精品解析：2025年江苏省连云港市中考数学模拟试卷

2025年江苏省连云港市中考数学模拟试卷3 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 5的倒数是（ ）． A. 4 B. C. D. 6 2. 2025年山东省文旅产业高质量发展大会以“好客山东德行天下”为主题，于4月24日一25日在德州乐陵成功举办．观察如图所示2025年山东文旅大会标识，下列说法正确的是（　　） A. 是轴对称图形，不是中心对称图形 B. 不是轴对称图形，是中心对称图形 C. 既不是轴对称图形，也不是中心对称图形 D. 既是轴对称图形，也是中心对称图形 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 平陆运河是我国在西南地区开辟的由西江干流向南入海的江海联运大通道，也是广西向海经济的骨干工程，预计建成后年单向通过能力为89000000吨，89000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 已知一元二次方程有一个根是2，则的值为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 6. 有一首古诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿恰齐是．”大意是：牧童们在大树下拿着竹竿玩耍，不知道共有多少人和多少竹竿．若每人6根竹竿，则竹竿剩余14根；若每人8根竹竿，则竹竿恰好用完．设有牧童人，竹竿根．根据题意，列方程组正确的是（　　） A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系中，若两点的纵坐标互为相反数，横坐标不相等，则称这两点互为憾对称，其中一点叫做另一点的憾点，如点互为憾对称，已知点A的坐标为，抛物线上恰有两个点与点A互为憾对称，且这两个点之间的距离不超过6，则下列关于a的取值范围描述正确的是（ ） A. B. 或 C. 且 D. 且或 8. 如图，正方形中，是边的中点，点是平面内一动点，，连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接．则线段长最大时，的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共7小题，每小题3分，共21分． 9. 计算的结果是______． 10. 在中，的取值范围为______． 11. 如图，四边形内接于，为直径延长线上一点，，则______． 12. 如图，直线与轴交于点，与轴交于点．将线段先向右平移个单位长度、再向上平移个单位长度，得到对应线段，反比例函数的图像恰好经过两点，连接．点在轴正半轴上，点是反比例函数的图像上的一个点，若是以为直角的等腰直角三角形时，满足条件的点的坐标为________． 13. 如图，菱形的面积为36，点、分别在边、上，，如果的面积为6，那么的面积为___________． 14. 如图，点A在反比例函数的图象上，B、C两点在反比例函数的图象上，BC经过原点，轴，若的面积为4，则k的值为______． 15. 在正方形中，点F在边上（不含端点），过点C作交延长线于点E，则最大值为______． 三、计算题：本大题共1小题，共6分． 16. 解方程：． 四、解答题：本题共10小题，共99分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 利用数轴求不等式组的解集． 19. 某商场服装部为了调动营业员的积极性，决定实行目标管理，根据目标完成的情况对营业员进行适当的奖励．为了确定一个适当的月销售目标，商场服装部统计了每位营业员在某月的销售额（单位：万元），数据如下： 整理上面的数据，得到下面两个不完整的统计表： 频数分布表： 组别 一 二 三 四 五 六 七 销售额 频数 数据分析表： 平均数 众数 中位数 请根据以上信息解答下列问题： （1）填空：______，______，______； （2）若将月销售额不低于万元确定为销售目标，则有______位营业员可以获得奖励； （3）若想让一半左右的营业员都能达到销售目标，你认为月销售额定为多少合适？说明理由． 20. 某中学为减轻学生的学习压力，准备组织初三年级周末进行徒步活动，现已想好两个徒步地点：长虫山、抚仙湖．准备以抽签的方式决定徒步地点．规则为：一个不透明纸箱里，装有型号完全相同的3个红球和2个黑球，先后从纸箱里摸出两个球（不放回），若两次所摸球的颜色相同，则去长虫山；否则，去抚仙湖． （1）求第一次摸到红球的概率为________； （2）请用树状图或者列表表示出所有摸球的结果； （3）请用概率知识判断两个徒步地点被选中的可能性是否相同？若不相同，你认为更容易选中哪个地点． 21. 年月日，神舟二十号载人飞船成功发射，月日，神舟十九号飞船顺利着陆，这一去一回的“太空交接班”标志着我国航天事业迈向体系化发展的新阶段．某航模商店购进、两种航空模型进行销售，已知购进种航空模型和种航空模型各个共元，购进种航空模型个和种航空模型个共需元． （1）求、两种航空模型进价分别多少元； （2）某商店计划购买、两种航空模型共个，若、两种航空模型的售价分别是元和元，要使获得的利润不低于元，请问至少购买种航空模型多少个？ 22. 如图，的直径和是它的两条切线，点为射线上的一点． （1）尺规作图：在上作点，使得（点与点不重合），延长交于点（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）所作的图形中． ①求证：是的切线； ②若，求四边形的周长． 23. 某校综合实践小组为了测量观察目标时的仰角和俯角，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图所示． （1）如图，在点观察所测物体最高点，当量角器零刻度线上两点均在视线上时，测得视线与铅垂线所夹的锐角为，设仰角为，请直接用含的代数式表示． （2）该综合实践小组前往江北烈士陵园测量革命烈士纪念碑的高度（碑顶到水平地面的距离）．该小组利用自制简易测角仪在点分别测得碑顶的仰角为，为，地面上点在同一水平直线上，，求革命烈士纪念碑的高．（参考数据：，，） 24. 如图，一次函数的图象分别交轴、轴于两点，点为反比例函数（）图象上一点，过点分别作轴、轴的平行线交直线于点，直线交轴于点．连接，将绕着点逆时针旋转后得到线段． （1）若，，求点的坐标； （2）求点的横坐标； （3）是否存在一个的值，使得无论点位于反比例函数图象上何处时，总有点、、三点在同一直线上？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 25. 如图，已知直线与抛物线相交于，两点，其中抛物线的顶点坐标，点在轴上． （1）求抛物线的解析式； （2）点是抛物线上（除第一象限外）的一点，当是以为底边的等腰三角形时，求点的坐标； （3）若抛物线与轴的负半轴的交点为，过点作直线交轴交于点，点为线段上的一点，点为线段上的一点，连接，并延长与线段交于点（点在第三象限），当且时，求出点及点的坐标． 26. 从特殊到一般是研究数学的重要方法，在一次数学课上，某学习小组的同学运用这一方法探究矩形的折叠．已知矩形纸片中，点为射线上一点，将沿折叠得，点的对应点为，延长，交直线于点，． 【尝试初探】已知，， （1）如图，若点与点重合，求线段的长度； （2）如图，若点与点不重合，当时，求线段的长． 【拓展延伸】若，连接，当为直角三角形时，直接写出的值．（用的代数式表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年江苏省连云港市中考数学模拟试卷3 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 5的倒数是（ ）． A. 4 B. C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了倒数，熟练掌握倒数的定义是解题的关键； 根据乘积为1的两个数互为倒数即可求解． 【详解】解：5倒数是， 故选：B． 2. 2025年山东省文旅产业高质量发展大会以“好客山东德行天下”为主题，于4月24日一25日在德州乐陵成功举办．观察如图所示2025年山东文旅大会标识，下列说法正确的是（　　） A. 是轴对称图形，不是中心对称图形 B. 不是轴对称图形，是中心对称图形 C. 既不是轴对称图形，也不是中心对称图形 D. 既是轴对称图形，也是中心对称图形 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．据此即可判断． 【详解】解：2025年山东文旅大会标识，既不是轴对称图形，也不是中心对称图形， 故选：C． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别根据同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方，完全平方公式逐一分析判断即可． 【详解】解：，故A不符合题意， ，故B不符合题意； ，故C符合题意； ，故D不符合题意； 故选C 【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方运算，完全平方公式的应用，熟记运算法则是解本题的关键． 4. 平陆运河是我国在西南地区开辟的由西江干流向南入海的江海联运大通道，也是广西向海经济的骨干工程，预计建成后年单向通过能力为89000000吨，89000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， 故选：D 5. 已知一元二次方程有一个根是2，则的值为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程中计算求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程有一个根是2， ∴， ∴， 故选：B． 6. 有一首古诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿恰齐是．”大意是：牧童们在大树下拿着竹竿玩耍，不知道共有多少人和多少竹竿．若每人6根竹竿，则竹竿剩余14根；若每人8根竹竿，则竹竿恰好用完．设有牧童人，竹竿根．根据题意，列方程组正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设有牧童人，竹竿根，当每人分6根时，剩余14根，即；当每人分8根时，恰好用完，即．由此可列出方程组． 【详解】解：设有牧童人，竹竿根． 由题意得，， 故选：B． 7. 在平面直角坐标系中，若两点的纵坐标互为相反数，横坐标不相等，则称这两点互为憾对称，其中一点叫做另一点的憾点，如点互为憾对称，已知点A的坐标为，抛物线上恰有两个点与点A互为憾对称，且这两个点之间的距离不超过6，则下列关于a的取值范围描述正确的是（ ） A. B. 或 C. 且 D. 且或 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与x轴的交点问题，根据题意可得点A的憾点的纵坐标为，则抛物线与直线有两个不相等的交点，且交点的横坐标不能为2，当时，则，根据，可得或，根据根与系数的关系可得，由这两个点之间的距离不超过6得到，解不等式即可得到答案． 【详解】解：∵点A的坐标为， ∴点A的憾点的纵坐标为， ∵抛物线上恰有两个点与点A互为憾对称， ∴抛物线与直线有两个不相等的交点，且交点的横坐标不能为2， 当时，则，， ∴，或， ∴， ∵抛物线上恰有两个点与点A互为憾对称，且这两个点之间的距离不超过6， ∴， ∴， 当时，则，解得， ∴； 当时，则，解得， ∴； 当方程有一个根为2时，则，解得， ∴， 综上所述，且或， 故选：D． 8. 如图，正方形中，是边的中点，点是平面内一动点，，连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接．则线段长最大时，的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，锐角三角函数，旋转的性质，矩形的判定与性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 由旋转得：，连接，将线段绕点D逆时针旋转得，连接，，证明 ，则，可得，由，得到，当点三点共线时，取得最大值，如图：过点作交延长线于点，过点作于点，则四边形是矩形，证明，则，，故，则由即可求解． 【详解】解：由旋转得：， 如图，连接，将线段绕点D逆时针旋转得，连接，，则， ∵， ∴， 在与中， ， ∴ ， ∴， ∵正方形中，，O是边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 当点三点共线时，取得最大值，如图：过点作交延长线于点，过点作于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 二、填空题：本题共7小题，每小题3分，共21分． 9. 计算的结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的减法运算，利用二次根式的性质先化简，再相减即可求解，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】 10. 在中，的取值范围为______． 【答案】x>-3 【解析】 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案． 【详解】解：由题意得：2x+6>0， 解得：x>-3， 故答案为：x>-3． 【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键． 11. 如图，四边形内接于，为直径延长线上一点，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆的内接多边形的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．由四边形内接于，可得，又由，即可求得． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：． 12. 如图，直线与轴交于点，与轴交于点．将线段先向右平移个单位长度、再向上平移个单位长度，得到对应线段，反比例函数的图像恰好经过两点，连接．点在轴正半轴上，点是反比例函数的图像上的一个点，若是以为直角的等腰直角三角形时，满足条件的点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据直线以坐标轴的交点的计算得到，，由平移的性质，反比例函数的计算得到，反比例函数解析为，设，可证，得到，代入列式求解即可． 【详解】解：直线与轴交于点，与轴交于点， ∴当时，，即， 当时，，则，即， ∵将线段先向右平移个单位长度、再向上平移个单位长度，得到对应线段， ∴， ∵反比例函数的图像恰好经过两点， ∴， 解得，， ∴， ∴反比例函数系数， ∴反比例函数解析为， ∵点在轴正半轴上，点是反比例函数的图像上的一个点， ∴设， 如图所示，是以为直角的等腰直角三角形，则，过点作轴的垂线，交轴于点，过点作延长线于点， ∴， 又，， ∴， ∴， 已知，，，则，， ∴， ∴， 解，整理得，， 解得，（不符合题意，舍去），， ∴，则， ∴， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了反比例函数图象与几何图形的综合，掌握待定系数法求解析式，图形平移的性质，等腰三角形的定义，全等三角形的判定和性质，解一元二次方程的计算，数形结合分析是关键． 13. 如图，菱形的面积为36，点、分别在边、上，，如果的面积为6，那么的面积为___________． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，三角形的面积，连接，根据中点得到进而得到，求出，根据计算解题． 【详解】解：连接， ∵， ∴， 又∵的面积为6， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，点A在反比例函数的图象上，B、C两点在反比例函数的图象上，BC经过原点，轴，若的面积为4，则k的值为______． 【答案】-3 【解析】 【分析】过点C作CD⊥x轴，垂足为D，根据反比例函数图像的中心对称，得到，设点A(a，b)，则B(a，)，C(-a，-)，结合，列式计算即可． 【详解】如图，过点C作CD⊥x轴，垂足为D，设AB与x轴的交点为E， 根据反比例函数图像的中心对称，得到OB=OC， ∵∠CDO=∠BEO，∠COD=∠BOE， ∴△COD≌△BOE， ∴， ∴， 设点A(a，b)，则B(a，)，C(-a，-)， ∵， ∴， ∴， 解得k=-3， 故答案为：-3． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，对称性，三角形全等性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 15. 在正方形中，点F在边上（不含端点），过点C作交延长线于点E，则最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，完全平方公式，正方形的性质，连接，设正方形的边长为，，根据相似三角形的判定和性质，勾股定理表示出，再利用完全平方公式得到最大值即可，熟练利用相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ， 四边形是正方形， ， 设正方形的边长为，，则， 根据勾股定理可得， ， ，， ， ，即， ， ， 根据勾股定理可得， ， ， 令，则，， 原式， 要求的最大值，即求的最小值， ， 根据完全平方公式可得， ，当时，取等号， 的最小值为， 的最大值为， 即最大值为， 故答案为： 三、计算题：本大题共1小题，共6分． 16. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，根据步骤求解是解题的关键． 【详解】解：方程两边同乘以，得： ∴ 检验：把代入 所以是原方程的解. 四、解答题：本题共10小题，共99分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题需要分别根据零指数幂、绝对值、特殊三角函数值、立方根的相关性质，逐步化简计算式中的各项，再进行加减运算．本题主要考查了零指数幂的性质（， ）、绝对值的化简（正数和的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数 ）、特殊角的三角函数值（ ）、立方根的计算（ ），熟练掌握这些数学概念和性质是解题的关键． 【详解】解：原式． 18. 利用数轴求不等式组的解集． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再把解集在数轴上表示出来，然后根据数轴写出不等式组的解集即可，掌握解不等式组的步骤是解题的关键． 【详解】解：， 由①得，， 由②得，， 不等式①和②的解集在数轴上表示如下： ∴不等式组的解集为． 19. 某商场服装部为了调动营业员的积极性，决定实行目标管理，根据目标完成的情况对营业员进行适当的奖励．为了确定一个适当的月销售目标，商场服装部统计了每位营业员在某月的销售额（单位：万元），数据如下： 整理上面的数据，得到下面两个不完整的统计表： 频数分布表： 组别 一 二 三 四 五 六 七 销售额 频数 数据分析表： 平均数 众数 中位数 请根据以上信息解答下列问题： （1）填空：______，______，______； （2）若将月销售额不低于万元确定为销售目标，则有______位营业员可以获得奖励； （3）若想让一半左右的营业员都能达到销售目标，你认为月销售额定为多少合适？说明理由． 【答案】（1），， （2） （3）我认为月销售额定为万元合适， 想让一半左右的营业员都能达到销售目标，我认为月销售额定为万元合适． 因为中位数为，即大于与小于的人数一样多， 所以月销售额定为万元，有一半左右的营业员能达到销售目标． 【解析】 【分析】本题主要考查了数据的整理，中位数，数据的分析等内容，解题的关键是掌握相关的定义和公式． （1）查找范围内的数即可，利用中位数定义计算即可得到中位数； （2）根据要求找出符合条件的范围内的数，求和即可； （3）利用中位数进行决策即可． 【小问1详解】 解：在范围内的数据有个，在范围内的数据有个， ，， 排序后中间的两个数都是，故中位数为； 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：月销售额不低于万元为后面四组数据，即有位营业员获得奖励； 故答案为：； 【小问3详解】 略 20. 某中学为减轻学生的学习压力，准备组织初三年级周末进行徒步活动，现已想好两个徒步地点：长虫山、抚仙湖．准备以抽签的方式决定徒步地点．规则为：一个不透明纸箱里，装有型号完全相同的3个红球和2个黑球，先后从纸箱里摸出两个球（不放回），若两次所摸球的颜色相同，则去长虫山；否则，去抚仙湖． （1）求第一次摸到红球的概率为________； （2）请用树状图或者列表表示出所有摸球的结果； （3）请用概率知识判断两个徒步地点被选中的可能性是否相同？若不相同，你认为更容易选中哪个地点． 【答案】（1） （2） 根据题意，设红球用A，B，C表示，黑球用D，E表示，画树状图如下： 一共有20种等可能性，其中颜色相同的有8种等可能性，颜色不同的有12种等可能性． （3）两个徒步地点被选中的可能性不相同，去抚仙湖徒步的可能性更大 【解析】 【分析】（1）根据简单的概率公式解答即可． （2）利用画树状图法解答即可． （3）计算颜色相同的概率，颜色不同的概率，比较大小，确定可能性的大小． 本题考查了简单地概率公式，树状图法求概率，游戏公平性，熟练掌握画树状图法求概率是解题的关键． 【小问1详解】 解：根据题意，得摸到红球的概率为， 故答案为：． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：根据题意，颜色相同的有8种等可能性，颜色不同的有12种等可能性， ∴去长虫山的概率为；去抚仙湖的概率为 故两个徒步地点被选中的可能性不相同，去抚仙湖徒步的可能性更大． 21. 年月日，神舟二十号载人飞船成功发射，月日，神舟十九号飞船顺利着陆，这一去一回的“太空交接班”标志着我国航天事业迈向体系化发展的新阶段．某航模商店购进、两种航空模型进行销售，已知购进种航空模型和种航空模型各个共元，购进种航空模型个和种航空模型个共需元． （1）求、两种航空模型进价分别多少元； （2）某商店计划购买、两种航空模型共个，若、两种航空模型的售价分别是元和元，要使获得的利润不低于元，请问至少购买种航空模型多少个？ 【答案】（1）种航空模型的进价是元，种航空模型的进价是元 （2）至少购买种航空模型个 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组与一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出方程组与不等式是解题的关键． （1）设种航空模型的进价是元，种航空模型的进价是元，根据题意建立二元一次方程组求解，即可解题； （2）设购买种航空模型个，则购买种航空模型个，根据“获得的利润不低于元，”建立不等式求解，即可解题． 【小问1详解】 解：设种航空模型的进价是元，种航空模型的进价是元， 根据题意得：， 解得：． 答：种航空模型的进价是元，种航空模型的进价是元； 【小问2详解】 解：设购买种航空模型个，则购买种航空模型个， 根据题意得：， 解得：， 的最小值为． 答：至少购买种航空模型个． 22. 如图，的直径和是它的两条切线，点为射线上的一点． （1）尺规作图：在上作点，使得（点与点不重合），延长交于点（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）所作的图形中． ①求证：是的切线； ②若，求四边形的周长． 【答案】（1）作图见详解； （2）①证明过程见详解；②28 【解析】 【分析】（1）以C为圆心，以的长为半径画弧，交于点E，作射线交于点D即可； （2）①连接，，证明，得，，即可证明是的切线；②作于点F，由、、是的切线，得，，进而证明四边形是矩形，设，则， ，由直径，得，即可求周长． 【小问1详解】 解：以C为圆心，以的长为半径画弧，交于点E，作射线交于点D，如图所示：线段、点D即为所求； 【小问2详解】 ①证明：连接，，如图： 是的切线， ， ， 在和中， ， ， ， ， 是的切线； ②作于点F， ， 、、是的切线， ，， 四边形是矩形， ， ， ， 设， 则， ， ，， 在中，， 的直径， ， ， 四边形的周长． 【点睛】本题考查了圆的综合知识，基本尺规作图——作一条线段等于已知线段，矩形的性质和判定，切线的性质和判定，切线长定理、勾股定理等，适当添加辅助线是正确解题的关键． 23. 某校综合实践小组为了测量观察目标时的仰角和俯角，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图所示． （1）如图，在点观察所测物体最高点，当量角器零刻度线上两点均在视线上时，测得视线与铅垂线所夹的锐角为，设仰角为，请直接用含的代数式表示． （2）该综合实践小组前往江北烈士陵园测量革命烈士纪念碑的高度（碑顶到水平地面的距离）．该小组利用自制简易测角仪在点分别测得碑顶的仰角为，为，地面上点在同一水平直线上，，求革命烈士纪念碑的高．（参考数据：，，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． （）过点向下的箭头延长与过点的水平延长线相交于点，根据直角三角形两锐角互余即可求解； （）设， 由可得，即得，再解即可求解； 【小问1详解】 解：如图，过点向下的箭头延长与过点的水平延长线相交于点，则， ∴， 即； 【小问2详解】 解：设， 在中， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， 即， 解得， 即， 答：革命烈士纪念碑的高为． 24. 如图，一次函数的图象分别交轴、轴于两点，点为反比例函数（）图象上一点，过点分别作轴、轴的平行线交直线于点，直线交轴于点．连接，将绕着点逆时针旋转后得到线段． （1）若，，求点的坐标； （2）求点的横坐标； （3）是否存在一个的值，使得无论点位于反比例函数图象上何处时，总有点、、三点在同一直线上？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）点横坐标为； （3）存在，． 【解析】 【分析】（）根据条件求出点坐标，利用直线解析式求出点坐标即可； （）设点的坐标为，利用一线三直接全等，则有即可． （）设点，则，，由推导出点，三点共线时，点点的纵横坐标之比相等列出关于的等式，化简可得； 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，旋转的性质，余角性质，全等三角形的判定和性质，掌握三点共线时，点的纵横坐标之比相等，都等于正比例函数的常数值是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵， ∴反比例函数解析式为， ∵， ∴点的纵坐标为， 把代入得，， ∴， ∴， ∵轴， ∴点的横坐标为， 把代入得，， ∴； 【小问2详解】 解：设点的坐标为， 过点作，垂足为，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴点横坐标为； 【小问3详解】 解：存在一个的值，使得无论点位于反比例函数图象上何处时，总有点三点在同一直上，理由如下： 设点的坐标为，则，， 由（）可知，点点横坐标为，纵坐标为， ∴， ∵三点在一条直线上时，点的纵横坐标比值相等， ∴， 整理得，， ∴． 25. 如图，已知直线与抛物线相交于，两点，其中抛物线的顶点坐标，点在轴上． （1）求抛物线的解析式； （2）点是抛物线上（除第一象限外）的一点，当是以为底边的等腰三角形时，求点的坐标； （3）若抛物线与轴的负半轴的交点为，过点作直线交轴交于点，点为线段上的一点，点为线段上的一点，连接，并延长与线段交于点（点在第三象限），当且时，求出点及点的坐标． 【答案】（1） （2）或 （3）， 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数和一次函数的结合，利用等腰三角形的性质求点的坐标，相似三角形的判定和性质，解直角三角形的应用，列一元二次方程解决几何问题等知识点，解题的关键是掌握二次函数的性质． （1）利用待定系数法先确定一次函数的解析式，通过一次函数解析式确定点的坐标，然后将顶点坐标代入到顶点式中求解即可； （2）设点，利用等腰三角形的性质，列出，然后进行求解即可； （3）根据题意画出图形，作于，作于，作于，在上截取，根据函数解析式求出相关点的坐标，设，表示出相关线段的长度，利用勾股定理列出一元二次方程，最后求解即可． 【小问1详解】 解：把，代入得， ， ， ， 当时，， ， ， 过， ， ， 抛物线的解析式为：，即； 【小问2详解】 解：设点， 是以为底边的等腰三角形, ∴， 化简，得，， ， 当时，， 当时，，` 或 【小问3详解】 解：作于，作于，作于，在上截取， ， 由得，， 当二次函数解析式，函数值为0时，， 解得， ∴， 设， ， ， ， ∵, ∴， ， ， 由，，得，, ， ， ，， ， ， ， ， ， 由得，， ， ， 由勾股定理得，， ， 解得，（舍去），， ，，，， ，． 26. 从特殊到一般是研究数学的重要方法，在一次数学课上，某学习小组的同学运用这一方法探究矩形的折叠．已知矩形纸片中，点为射线上一点，将沿折叠得，点的对应点为，延长，交直线于点，． 【尝试初探】已知，， （1）如图，若点与点重合，求线段的长度； （2）如图，若点与点不重合，当时，求线段的长． 【拓展延伸】若，连接，当为直角三角形时，直接写出的值．（用的代数式表示）． 【答案】【尝试初探】（1）3；（2）或；【拓展延伸】或 【解析】 【分析】（1）先根据勾股定理求出，根据折叠得出，，根据勾股定理求出，最后求出结果即可； （2）分两种情况：当点在线段上或点在线段的延长线上时，分别画出图形求出结果即可； （3）分三种情况讨论：当点在线段上，且时，此时和重合，令，则，当点在线段上，且时，由得，，当点在延长线上，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】解：（1），， ， 沿折叠得， ，， ， ， 在中，， 即， 解得； （2）情况一：如图，点在线段上， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 由折叠得， ， 点在上，与重合， ； 情况二：如图，点在线段的延长线上， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ， ， ， 作于点，则， ， ， ， ， ， 综上所述，的长为或． （3）拓展延伸：或； 当点在线段上，且时，如图，此时和重合，令，则， ， 由得，， ， 当点在线段上，且时，如图，由得，， ， ， ， ，， ， ，令，则，， ， 当点在延长线上， ，且， 是钝角三角形，不可能为直角三角形，故此情况不存在． 综上，或． 故答案为或． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，三角形相似的判定和性质，解直角三角形的相关计算，勾股定理，三角形全等的判定和性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $