2025年广东省东莞市石碣新民学校中考数学原创信息试卷（六）-　

2025年广东省东莞市石碣新民学校中考数学原创信息试卷（六） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.北宋沈括在《梦溪笔谈》中提到“算法用赤筹、黑筹，以别正、负之数”，古人用红色、黑色算筹分别表示具有相反意义的正数和负数，下列各数中不是负数的是(    ) A. B. C. 1 D. 2.下面四幅作品分别代表“惊蛰”“谷雨”“立秋”“冬至”，其中是轴对称图形的是(    ) A. B. C. D. 3.据广东省市场监管局发布的消息，截至2024年年底，广东省登记在册的经营主体突破1900万户，数字1900万用科学记数法可表示为(    ) A. B. C. D. 4.在一个暗箱里放有m个除颜色外完全相同的球，这m个球中红球只有4个，每次将球充分摇匀后，从中随机摸出一球，记下颜色后放回.通过大量的重复试验后发现，摸到红球的频率为，由此可以推算出m的值约为(    ) A. 8 B. 2 C. 10 D. 20 5.若单项式与的差是单项式，则m的值是(    ) A. 3 B. 6 C. 4 D. 2 6.如图，直线a，b相交，，则等于(    ) A. B. C. D. 7.分式方程的解是(    ) A. B. C. D. 8.如图，在中，，，点D，E分别在BA，BC的延长线上，BP平分，CP平分，连接AP，若，则PC的长度为(    ) A. 4 B. 3 C. 5 D. 9.如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为6和8，则b的面积为(    ) A. 6 B. 8 C. 10 D. 14 10.如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，过点A作y轴的垂线，交抛物线另一侧于点B，点C，D在线段AB上，且关于y轴对称，分别过点C，D作x轴的垂线交抛物线于E，F两点，则四边形CDFE周长的最大值为(    ) A. 8 B. 10 C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.已知一组数据：1，1，1，2，2，5，6，则这组数据的众数为______. 12.已知，则______. 13.如图，在中，，，则AC的长为______. 14.将正方形A的一个顶点与正方形B的对角线交叉重合，如图1位置，则阴影部分面积是正方形A面积的，将正方形A与B按图2放置，则阴影部分面积是正方形B面积的______. 15.如图，AB为的直径，BD平分，DB与AC交于点E，若，则的面积为______. 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.本小题7分 计算： 17.本小题7分 先化简，再求值：，其中 18.本小题7分 在一条笔直的道路上依次有A，B，C三地，小明从A地跑步到达B地，休息后按原速跑步到达C地.小明距B地的距离与时间之间的函数图象如图所示. 从A地到C地的距离为______ m； 求小明从B地出发到距B地750m处时所用的时间. 19.本小题9分 某社区图书馆欲购进一批图书.现随机抽取部分居民进行问卷调查，被调查者从“文史类”“社科类”“小说类”“生活类”中选择自己喜欢的一类.根据调查结果绘制了如题19图所示的统计图，请根据图中信息，解答下列问题： 此次共调查了______人； 将条形统计图补充完整； 小红与小明每人从四类图书中任选一种，用画树状图法或列表法求二人恰好都选择“文史类”的概率. 20.本小题9分 如图，在中，以AB边为直径作交AC于点D，的平分线交AB于点E，交BD于点F，连接AF，已知 求证：BC是的切线； 若，，求CD的长. 21.本小题9分 综合与实践. 【主题】探究化学实验中的数学问题. 【实践操作】如图1是排水法收集气体的化学实验装置示意图，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处. 【数学建模】将图1的示意图抽象成图2，已知试管AB的长为15cm，过点B作AH的垂线段，垂足为C，交DG于点E，试管倾斜角，试管与导管的夹角 【问题解决】求的度数； 铁夹D到水平桌面HN的距离是17cm，测量可得导管露在水槽外的部分BF为8cm，则水槽的高度MN约为多少？结果精确到；参考数据： 22.本小题13分 【问题情境】如图1，在矩形ABCD中，，，对角线AC，BD相交于点E，点M为CD上任意一点，连接 【实践操作】如图1，用尺规作的外接圆保留作图痕迹，不写作法； 【深入探究】如图2，的外接圆与BC相交于点N，连接EN，求证：； 如图3，若，请判断的外接圆与直线BD的位置关系，并说明理由. 23.本小题14分 【问题情境】如图1，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为，反比例函数的图象与边BC和边AB分别交于点D和点E，连接 【数学理解】如图1，当时，求点D和点E的坐标； 如图2，连接AC，请判断DE与AC的位置关系，并给出证明； 如图3，将沿DE折叠，点B关于DE的对称点为点，当点不落在矩形OABC外部时，求k的取值范围. 答案和解析 1.【答案】C  【解析】解：，，是负数，1不是负数， ，B，D选项不符合题意，D选项符合题意， 故选： 先判断各个选项中数的正负，然后判断即可． 本题主要考查了正负数，解题关键是熟练掌握正负数的定义． 2.【答案】B  【解析】解：A，C、D选项中的字都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； B选项中的字能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选： 根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 3.【答案】C  【解析】解：1900万 故选： 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 4.【答案】D  【解析】解：这m个球中红球只有4个，摸到红球的频率为， ， ， 故由此可以推算出m的值约为 故选： 在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，进而利用概率公式列出方程求解即可． 本题主要考查了利用频率估计概率，解题的关键是掌握“利用大量试验得到的频率可以估计事件的概率”． 5.【答案】A  【解析】解：由同类项的定义可知， 解得 故选： 根据同类项的定义列出方程，再求解即可． 本题考查了同类项的定义，掌握同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同的项叫同类项． 6.【答案】C  【解析】解：，， ， ， 故选： 根据题意可得，，由此即可求解． 本题考查了对顶角，邻补角，掌握对顶角，邻补角的计算是解题的关键． 7.【答案】D  【解析】解：原方程去分母得：， 解得：， 经检验，是分式方程的解， 故选： 利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可． 本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键． 8.【答案】B  【解析】解：，BP平分， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， 故选： 先根据角平分线的定义和已知条件求出和，从而求出和，然后根据等腰三角形的性质证明即可． 本题主要考查了角平分线，解题关键是正确识别图形，理解角与角之间的和差倍分关系． 9.【答案】D  【解析】解：、b、c都是正方形， ，； ， ， ，， ≌， ，； 在中，由勾股定理得：， 即， 故选： 运用正方形边长相等，结合全等三角形和勾股定理来求解即可． 本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理的综合运用，结合图形求解，对图形的理解能力要比较强． 10.【答案】B  【解析】解：由条件可知， 解得：， 抛物线解析式为：， 设E点坐标为，由抛物线的对称性得F点坐标为， 点坐标为， 四边形CDFE周长， 最大值为10， 故选： 代入求得抛物线解析式为，设E点坐标为，进而表示出F、C点坐标，从而表示出四边形的周长，求最大值即可． 本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质以及正方形的性质是解题的关键． 11.【答案】1  【解析】解：数据中1出现的次数最多， 故众数为： 故答案为： 根据众数的定义进行解答即可． 本题考查了众数，解题的关键是根据众数的定义来解答． 12.【答案】  【解析】解：， ， 故答案为： 将代入所求式子计算即可． 本题考查二次根式的化简求值、平方差公式，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 13.【答案】  【解析】解：由题知， 因为， 所以令， 在中， ， 解得舍负， 所以 故答案为： 根据正切的定义得出AC与BC的关系，再结合勾股定理进行计算即可． 本题主要考查了解直角三角形及勾股定理，熟知勾股定理及正切的定义是解题的关键． 14.【答案】  【解析】解：在图1中，， ，，， ≌， 阴影部分的面积等于的面积，且是小正方形的面积的，是大正方形的面积的； 设小正方形的边长为x，大正方形的边长为y，则有， ， 同上，在图2中，阴影部分的面积是大正方形的面积的，为， 阴影部分面积是正方形B面积的 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定，等腰直角三角形的性质． 本题是一道根据正方形的性质、全等三角形的判定和等腰直角三角形的性质结合求解的综合题．难度大，考查学生综合运用数学知识的能力． 15.【答案】  【解析】解：为的直径， ， ， ， ，解得： 由条件可知 ， 平分， 设点E到AB的距离为h， 则， 由条件可知， ， ， ，解得：， 的面积为 故答案为： 先利用圆周角定理的推论，求得，再根据直角三角形的两个锐角互余，求出，然后利用角平分线的意义求得，接着利用3含有30度角的直角三角形的性质求得AB，再利用勾股定理求得AC，然后利用角平分线的性质及三角形面积公式求解，得到关于h的方程求解，再求出的面积． 本题考查了圆周角定理的推论，角平分线的意义，直角三角形的两个锐角互余，求三角形的面积，含有30度角的直角三角形的性质，角平分线的性质与判定等知识，解题的关键是利用直角三角形的两个锐角互余，根据已知角求出另一个锐角的度数． 16.【答案】  【解析】解： 先根据绝对值、算术平方根、负整数指数幂、零指数幂的运算法则计算，再根据有理数的混合运算法则计算即可． 本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 17.【答案】解：原式 ， 当时， 原式   【解析】根据分式的运算法则进行化简，然后将x的值代入原式即可求出答案． 本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型． 18.【答案】1500；     【解析】由图象可知，从A地到B地的距离为450m，从B地到C的距离为1050m， 则从A地到C地的距离为 故答案为： 小明跑步的速度为， 答：小明从B地出发到距B地750m处时所用的时间为 计算从A地到B地的距离与从B地到C的距离之和即可； 根据速度=路程时间求出小明跑步的速度，再由时间=路程速度计算即可． 本题考查一次函数的应用，掌握时间、速度和路程之间的关系是解题的关键． 19.【答案】200；  见解答；   【解析】本次调查的总人数为人， 故答案为：200； “生活类”人数为人， 则“小说类”人数为人， 补全图形如下： 记社科类图书为A、文史类图书为B、生活类图书为C、小说类图书为D， 画树状图如下： 由树状图可知，共有16种等可能情况，其中二人恰好选择文史类的只有1种结果， 所以二人恰好选择文史类的概率为 根据文史类的人数以及文史类所占的百分比即可求出总人数； 根据总人数以及生活类的百分比即可求出生活类的人数以及小说类的人数； 画树状图列出所有等可能结果，再根据概率公式求解可得． 此题考查了树状图法或列表法求概率以及利用类比法解决问题，解题的关键是根据题意画出树状图或表格，再由概率=所求情况数与总情况数之比求解． 20.【答案】见解析；   CD的长为  【解析】证明：为直径， ， ， ， 的平分线交AB于点E， ， ， ， ， ， 是的切线； 解：，， ， ，， ∽， ， 设，， ， ， ， 的长为 根据圆周角定理得到，根据角平分线的定义得到，根据等腰三角形的性质得到，根据切线的判定定理得到结论； 根据相似三角形的性质得到，设，，根据勾股定理即可得到结论． 本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，正确地识别图象是解题的关键． 21.【答案】水槽的高度MN约为  【解析】， ， ， ； 过点B作，交FM的延长线于点P， 的长为15cm，， ， 在中，， ， 在中，，BF为8cm， ， ， ， 水槽的高度MN约为 先根据已知易得：，然后利用平行线的性质进行计算，即可解答； 过点B作，交FM的延长线于点P，根据已知易得：，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出DE和BP的长，最后利用线段的和差关系进行计算即可解答． 本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 22.【答案】作图见解析；  证明见解析；  的外接圆与直线BD的位置关系为相切，说明理由见解析．  【解析】解：作EC的垂直平分线FG， 作CM的垂直平分线HK，HK与FG交于点O， 以点O为圆心，OC为半径画圆．如图， 则为的外接圆； 证明：连接MN，如图， 四边形ABCD为矩形， ，，， 为圆的直径， ， ， ， ， 在中，， ； 解：的外接圆与直线BD的位置关系为相切，说明理由： 作出的外接圆，设与BC相交于点N，连接OE，EN，MN，过点E作于点Q，如图， 四边形ABCD为矩形， ，，， ， ， ， ∽， ， ， ， ， 由知：， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 四边形ABCD为矩形， ， 为圆的直径， ， ， ， ， ， 为圆的半径， 与直线BD相切． 利用弦的垂直平分线经过圆心的性质解答即可； 连接MN，利用矩形的性质和圆周角定理得到MN为圆的直径，利用直角三角形的边角关系定理得到，利用圆周角定理得到，再利用直角三角形的边角关系定理解答即可得出结论； 作出的外接圆，设与BC相交于点N，连接OE，EN，MN，过点E作于点Q，利用相似三角形的判定与性质求得EQ，DQ，利用勾股定理求得EM，EN，利用勾股定理求得MN，NC，则，利用等腰三角形的性质，圆周角定理求得，再利用圆的切线的判定定理解答即可得出结论． 本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的判定定理，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，基本作图，连接经过切点的半径和直径所对的圆周角是解决此类问题常添加的辅助线． 23.【答案】，；   见解析；   k的取值范围是  【解析】解：四边形OABC是拒形， 轴，轴， ，， 设， ，， 点D，E在反比例函数的图象上， ， ， ，； 证明：点D、点E都在双曲线上， 、， 则，， 则，同理可得：， ，， ∽， ； 解：如图3，连接AC、交于点I，交DE于点F， ， 随x的增大而增大， 当点在x轴上时，k的值最小；若点D与点B重合，则k的值最大， 垂直平分，， ， ， ，且， ， 解得 则点， 则 若点D与点B重合，则， 的取值范围是 如图1，根据矩形的性质得到轴，轴，设，得到，，列方程即可得到结论； 证明∽，即可求解； 当点在y轴上时，k的值最小；若点D与点B重合，则k的值最大；若点D与点B重合，则，即可求解． 本题考查了反比例函数综合运用，涉及到三角形相似、最值的确定等，确定k的临界点是中解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$