北京市房山区2024-2025学年高二下学期学业水平调研（二）数学试题

房山区2024-2025学年度第二学期学业水平调研（二） 高二数学 本试卷共6页，满分150分，考试时长120分钟.考生务必将答案填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 数列满足，且，则的值是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2. 的展开式中的系数为（ ） A. B. C. D. 3. 在等差数列中，已知，则该数列前8项和的值为（ ） A. 18 B. 36 C. 54 D. 72 4. 曲线在点处的切线方程为，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 随机变量的分布列如下表所示，若随机变量，则随机变量的数学期望（ ） 0 1 2 A. B. C. 1 D. 6. 下列曲线中，存在与轴平行的切线的是（ ） A. B. C. D. 7. 设函数的导函数为则（ ） A. B. C. D. 8. 设是公差为的等差数列，其前项和为，则“”是“，”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 设函数.若方程恰好有一个实根，则实数的取值范围是（ ） A. {或} B. C. {或 D. 10. 袋中装有红球、黑球各3个.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（ ） A. 乙盒中黑球与丙盒中黑球一样多 B. 乙盒中红球与丙盒中红球一样多 C. 乙盒中黑球与丙盒中红球一样多 D. 乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 设，则_____. 12. 某农场种植的水果由甲、乙两块果园产出，甲果园产量占总产量的65%，乙果园产量占总产量的35%.甲果园水果的优质率为80%，乙果园水果的优质率为60%.从农场所有水果中随机选一个，估计选到优质水果的概率为_____. 13. 设等比数列的前项和为，能说明“若是递增数列，则是递增数列”为假命题的一个的通项公式为_____ 14. 已知在处有极大值，则实数的取值范围是_____. 15. 对于数列，若存在，使得对任意，都有，即，则称为“差有界数列”.给出以下四个结论： ①若等差数列的公差，则该数列为“差有界数列”； ②若等差数列为“差有界数列”，则其公差； ③若数列为“差有界数列”，则为“差有界数列”； ④若数列为“差有界数列”，则为“差有界数列”. 其中正确结论的序号为_____. 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 设是等差数列，是各项均为正数的等比数列，已知，，，. （1）求和的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 17. 已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）求函数的零点的个数. 18. 某课题小组从某市中学生中随机抽取了100名学生，调查了他们平时整理数学错题的情况，并绘制了学生一个星期内整理数学错题天数的扇形图.将一个星期有4天及以上整理数学错题视为“经常整理”，少于4天视为“不经常整理”. 每名学生是否“经常整理”数学错题是相互独立的.用频率估计概率. （1）从全市中学生中随机抽取1名学生，估计该学生“经常整理”数学错题的概率； （2）从全市中学生中随机抽取4名学生，设其中“经常整理”数学错题的人数为，求的分布列及数学期望. 19. 习近平总书记指出，人工智能是引领新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力，正深刻改变着人们的生产、生活、学习方式，推动人类社会迎来人机协同、跨界融合、共创分享的智能时代.随着中国人工智能行业市场规模的不断扩大，各行各业人工智能应用渗透度也在不断提升，下图是2021-2023年中国人工智能在互联网、电信、政务、金融、制造业、交通、服务、教育等8个行业的渗透度的变化情况： （1）从上图2021年8个行业中随机抽取3个，求其中恰有一个行业人工智能渗透度不低于的概率； （2）从上图2022年和2023年8个行业中各随机抽取1个，设其中人工智能渗透度高于的行业个数为，求的分布列及数学期望； （3）从上图2023年8个行业中随机抽取1个，用“”表示人工智能行业渗透度在区间内，用“”表示人工智能行业渗透度在区间内，若方差取得最大值，请写出实数的取值范围.（结论不要求证明） 20. 已知函数，其中. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若是函数的极值点，求的单调区间； （3）证明：. 21. 已知数列A：，，，的各项均为正整数，定义数列的差集为，记的元素个数为. （1）若数列A：2，5，1，4，求数列的差集，并写出的值； （2）若数列A对任意，都有，求证：“A为等差数列”的充要条件是“”； （3）若，，数列由奇数1，3，5，…，和偶数这个数组成，这个数在数列中每个至少出现一次，求的最大值与最小值之差. 房山区2024-2025学年度第二学期学业水平调研（二） 高二数学 本试卷共6页，满分150分，考试时长120分钟.考生务必将答案填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】B 【9题答案】 【答案】C 【10题答案】 【答案】D 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 【11题答案】 【答案】81 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】（答案不唯一）. 【14题答案】 【答案】 【15题答案】 【答案】①②③ 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 【16题答案】 【答案】（1），； （2）. 【17题答案】 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为 （2）1 【18题答案】 【答案】（1）0.6 （2）的分布列为： 0 1 2 3 4 ， 【19题答案】 【答案】（1） （2）分布列： X 0 1 2 P 数学期望为 （3） 【20题答案】 【答案】（1） （2）单调递增区间为，单调递减区间为. （3）证明：设，定义域为，则， 设，则，即函数在上单调递增， 又，则必存在，使得， 即，则，. 当时，，即，则在上单调递减； 当时，，即，则在上单调递增， 故函数在时取得极小值，即， 即得恒成立，故有. 【21题答案】 【答案】（1）4 （2） 必要性：若A为等差数列，设公差为d，则， 取，故，元素个数； 充分性：若，因为，所以与符号相同，所以，数列 A 是严格单调的（严格递增或严格递减）, 假设严格递增：,则所有为正数，差集由所有可能的组成, 定义相邻差值, 则中的差值最多有个，故 A必为等差数列. 证毕. （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $