2025年江苏省南京市鼓楼区树人学校中考数学三模试卷　

2025年江苏省南京市鼓楼区树人学校中考数学三模试卷 一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.的相反数是(    ) A. 2025 B. C. D. 2.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(    ) A. B. C. D. 3.实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是(    ) A. B. C. D. 4.下列计算正确的是(    ) A. B. C. D. 5.某农业合作社在春耕期间采购了A，B两种型号无人驾驶农耕机器.已知每台A型机器的进价比每台B型机器进价的2倍少万元；采购相同数量的A，B两种型号机器，分别花费了21万元和万元.若设每台B型机器的进价为x万元，根据题意可列出关于x的方程为(    ) A. B. C. D. 6.如图，在等边中，点D，E分别是边AB、BC上的动点，且以DE为边作等边，使点A与点F在直线DE同侧，DF交AC于点G，EF交AC于点给出下面四个结论： ①； ②； ③若，则； ④若CE：：2，则四边形DBEF是菱形. 上述结论中.所有正确结论的序号是(    ) A. ①② B. ③④ C. ①②③ D. ①②③④ 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。 7.16的平方根是______. 8.我们要“远离毒品，珍惜生命”，科学研究发现某种毒品的分子直径是米，则数字用科学记数法表示为______. 9.若a，b为连续整数，且，则______. 10.小天想要计算一组数据92，90，94，86，99，85的方差，在计算平均数的过程中，将这组数据中的每一个数都减去90，得到一组新数据2，0，4，，9，，记这组新数据的方差为，则______填“>”、“=”或“<” 11.如图，四边形ABCD是边长为10的菱形，对角线，取BC的中点E，连结AE交BD于点F，则______. 12.当或时，代数式的值相等，则时，代数式的值为______. 13.如图，将绕点A顺时针旋转得到，若，则点C运动的路径长为______. 14.如图，点在双曲线上，作直线OA交双曲线于点B，过点A作轴于点C，连接BC，已知的面积为2，那么______. 15.如图，在四边形ABCD中，，，AD，CD分别与扇形BAF相切于点A与点当，时，AD的长为______. 16.如图，在矩形ABCD中，，，点E是平面内一点，且，过点D作交于点当线段AE绕点A在平面内旋转时，线段BF长度的最大值为______. 三、解答题：本题共11小题，共88分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题8分 计算或化简： 计算：； 化简： 18.本小题6分 解不等式组，并写出它的所有整数解. 19.本小题8分 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，， 求证：四边形OCED是菱形； 若，，求四边形OCED的面积. 20.本小题8分 某无人机社团正在进行表演训练，无人机甲从地面起飞，以的速度匀速上升，2s后无人机乙从同一地面起飞，以的速度匀速上升，无人机乙起飞6s后与无人机甲位于同一高度.两架无人机表演训练时距地面的高度均为60m，无人机距地面的高度与时间之间的函数图象如图所示. 求a，b的值. 求无人机乙在上升期间高度与时间的函数关系式. 直接写出两架无人机在飞行过程中高度相差6m时x的值. 21.本小题8分 端午节吃粽子是中华民族的传统习俗.某食品厂为了解市民对去年销量较好的A、B、C、D四种粽子的喜爱情况，在端午节前对某小区居民进行抽样调查每人只选一种粽子，并将调查情况绘制成如下两幅尚不完整的统计图. 根据以上信息，解答下列问题： 补全条形统计图，并在扇形统计图中标出D种粽子所占百分比； 扇形统计图中，D种粽子所在扇形的圆心角是______； 这个小区有2500人，估计爱吃B种粽子的人数为______人. 22.本小题8分 为使学生更加热爱家乡.某校七年级准备从博物馆A、文化馆B两个研学基地中，随机选择一个基地研学，且每个基地被选到的可能性相等；八年级准备从博物馆A、文化馆B、党史馆C三个研学基地中，随机选择一个基地研学，且每个基地被选到的可能性相等. 八年级选择去博物馆A的概率是______； 用列表法或画树状图法求该校七年级、八年级选择的研学基地互不相同的概率 23.本小题8分 如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处.已知试管，，试管倾斜角为实验时，为了保持装置稳定，导气管紧贴水槽壁MN，延长BM交CN的延长线于点F，点C，D，N，F在一条直线上，经测得：，，求铁架台和点F的水平距离DF的长度结果精确到参考数据：，， 24.本小题8分 定义：一个整数能写成两个整数的平方差的形式，称这个整数为“树人数”. 如：，，则0和1都是“树人数”. 判断2，3是否为“树人数”？说明理由. 下列说法正确的序号有______. ①任何一个奇数都是“树人数”； ②任何一个偶数都是“树人数”； ③任何一个被4整除的数是“树人数”； ④任何一个被4除余2的数是“树人数”. 已知a，b是“树人数”.求证：ab也是“树人数”. 25.本小题8分 如图1，等边三角形ABC的边长为2，点A，B在上，点C在内，的半径为，将绕点A逆时针旋转，点C的对应点记作 用无刻度直尺在图1中，作出第一次落在上时的位置，此时旋转角为______； 用无刻度直尺和圆规在图2中，作出与相切时的位置，此时的长为______. 26.本小题9分 大胆联想，小心求证 【问题提出】 如图①，在等腰的斜边AB及其延长线上分别选取点D和点E，使 求证： 【问题解决】 小明根据已有的学习经验从求证结论出发，反向思考，将“乘积式”转化成“比例式”，联想三角形相似，如图②，思路如下，请将他的思路补全 思路1：小亮观察条件“等腰联想“等腰三角形三线合一”性质，作等腰的底边AB上的高CF，如图③所示，…； 思路2：小红观察结论是“乘积式”，联想圆中相关结论，构造的外接圆，如图④所示，分别将与转化，…； 思路3：聪明的你又想到…，请自选思路，完成证明. 27.本小题9分 知识回顾： 方法指导 如果物体的运动速度随着时间均匀增加或减少，那么其在某个时间段内的平均速度为该时间段开始时刻的速度与结束时刻的速度的平均数.例如，由图象可知，第到第汽车的速度随着时间均匀增加，因此汽车在该时间段内的平均速度为，该时间段行驶的路程为 如图①，小丽驾车从甲地到乙地，设她出发第时的速度为，图中的折线表示她在整个驾车过程中y与x之间的函数关系.根据上述方法指导，小丽驾车从到共行驶______ 知识应用： 如图②，一条河宽度100m，小明欲从A处游到对岸，水流速度为，小明游泳速度注：表示小明在水平方向上的速度，表示小明在垂直方向上的速度，V表示小明斜向游泳的速度，且，小明为了游到正对岸B的位置，心里想：我必须向着上游方向出发，使得游泳的水平速度抵消水流速度；最终通过调整出发方向与河岸的夹角，小明在竖直方向的速度为______，最终到达点B，所用的时间是______. 实际情况下，如图③小明由于体力消耗，速度会减小，假设速度每秒衰减，为了游到对岸，小明改变策略但始终保持和对岸BC垂直的方向游泳. ①小明的游泳轨迹可能是______选择，，，其中一个 ②小明可以游到B的位置吗？如果能，请说明理由；如果不能，请求出小明实际到对岸的位置C与B的距离. 答案和解析 1.【答案】A  【解析】解：的相反数是 故选： 根据符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数，即可求得答案． 本题考查了相反数的概念，掌握只有符号不同的两个数互为相反数，是解答此题的关键． 2.【答案】A  【解析】解：A、原图既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意； B、原图不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意； C、原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； D、原图是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意； 故选： 根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可． 本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 3.【答案】D  【解析】解：从图中得出：， A.a和b相乘是负数，所以，故A选项错误； B.a和b相加是负数，所以，故B选项错误； C.因为，所以，故C选项错误； D.因为a是正数，所以，又因为b是负数，所以，即，故选项D正确， 故答案为： 从图中判断a和b的值，再根据有理数的运算来计算． 主要考查了实数在数轴上的判断以及有理数的运算． 4.【答案】B  【解析】解：A、，故A不符合题意； B、，故B符合题意； C、，故C不符合题意； D、，故D不符合题意； 故选： 根据平方差公式，完全平方公式，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法法则进行计算，逐一判断即可解答． 本题考查了整式的混合运算，实数的运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 5.【答案】C  【解析】解：设每台B型机器的进价为x万元，则设每台B型机器的进价为万元， 根据题意得 故选： 设每台B型机器的进价为x万元，则设每台B型机器的进价为万元，根据“采购相同数量的A，B两种型号机器，分别花费了21万元和万元”即可列出分式方程． 本题考查主要了由实际问题抽象出分式方程，根据题意找出题目中的相等关系列出分式方程是解决问题的关键． 6.【答案】D  【解析】解：，都是等边三角形， ， ， ， ， ，故①正确； ， ，， ， ∽， ，即， ， ；故②正确； 是等边三角形， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ，即，故③正确； ：：2， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 四边形DBEF是菱形，故④正确． 故选： ①正确．利用等边三角形的性质以及三角形外角的性质证明即可； ②正确．证明∽，可得结论； ③正确．证明即可； ④正确．证明四边形四边相等即可． 本题主要考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，勾股定理等知识，综合运用相关知识是解题的关键． 7.【答案】  【解析】解：， 的平方根是， 故答案为： 根据平方根的定义即可求解． 本题主要考查了平方根，掌握平方根的定义是解题的关键． 8.【答案】  【解析】解： 故答案为： 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 9.【答案】11  【解析】解：， ， ，， ， 故答案为： 根据，可得，即可得出，，因此 本题考查的是估算无理数的大小，熟练掌握其估算方法是解题的关键． 10.【答案】=  【解析】解：一组数据中的每一个数据都加上或都减去同一个常数后，它的平均数都加上或都减去这一个常数，两数进行相减，差不变，则方差不变， 故答案为： 根据一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个非零常数，那么这组数据的波动情况不变，即方差不变，即可得出答案． 本题考查算术平方根与方差：一般地设n个数据，，，…的平均数为，则方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立，解答本题的关键是掌握一组数据都加上同一个非零常数，方差不变． 11.【答案】  【解析】解：如图，AC交BD于点O， 四边形ABCD是边长为10的菱形，， ，，，，， ， ， 的中点E， ， ， ∽， ， ， ， 故答案为： 根据菱形的性质、勾股定理求出，，，，根据平行线的性质求出∽，再根据相似三角形的性质求解即可． 此题考查了相似三角形的判定与性质、菱形的性质，熟记相似三角形的判定与性质、菱形的性质是解题的关键． 12.【答案】2025  【解析】解：设，则，，， 对称轴， 当或时，代数式的值相等， ， ， 将代入得：， 当时，代数式的值为2025， 故答案为： 把代数式转化成二次函数，根据自变量x取不同的值，代数式的值即二次函数的值都相等，即可知道m、n关于对称轴对称，根据的值在对称轴上即可求出的值，最后代入代数式即可． 本题考查了二次函数的对称轴与代数式的求值，解题的关键在与理解二次函数对称轴的含义，即两个点关于对称轴对称，函数值相等． 13.【答案】  【解析】解：绕点A顺时针旋转得到，， 点C经过的路径长为：， 故答案为： 根据弧长公式即可求出点C经过的路径长． 本题考查了轨迹，旋转的性质，掌握以上知识点是解题的关键． 14.【答案】18  【解析】解：点在双曲线上， ， ， 设直线OA的解析式为，则：， ， ， 设， 过点B作轴，延长CA交BD于点E，则： 轴， ， 四边形OCED为矩形， ， ，， ， ， ， ， ， 故答案为： 先求出A点坐标进而求出OA的解析式，过点B作轴，延长CA交BD于点E，根据三角形的面积公式，求出B点坐标，即可得出k值． 本题考查反比例函数k的几何意义，掌握反比例函数k的几何意义是关键． 15.【答案】9  【解析】解：如图，连接BE，作于点H， 则， ，CD分别与扇形BAF相切于点A，E，，， ，，，， ， ， ， ， ， ， 四边形ABHD是矩形， ，， ， 在中，， ， 解得：， 故答案为： 连接BE，作于点H，根据切线的性质得到，，，根据勾股定理求出CE，根据矩形的性质求出DH，再根据勾股定理计算即可． 本题考查的是切线的性质，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 16.【答案】  【解析】解：如图，以A为圆心，以AE长为半径作圆， 四边形ABCD是矩形，，， ，， ， 交BE的延长线于点F， ， ， ， 当最小时，最大，此时BF的值最大， 当直线BE与相切时，最大，此时最小，且， 当时，BF的值最大， ，，， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， 线段BF长度的最大值为， 故答案为： 以A为圆心，以AE长为半径作圆，由矩形的性质得，，而，求得，因为，所以，则，可知当直线BE与相切时，最大，此时最小，所以当时，BF的值最大，求得，由，，求得，，则，再证明，由，求得，则，于是得到问题的答案． 此题重点考查矩形的性质、切线的性质、勾股定理、解直角三角形等知识，推导出当时，BF的值最大是解题的关键． 17.【答案】；   【解析】 ； 先化简，然后计算加减法即可； 先通分括号内的式子，再将除法转化为乘法，然后约分即可． 本题考查二次根式的混合运算、分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 18.【答案】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以不等式组的解集是， 所以不等式组的整数解是，0，1，  【解析】先根据不等式的性质求出不等式的解集，再根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集，最后求出不等式组的整数解即可． 本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，能根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集是解此题的关键． 19.【答案】证明：，， 四边形OCED是平行四边形， 矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O， ，，， ， 四边形OCED是菱形； 解：四边形ABCD是矩形，，， ，， ， 四边形OCED是菱形， 菱形OCED的面积  【解析】证明四边形OCED是平行四边形，再根据矩形性质可得：，利用菱形的判定即可证得结论； 先求出矩形面积，再根据矩形性质可得，再由菱形性质可得菱形OCED的面积可解答． 本题考查了矩形性质，菱形的判定和性质，矩形面积和菱形面积等基础知识，能综合运用相关知识点进行推理和计算是解此题的关键． 20.【答案】4，24；   ；   2或14或  【解析】， ， 当时，解得， 无人机乙在上升期间高度与时间的函数关系式为 无人机甲y与x之间的函数关系式为， 当时，得， 解得， 当时，得， 解得舍去或， 当时，得， 解得， 两架无人机在飞行过程中高度相差6m时x的值为2或14或 根据路程=速度时间求出无人机甲最初8秒内上升的高度，即b的值，再由速度=路程时间求出a的值即可； 根据路程=速度时间计算即可； 写出无人机甲y与x之间的函数关系式，按照x的取值范围，根据两架无人机在飞行过程中高度相差6m分别列关于x的方程并求解即可． 本题考查一次函数的应用，掌握时间、速度和路程之间的关系是解题的关键． 21.【答案】答案见解析；   108；     【解析】抽样调查的总人数：人，喜欢B种粽子的人数为：人， 补全条形统计图，如图所示： ， 种粽子所占百分比为； 种粽子所在扇形的圆心角是， 故答案为：108； 人， 爱吃B种粽子的人数为500人． 故答案为： 先计算出抽样调查的总人数，用总人数减去喜欢A，C，D种粽子的人数的和即可得到喜欢B种粽子的人数，从而补全统计图，在求出D种粽子所占百分比； 用百分比即可求出D种粽子所在扇形的圆心角； 根据样本估计总体即可． 本题考查了条形统计图与扇形统计图，体现了用样本估计总体的思想，计算出D种粽子所占的百分比是解题的关键． 22.【答案】    【解析】由题意知，共有3种等可能的结果，其中八年级选择去博物馆A的结果有1种， 八年级选择去博物馆A的概率为 故答案为： 列表如下： A B C A B 共有6种等可能的结果，其中该校七年级、八年级选择的研学基地互不相同的结果有4种， 该校七年级、八年级选择的研学基地互不相同的概率 由题意知，共有3种等可能的结果，其中八年级选择去博物馆A的结果有1种，利用概率公式可得答案． 列表可得出所有等可能的结果数以及该校七年级、八年级选择的研学基地互不相同的结果数，再利用概率公式可得出答案． 本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 23.