广东省深圳实验学校高中部2024-2025学年高一下学期第一次段考数学试卷

广东省深圳实验学校高中部高一(下)第一次段考数学试卷 一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。 1.已知复数,则( ) A. 0 B. C. 2 D. 2.下列命题中,正确的是( ) A. 若,则与方向相同或相反 B. 若,则 C. “”是,共线”的充要条件 D. 若两个单位向量互相平行,则这两个单位向量相等 3.设向量,,向量与的夹角为锐角,则x的范围为( ) A. B. C. D. 4.已知在中,,若满足条件的三角形有且只有一个,则a的取值范围是( ) A. B. 或 C. D. 或 5.在中,,,,则( ) A. B. C. D. 6.如图所示,一条河两岸平行,河的宽度为400米,一艘船从河岸的A地出发,向河对岸航行.已知船的速度的大小为,水流速度的大小为,船的速度与水流速度的合速度为v,那么当航程最短时,下列说法正确的是( ) A. 船头方向与水流方向垂直 B. , C. D. 该船到达对岸所需时间为3分钟 7.如图,延长正方形ABCD的边CD至点E,使得,动点P从点A出发,沿正方形的边按逆时针方向运动一周后回到点A,若,则下列判断不正确的是( ) A. 满足的点P必为BC的中点 B. 满足的点P有两个 C. 满足的点P有且只有一个 D. 的点P有两个 8.在中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,,则的面积为( ) A. 1 B. 2 C. D. 二、多选题:本题共3小题,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得6分,部分选对的得2分,有选错的得0分。 9.若复数,则下列命题是真命题的是( ) A. B. C. D. 若z是关于x的方程的根,则 10.在中,角A、B、C的对边分别是a、b、c,下面四个结论中正确的是( ) A. ,,则的外接圆半径是4 B. 若,则一定是钝角三角形 C. 若,则为直角三角形 D. 11.已知点P在所在的平面内,角A、B、C的对边分别是a、b、c,则下列命题正确的是( ) A. 若P为的垂心,,则 B. 若,则O为的内心 C. 若为锐角三角形且外心为P,且,则 D. 若,则动点P的轨迹经过的外心 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。 12.若向量,则在方向上的投影向量坐标为 . 13.某数学兴趣小组成员为测量某建筑的高度OP,选取了在同一水平面上的A,B,C三处,如图所示.已知在A,B,C处测得该建筑顶部P的仰角分别为、、,,米,则该建筑的高度_米. 14.已知中,,且的最小值为,若P为边AB上任意一点,则的最小值是_. 四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 15.本小题15分 已知复数z是纯虚数,且是实数,其中i是虚数单位. 求复数z; 若复数所表示的点在第一象限,求实数m的取值范围. 16.本小题15分 如图,在中,,,设, 用,表示,; 若P为内部一点,且求证:M,P,N三点共线. 17.本小题15分 在①;②;③三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并解答注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分 问题:已知的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足_. 求角A的大小; 求的取值范围; 若BC边上的中线长为,,求的面积. 18.本小题15分 克罗狄斯托勒密是古希腊天文学家、地理学家、数学家,他在所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理,其中涉及如下定理:任意凸四边形中,两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和,当且仅当对角互补时取等号.如图,半圆O的直径为4cm,A为直径延长线上的点,,B为半圆上任意一点,以AB为一边作如图所示的等边三角形 在什么位置时,四边形OACB的面积最大,并求出面积的最大值; 当线段OC的长取最大值时,求的大小; 求面积的最大值. 19.本小题17分 对于平面向量,定义“变换”: ,其中 若向量,,求; 求证:; 已知,,且与不平行,,, 求证:; 答案和解析 1.【答案】B 【解析】【分析】 本题考查复数的运算,属基础题. 化简复数z,再利用复数模的公式求出z的模. 【解答】 解:, 所以, 故选 2.【答案】B 【解析】解:当或时,有, 但与方向相同或相反不一定成立,故A错误; 若,则, 则,即,故B正确; 由,可得,共线, 若,,则,但不存在实数,使得, 故“”是,共线”的充分不必要条件,故C错误; 两个单位向量互相平行,它们的方向可能相同也可能相反, 则这两个单位向量不一定相等,故D错误. 故选: 根据向量共线的定义可判定A;由向量数量积的性质及运算可判定B;由向量共线的性质可判定C;由向量相等的定义可判定 本题考查向量共线的性质、向量相等的定义及数量积的性质和运算,属基础题. 3.【答案】C 【解析】解:根据题意,向量与的夹角为锐角 则,且与不共线, 则必有且, 解可得且, 即x的取值范围是且; 故选: 根据题意,向量与的夹角为锐角,则,且与不共线,根据向量的数量积及平行的坐标表示即可求解 本题考查向量数量积的运算,关键是利用向量积的符号判断向量夹角的大小,注意排除向量共线的情况. 4.【答案】D 【解析】解:由正弦定理可得, 若满足条件的三角形有且只有一个,则或, 所以或, 可得或 故选: 由正弦定理和三角形解的个数可得答案. 本题主要考查了正弦定理的应用,属于基础题. 5.【答案】C 【解析】解:在中,, 所以, 又, 则 故选: 先得出向量线性关系,结合向量数量积公式计算求解模长即可. 本题考查了平面向量数量积的运算,重点考查了向量模的运算,属基础题. 6.【答案】B 【解析】解:如图, 是河对岸一点,且与河岸垂直,那么当这艘船实际沿方向行驶时船的航程最短, ,,故C错误; 设船头方向与的夹角为,则,则船头方向与水流方向不垂直,故A错误; ,,故B正确; 该船到达对岸的时间为分钟,故D错误. 故选: 由向量加法的平行四边形法则结合向量模的求法判断C;求解直角三角形可得判断A;结合诱导公式求得,判断B;求出船到达对岸的时间判断 本题考查解三角形在实际问题中的应用,考查运算求解能力,正确理解题意是关键,是中档题. 7.【答案】A 【解析】解:如图,建立平面直角坐标系, 取,则,, 由题意,, 则, 动点P运动过程中, 当时,有且, 则,所以, 当时,有且, 则,所以, 当时,有且, 则,所以,所以, 当时,有且, 则,所以,所以, 综上,, 选项A:取,满足, 此时, 因此点P不一定是BC的中点,故A错误; 选项B:若, 当时,,则,点P为AD的中点, 当时,,则,点P为B点, 当时,,则,,点P为B点, 所以满足的点P有两个,故B正确; 选项C:若, 当时,有,则,,得点P为C点, 当时,有,则,点P为C点, 所以满足的点P有且只有一个,故C正确; 选项D:若, 当时,有,故,, 当时,有,故,,此时, 此时点P有两个,故D正确. 故选: 建立坐标系,讨论P点所在位置的不同情况,依次求出的范围,再判断每个选项的正误,即可得出结果. 本题考查平面向量的线性运算,属中档题. 8.【答案】B 【解析】【分析】 本题考查正弦定理与余弦定理的应用,考查辅助角公式与三角形面积公式,属于中档题. 先由题意结合正弦定理和余弦定理得, 再由得,接着结合基本不等式得, 故,进而可求得A和c,再由即可求解. 【解答】 解:由题以及正弦定理得, 所以由余弦定理得, 所以由正弦定理得, 所以, 因为,, 所以=,当且仅当时等号成立, 所以,故,则, 因为,所以,所以即, 此时,由题,即,解得, 所以. 故选: 9.【答案】ACD 【解析】解:对于A,复数, ,故A正确; 对于B,, ,故B错误; 对于C,,, ,故C正确; 对于D,若z是关于x的方程的根, 则, , ,, ,故D正确. 故选: 根据共轭复数的定义及复数乘法运算可判定A;根据复数乘法和除法运算可判定B;根据复数的模可判定C;根据方程的根及复数相等的条件可判定 本题考查共轭复数的定义、复数运算法则、复数的模、方程的根及复数相等等基础知识,考查运算求解能力,是基础题. 10.【答案】BD 【解析】解:对于A,设的外接圆半径是R,因为,, 所以由正弦定理得:,解得,故A错误; 对于B,因为,所以由余弦定理得:, 所以C为钝角,所以一定是钝角三角形,故B正确; 对于C,由,由正弦定理得,所以, 因为A,,所以或,故C错误; 对于D,若为锐角三角形或直角三角形,有; 若为钝角三角形,不妨设C为钝角,有,,, 所以,故D正确. 故选: 由正弦定理计算判断A;由余弦定理可判断B,由正弦定理和三角恒等变换计算判断C;分为锐角三角形或直角三角形和钝角三角形讨论即可判断 本题考查利用正余弦定理解三角形,涉及三角恒等变换,属于中档题. 11.【答案】ABD 【解析】解:对于A,P为的垂心,令直线CP交AB于H,有,如图, 所以, ,因此,故A正确; 对于B,因为,且,, 所以, 则,即,得点O在的平分线上, 同理可得,点O在、的平分线上,故O为的内心,故B正确; 对于C,P为锐角的外心,取AB中点F,则,如图, 由,,得, 因为,所以, 即,亦即, 则点C,P,F三点共线,因此CF垂直平分边AB,有,没有条件确保有成立,故C错误; 对于D,取BC中点M,则,如图, 由, 得, 即, 因此, 所以,则点P在边BC 的垂直平分线上,所以动点P的轨迹经过的外心,故D正确. 故选: 利用数量积的定义计算判断A;只需证明点O在角A、B、C的平分线上判断B;取AB中点F,利用共线向量定理的推论推理判断C;取BC中点M,利用向量线性运算及数量积计算判断 本题考查平面向量的数量积及三角形的五心的性质,属于中档题. 12.【答案】 【解析】【分析】 本题考查投影向量的公式,属于基础题. 直接根据投影向量的计算公式求解即可. 【解答】 解:由已知得在方向上的投影向量坐标为: 故答案为: 13.【答案】 【解析】解:设, 在直角三角形OAP中,由,得, 在直角三角形OBP中,由,得, 在直角三角形OCP中,由,得, 由,可得B是AC的中点,所以, 因为,则, 在,中,由余弦定理可得:, 解得,所以该建筑的高度OP为米. 故答案为: 设,由题可得,,,由得B是AC的中点,在和中,由余弦定理建立方程求解即可. 本题考查解三角形的实际应用问题,属于中档题. 14.【答案】 【解析】解:取,连接BD,如图所示, 则, 设,则B,D,E三点共线, 由,可知当时,有最小值, 故,即为等腰直角三角形, 以A为坐标原点,建立如图所示平面直角坐标系, 则,,设,, 则,, 故, 故当时,可得的最小值是 故答案为: 由题设,结合平面向量基本定理,可得为等腰直角三角形,再建立平面直角坐标系,利用数量积的坐标运算,结合二次函数配方法求得最值即可. 本题考查平面向量数量积的性质及运算,考查向量与三角的综合应用,属中档题. 15.【答案】解:由题意,设,其中且, 可得, 因为为实数,可得,解得,即 解:由,则, 因为复数所表示的点在第一象限,可得且, 解得,所以实数m的取值范围为 【解析】设,且,化简得到,结合题意得到,即可求解; 由,求得,根据题意得到且,即可求解. 本题主要考查纯虚数、实数的定义,以及复数的几何意义,属基础题. 16.【答案】解:由题可知, , ; 证明:由 可得, 因为,且有公共点M, 所以M,P,N三点共线. 【解析】利用平面向量线性运算法则,计算出,进而得到; 计算出,结合可得,证明出结论. 本题考查平面向量的线性运算,属基础题. 17.【答案】; ; 【解析】选择条件①,因为, 由正弦定理,得,将代入条件①, 则, 因,,约去,得, 展开,即, 移项得,即,又,所以; 选择条件②,根据题意可知,, 等式两边同乘abc,得,由正弦定理,则, 因为,,所以, 因,,约去,得,故; 选择条件③,由余弦定理, 代入条件③,则 ,化简得:, 对比余弦定理,得,即,因为,所以; 由,得,即, , 因为,所以, 故的取值范围是; 设BC中点为D,,,, 由向量关系,平方得, 即,即 ,解得舍负, 面积 根据正弦定理,余弦定理即可求解; 根据两角和差公式即可求解; 根据向量关系即可求解. 本题考查了解三角形,属于中档题. 18.【答案】; ; 【解析】设,因为,, 由余弦定理可得, , 所以 , 当,即时,四边形OACB的面积的最大值为; 在任意凸四边形中,两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和, 当且仅当对角互补时取等号, 因为为等边三角形, 即, 即, 所以OC的最大值为6,此时, 在中,由可得, 可得, 由余弦定理可得, 因为,所以; 由可得, 在中,由正弦定理可得, 可得, , 可得, 代入数据得, 当时,取得最大值为 利用表示四边形面积,求出最大值即可; 利用题中定理建立不等式,求出角的大小; 利用三角函数表示出三角形的面积,求出最大值. 本题主要考查三角函数的应用,属中档题. 19.【答案】; 【解析】因为向量, 所以, 所以; 因为,, 所以,, , ,所以; 证明:,, ; 证明:因为, , ,所以 直接代入公式即可得到答案; 计算得,从而,再展开计算即可证明; 根据面积公式即可得出;再代入公式证明即可. 本题考查平面向量的综合题,属于中档题. 第1页,共1页 学科网(北京)股份有限公司 $$