平面向量的概念与线性运算讲义-2026届高三数学一轮复习

平面向量的概念与线性运算 课前学习任务 一、必备知识 1．向量的有关概念 名称 定义 备注 向量 既有大小，又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的长度(或称模) 平面向量是自由向量 零向量 长度为0的向量，其方向是任意的 记作0 单位 向量 长度等于1个单位长度的向量 与非零向量a共线的单位向量为± 共线 向量 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也叫做共线向量 0向量与任一向量平行或共线 相等 向量 长度相等且方向相同的向量 两个向量只有相等或不相等，不能比较大小 相反 向量 长度相等且方向相反的向量 0的相反向量为0 2．向量的线性运算 向量运算 法则(或几何意义) 运算律 加法 三角形法则 平行四边形法则 (1) 交换律： a＋b＝b＋a； (2) 结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 减法 三角形法则 a－b＝a＋(－b) 数乘 (1) |λa|＝|λ||a|； (2) 当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 λ(μ a)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb 3．共线向量定理 向量平行(共线)的充要条件：a∥b⇔a＝λb(b≠0)．向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使得____． 4．常用结论 (1) 平面内三点A，B，C三点共线的充要条件是：存在实数λ，μ，使＝λ＋μ，其中λ＋μ＝1，O为平面内一点． (2) 对于任意两个向量a，b，都有|a＋b|2＋|a－b|2＝2(|a|2＋|b|2)(平行四边形中两邻边的长与两对角线的长之间的关系) (3) 向量三角不等式 ①||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|(当且仅当a，b反向时，左边取等号；当且仅当a，b同向时，右边取等号)． ②||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|(当且仅当a，b同向时，左边取等号；当且仅当a，b反向时，右边取等号)． 二、练基础 1．在△ABC中，D为BC的中点，则－＝(　　) A． B． C． D． 2． (人A必二P10练习T4改)(多选)如图，四边形ABCD是平行四边形，点P在CD上，则下列各式正确的是(　) A．＋＝ B．＋＋＝ C．＋＋＝ D．－＋＋＝0 3．(人A必二P10练习T2)当向量a，b满足____时，|a＋b|＝|a|－|b|(或|b|－|a|)． 4．(人A必二P15T2)设点C在线段AB上，且＝，则＝____，＝____． 5．(人A必二P16T3改)已知e1，e2不共线，向量a＝3e1－2e2，b＝ke1＋6e2，且a∥b，则实数k＝____． 课堂核心考点 考点一 平面向量的概念 例1　 (多选)下列说法错误的是(　　) A．单位向量都相等 B．零向量与任意非零向量平行 C．长度相等、方向相反的向量共线 D．方向相反的非零向量可能相等 变式1　(多选)下列说法正确的是(　　) A．零向量是唯一没有方向的向量 B．零向量的长度等于0 C．若a，b都为非零向量，则使＋＝0成立的条件是a与b反向共线 D．若a＝b，b＝c，则a＝c 考点二 平面向量的线性运算 视角1　向量加、减的几何意义 例 2－1　(1) (多选)若P是△ABC所在平面内一点，且满足|－|－|＋－2|＝0，则△ABC不可能是(　　) A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 (2) 已知非零向量a，b满足|a＋b|＝|a|－|b|，则(　　) A．|a＋b|＞|b| B．|a－b|＜|a| C．|a＋b|＞|a－b| D．(a＋b)·(a－b)≥0 变式 2－1　(人A必二P23T10(1)改)若a，b满足|a|＝3，|b|＝5，则|a＋b|的最大值为____，最小值为____． 视角2　向量的线性运算 例 2－2　(1) 在△ABC中，点E为△ABC的重心，若设＝a，＝b，则可用a，b表示为___． (2) 在△ABC中，D为线段AB的中点，E为线段CD的中点，若设＝a，＝b，则可用a，b表示为____． 变式 2－2　如图，梯形ABCD的腰CD的中点为E，且BC＝3AD，记＝m，＝n，则＝(　　) A．－m＋2n B．m＋2n C．－2m＋n D．－m＋n 视角3　根据向量的线性运算求参数 例 2－3　(1) 已知矩形ABCD的对角线交于点O，E为AO的中点，若＝λ＋μ(λ，μ为实数)，则λ2－μ2＝(　　) A．－ B． C． D． (2) 在△ABC中，点D在线段BC上，且＝2，点O在线段CD上(与点C，D不重合)．若＝x＋(1－x)，则x的取值范围是(　　) A．(0,1) B． C． D． 变式 2－3　在正六边形ABCDEF中，对角线BD，CF相交于点P．若＝x＋y，则x＋y＝(　　) A．2 B． C．3 D． 考点三 共线向量定理及其应用 例3　(1) 已知e1与e2不共线，向量＝e1－ke2，＝2e1－e2，＝3e1＋3e2，若A，B，D三点共线，则k＝(　　) A．2 B．－4 C．－2 D．3 (2) 如图，在△ABC中，点O是BC的中点．过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若＝m，＝n，则m＋n＝____． 变式3　(1) 已知a，b为不共线的非零向量，＝a＋5b，＝－2a＋8b，＝3a－3b，则(　　) A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线 C．B，C，D三点共线 D．A，C，D三点共线 (2) 如图，在△ABC中，D是BC边上一点，P是线段AD的中点，且＝x＋y，则x＋y＝(　　) A． B．1 C． D．2 课后提升练 1．下列说法正确的是(　　) A．若a＝b，则3a＞2b B．－－＝ C．|a|＋|b|＝|a＋b|⇔a与b的方向相反 D．若|a|＝|b|＝|c|，则a＝b＝c 2．已知四边形ABCD是平面四边形，设p：＝2，q：四边形ABCD是梯形，则p是q的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 3．已知D为线段AB上的任意一点，O为直线AB外一点，点A关于点O的对称点为C，若＝x＋y，则x－y＝(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 4．已知平面向量e1，e2不共线，a＝(2k－1)e1＋2e2，b＝e1－e2，且a∥b，则k＝(　　) A．－ B．0 C．1 D． 答案解析 课前学习任务 3. b＝λa 1. D　【解析】 因为在△ABC中，D为BC的中点，所以＝，所以－＝－＝. 2. BD　【解析】 对于A，－＝，故A错误；对于B，利用向量加法的三角形法则，知＋＋＝，故B正确；对于C，＋＋＝，故C错误；对于D，－＋＋＝＋＋＋＝＋＝0，故D正确． 3. a，b反向　【解析】 当a，b反向且|a|≥|b|时，|a＋b|＝|a|－|b|；当a，b反向且|a|≤|b|时，|a＋b|＝|b|－|a|，所以当a，b反向时，|a＋b|＝|a|－|b|(或|b|－|a|). 4. 　－　【解析】 由点C在线段AB上，且＝，可画出图形，如图．设AC＝5，则CB＝2，所以AB＝7.因为和同向，所以＝.因为和反向，所以＝－. (第4题) 5. －9　【解析】 因为a∥b，所以∃λ∈R，使得b＝λa成立，即ke1＋6e2＝3λe1－2λe2.因为e1，e2不共线，所以解得 课堂核心考点 例1　AD　变式1　BCD 例2-1　(1) AD　【解析】 设D为边BC的中点，则＋＝2.由已知有||＝|2－2|＝2||，所以△ABC为直角三角形． (2) D　【解析】 由|a＋b|＝|a|－|b|得|a＋b|2＝(|a|－|b|)2⇒a·b＝－|a||b|，因此可知a，b方向相反，且|a|≥|b|.对于A，|a＋b|＝|a|－|b|，由于|a|－|b|与|b|的关系不确定，故A错误；对于B，由于|a－b|＝|a|＋|b|>|a|，故B错误；对于C，|a＋b|＝|a|－|b|，|a－b|＝|a|＋|b|，所以|a＋b|<|a－b|，故C错误；对于D，(a＋b)·(a－b)＝a2－b2≥0，故D正确． 变式2-1　8　2　【解析】 |a＋b|≤|a|＋|b|＝3＋5＝8，当且仅当a，b同向时取等号，所以|a＋b|max＝8.又|a＋b|≥||a|－|b||＝|3－5|＝2，当且仅当a，b反向时取等号，所以|a＋b|min＝2. 例2-2　(1) a＋b　【解析】 由于△ABC的重心E为三角形三条中线的交点，为中线的三等分点，设D为BC的中点，所以＝＝×(＋)＝a＋b. (2) a＋b　【解析】 如图，因为E为线段CD的中点，所以＝＋.因为D为线段AB的中点，所以＝，所以＝＋＝a＋b. (例2-2(2)) 变式2-2　A　【解析】 因为BC＝3AD，又＋＋＋＝0，所以＝－－－＝－m－3n＋n＝－m－2n.又E为腰CD的中点，所以＝＋＝＋＝3n－m－n＝－m＋2n. 例2-3　(1) A　【解析】 如图，在矩形ABCD中，＝(＋)，在△DAO中，＝(＋)，所以＝＝＋＝－，所以λ＝，μ＝－，所以λ2－μ2＝－＝－. (2) C　【解析】 设＝λ，λ∈，则＝＋＝＋λ＝(1－λ)＋λ＝x＋(1－x)，则x＝1－λ∈. (例2-3(1)) 变式2-3　B 　【解析】 如图，记正六边形ABCDEF的中心为点O，连接OB，OD，易证四边形OBCD为菱形，且P恰为其中心，于是＝＝，因此＝＋＝＋.因为＝x＋y，所以x＝且y＝1，故x＋y＝. 　　　 (变式2-3) 例3　(1) B　【解析】 由＝2e1－e2，＝3e1＋3e2，得＝－＝(3e1＋3e2)－(2e1－e2)＝e1＋4e2.因为A，B，D三点共线，所以∥，可设＝x，x∈R，而＝e1－ke2，所以e1－ke2＝x(e1＋4e2)，即e1－ke2＝xe1＋4xe2.又e1与e2不共线，于是得解得k＝－4. (2) 2　【解析】 因为O为BC的中点，所以＝＋.又因为＝m，＝n，所以＝＋＝m＋n.因为M，O，N三点共线，所以m＋n＝1，即m＋n＝2. 变式3　(1) B　【解析】 因为＝a＋5b，＝－2a＋8b，所以不存在λ，使＝λ，故A，B，C三点不共线，故A错误；因为＝＋＝a＋5b，所以＝，所以A，B，D三点共线，故B正确；因为＝－2a＋8b，＝3a－3b，所以不存在λ，使＝λ，故B，C，D三点不共线，故C错误；因为＝＋＝－a＋13b，＝3a－3b，所以不存在λ，使＝λ，故A，C，D三点不共线，故D错误． (2) A　【解析】 因为P是线段AD的中点，且＝x＋y，所以＝＝x＋y，得＝2x＋2y.又B，D，C三点共线，所以2x＋2y＝1，得x＋y＝. 课后提升练 1. B　【解析】 对于A，由于任意两个向量不能比大小，故A错误；对于B，－－＝＋＝，故B正确；对于C，|a|＋|b|＝|a＋b|⇔a与b的方向相同或a与b中至少有一个为零向量，故C错误；对于D，若|a|＝|b|＝|c|，则向量a，b，c的模相等，但a，b，c的方向不确定，故D错误． 2. A　【解析】 在四边形ABCD中，若＝2，则AB∥DC，且AB＝2DC，即四边形ABCD为梯形，充分性成立；若当AD，BC为上底和下底时，满足四边形ABCD为梯形，但＝2不一定成立，即必要性不成立．故p是q的充分不必要条件． 3. C　【解析】 依题意可得A，B，D三点共线，所以＝λ＋(1－λ)，又点A关于点O的对称点为C，所以＝－，又＝x＋y，所以＝x－y，所以－y＝λ，x＝1－λ，则x－y＝1－λ＋λ＝1. 4. A　【解析】 因为a＝(2k－1)e1＋2e2，b＝e1－e2且a∥b，所以a＝tb，即(2k－1)e1＋2e2＝t(e1－e2).又e1，e2不共线，所以解得 学科网（北京）股份有限公司 $$