精品解析：2025年山东省菏泽市郓城县初中学业水平考试模拟数学试题（四）

2025年初中数学学业水平考试模拟试题四 （满分120分，时间：120分钟） 一、选择题（本大题共10小题，共30分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如果代数式与x－2的值的差是负数，那么x的取值范围是( A. x＞1 B. x＞－ C. x＞－ D. x＜1 3. 如图是由四个相同的小正方体堆成的物体，它的正视图是（　　） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 若在实数范围内有意义，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（   ） A.    B. C.    D. 6. 某市五月份连续五天的日最高气温分别为23、20、20、21、26（单位：°C），这组数据的中位数和众数分别是（ ） A. 22°C，26°C B. 22°C，20°C C. 21°C，26°C D. 21°C，20°C 7. 函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. “绿水青山就是金山银山”．某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成了这一任务．设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则下面所列方程中正确的是（　　） A. B. C. D. 9. 二次函数的图象如图，若一元二次方程有实数根，则的最大值为( ) A. B. 3 C. D. 9 10. 如图，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上的一个动点，点M，N分别是AB，BC边上的中点，则MP+PN的最小值是（　　） A. B. 1 C. D. 2 二、填空题（本大题共5小题，共15分） 11. 根据央视报道，去年我国汽车尾气排放总量大约为47000000吨．将47000000用科学记数法表示为___________. 12. 把多项式4x2﹣24x＋36分解因式的结果是________． 13. 如图，中，，，，分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于D、E两点，连接交于点H，连接，则的长为______． 14. 若一元二次方程的两个实数根为a，b，则的值为_______． 15. 如图，C为半圆内一点，O为圆心，直径AB长为4cm，∠BOC=60°，∠BCO=90°，将△BOC绕圆心O逆时针旋转至△B′OC′，点C′在OA上，则边BC扫过区域（图中阴影部分）的面积为_________cm2． 三、解答题（本大题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. （1）计算： （2）先化简，然后从不等式的非负整数解中选取一个合适的解代入求值． 17. 如图，小明家所住楼房的高度米，到对面较高楼房的距离米，当阳光刚好从两楼房的顶部射入时，测得光线与水平线的夹角为.据此，小明便知楼房的高度.请你写出计算过程. （结果精确到米.参考数据：）. 18. 某超市销售一批羽绒服，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为扩大销售增加盈利，超市决定适当降价．如果每件羽绒服降价1元，平均每天可多售出2件．如果超市平均每天要盈利1200元，同时又要顾客得到实惠，那么每件羽绒服应降价多少元？ 19. 如图，在四边形中，，是的中点，连接并延长交的延长线于点，点在边上，且． （1）求证：； （2）连接，判断与的位置关系并说明理由． （3）求证：． 20. 如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC=∠D=60°． （1）求∠ABC的度数； （2）求证：AE是⊙O的切线； （3）当BC=4时，求劣弧AC的长． 21. 为全面开展“阳光大课间”活动，某中学三个年级准备成立“足球”、“篮球”、“跳绳”、“踢毽”四个课外活动小组，学校体育组根据七年级学生的报名情况（每人限报一项）绘制了两幅不完整的统计图（如图）， 请根据以上信息，完成下列问题： （1）m= ，n= ，并将条形统计图补充完整； （2）根据七年级的报名情况，试问全校2000人中，大约有多少人报名参加足球活动小组？ （3）根据活动需要，从“跳绳”小组的二男二女四名同学中随机选取两人到“踢毽”小组参加训练，请用列表或树状图的方法计算恰好选中一男一女两名同学的概率． 22. 如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE，PE交CD于F． （1）求∠CPE的度数； （2）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由． 23. 