【答案】解：过点B作CF的平行线交ED于点G，交NM的延长线于点H，作于点T， 则，， 为等腰直角三角形， ， ， ， 在中，，， 则， 则  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 24.【答案】2不是“树人数”，3是“树人数”；  ①③；  证明过程见解析．  【解析】不是“树人数”，3是“树人数”， 理由：假设存在整数a，b，使得，则：， 因数分解可能为或， 或，解得：或非整数，矛盾， 不是“树人数”， ， 是“树人数”； ①设奇数，令，，则：，故①正确， ②由中2不是“树人数”得出②错误， ③设被4整除的数是4k，令，，则：则：，故③正确， ④设被4除余2的数是，若存在a，b使得， 则：若a，b同奇偶，则为偶数但被4整除，矛盾；若a，b一奇一偶，则为奇数，矛盾，故④错误， 故答案为：①③； 证明：，b是“树人数”． 设，是整数 或 ，n，p，q是整数． ，，，都是整数． 能写成两个整数的平方差的形式． 是“树人数”． 利用假设法求证2，若求出的结果符合题意就是“树人数”，反之则不是，，因此可得出3是“树人数”； 分析奇数、偶数、被4整除的数等不同类别是否满足树人数的条件； 利用平方差乘积的恒等变形，将两个树人数的乘积表示为新的平方差的形式． 本题考查整数的平方差的表示形式即“树人数”的定义，涉及数的奇偶性的分析、代数恒等变形等知识点． 25.【答案】30  或  【解析】如图1中，点即为所求； 方法：作直径，连接，点即为所求； 理由：连接 ，， 是等腰直角三角形， ， 是直径， ， ， ， ，故点C即为所求，此时旋转角 故答案为：30； 如图2中，直线即为所求． 过点作交BA的延长线于点连接 由可知， 是切线， ， ， ， ， 当在AB的下方时，同法可得 故答案为：或 作直径，连接，点即为所求；再根据旋转角的定义求解； 连接OA，过点A作，且使得，分别以A，为圆心，AC为半径作弧，两弧交于点，连接，即可．过点作交BA的延长线于点连接利用勾股定理求出 本题考查了切线的性质，等边三角形的性质，直线与圆的位置关系，旋转的性质，熟练掌握旋转的性质，等边三角形，圆的切线性质是解题的关键． 26.【答案】见解析；   见解析．  【解析】解：由题意可知①处补全为，②处补全， ③、④处分别为AF、BG； 思路1：证明： 作等腰的底边AB上的高CF，如图③所示： 则， ，， ， 设，， ， ，， ， ， ∽， ，即， 即，展开整理可得， 思路2：证明：记的外接圆为，AC交于F，连接DF，延长CB交于G，在BE上取点H，使 ， 是直径． 四边形CEDF是的内接四边形， ， 又， ， 又， ∽， ，即 ，， ∽， ，即 下面证明 ， 故只要证明即可， ，， ，， ， ， ， 四边形CEDF是的内接四边形， ， ， 又， ， ， 又， 在和中， ， ≌， 根据思路中的相似三角形和全等三角形的性质可直接得到答案； 思路1：作等腰的底边AB上的高CF，设，，通过等腰直角三角形的性质表示出，证明∽，可得，即，即，展开整理可得，从而即可证明；思路2：记的外接圆为，AC交于F，连接DF，延长CB交于G，在BE上取点H，使由圆周角定理及圆内接四边形性质导角证明∽，得，即再证明∽，得，即故只需证明又，故只要证明即可，最后通过证明≌，即可得到 本题考查了直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，圆周角定理及其推论，圆内接四边形的性质，熟练掌握以上知识点是解题关键． 27.【答案】17；  ，；   ①； ②不可以，  【解析】中，速度， 她行驶的距离为：， 中，平均速度为：， 她行驶的距离为：， 她行驶的总距离为：； 故答案为：17； ， ， 到达B所用的时间为：， 故答案为：，； ①因为水速恒定，所以水平速度恒定，而竖直速度逐渐减少，说明轨迹越来越往右， 小明的有用轨迹可能是， 故答案为：； ②不可以， 设小明到达对岸所用时间为t，则小明到达对岸是的速度为， 小明的平均速度为：， 小明有用的竖直距离为：， 解得：或100， ， ， 计算内每段的平均速度，根据路程=平均速度时间，进行计算即可； 根据，用勾股定理求出，根据时间=路程速度求解时间即可； ①因为水速恒定，所以水平速度恒定，而竖直速度逐渐减少，说明轨迹越来越往右，据此判断； ②因为小明的速度方向一直垂直BC，而水流速度平行BC，所以他们的和速度一定不垂直BC，所以他到不了B的位置，先计算小明游到对岸所用的时间，然后乘水流速度，就是BC的距离； 本题主要考查了一元二次方程的解法以及勾股定理的应用，正确理解物理量与数学之间的关系是本题解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$