山东省淄博市沂源县2024—2025学年下学期八年级期末数学试卷（五四学制）

2024-2025学年山东省淄博市沂源县八年级（下）期末数学试卷（五四学制） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若，则的值是(    ) A. 1 B. 5 C. 4 D. 3 2.下列计算错误的是(    ) A. B. C. D. 3.如图，点F在平行四边形ABCD的边AB上，射线CF交DA的延长线于点E，在不添加辅助线的情况下，与相似的三角形有(    ) A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 4.已知点在第三象限内，化简的结果是(    ) A. B. C. D. 5.已知如图，则下列4个三角形中，与相似的是(    ) A. B. C. D. 6.如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是 (    ) A. B. C. D. 7.山农酥梨是山东农业大学培育的优质晚熟水果，这种梨皮薄、酥脆、甘甜，抗氧化，营养丰富，2022年这种梨在我县的年产量约为1万吨，截止到2024年底，三年总产量约为万吨，求三年中该梨的年平均增长率.设山农酥梨产量的年平均年增长率为x，则可列方程为(    ) A. B. C. D. 8.如图，中，，有三个正方形CDEF、DGHK、GRPQ，它们分别是、和的内接正方形，，，则第三个正方形的边长PQ的长(    ) A. 4cm B. 5cm C. D. 9.如图，矩形OABC的顶点O在坐标原点，A点坐标为，C点坐标为，若矩形与矩形OABC关于点O位似，且矩形的面积等于矩形OABC面积的，则点的坐标是(    ) A. B. C. 或  D. 或  10.如图，CE是平行四边形ABCD的边AB的垂直平分线，垂足为点O，CE与DA的延长线交于点E，连接AC、BE、DO，且DO与AC交于点F，则下列结论：①四边形ACBE是菱形；②；③AF：：5；④：：其中结论正确的有(    ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。 11.请你写出一个有一根为1的一元二次方程：______答案不唯一 12.某品牌20寸的行李箱拉杆拉开后放置如图所示，经测量该行李箱从轮子底部到箱子上沿的高度AB与从轮子底部到拉杆顶部的高度CD之比是黄金比约等于已知，则AB约是______结果保留整数 13.如图：点D在的边AB上，连接CD，下列条件：①；②；③；④其中不能判定∽的是______填序号 14.代数式有意义，则x的取值范围是______. 15.如图，，，，，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则线段的长为          . 三、解答题：本题共8小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.本小题10分 解方程： 17.本小题10分 如图所示，菱形ABCD的对角线，时，求菱形的边长和面积. 18.本小题10分 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， 求k的取值范围； 若，求方程的根. 19.本小题10分 阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下宽的亮区如图所示，已知亮区到窗口下的墙脚距离，窗口高，求窗口底边离地面的高 20.本小题12分 我县地处鲁中山区腹地，这里山清水秀，土质肥沃，气候独特，为大樱桃的生长提供了得天独厚的条件，其中燕崖镇已经发展为全国种植大樱桃面积最大的乡镇之一，我县大樱桃通过网络直播和电商平台销售到全国各地，某商户在抖音平台上直播带货，销售我县所产大樱桃，成本价为50元/箱.直播后，按每箱70元销售，第一天卖出了80箱. 若第三天的销售利润为2500元，求第二天、第三天日销售利润的平均增长率； 若直播后，通过市场调查发现，售价每降低1元，日销售量增加10箱.求当售价定为多少时，日销售利润为1950元？ 21.本小题12分 如图1，在中，，于点D，点O是AC边上一点，连接BO交AD于F，交BC边于点 求证：∽； 如图2，当O为AC的中点，时，求的值. 22.本小题13分 已知：如图所示的一张矩形纸片，将纸片折叠一次，使点A与C重合，再展开，折痕EF交AD边于E，交BC边于F，分别连接AF和CE，在线段AC上是否存在一点P，使得？若存在，请说明点P的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由． 23.本小题13分 如图，中，，，P为内部一点，且 求证：∽； 求证：； 若点P到三角形的边AB，BC，CA的距离分别为，，，求证 答案和解析 1.【答案】B  【解析】解：设， ，，， ， 故选： 利用设k法进行计算，即可解答． 本题考查了比例的性质，熟练掌握设k法是解题的关键． 2.【答案】D  【解析】解：A、，正确； B、，正确； C、，正确； D、，故错误．故选 根据二次根式的运算法则分别计算，再作判断． 同类二次根式是指几个二次根式化简成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式． 二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并． 合并同类二次根式的实质是合并同类二次根式的系数，根指数与被开方数不变． 3.【答案】C  【解析】解：四边形ABCD是平行四边形， ，， ∽，∽， 与相似的三角形有2个． 故选： 直接利用平行四边形的性质得出，，再结合相似三角形的判定方法得出答案． 此题主要考查了相似三角形的判定以及平行四边形的性质，正确掌握相似三角形的判定方法是解题关键． 4.【答案】D  【解析】解：点在第三象限内， ，， ， 故选： 根据各象限内点的坐标特征易得，，然后利用二次根式的性质化简即可． 本题考查二次根式的性质，点的坐标，熟练掌握其性质是解题的关键． 5.【答案】C  【解析】【分析】 此题主要考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理和相似三角形的判定的理解和掌握，此题难度不大，但综合性较强．是等腰三角形，底角是，则顶角是，看各个选项是否符合相似的条件． 【解答】 解：由图可知，，， ，， A、三角形各角的度数分别为，，， B、三角形各角的度数都是， C、三角形各角的度数分别为，，， D、三角形各角的度数分别为，，， 只有C选项中三角形各角的度数与题干中三角形各角的度数相等， 故选： 6.【答案】D  【解析】解：可添加， 四边形ABCD的对角线互相平分， 四边形ABCD是平行四边形， ，根据矩形判定定理对角线相等的平行四边形是矩形， 四边形ABCD是矩形， 故选： 由四边形ABCD的对角线互相平分，可得四边形ABCD是平行四边形，再添加，可根据对角线相等的平行四边形是矩形证明四边形ABCD是矩形． 此题主要考查了矩形的判定，关键是矩形的判定： ①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形； ②有三个角是直角的四边形是矩形； ③对角线相等的平行四边形是矩形． 7.【答案】C  【解析】解：年这种梨在我县的年产量约为1万吨，且山农酥梨产量的年平均年增长率为x， 年这种梨在我县的年产量约为万吨，2024年这种梨在我县的年产量约为万吨． 根据题意得： 故选： 由2022年这种梨在我县的年产量及山农酥梨产量的年平均年增长率，可得出2023及2024年这种梨在我县的年产量，结合“截止到2024年底，三年总产量约为万吨”，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 8.【答案】D  【解析】解：，， 又， ∽， ：：KE， 设正方形GRPQ的边长为 又正方形CDEF的边长为10cm，正方形DGHK的边长为7cm， ：：3， 解得 故选： 先由相似三角形的判定可得∽，再由相似三角形的性质可得QP：：KE，然后将已知条件代入，即可求得PQ的长度． 本题考查了相似三角形的判定及性质，正方形的性质，得到∽是解题的关键． 9.【答案】D  【解析】解：矩形OABC的顶点O在坐标原点，，， 可得：， 矩形与矩形OABC关于点O位似，且矩形的面积等于矩形OABC面积的， 点B的对应点的坐标是：或 故选： 由矩形与矩形OABC关于点O位似，且矩形的面积等于矩形OABC面积的，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得矩形与矩形OABC的位似比为1：2，又由点B的坐标为，即可求得答案． 此题考查了位似图形的性质．此题难度不大，注意位似图形是特殊的相似图形，注意掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方定理的应用，注意数形结合思想的应用． 10.【答案】C  【解析】解：如图，四边形ABCD是平行四边形， ，， 垂直平分AB， ，， ， ， ，， ，， 四边形ACBE是平行四边形， ， 四边形ACBE是菱形，故①正确； ，， ， ，故②正确； ， ， ， 故③错误． 设的面积为a，则的面积为2a，的面积为4a，的面积的面积， 四边形AFOE的面积为4a，的面积为6a， ：：故④正确， 故选： 根据菱形的判定、平行线分线段成比例定理、直角三角形斜边中线的性质一一判断即可． 本题考查平行四边形的性质、菱形的判定和性质、平行线分线段成比例定理、等高模型等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型． 11.【答案】  【解析】解：根据题意得方程式故本题答案不唯一，如等． 故答案为 可以用因式分解法写出原始方程，然后化为一般形式即可． 本题属于开放性试题，主要考查一元二次方程的概念的理解与掌握．可以用因式分解法写出原始方程，然后化为一般形式即可，如，后化为一般形式为 12.【答案】49  【解析】解：由题意得：， ， ， 约是49cm， 故答案为： 根据黄金分割的定义进行计算，即可解答． 本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键． 13.【答案】④  【解析】解：①，， ∽， ②，， ∽， ③， ， ， ∽， ④条件不符合，不能判定∽， 故答案为：④． 根据相似三角形的判定方法逐项分析即可． 本题考查了相似三角形的判定．解题的关键是要对相似三角形的判定定理很熟练． 14.【答案】  【解析】解：依题意有且， 解得 故答案为： 二次根式有意义即被开方数为非负数，分式有意义即分母不为0，由此计算即可． 本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，熟练掌握这两个知识点是解题的关键． 15.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了翻折变换，等腰三角形的判定和性质，勾股定理的应用等，根据折叠的性质求得相等的角是本题的关键． 首先根据折叠可得，，，，，然后求得是等腰直角三角形，进而求得，，，从而求得，，在中，由勾股定理即可求得的长． 【解答】 解：根据折叠的性质可知，，，，， 所以，， 因为， 所以， 所以是等腰直角三角形， 所以，， 所以， 所以， 因为， 所以， 因为根据勾股定理求得， 所以， 所以，， 所以， 所以 故答案为： 16.【答案】，  【解析】解：， 整理得， ， ， 先整理方程为，再利用因式分解法解方程即可． 本题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握利用因式分解解方程是解题的关键． 17.【答案】解：在菱形ABCD中，， ， ， 根据勾股定理，； 面积为：  【解析】根据菱形的对角线互相垂直平分求出OA、OB，再利用勾股定理列式计算即可求出边长AB，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可． 本题考查了二次根式的应用，菱形的对角线互相垂直平分的性质以及菱形的面积等于对角线乘积的一半的求法． 18.【答案】；   ，  【解析】根据题意得， 解得， 即k的取值范围为； 根据根与系数的关系得， ， ， 解得， ， 的值为1， 原方程化为， 解得， 根据根的判别式的意义得到，然后解不等式即可； 利用根由匇的关系得到，由于，于是可求出k的值，则原方程化为，然后利用因式分解法解方程即可． 本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，也考查了根的判别式． 19.【答案】解：， ∽， ，， ， ， ， 解得：，即窗口底边离地面的高为  【解析】因为光线AE、BD是一组平行光线，即，所以∽，则有，从而算出BC的长． 此题主要考查了相似的三角形在实际生活中的应用，利用相似对角线的性质，对应线段成比例解题．难度不大， 20.【答案】；   售价应定为65元或63元．  【解析】设第二天、第三天日销售利润的平均增长率x， 根据题意得：， 解得：，不符合题意，舍去， 答：第二天、第三天日销售利润的平均增长率为； 设应降价x元，则售价为元，日销售量为箱， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，； 当时，； 答：售价应定为65元或63元． 设第二天、第三天日销售利润的平均增长率x，根据第三天的销售利润为2500元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； 设应降价x元，则售价为元，日销售量为箱，根据日销售利润为1950元，列出一元二次方程，解方程即可． 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 21.【答案】见解析；    【解析】证明：， ， ， ， ， ， ， ∽； 解：O为AC的中点，，如图2，作，交AD的延长线于 由有∽， ， ，， 在和中， ， ≌， ， ， ∽， ， 利用等角的余角相等求得，，即可证明∽； 作，交AD的延长线于G，推出，证明再证明∽，利用相似三角形的性质即可求解． 本题考查相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质等，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 22.【答案】证明：过E作交AC于P，则P就是所求的点． 当顶点A与C重合时，折痕EF垂直平分AC， ，， 在平行四边形ABCD中，， ， ≌， 四边形AFCE是菱形． ，又， 由作法得， ∽， ，则， 四边形AFCE是菱形， ， ，   【解析】过E作交AC于P，则P就是所求的点，首先证明四边形AFCE是菱形，然后根据题干条件证明∽，列出关系式． 本题主要考查翻折变换的折叠问题，还涉及到的知识点有全等三角形的判定与性质． 23.【答案】解：证明：，， ， 又， ， ， 又， ∽； 证明：∽， ， 在中，， ， ，， ； 如图，过点P作于D，于E，于点F， ，，， ， ， ， 又， ， ∽， ，即， ， ∽， ， ， 即  【解析】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质． 利用等式的性质判断出，即可得出结论； 由的结论得出，进而由即可得出结论； 先判断出∽，得出，即，再由∽，判断出，即可得出结论． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$