如图，抛物线与轴相交于、两点（点在点的左侧），与轴相交于点，顶点为，连接，与抛物线的对称轴交于点． （1）求点、点的坐标和抛物线的对称轴； （2）求直线的函数关系式； （3）点为线段上的一个动点，过点P作交抛物线于点．设点的横坐标为；用含的代数式表示线段的长，并求出当为何值时，四边形为平行四边形？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年初中数学学业水平考试模拟试题四 （满分120分，时间：120分钟） 一、选择题（本大题共10小题，共30分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了轴对称图形的概念，根据概念逐一判断即可，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，故本选项符合题意； 故选：． 2. 如果代数式与x－2的值的差是负数，那么x的取值范围是( A. x＞1 B. x＞－ C. x＞－ D. x＜1 【答案】A 【解析】 【分析】对题意进行分析，可将其转换为（x－2）＜0，求x的取值范围，对不等式进行求解即可． 【详解】由题意可知，x取值范围满足（x－2）＜0， 对不等式求解，可得x＞1． 故选A． 【点睛】本题考查代数式求值与解不等式的综合运用，看清题意，计算时注意正负号． 3. 如图是由四个相同的小正方体堆成的物体，它的正视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正视图是从物体的正面看得到的图形即可得． 【详解】解：从正面看可得从左往右2列正方形的个数依次为2，1， 如图所示： 故选A． 【点睛】本题考查了三视图的知识，正视图是从物体的正面看得到的视图． 4. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用合并同类项法则可判定A，利用积的乘方法则与幂的乘方法则可判定B，利用同底数幂乘法法则可判定C，利用完全平方公式可判定D． 【详解】解：A. ，故选项A计算不正确； B. ，故选项B计算正确； C. ，故选项C计算不正确； D. ，故选项D计算不正确． 故选择B． 【点睛】本题考查同类项合并，积的乘方与幂的乘方，同底数幂乘法，完全平方公式，掌握同类项合并，积的乘方与幂的乘方，同底数幂乘法，完全平方公式是解题关键． 5. 若在实数范围内有意义，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（   ） A.    B. C.    D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数可得x+2≥0，再解不等式即可． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴被开方数x+2为非负数， ∴x+20， 解得：x-2 在数轴上表示为： 故答案选D 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练的掌握二次根式有意义的条件． 6. 某市五月份连续五天的日最高气温分别为23、20、20、21、26（单位：°C），这组数据的中位数和众数分别是（ ） A. 22°C，26°C B. 22°C，20°C C. 21°C，26°C D. 21°C，20°C 【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】解：把数据排序为： 所以中位数为21℃，众数为20℃． 故选：D 7. 函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的图象与性质，根据一次函数与反比例函数的图象与性质逐一排除即可，掌握一次函数与反比例函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：、由图象可知，，即，由图象可知，不符合题意； 、由图象可知，，即，由图象可知，不符合题意； 、由图象可知，，即，由图象可知，不符合题意； 、由图象可知，，即，由图象可知，符合题意； 故选：． 8. “绿水青山就是金山银山”．某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成了这一任务．设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则下面所列方程中正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合提前 30 天完成任务，即可得出关于x的分式方程． 【详解】解：设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则原来每天绿化的面积为万平方米， 依题意得：， 即． 故选C． 【点睛】考查了由实际问题抽象出分式方程．找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 9. 二次函数的图象如图，若一元二次方程有实数根，则的最大值为( ) A. B. 3 C. D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，可以理解为y=ax2+bx和y=-m有交点，结合图像可判断结果. 