恰好用了3种不同农作物品种的概率， 故答案为：. 14. 已知函数，若存在，使得成立，则m的取值范围为_______. 【答案】 【解析】 【分析】的问题转化为，讨论的符号，分离参数处理即可. 【详解】由可得，下对的范围分情况讨论： （1）当，，即，不成立； （2）当，由可得， 设，则， 则在上单调递增，显然， 即时，， 于是，由于在时有解， 则，即； （3）当，由可得， 设，则， ，， 则在上递减，在上递增， 又， 而时单调递减，但注意到， 于是在上的值域为， 于是，由于在时有解， 则，即. 综上所述，. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知. （1）若，求外接圆的半径； （2）若，，点G为的重心，求线段AG的长. 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理、余弦定理化简边角关系，得到角A的值，再用正弦定理得到外接圆的半径； （2）利用向量，用向量内积的夹角形式求解即可. 【小问1详解】 因为， 所以由正弦定理得 ， 所以， 则由余弦定理得. 又，所以. 设外接圆的半径为. 则. 【小问2详解】 因为点G为的重心， 所以， 所以 . 所以线段AG的长为. 16. 在双碳战略之下，新能源汽车发展成为乘用车市场转型升级的重要方向，2024年我国新能源汽车销量继续走高．为了解新能源汽车车主对新能源汽车的满意程度，某市某品牌的新能源汽车经销商从购买了该品牌新能源汽车的车主中随机选取了100人进行问卷调查，并根据其满意度评分（单位：分，总分100分）制作了如下的频数分布表： 满意度评分 频数 10 15 20 30 15 10 （1）计算满意度评分的样本平均数和样本中位数；（每组数据以该组区间的中点值为代表） （2）根据频数分布表可以认为该市该品牌新能源汽车车主对新能源汽车的满意度评分近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数近似为样本的标准差，并求得．若该市恰有1万名该品牌的新能源汽车车主，试估计这些车主中满意度评分位于区间的人数； （3）为提升新能源汽车的销量，该品牌4S店针对购买该品牌新能源汽车的顾客设置了抽奖环节，抽奖规则如下：每人可参加2次抽奖，每次抽奖都从装有3个红球、3个白球（形状、大小、质地完全相同）的抽奖箱里一次性摸出3个球，若摸出3个红球，则返还2000元现金；若摸出2个红球，则返还1000元现金，其余情况不返还任何现金（两次抽奖返现金额叠加）．已知小王参加了抽奖，记他获得的返现金额为，求随机变量的分布列和数学期望． 参考数据：若随机变量，则. 【答案】（1），样本中位数为 （2）8186 （3）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）结合题设数据，根据平均数和中位数的定义求解即可； （2）由题意，，，进而根据正态分布特殊区间的概率求解即可； （3）由题意可得的所有取值为，再求出顾客每次抽奖返还2000元现金的概率，顾客每次抽奖返还1000元现金的概率，顾客每次抽奖不返还任何现金的概率，进而求解分布列和数学期望. 【小问1详解】 由题意，平均数， 前3组的频率为，前4组的频数为， 所以样本中位数位于，设为， 则，解得，则样本中位数为. 【小问2详解】 由题意，近似地服从正态分布，且，， 由于 ， 因此估计这些车主中满意度评分位于区间的人数为 . 【小问3详解】 由题意，的所有取值为， 顾客每次抽奖返还2000元现金的概率为， 顾客每次抽奖返还1000元现金的概率为， 顾客每次抽奖不返还任何现金的概率为， 则，， ， ， ， 则的分布列为： 0 1000 2000 3000 4000 所以. 17. 如图，在四棱台中，平面，底面为梯形，，，. （1）证明：为直角三角形； （2）证明：平面平面； （3）若直线与平面所成角的正弦值为，且，求四棱台的体积. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）解得的长度，再用勾股定理可得； （2）通过证明平面，可得到平面平面. （3）建立空间正交坐标系，表示出平面的法向量，直线与平面所成角的正弦值即可解出的值，最后求出答案. 【小问1详解】 由题可得，，， 则在中，由余弦定理得 . 所以，所以， 所以为直角三角形. 【小问2详解】 由（1）可知， 又，所以. 因为平面，平面， 所以. 因为，平面，所以平面. 又平面，所以平面平面. 【小问3详解】 由（2）可知， 又平面，所以，，两两垂直. 以为原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，. 则，，，，. 因为，所以， 所以. 则， 所以，，. 设平面的法向量为， 则， 取，得，. 所以. 设直线与平面所成的角为， 则， 解得或（舍）. 即. 设梯形与梯形的面积分别为，， 则. 因为梯形，与梯形相似，且， 所以，所以 所以四棱台的体积 . 18. 已知椭圆：，点，，，中恰有两点在C上. （1）求C的方程； （2）C的左、右焦点分别为，，过点且斜率存在的直线与C交于P，Q两点. （i）若面积为，求的斜率； （ii）过点P作直线：的垂线PR，垂足为R，试问直线是否过定点?若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由. 【答案】（1） （2）（i）；（ii）直线过定点. 【解析】 【分析】（1）判断哪两个点在曲线上，代入计算，即可求得答案； （2）（i）设出直线方程，联立椭圆方程，可得根与系数的关系式，利用三角形面积，即可求得答案；（ii）表示出直线的方程，判断出所过定点在x轴上，即可求解. 【小问1详解】 由题可知，，中有且仅有一点在椭圆C上， 故或. 若点在椭圆C上，则，不符合题意， 故点一定不在椭圆C上， 所以点一定在椭圆C上. 当点，在椭圆C上时， ，解得. 则椭圆C的方程为； 当点，在椭圆C上时， ，方程组无解. 综上，椭圆C的方程为. 【小问2详解】 （i）由题意知直线的斜率不为0，故设其方程为，， 联立，可得，过点,则， 设，故， 则， 故, 即得，设，则，解得或（舍去）， 解得，故l方程为,即； （ⅱ）由（i）知当直线的斜率存在且不为0时，， 且，则. 所以直线的方程为. 由对称性可知，若直线过定点，则定点在轴上， 令，得 . 所以直线过点. 当直线的斜率为0时，直线：，过点. 综上，直线过定点. 19. 定义：若函数在其定义域内存在极大值和极小值，且存在一个常数k，使得成立，则称为“极值可差比函数”，常数为的“极值差比系数”.已知函数. （1）当时，判断是否为“极值可差比函数”，并说明理由； （2）是否存在，使得的“极值差比系数”为?若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由； （3）设函数，数列满足，，，证明：. 【答案】（1）是，理由见解析 （2）不存在，理由见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先求出的导数，根据导数求出极值点，再计算的值，判断是否满足“极值可差比函数”的定义即可. （2）先根据函数有两个不同的正根得出的取值范围，再通过的表达式求出，结合已知的值建立方程求解即可. （3）求出的表达式，并求导判断其单调性，再构造函数，通过分析的单调性，结合的递推关系证明不等式即可. 【小问1详解】 当时，，， 则，令，得或， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 的极大值为，极小值为. 所以. 是“极值差比系数”为的“极值可差比函数”. 【小问2详解】 假设存在，使得的“极值差比系数”为. ，， . 又为“极值可差比函数”，有两个不同的极值点，， 故关于的方程在上有两个不同的实数解，， 则，解得，则. 不妨设，则， 所以 ，则， ，， ，，则，即. 令，，则， 在上单调递增，则. 在时无解. 故不存在，使得“极值差比系数”为. 【小问3详解】 ，定义域， 要证，即证， ，，即，， 故证<，设，则， 证即可， ，的判别式， 恒成立，即，在单调递减， 所以当时，，即， 又， 令，在单调递增； 令，在单调递减； ，，，， 且， ，，， 所以当时，，，， 又在单调递减，，即， 得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题 数学 本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、考号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数，，则“”是“为减函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 在等比数列中，，，则（ ） A. 2 B. 4 C. 5 D. 8 4. 粽子古称“角黍”，由粽叶包裹糯米等食材蒸煮而成，是中国传统节庆食物之一，因各地饮食习惯不同，粽子的形状和味道也不同.如图所示的是我国南方流行的“广式五角粽”，其形状可以近似看成正四棱锥.若一个广式五角粽的底面棱长为，并测得其侧面与底面夹角的正切值为，则该广式五角粽的侧面积为（ ） A. B. C. D. 5. 若函数为偶函数，则的取值范围为（ ） A B. C. D. 6. 已知复数，且，则的取值范围为（ ） A. B. C D. 7. 若直线与球面恰好有一个公共点，则称该直线为球的切线，该公共点为切点.如图，过球O外一点P作球O的两条切线，切点分别为A，B，且A，B，O，P四点共面.已知球O的表面积为36π，点P与球面上的点的距离的最大值为8，记，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过点且垂直于x轴的直线与C交于点M，与C交于点N，设，若，则C的离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 若，可以作为平面向量的一组基底，则 C. ， D. 若与的夹角为锐角，则m的取值范围为 10. 函数的部分图象如图所示，则（ ） A ， B. 图象的对称中心为 C. 不等式的解集为 D. 当时，在区间上单调递增 11. 已知函数若函数恰有4个零点，分别为，，，，且，则（ ） A. B. C. D. 当时，关于的方程最多有4个不相等的实根 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知点P在抛物线C：上，且点P到C的焦点F的距离为，则点P到x轴的距离为______. 13. 如图，某农科所将一块试验田分成1，2，3，4共四个不同的区域，该农科所准备在这四个区域中栽种农作物，并要求相邻两个区域的农作物品种不同.现有4种不同的农作物品种可供选择，则不同的栽种方案共有________种；其中恰好用了3种不同农作物品种的概率为_____. 1 2 3 4 14. 已知函数，若存在，使得成立，则m的取值范围为_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知. （1）若，求外接圆的半径； （2）若，，点G为的重心，求线段AG的长. 16. 在双碳战略之下，新能源汽车发展成为乘用车市场转型升级的重要方向，2024年我国新能源汽车销量继续走高．为了解新能源汽车车主对新能源汽车的满意程度，某市某品牌的新能源汽车经销商从购买了该品牌新能源汽车的车主中随机选取了100人进行问卷调查，并根据其满意度评分（单位：分，总分100分）制作了如下的频数分布表： 满意度评分 频数 10 15 20 30 15 10 （1）计算满意度评分的样本平均数和样本中位数；（每组数据以该组区间的中点值为代表） （2）根据频数分布表可以认为该市该品牌新能源汽车车主对新能源汽车的满意度评分近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数近似为样本的标准差，并求得．若该市恰有1万名该品牌的新能源汽车车主，试估计这些车主中满意度评分位于区间的人数； （3）为提升新能源汽车的销量，该品牌4S店针对购买该品牌新能源汽车的顾客设置了抽奖环节，抽奖规则如下：每人可参加2次抽奖，每次抽奖都从装有3个红球、3个白球（形状、大小、质地完全相同）的抽奖箱里一次性摸出3个球，若摸出3个红球，则返还2000元现金；若摸出2个红球，则返还1000元现金，其余情况不返还任何现金（两次抽奖返现金额叠加）．已知小王参加了抽奖，记他获得的返现金额为，求随机变量的分布列和数学期望． 参考数据：若随机变量，则. 17. 如图，在四棱台中，平面，底面为梯形，，，. （1）证明：直角三角形； （2）证明：平面平面； （3）若直线与平面所成角的正弦值为，且，求四棱台的体积. 18. 已知椭圆：，点，，，中恰有两点在C上. （1）求C的方程； （2）C的左、右焦点分别为，，过点且斜率存在的直线与C交于P，Q两点. （i）若的面积为，求的斜率； （ii）过点P作直线：的垂线PR，垂足为R，试问直线是否过定点?若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由. 19. 定义：若函数在其定义域内存在极大值和极小值，且存在一个常数k，使得成立，则称为“极值可差比函数”，常数为的“极值差比系数”.已知函数. （1）当时，判断是否为“极值可差比函数”，并说明理由； （2）是否存在，使得“极值差比系数”为?若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由； （3）设函数，数列满足，，，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $