精品解析：湖南省郴州市2024-2025学年下学期七年级期末考试数学试卷

郴州市2025年上学期期末学业质量抽测试卷 七年级数学 （试题卷） 注意事项： 1．试卷分试题卷和答题卡．试卷共6页，有三道大题，26道小题，满分120分．考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在在答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡的指定位置． 3．考生作答时，选择题和非选择题均须作在答题卡上，在试题卷上作答无效．考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题． 4．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列各数中，属于无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列AI工具图标是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列调查适合用全面调查的是（ ） A. 了解你所在小组同学每天的课外阅读时长 B. 了解全国初中生课外阅读情况 C. 了解某品牌灯泡的使用寿命 D. 了解长江中现有鱼的种类，例如鲤鱼、鲫鱼等 5. 如果，下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图是共享单车车架的示意图，线段分别为前叉、下管和立管（点C在线段上），为后下叉．已知，，，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，点是边上一点，，．将沿折叠，使点恰好落在边上的点处，则线段的长度为（ ） A. 9 B. 5 C. 4 D. 3 8. 如图，点P在直线m上移动，A，B是直线n上的两个定点，直线．对于下列各值，不会随点P的移动而变化的是（ ） A. 的大小 B. 线段的长度 C. 的周长 D. 的面积 9. 如图，射线是的平分线，．已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在大长方形中放入张相同的小长方形，其中小长形的长为，宽为，且，，三点在同一条直线上．若大长方形的周长为，阴影部分的面积为，则一张小长方形的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 计算 ______ ． 12. 如图是某地连续七天的最高气温和最低气温的折线统计图，那么温差最大的是第______天． 13. 写出一个使不等式成立的正整数解______． 14. 已知计算的结果不含x的一次项，则a的值是______． 15. 如图，将绕点顺时针旋转一定角度得到，此时点恰好边上．若，，则______． 16. 如图，在中，平分交于点D，，则______度． 17. 如图，在中，，，，，则点到边距离为______． 18. 定义：若一个整数能表示成（a，b为非零整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，74是“完美数”，因为，所以74是“完美数”．已知13是“完美数”，将13写成（a，b为非零整数）的形式为______．若是一个“完美数”，且，则______． 三、解答题（本大题共8小题，19-20题每小题6分，21-22题每小题8分，23-24题每小题9分，25-26题每小题10分，共66分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 解不等式组： 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 按要求在如图所示的网格中完成作图（网格图中每个小正方形的边长均为个单位长度）． （1）将绕点顺时针旋转，得到，作出； （2）将沿某直线翻折，点的对应点是点，作出翻折后的． 22. 某影城为吸引观众观看《哪吒之魔童闹海》，购买进价为30元的玩偶杯300个和进价为50元的哪吒手办盲盒500个．已知哪吒手办盲盒的售价比玩偶杯的售价多30元，全部售完后利润不低于9800元，求每个玩偶杯的售价至少为多少元？ 23. 阅读以下调查报告： 项目背景 为贯彻落实劳动习惯养成计划，提升学生动手实践能力、解决复杂问题能力和社会适应能力，某校开设“厨艺、园艺、电工、木工、编织”五大类劳动课程．为了解全校学生对每类课程的选择情况，随机抽取若干名学生进行调查． 调查人员 劳动基地实施小组 调查方法 抽样调查 统计数据 根据问卷数据绘制如下两幅不完整统计图： 备注 每人必选且只选一类最喜欢的课程 请根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）本次随机调查的学生人数为 人，扇形统计图中圆心角 度； （2）补全条形统计图； （3）若本次随机调查的对象都是七年级学生，请判断本次调查是否合理，并说明理由． 24. 如图，，于点G． （1）若，求的度数； （2）若，试问与相等吗？为什么？ 25. 问题发现：若x满足，求的值． 小颖在解决该问题时，采用了以下解法： 解：设，， 则，， 所以． 解决问题： （1）已知，则的值为 ； （2）已知，求的值； （3）已知，求的取值范围． 26. 将两块三角板按如图所示进行摆放，其中，，，，边与重合． （1）如图，点在边上滑动同时，点在射线上滑动，滑动过程中，三角板不动，连接． ①若，试说明； ②若，试说明为定值． （2）如图，将图中绕点顺时针旋转度（），当的平分线与的一边垂直时，求旋转角的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 郴州市2025年上学期期末学业质量抽测试卷 七年级数学 （试题卷） 注意事项： 1．试卷分试题卷和答题卡．试卷共6页，有三道大题，26道小题，满分120分．考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在在答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡的指定位置． 3．考生作答时，选择题和非选择题均须作在答题卡上，在试题卷上作答无效．考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题． 4．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列各数中，属于无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数的定义，根据无理数的三种形式：开方开不尽的数，无限不循环小数，含有的有些数，结合所给数据进行判断即可，解题的关键是掌握无理数的几种形式． 【详解】解：、是整数，属于有理数，不符合题意； 、分数，属于有理数，不符合题意； 、是无理数，符合题意； 、是整数，属于有理数，不符合题意； 故选：． 2. 下列AI工具图标是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，进行判断即可． 【详解】解：A、轴对称图形，符合题意； B、不是轴对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，不符合题意； D、不是轴对称图形，不符合题意； 故选A． 3. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】本题考查了整式的运算，根据合并同类项，积的乘方，同底数幂相乘，幂的乘方运算法则逐一验证即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【分析】解：、与不是同类项，无法合并，原选项运算错误，不符合题意； 、，原选项运算正确，符合题意； 、，原选项运算错误，不符合题意； 、，原选项运算错误，不符合题意； 故选：． 4. 下列调查适合用全面调查的是（ ） A. 了解你所在小组同学每天课外阅读时长 B. 了解全国初中生的课外阅读情况 C. 了解某品牌灯泡的使用寿命 D. 了解长江中现有鱼的种类，例如鲤鱼、鲫鱼等 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查全面调查的适用情况．全面调查适用于范围小、易操作、需精确数据的场合，而抽样调查适用于范围大、有破坏性或无法全面调查的情况，据此解答即可． 【详解】解：A、了解你所在小组同学每天的课外阅读时长，适合普查，故本选项符合题意； B、了解全国初中生的课外阅读情况，通常采用抽样调查，故本选项不符合题意； C、了解某品牌灯泡的使用寿命，通常采用抽样调查，故本选项不符合题意； D、了解长江中现有鱼的种类，例如鲤鱼、鲫鱼等，通常采用抽样调查，故本选项不符合题意． 故选：A． 5. 如果，下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．根据不等式的基本性质，当两边同时加减同一个数或乘除同一个正数时，不等式方向不变；当两边乘除同一个负数时，方向改变，对各选项逐一分析即可． 【详解】解：A、由，两边同时减2，得，故不成立，错误，不符合题意； B、由，两边同时乘3（正数），得，故不成立，错误，不符合题意； C、由，两边同时除以4（正数），得，故不成立，错误，不符合题意 D、由，两边同时乘（负数），方向改变得，再两边加1，得，正确，符合题意； 故选：D． 6. 如图是共享单车车架的示意图，线段分别为前叉、下管和立管（点C在线段上），为后下叉．已知，，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质．熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 根据两直线平行，内错角相等即可求得结果． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 7. 如图，在中，点是边上一点，，．将沿折叠，使点恰好落在边上的点处，则线段的长度为（ ） A. 9 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查折叠问题，解题关键是知道折叠前后的两个图形的边长和角度都不改变． 根据沿折叠，可知，即可求解． 【详解】解：由折叠可知， 又， ∴， 故选：D． 8. 如图，点P在直线m上移动，A，B是直线n上的两个定点，直线．对于下列各值，不会随点P的移动而变化的是（ ） A. 的大小 B. 线段的长度 C. 的周长 D. 的面积 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行线间的距离，根据平行线间的距离处处相等，得到随着点P的移动，点到的距离不变，即可得出的面积不变，判断即可． 【详解】解：∵直线，点P在直线m上移动， ∴点与直线的距离保持不变， ∵A，B是直线n上的两个定点， ∴点到的距离不变， ∴的面积不变，故D正确； 的大小，线段的长度，的周长都随着点的移动而变化； 故选D． 9. 如图，射线是的平分线，．已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，角平分线求出，垂直得到，角的和差关系求出，再根据平角的定义进行计算即可． 【详解】解：∵射线是的平分线，，， ∴，， ∴， ∴； 故选B． 10. 如图，在大长方形中放入张相同的小长方形，其中小长形的长为，宽为，且，，三点在同一条直线上．若大长方形的周长为，阴影部分的面积为，则一张小长方形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了整式的加减，完全平方公式的变形求值，先求出大长方形的长，大长方形的宽，由大长方形的周长等于，得，再根据阴影部分的面积大长方形的面积个小长方形的面积得，最后通过变形得出小长方形的面积，即的值，从而求出结果，解题的关键是通过观察图形特点并结合已知条件列出代数式，运用完全平方公式求解． 【详解】解：由题意知，大长方形的长，大长方形的宽， ∴大长方形的周长， 化简得， ∵阴影部分的面积大长方形的面积个小长方形的面积， ∴，化简得，， ∵， ∴，即， 把代入得，， 解得， ∴一张小长方形的面积， 故选：． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 计算 ______ ． 【答案】 【解析】 【分析】根据立方根的定义即可求解． 【详解】∵（）3= ∴ 故答案为：． 【点睛】此题主要考查立方根，解题的关键是熟知立方根的定义． 12. 如图是某地连续七天的最高气温和最低气温的折线统计图，那么温差最大的是第______天． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了折线统计图，有理数比较大小，有理数的减法，通过折线统计图分别求出这七天的温差，然后比较即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由折线统计图可知， 第天最高气温为，最低气温，温差为， 第天最高气温为，最低气温，温差为， 第天最高气温为，最低气温，温差为， 第天最高气温为，最低气温，温差为， 第天最高气温为，最低气温，温差为， 第天最高气温为，最低气温，温差为， 第天最高气温为，最低气温，温差为， ∴温差最大的是第天， 故答案为：． 13. 写出一个使不等式成立的正整数解______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了求不等式的整数解，先解不等式，根据不等式的解集写出一个符合题意的正整数解，即可求解． 【详解】解： 移项得， 解得： ∴使不等式成立的正整数解可以是 故答案为：． 14. 已知计算的结果不含x的一次项，则a的值是______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，多项式中不含某一项的条件，理解多项式中不含某一项的条件是解题的关键． 将按多项式乘以多项式法则化简后，不含x的一次项就是使得其系数为，即可求解． 【详解】解：原式 ， 因为结果中不含x的一次项， 所以， 解得：， 故答案：3． 15. 如图，将绕点顺时针旋转一定角度得到，此时点恰好在边上．若，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，根据旋转的性质得，再根据可得结论．解题的关键是掌握：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前后的图形全等． 【详解】解：∵将绕点顺时针旋转一定角度得到，此时点恰好在边上，且，， ∴， ∴． 故答案为：． 16. 如图，在中，平分交于点D，，则______度． 【答案】60 【解析】 【分析】本题考查的是角平分线的定义及平行线的判定与性质，先求出，再证明，根据平行线的性质求出结论即可． 【详解】解：平分， ， ， ， ， 故答案为：60． 17. 如图，在中，，，，，则点到边距离为______． 【答案】#### 【解析】 【分析】本题考查与三角形有关的线段，三角形的高，根据题意可得是直角三角形，设点到边距离为h，由三角形面积公式计算即可求解． 【详解】解：在中，， 是直角三角形， 设点到边距离为h， ，即， ， 故答案为：． 18. 定义：若一个整数能表示成（a，b为非零整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，74是“完美数”，因为，所以74是“完美数”．已知13是“完美数”，将13写成（a，b为非零整数）的形式为______．若是一个“完美数”，且，则______． 【答案】 ①. ②. 11 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义．根据 “完美数”的定义解答即可． 【详解】解：因为； 所以13写成（a，b为非零整数）的形式为； 因为，且S为整数， 所以S取6，7，8，9， 因为是一个“完美数”，且只有是“完美数”， 所以， 即． 故答案为：；11 三、解答题（本大题共8小题，19-20题每小题6分，21-22题每小题8分，23-24题每小题9分，25-26题每小题10分，共66分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，先分别求出两个不等式解集，再确定不等式组解集即可． 【详解】解：解不等式①，得． 解不等式②，得． 所以不等式组的解集是． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了整式运算、代数式的知识．根据整式混合运算法则、平方差公式的性质化简，再结合代数式的性质计算，即可得到答案． 【详解】解： ． 当时，原式． 21. 按要求在如图所示的网格中完成作图（网格图中每个小正方形的边长均为个单位长度）． （1）将绕点顺时针旋转，得到，作出； （2）将沿某直线翻折，点的对应点是点，作出翻折后的． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了基本作图——轴对称，旋转变换，根据轴对称的性质，旋转的性质正确画出图形是解题的关键． （）利用旋转性质作图即可； （）利用轴对称的性质作图即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：如图，即为所求． 22. 某影城为吸引观众观看《哪吒之魔童闹海》，购买进价为30元的玩偶杯300个和进价为50元的哪吒手办盲盒500个．已知哪吒手办盲盒的售价比玩偶杯的售价多30元，全部售完后利润不低于9800元，求每个玩偶杯的售价至少为多少元？ 【答案】每个玩偶杯的售价至少为36元 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程不等式的应用，设每个玩偶杯的售价为x元，根据全部售完后利润不低于9800元列不等式求解即可． 【详解】解：设每个玩偶杯的售价为x元， 根据题意得：， 解不等式得：． 故x的最小值为36． 答：每个玩偶杯的售价至少为36元． 23. 阅读以下调查报告： 项目背景 为贯彻落实劳动习惯养成计划，提升学生动手实践能力、解决复杂问题能力和社会适应能力，某校开设“厨艺、园艺、电工、木工、编织”五大类劳动课程．为了解全校学生对每类课程的选择情况，随机抽取若干名学生进行调查． 调查人员 劳动基地实施小组 调查方法 抽样调查 统计数据 根据问卷数据绘制如下两幅不完整的统计图： 备注 每人必选且只选一类最喜欢的课程 请根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）本次随机调查的学生人数为 人，扇形统计图中圆心角 度； （2）补全条形统计图； （3）若本次随机调查的对象都是七年级学生，请判断本次调查是否合理，并说明理由． 【答案】（1）60，72 （2）见解析 （3）不合理，抽取的样本不具有代表性 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图以及扇形统计图，抽样调查等： （1）用选择“园艺”的人数除以其所占的百分比，可求出调查的学生人数，再用360度乘以选择“编织”所占的百分比，即可求解； （2）求出选择“电工”的人数，即可求解； （3）根据抽取的样本不具有代表性，即可求解． 【小问1详解】 解：人， 即本次随机调查的学生人数为60人， 扇形统计图中圆心角； 故答案为：60；72 【小问2详解】 解：选择“电工”的人数为人， 补全条形统计图，如下图： 【小问3详解】 解：不合理． 因为随机调查的对象都是七年级学生， 所以抽取的样本不具有代表性． 24. 如图，，于点G． （1）若，求的度数； （2）若，试问与相等吗？为什么？ 【答案】（1） （2），理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键． （1）先根据垂直的定义可得，再证出，根据平行线的性质可得，，然后根据平角的定义求解即可得； （2）先根据平行线的判定可得，再根据平行线的性质可得，由此即可得． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴． 【小问2详解】 解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 25. 问题发现：若x满足，求的值． 小颖在解决该问题时，采用了以下解法： 解：设，， 则，， 所以． 解决问题： （1）已知，则的值为 ； （2）已知，求的值； （3）已知，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】本题主要考查了利用完全平方公式变形求值，熟记完全平方公式是解题的关键． （1）仿照题例即可求解； （2）设，，则，则，，然后根据即可求解； （3）设，，则，，，然后根据得，因为，所以，即，又因为，所以，即，从而求解． 【小问1详解】 解：设，， 则，， 所以， 故答案为：； 【小问2详解】 解：设，，则， ∴， ∴， 因为， 所以， 即， 所以； 【小问3详解】 解：设，，则， ∴，， 因为， 所以， 因为， 所以，即， 又因为， 所以，即， 所以， 所以． 26. 将两块三角板按如图所示进行摆放，其中，，，，边与重合． （1）如图，点在边上滑动的同时，点在射线上滑动，滑动过程中，三角板不动，连接． ①若，试说明； ②若，试说明为定值． （2）如图，将图中的绕点顺时针旋转度（），当的平分线与的一边垂直时，求旋转角的度数． 【答案】（1）①证明见解析；②证明见解析 （2）或或 【解析】 【分析】（）①证明即可求证；②过点作，由平行公理的推论可得，进而由平行线的性质得到，即可求证； （）分、和三种情况，分别画出图形，根据角平分线的定义解答即可求解； 本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，旋转的定义，掌握角平分线的判定和性质并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【小问1详解】 解：①∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； ②如图，过点作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴为定值； 小问2详解】 解：的平分线与的一边垂直分三种情况： ①如图，当交于点时，， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴旋转角的度数为； ②如图，当交于点时，即， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴旋转角的度数为； ③如图，当交的延长线于点时，， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴旋转角的度数为； 综上所述，当的平分线与的一边垂直时，旋转角的度数为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$