【详解】解：一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根， 可以理解为y=ax2+bx和y=-m有交点， 观察图像可见-m≥-3， ∴m≤3， ∴m的最大值为3． 故选：B． 【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点问题，根据题意判断出y=ax2+bx和y=-m有交点是解答此题的关键． 10. 如图，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上的一个动点，点M，N分别是AB，BC边上的中点，则MP+PN的最小值是（　　） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】先作点M关于AC的对称点M′，连接M′N交AC于P，此时MP+NP有最小值．然后证明四边形ABNM′为平行四边形，即可求出MP+NP=M′N=AB=1． 【详解】解：如图 作点M关于AC的对称点M′，连接M′N交AC于P，此时MP+NP有最小值，最小值为M′N的长． ∵菱形ABCD关于AC对称，M是AB边上的中点， ∴M′是AD的中点， 又∵N是BC边上的中点， ∴AM′∥BN，AM′=BN， ∴四边形ABNM′是平行四边形， ∴M′N=AB=1， ∴MP+NP=M′N=1，即MP+NP的最小值为1， 故选B． 二、填空题（本大题共5小题，共15分） 11. 根据央视报道，去年我国汽车尾气排放总量大约为47000000吨．将47000000用科学记数法表示为___________. 【答案】4.7×107 【解析】 【详解】分析：用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，n的值取决于原数变成a时，小数点移动的位数，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于等于1时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数． 详解：将47 000 000用科学记数法表示为4.7×107． 故答案为4.7×107． 点睛：本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键． 12. 把多项式4x2﹣24x＋36分解因式的结果是________． 【答案】4（x-3）2 【解析】 【分析】先提公因式，然后利用完全平方公式继续分解即可解答． 【详解】解：4x2-24x+36 =4（x2-6x+9） =4（x-3）2， 故答案为：4（x-3）2． 【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式． 13. 如图，中，，，，分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于D、E两点，连接交于点H，连接，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了基本作图——作线段的垂直平分线，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先利用勾股定理计算出，再根据作图，推出为斜边的中点，然后利用直角三角形斜边中线的性质得到即可作答． 【详解】解：∵，，， ∴， 根据题意垂直平分， ∴． 故答案为：． 14. 若一元二次方程的两个实数根为a，b，则的值为_______． 【答案】5 【解析】 【分析】先根据根与系数的关系得到然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：根据题意得 故答案为： 【点睛】本题考查了根与系数的关系．解题的关键在于熟练掌握根与系数的关系，若是一元二次方程的两根时，则 15. 如图，C为半圆内一点，O为圆心，直径AB长为4cm，∠BOC=60°，∠BCO=90°，将△BOC绕圆心O逆时针旋转至△B′OC′，点C′在OA上，则边BC扫过区域（图中阴影部分）的面积为_________cm2． 【答案】 【解析】 【分析】根据旋转和含角的直角三角形的性质，可求出和BO、DO的长度，再结合图形，即可求出阴影部分面积． 【详解】如图可知， 又已知，是由绕圆心O逆时针旋转得到， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ ，， ． 故答案为π． 【点睛】本题考查旋转和含角的直角三角形的性质以及扇形的面积公式．根据题意结合图形可知是解题关键． 三、解答题（本大题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. （1）计算： （2）先化简，然后从不等式的非负整数解中选取一个合适的解代入求值． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题分别考查了实数的混合运算，以及分式的化简求值；实数的混合运算中需掌握几种特殊运算法则，分式的化简中需要注意通分，符号处理及因式分解的正确使用． （1）根据，及混合运算法则即可求解； （2）先通分，再结合因式分解进行化简，取值时需考虑分式有意义问题，再取值求解． 【详解】解：（1） （2） 解不等式，得， 则非负整数解有：， 又当和时原分式无意义， ∴只能取， 将代入，得， 所以当时，原分式的值为2． 17. 如图，小明家所住楼房的高度米，到对面较高楼房的距离米，当阳光刚好从两楼房的顶部射入时，测得光线与水平线的夹角为.据此，小明便知楼房的高度.请你写出计算过程. （结果精确到米.参考数据：）. 【答案】26.8米 【解析】 【详解】解： 在中，， ···························· 4分 在中， ，························ 6分 （米）. 答：楼房的高度为26.8米. 8 18. 某超市销售一批羽绒服，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为扩大销售增加盈利，超市决定适当降价．如果每件羽绒服降价1元，平均每天可多售出2件．如果超市平均每天要盈利1200元，同时又要顾客得到实惠，那么每件羽绒服应降价多少元？ 【答案】每件羽绒服应降价20元 【解析】 【分析】设每件羽绒服应降价x元，然后根据平均每天可售出20件，每件盈利40元，如果每件羽绒服降价1元，平均每天可多售出2件，列出方程求解即可． 【详解】解：设每件羽绒服应降价x元， 由题意得：， 整理得：， 解得，； ∵为了要顾客得到实惠， ∴要尽量多降价，故， ∴每件羽绒服应降价20元， 答：每件羽绒服应降价20元． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键在于能够正确读懂题意列出方程求解． 19. 如图，在四边形中，，是的中点，连接并延长交的延长线于点，点在边上，且． （1）求证：； （2）连接，判断与的位置关系并说明理由． （3）求证：． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：，理由： 连接，， ∵，， ∴， ∴， 由（）得， ∴， ∴； （3） 证明：由（）得， ∴， ∴， 由（）得， ∴． 【解析】 【分析】此题考查平行线了的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的“三线合一”等知识，推导出，，进而证明是解题的关键． （）由得，而，，即可根据“”证明； （）连接由，，得，则，由全等三角形的性质得，则； （）由全等三角形的性质得，所以，而 ，则． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 20. 如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC=∠D=60°． （1）求∠ABC的度数； （2）求证：AE是⊙O的切线； （3）当BC=4时，求劣弧AC的长． 【答案】（1）60°;(2)证明略;(3) 【解析】 【分析】（1）根据∠ABC与∠D都是劣弧AC所对的圆周角，利用圆周角定理可证出∠ABC=∠D=60°； （2）根据AB是⊙O的直径，利用直径所对的圆周角是直角得到∠ACB=90°，结合∠ABC=60°求得∠BAC=30°，从而推出∠BAE=90°，即OA⊥AE，可得AE是⊙O的切线； （3）连结OC，证出△OBC是等边三角形，算出∠BOC=60°且⊙O的半径等于4，可得劣弧AC所对的圆心角∠AOC=120°，再由弧长公式加以计算，可得劣弧AC的长． 【详解】（1）∵∠ABC与∠D都是弧AC所对的圆周角， ∴∠ABC=∠D=60°； （2）∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°． ∴∠BAC=30°， ∴∠BAE=∠BAC+∠EAC=30°+60°=90°， 即BA⊥AE， ∴AE是⊙O的切线； （3）如图，连接OC， ∵OB=OC，∠ABC=60°， ∴△OBC是等边三角形， ∴OB=BC=4，∠BOC=60°， ∴∠AOC=120°， ∴劣弧AC的长为==． 【点睛】本题考查了切线长定理及弧长公式，熟练掌握定理及公式是解题的关键. 21. 为全面开展“阳光大课间”活动，某中学三个年级准备成立“足球”、“篮球”、“跳绳”、“踢毽”四个课外活动小组，学校体育组根据七年级学生的报名情况（每人限报一项）绘制了两幅不完整的统计图（如图）， 请根据以上信息，完成下列问题： （1）m= ，n= ，并将条形统计图补充完整； （2）根据七年级的报名情况，试问全校2000人中，大约有多少人报名参加足球活动小组？ （3）根据活动需要，从“跳绳”小组的二男二女四名同学中随机选取两人到“踢毽”小组参加训练，请用列表或树状图的方法计算恰好选中一男一女两名同学的概率． 【答案】(1)25，108； 如图， （2）600人；（3）． 【解析】 【分析】（1）先利用参加踢毽活动小组的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，再计算m的值和n的值，然后补全条形统计图； （2）利用样本估计总体，用2000乘以样本中参加足球活动小组的百分比即可； （3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出一男一女两名同学的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】解：（1）调查的总人数=15÷15%=100（人）， 所以m%=×100%=25%，即m=25， 参加跳绳活动小组的人数=100-30-25-15=30（人）， 所以n°= ，即n=108， 故答案为：25，108； （2）， 所以全校2000人中，大约有600人报名参加足球活动小组； （3）画树状图为： 共有12种等可能的结果数，其中一男一女两名同学的结果数为8， 所以恰好选中一男一女两名同学的概率=． 22. 如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE，PE交CD于F． （1）求∠CPE的度数； （2）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）90°； （2）AP=CE．理由： 在菱形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP=60°， 在△ABP和△CBP中， ， ∴△ABP≌△CBP（SAS）， ∴PA=PC，∠BAP=∠BCP， ∴∠DAP=∠DCP， 又∵PA=PE，∴PC=PE， ∵PA=PE，∴∠DAP=∠AEP，∴∠DCP=∠AEP， ∵∠CFP=∠EFD， ∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠AEP， 即∠CPF=∠EDF=180°﹣∠ADC=180°﹣120°=60°， ∴△EPC是等边三角形， ∴PC=CE，∴AP=CE． 【解析】 【分析】（1）先证出△ABP≌△CBP，根据全等三角形的性质得到∠BAP=∠BCP，进而得∠DAP=∠DCP，由PA=PE，得到∠DAP=∠E，于是∠DCP=∠E，又因为∠PFC=∠DFE，所以∠CPF=∠EDF=90°，从而得到结论； （2）根据菱形的性质得到AB=BC，∠ABP=∠CBP=60°，根据全等三角形的性质得到PA=PC，∠BAP=∠BCP，根据等量减等量差相等和等腰三角形的性质得到∠DAP=∠DCP，∠DAP=∠AEP，等量代换得到∠DCP=∠AEP，∠EPC=∠EDC=60°，PE=PC=PA,推出△EPC是等边三角形，即可得到结论． 【详解】解：（1）在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP=45°， 在△ABP和△CBP中， ， ∴△ABP≌△CBP（SAS）， ∴PA=PC，∠BAP=∠BCP， ∴∠DAP=∠DCP， ∵PA=PE，∴∠DAP=∠E， ∴∠DCP=∠E， ∵∠CFP=∠EFD， ∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠E，即∠CPF=∠EDF=90°； （2）略 23. 如图，抛物线与轴相交于、两点（点在点的左侧），与轴相交于点，顶点为，连接，与抛物线的对称轴交于点． （1）求点、点的坐标和抛物线的对称轴； （2）求直线的函数关系式； （3）点为线段上的一个动点，过点P作交抛物线于点．设点的横坐标为；用含的代数式表示线段的长，并求出当为何值时，四边形为平行四边形？ 【答案】（1）点的坐标为，点的坐标为，抛物线的对称轴为直线； （2）直线的函数关系式为； （3）线段的长为，当时，四边形为平行四边形． 【解析】 【分析】（1）根据题意，分别将、与抛物线的解析式联立，即可得点、点的坐标，将系数代入即可得抛物线的对称轴； （2）设直线的函数关系式为，代入点、点的坐标可得和，即可得直线的函数关系式； （3）根据题意可知，点和点的横坐标均为，点和点的横坐标均为，代入对应的解析式，可得纵坐标，根据位置关系即可求得线段长度，由平行四边形的判定定理，，即可得的值． 【小问1详解】 解：在中， 当时，， 当时，由，得，， 结合题意可得，，， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 答：点的坐标为，点的坐标为，抛物线的对称轴为直线． 【小问2详解】 解：设直线的函数关系式为， ∵，， ∴， 解得，， ∴， 答：直线的函数关系式为． 【小问3详解】 解：根据题意可知，点和点的横坐标均为，点和点的横坐标均为， 在中， 当时，， 当时，， ∴，， 在中， 当时，， 当时，， ∴，， ∵点在线段上， ∴点在点的上方， ∴， ∵， ∴当时，四边形为平行四边形， ∴，， ∴， 答：线段的长为，当时，四边形为平行四边形． 【点睛】本题考查抛物线与坐标轴的交点，直线与坐标轴的交点，二次函数的图象及其性质，用待定系数法求一次函数的解析式，用坐标表示线段长度，平行四边形的判定，解题的关键是熟练掌握待定系数法和平行四边形的判定． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $