江苏省泰州市泰兴市2024—2025学年下学期八年级期末数学试卷　

2024-2025学年江苏省泰州市泰兴市八年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量，下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是(    ) A. B. C. D. 2.下列调查适合用普查的是(    ) A. 了解全国初中生每天的阅读时间 B. 校对即将出版的书稿 C. 了解江苏省团员的志愿服务时间 D. 了解一批电灯产品的性能 3.关于x的一元二次方程的两个实数根为，，则下列结论中正确的是(    ) A. B. C. D. 4.若分式的值为0，则a，b满足的条件是(    ) A. B. C. 或 D. 且 5.下列关于矩形的说法中正确的是(    ) A. 矩形的对角线相等 B. 矩形的对角线平分一组对角 C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 对角线互相垂直的四边形是矩形 6.已知：双曲线为常数，经过点，则下列说法中不正确的是(    ) A. 双曲线过点 B. 该双曲线与直线没有公共点 C. 当时， D. 当时， 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 7.函数中自变量x的取值范围是______. 8.下列事件： ①篮球比赛中，强队一定战胜弱队； ②抛掷一枚硬币，硬币落地时正面朝上； ③任取两个正整数，其和大于1； ④长度为3cm、5cm、9cm的三条线段能围成一个三角形. 其中是必然事件的是______填写序号即可 9.用反证法证明命题“是无理数”时，应假设______. 10.在实数范围内分解因式：______. 11.某班按课外阅读时间将学生分为3组，第1、2组的频率分别为、，则第3组的频率是          . 12.已知：关于x的一元二次方程没有实数根，点，都在双曲线上，则a______用“>”、“<”或“=”填空 13.如图，在▱ABCD中，，点E为射线AD上的动点，连接BE，并将BE绕点B逆时针旋转得到BF，连接若AF的最小值为，则______. 14.若关于x的方程的解是正数，则k要满足的条件是______. 15.如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是菱形，点A，B在第二象限，点C在x轴负半轴上，过点A作轴，若双曲线经过点A，双曲线经过点B，则______. 16.如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点A，B分别在x轴负半轴、y轴正半轴上，C，D两点在第二象限内，过点C作轴于点F，交对角线BD于点E，连接AE，若要求出的周长，则只需要知道的条件是______.从①点A的坐标；②点B的坐标；③点A，B的坐标这3个条件中，选一个填入填序号即可 三、解答题：本题共10小题，共102分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题12分 计算： ； 18.本小题8分 某校开展学生兴趣活动问卷调查，问卷中涉及的兴趣活动有书法、围棋、剪纸、绘画、阅读共五项，参与问卷调查的学生每人必选且只选一项.抽取其中一部分问卷进行整理，分别得到如下统计表和统计图： 学生的兴趣活动统计表 兴趣活动 书法 围棋 剪纸 绘画 阅读 人数 50 a b 20 40 此次调查的样本容量为______，其中______； 在扇形统计图中，求“剪纸”兴趣活动所对应扇形的圆心角的度数； 已知该校共有1200名学生，为使这些学生能够参加自己所喜爱的兴趣活动，该校计划设立5个用于开展不同兴趣活动的专用场地，每个专用场地最多可容纳300人.试问这样的设立计划能否满足所有有意向参加兴趣活动的学生同时进行学习的需求？请说明理由. 19.本小题8分 先化简，再求值：，其中x满足 20.本小题8分 我国通过药品集中采购，大大减轻了群众的医药负担.如果某种药品经过两次降价，药价从每盒140元下调至35元，求平均每次降价的百分率是多少？ 21.本小题10分 如图，直线与双曲线交于点 求双曲线对应的函数表达式； 把直线向上平移3个单位长度，与双曲线交于点B，连接AB，OB，求的面积. 22.本小题10分 如图1，是锐角，点A，B分别在边OM，ON上. 利用无刻度直尺与圆规作图：在图1中的的内部作一点C，使得四边形OACB是平行四边形；不写作法，保留作图痕迹 在图2中将▱OACB绕点C顺时针旋转，使得点B落在ON上的点D处，点A的对应点记作点E，点O的对应点记作点要求：仅用圆规作出点D，E，F，并简要说明点F的作图过程. 23.本小题10分 如图，在矩形ABCD中，AC与BD交于点O，点E是CD上一点，连接BE交AC于点F，延长BE到矩形ABCD外的点G处，使得，连接DF，DG， 求证：； 当点E是CD的中点，时，判断四边形DFCG的形状，并证明. 24.本小题10分 数学思想、方法是数学的灵魂，若能灵活运用，会使得问题解决更简洁.“整体思想”就是一种非常重要的数学思想. 例如，已知，求的值.分析：多项式与在已知等式和待求式中反复出现，且差为常数2，因此，可以将与看作两个“整体”，设，，则，， 已知a是一元二次方程的一个实数根，求的值； 解方程： 25.本小题12分 如图1，在菱形ABCD中，，，连接AC，BD交于点 求菱形ABCD的面积； 如图2，将菱形ABCD绕着点A逆时针旋转，得到菱形AEFG，点B，C，D，M的对应点分别为E，F，G， ①当点E落在AC上时，判断EF与CD的位置关系，并说明理由； ②连接MN，当MN平行于菱形ABCD一边时，求出的值； 在的条件下，连接FD，当FD垂直于菱形ABCD的一边时，直接写出FD的长. 26.本小题14分 如图1，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为m，点A，C分别在x轴、y轴的正半轴上，Q两点从点O，B处同时出发，分别沿着和的方向运动a个单位长度，运动到C，A两点处同时停止运动，连接其中a，m均为常数且 求证：在运动过程中线段PQ经过一定点，记作M，并直接写出点M的坐标；用含有m的代数式表示 如图2，点与点M关于原点O对称.过点M作双曲线为常数，与AB交于点D，作直线与x轴、y轴分别交于E，F两点，连接 ①求证：； ②若四边形MEDQ是平行四边形，求出a与m之间的函数关系式； 当时，在中②的条件下，延长ME交双曲线于G，将直线DE沿y轴向下平移经过点G得到直线结合图象，直接写出不等式的解集. 答案和解析 1.【答案】D  【解析】解：根据中心对称图形的定义，可知A，B，C选项不符合题意，D选项符合题意， 故选： 根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，进行判断即可． 本题考查了中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的定义是解题的关键． 2.【答案】B  【解析】解：了解全国初中生每天的阅读时间，适宜抽样调查，故此选项不符合题意； B.校对即将出版的书稿，适宜进行普查，故此选项符合题意； C.了解江苏省团员的志愿服务时间，适宜抽样调查，故此选项不符合题意； D.了解一批电灯产品的性能，适宜抽样调查，故此选项不符合题意． 故选： 由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似． 本题考查的是普查和抽样调查的选择．调查方式的选择需要将普查的局限性和抽样调查的必要性结合起来，具体问题具体分析，普查结果准确，所以在要求精确、难度相对不大，实验无破坏性的情况下应选择普查方式，当考查的对象很多或考查会给被调查对象带来损伤破坏，以及考查经费和时间都非常有限时，普查就受到限制，这时就应选择抽样调查．掌握普查和抽样调查是解题的关键． 3.【答案】A  【解析】解：的两个实数根为，， ， 故选： 根据两根之和等于，两根之积等于解答即可． 本题考查了根与系数的关系，解题的关键是掌握两根之和等于，两根之积等于 4.【答案】B  【解析】解：分式的值为0， 且， 且， 故选： 根据分式的值为0，可得且，进而得出答案． 本题考查了分式的值为零的条件，平方差公式，掌握分式的值为零的条件，平方差公式是解题的关键． 5.【答案】A  【解析】解：A、矩形的对角线相等，故选项A符合题意； B、菱形的对角线平分一组对角，故选项B不符合题意； C、矩形的对角线相等且互相平分，故选项C不符合题意； D、矩形的对角线互相平分且相等，故选项D不符合题意； 故选： 由矩形的判定与性质定理分别对各个选项进行判断即可． 本题考查了矩形的判定与性质以及平行四边形的判定与性质，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 6.【答案】D  【解析】解：A、反比例函数，双曲线过点，选项说法正确，不符合题意； B、反比例函数分布在第二四象限，与直线没有公共点，选项说法正确，不符合题意； C、反比例函数分布在第二四象限，当时，，选项说法正确，不符合题意； D、反比例函数分布在第二四象限，当时，选项说法错误，符合题意； 故选： 根据一次函数与反比例函数的交点问题解答即可． 本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握该知识点是关键． 7.【答案】全体实数  【解析】解：函数中自变量x的取值范围是全体实数． 故答案为：全体实数． 根据一次函数的性质解答即可． 本题考查的是一次函数的性质，一次函数中，x的取值范围是全体实数是解题的关键． 8.【答案】③  【解析】解：①篮球比赛中，强队一定战胜弱队，是随机事件； ②抛掷一枚硬币，硬币落地时正面朝上，是随机事件； ③任取两个正整数，其和大于1，是必然事件； ④长度为3cm、5cm、9cm的三条线段能围成一个三角形，是不可能事件． 所以是必然事件的是③． 故答案为：③． 根据事件发生的可能性大小判断即可． 本题考查了事件可能性的判断，准确判断每个事件的可能性是解题关键． 9.【答案】是有理数  【解析】解：用反证法证明命题“是无理数”时，应假设“是有理数”． 故答案为：是有理数． 反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断． 此题主要考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 10.【答案】  【解析】解：原式， 故答案为： 利用平方差公式因式分解即可． 本题考查实数范围内因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 11.【答案】  【解析】解：由各组频率之和为1得， ， 故答案为： 根据各组频率之和为1，可求出答案． 本题考查频数和频率，理解“各组频数之和等于样本容量，各组频率之和等于1”是正确解答的前提． 12.【答案】>  【解析】解：关于x的一元二次方程没有实数根， ， 解得：， 反比例函数图象分布在第二四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大， ， ， 故答案为： 根据一元二次方程根的判别式确定，再根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可． 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、一元二次方程根的判别式，熟练掌握以上知识点是关键． 13.【答案】  【解析】解：过A点作于H点，在BC上截取，连接EG，如图， 绕点B逆时针旋转得到BF， ，， ， ， 即， 在和中， ， ≌， ， 时，GE最小，此时AF最小， 而AF的最小值为， 点到AD的距离为， 四边形ABCD为平行四边形， ， ， 在中，， ， 故答案为： 过A点作于H点，在BC上截取，连接EG，如图，先根据旋转的性质得到，，再证明≌得到，接着根据垂线段最短得到时，GE最小，此时AF最小，利用平行线之间的距离相等得到，然后在中利用含30度角的直角三角形三边的关系求出 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的性质和垂线段最短． 14.【答案】且  【解析】解：，， ， ， 关于x的方程的解是正数， 且，， 且 故答案为：且 根据题意，解分式方程，得到，结合已知条件，得到k所满足的条件． 本题考查了解分式方程，分式有意义的条件的应用，熟练解分式方程是解题的关键． 15.【答案】  【解析】解：双曲线经过点A， ， 设，则， ，解得负值已舍去， ，， 由勾股定理可得：， ， ， 点B在反比例函数图象上， 故答案为： 根据菱形性质利用勾股定理求出点A坐标，继而得到点B坐标，求出k值即可． 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、菱形性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点是关键． 16.【答案】②  【解析】解：过点C作轴于点H，如图所示： 设点A的坐标为，点B的坐标为，其中，， ，， 轴， ， 四边形CFOH是矩形， ，， 四边形ABCD是正方形， ，，， 在和中， ， ≌， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ≌， ，， ，， ，， 的周长为：， 若要求出的周长，则只需要知道的点B的坐标即可． 故答案为：②． 过点C作轴于点H，设点A的坐标为，点B的坐标为，其中，，证明四边形CFOH是矩形得，，再证明和全等得，则，再证明和全等得，，则，，进而得，，继而得的周长为，由此即可得出答案． 此题主要考查了正方形的性质，点的坐标，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 17.【答案】26；    【解析】 ； 先根据二次根式的性质、算术平方根、立方根的定义计算，再根据有理数的加减法则计算即可； 根据算术平方根的定义计算即可． 本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 18.【答案】50，60；   ；   不能，理由见解答．  【解析】参加这次问卷调查的学生人数为：人， ，； 故答案为：50，60； ； 答：“剪纸”兴趣活动所对应扇形的圆心角的度数为； 不能，理由如下： 喜爱“剪纸”兴趣活动的学生的人数， 这样的设立计划不能满足所有有意向参加兴趣活动的学生同时进行学习的需求． 根据“围棋”兴趣活动的人数和所占百分比即可求得总人数，然后根据“书法”兴趣活动人数所占的百分比求出a的值，再计算b的值即可； 用“剪纸”兴趣活动人数所占比例乘即可； 计算出“阅读”兴趣活动的学生人数即可得出答案． 本题考查统计表、房形统计图，明确题意，数形结合是解答本题的关键． 19.【答案】，  【解析】解： ， 由可得或， 时，原分式无意义， ， 当时，原式 先通分括号内的式子，然后约分，再根据可以求得x的值，最后将使得原分式有意义的值代入化简后的式子计算即可． 本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 20.【答案】解：设平均每次降价的百分率是x， 由题意得：， 解得：，不合题意，舍去， 答：平均每次降价的百分率是  【解析】设平均每次降价的百分率是x，根据药价从每盒140元下调至35元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 21.【答案】双曲线对应的函数表达式为；     【解析】直线与双曲线交于点， ， ， ， 双曲线对应的函数表达式为； 根据平移特征可知，平移后直线解析式为，联立方程组得： ，解得，， ， 如图，过点B作x轴的垂线交OA于点D， 在直线中，当时，， ， 利用待定系数法求出双曲线对应的函数表达式即可； 先求出点B的坐标，再求出铅锤高，利用面积公式计算即可． 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握该知识点是关键． 22.【答案】见解析．  【解析】如图1中，四边形OACB即为所求； 如图2中，四边形CEFN即为所求． 方法：以C为圆心CB为半径作弧交NO于点D，CA的左侧作，在射线CT上截取线段CE，使得，分别以E，D为圆心，CD，CE为半径作弧，两弧交于点F，连接FD，EF即可． 分别以A，B为圆心，OB，OA为半径作弧两弧交于点C，连接AC，BC即可； 以C为圆心CB为半径作弧交NO于点D，CA的左侧作，在射线CT上截取线段CE，使得，分别以E，D为圆心，CD，CE为半径作弧，两弧交于点F，连接FD，EF即可． 本题考查作图-旋转变换，平行四边形的判定和性质，解题的关键是理解题意正确作出图形． 23.【答案】详见解析；   详见解析．  【解析】证明：矩形ABCD， ， 又， 是的中位线， ， 即； 解：四边形DFCG是矩形，理由如下： ， ， 矩形ABCD， ， ， 又， ， ， 由可知， ，， ， ， 又点E是CD的中点， ， ， ， 四边形DFCG是矩形． 先证明，结合，可得OF是的中位线，可得； 先证明，再证明，可得，再证明，，可得，可得四边形DFCG是矩形． 本题考查的是矩形的性质与判定，三角形的中位线的性质，等角对等边，熟记矩形的性质与判定是解本题的关键． 24.【答案】2024；   ，  【解析】是一元二次方程的一个实数根， ， ，， 原式 ； 设， 原方程化为， 整理得：， 解得：，， 经检验，，均为方程的解， 当时， ， 即， ， 该方程没有实数根， 当时， ， 即， 解得：，， 故原方程的解为， 根据一元二次方程的解的意义可得，则，，将其代入原式并通分计算后再约分即可； 设，将原方程化为，解分式方程并检验后代入中解得x的值即可． 本题考查解一元二次方程，一元二次方程的解，换元法解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键． 25.【答案】；   ①； ②或；   或  【解析】如图1，在菱形ABCD中，，，连接AC，BD交于点 解：四边形ABCD是菱形， ，，，， ， ， ， 是等边三角形， ， ； ①如图1， ，理由如下： 由知， ， 菱形ABCD绕着点A逆时针旋转，得到菱形AEFG， ， ， ， 四边形ABCD和四边形AEFG是菱形， ，， ； ②如图2， 当时， ， 由旋转性质得， ， ， ，， 当时图中， 同理可得， ， ， 综上所述：或； 如图2， 当时，设FD延长线交AB于W， 则， ，， ， ， ， 当时， 则， 当时， ， 综上所述：或 可得出是等边三角形，从而得出，求得BM的值，进而得出BD的值，进一步得出结果； ①可得出，从而得出，从而，进一步得出结论； ②当时，可得出，从而得出，，当时，，从而； 当时，点F在CD的上方时，设FD延长线交AB于W，则，可得出，，，根据勾股定理得出FW的值，从而得出DF的值，当点F在AB下方时，同样得出结果；当时，根据勾股定理得出结果． 本题考查了了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是分类讨论． 26.【答案】证明见解答；   ①证明见解答；②；   当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为  【解析】证明：由题意得：，， 设直线PQ的解析式为，则， 解得：， 直线PQ的解析式为， 当时，， 点M的坐标为，即线段PQ经过一定点M； ①证明：由知：， 点与点M关于原点O对称． ， 双曲线为常数，经过点M， ， 双曲线与AB交于点D， ， 设直线的解析式为，则， 解得：， 直线的解析式为， 令，得， 解得：， ， 轴， 轴， ； ②解：四边形MEDQ是平行四边形， ，即， ， ， 即； 解：由②知，轴，，， ， ， 将直线DE沿y轴向下平移经过点G得到直线 ，把G的坐标代入得：， 解得：， 联立得：， 解得：，， 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 综上，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为 运用待定系数法得出直线PQ的解析式，得出点M的坐标即可； ①根据中心对称得出点的坐标，再求得点D的坐标，运用待定系数法可得直线的解析式； ②由平行四边形性质可得，即，建立方程求解即可； 先求得点G的坐标，再求得直线DE平移后的直线解析式，联立方程求得两个交点的横坐标即可求得答案． 本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法，反比例函数的图象和性质，一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数与不等式的关系，正方形性质，平行四边形的判定和性质等，熟练掌握并能够灵活运用相关知识，应用方程思想和分类讨论思想是解题关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$