精品解析：福建省三明市2024-2025学年高二下学期7月期末质量检测数学试题

三明市2024——2025学年第二学期普通高中期末质量检测 高二数学试题 （满分：150分 考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用交集的运算，即可得到结果. 【详解】因为集合，， 所以， 故选：C. 2. 已知幂函数的图象经过点，则该函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由幂函数定义可设，由条件列方程求，可得结论. 【详解】因为函数为幂函数，故可设， 因为函数的图象过点， 所以， 所以， 所以，即. 故选：A. 3. 已知且，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用充分条件和必要条件的定义分析判断即可 【详解】由，得，，解得，或， 而当时，可得， 所以“”是“”的必要不充分条件， 故选：B 4. 下列函数中，既是偶函数又在上是减函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据常见函数的单调性即可排除ABC，根据二次函数的性质即可求解D. 【详解】对于A，在是单调递增函数，故A错误， 对于B, 在单调递增，故B错误， 对于C , 故在上不是减函数，C错误， 对于D, 为开口向下的二次函数，且对称轴为轴，故为偶函数又在上是减函数，D正确， 故选：D 5. 由0，1，2，3，5组成的无重复数字的4位数共有（ ） A. 24个 B. 72个 C. 96个 D. 120个 【答案】C 【解析】 【分析】分这个4位数含0和不含0两种情况讨论即可. 【详解】若组成的4位数不含0，则有个； 若组成的4位数含0，因为0不能在首位，所以首位有种排法，后面的三位有种排法，所以含0的4位数有个. 所以由0，1，2，3，5组成的无重复数字的4位数共有：个. 故选：C 6. 若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意得：在上恒成立，整理可得：在上恒成立直接求解即可. 【详解】由题意可得： 在上恒成立， 整理可得：， 函数在上递减， 所以， 所以， 故选：C. 【点睛】本题考了恒成立问题，考查了转化思想，恒成立问题的一个重要方法是参变分离，属于基础题. 7. 已知随机变量，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】先根据正态分布的性质确定的值，再利用基本不等式求最小值. 【详解】因为，且， 因为，所以. 所以， 因为，所以，当且仅当，即时取等号. 故选：B 8. 定义在R上的函数满足，当时，.已知函数，若，，不等式成立，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】在区间上，分别求出与的最小值，根据可求的取值范围. 【详解】对函数： 当时，； 当时，，当时取等号. 所以时，. 当时，，，所以. 当时，，，所以. 综上当时，. 对函数： ，. 由或；由. 所以函数在和上单调递增，在上单调递减. 所以函数在的极小值为， 又. 所以函数在的最小值为. 因为，，不等式成立， 所以当，时，，即. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题中，正确的是（ ） A. 在经验回归方程中，当解释变量每增加1个单位时，响应变量将平均减少0.3个单位 B. 两个变量线性相关性越强，则相关系数r就越接近于1 C. 独立性检验中，根据分类变量X与Y的成对样本数据计算得到，推断零假设不成立，即认为X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05 D. 用决定系数比较两个回归模型的拟合效果时，越大，表示残差平方和越大，模型拟合效果越差 【答案】AC 【解析】 【分析】根据回归方程的意义判断A的真假；根据线性相关系数的意义判断B的真假；根据独立性检验的意义判断C的真假；根据决定系数的意义判断D的真假. 【详解】根据回归方程的意义可知A正确； 两个变量线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1，故B错误； 根据独立性检验的意义，可得C正确； 因为决定系数越大，模型拟合效果越好，故D错误. 故选：AC 10. 设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用和事件的概率公式和条件概率公式进行计算，逐项判断即可. 【详解】对A：因为，故A正确； 对B：由，所以，故B正确； 对C：由，且，所以， 所以，故C错误； 对D：因为，故D正确. 故选：ABD 11. 已知函数是R上的奇函数，且过点，对于一切正实数m，n，都有.当时，恒成立，则（ ） A. B. 方程所有根的和为 C. 在上是单调函数 D. 不等式的解集为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，赋值即可判断；对于B，分别赋值、和求出和即可判断；对于C，探究在上的单调性，结合、和函数奇偶性即可判断；对于D，由函数单调性以及研究特殊值，，即可得解. 【详解】由题， 对于A：令，，所以A正确； 对于C：当时，，得， 故，即 又即， 所以，设， 则， 因为，所以， ， 因为当时，恒成立， 所以，即， 故在上单调递增， 又，，且函数是上的奇函数， 则在上是单调递增，所以C正确； 对于B：方程的根即为或的根， 因为在上单调递增，在上是单调递增， 所以有两个根， 令， ，得； 令，，则； 所以有两个根为， 因为在上单调递增，在上是单调递增，所以有3个根， 令，，得， 因为函数是奇函数，所以， 令，，得， 所以有3个根为， 方程所有根的和为，所以B不正确； 对于D：当时， 因为在上单调递增，，，所以； 当时，因为，，， ，， 由奇函数在上单调递增，所以； 所以即时，.所以D正确. 故选：ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的系数是______（用数字作答）. 【答案】-60 【解析】 【分析】利用二项式通项公式找到含项，再从这些项中找到含的项. 【详解】由二项式的通项公式得：的通项公式为：， 令，得 的通项公式为： 令，解得：， , 项为 的系数是-60. 13. 《数术记遗》记述了我国古代十余种算法.甲、乙、丙三人拟收集该书中运筹算、九宫算、了知算、成数算和把头算等5种算法的相关资料，要求每人至少收集其中一种，且每种算法只由一个人收集，则不同的分工收集方案有______种. 【答案】150 【解析】 【分析】把5种算法按1，1，3或1，2，2分成三组，再安排给3人，由此计算可得. 【详解】5种算法按1，1，3或1，2，2分成三组的方法数为：， 再安排给3人，总方法数为， 故答案为：150. 14. 已知函数的定义域为D，若，b，，，，可以作为一个三角形的三条边长，则称函数是D上的“三角形函数”.已知函数是上的“三角形函数”，则实数m的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用导数分析函数的单调性，求出最大值与最小值，根据最大、最小值的关系求的取值范围. 【详解】因为，所以. 当时，；当时，. 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以. 又，，且. 所以当时，. 由. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在高考志愿模拟填报中，学生甲对10个专业感兴趣，其中包括3个人工智能类、5个电子信息类和2个新能源类专业.他计划从这10个专业中随机选择4个进行填报，每个专业被选中的可能性相同. （1）求甲至少填报3个电子信息类专业的概率； （2）若甲填报人工智能类专业的数量为X，求随机变量X的分布列和数学期望. 【答案】（1） （2）的分布列是 0 1 2 3 期望为 【解析】 【分析】（1）根据古典概型概率公式计算； （2）的可能值为，计算出概率后得分布列，根据期望公式计算出期望. 【小问1详解】 甲选4个专业的方法数是，至少填报3个电子信息类专业方法数为， 所以甲至少填报3个电子信息类专业的概率为 【小问2详解】 由题意的可能值为， ，，，， 所以的分布列是 0 1 2 3 . 16. 已知函数（，且）. （1）若，求函数在点处的切线方程； （2）已知，若关于x的不等式在区间上有解，求实数m的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据求，再根据导数的几何意义求函数的切线方程. （2）先把问题转化成在区间上有解，再结合基本不等式可求的取值范围. 【小问1详解】 因为，所以，故.所以. 因为，. 所以函数在点处的切线方程为： ，即. 【小问2详解】 因为. 由，所以. 所以关于x的不等式在区间上有解，等价于在区间上有解. 因为，当且仅当时取等号. 所以. 所以实数的取值范围为：. 17. 某大学为了解数学专业研究生招生的情况，对近五年的报考人数进行了统计，得到如下统计数据： 年份 2020 2021 2022 2023 2024 年份代码t 1 2 3 4 5 报考人数y 30 65 95 135 175 （1）经分析，y与t存在显著的线性相关性，求y关于t的线性回归方程，并预测2025年的报考人数； （2）每年报考该专业研究生的考试成绩大致符合正态分布，录取方案：总分在400分以上的直接录取；在之间的进入面试环节，录取其中的50%；低于355分的不予录取.请预测2025年报考该专业考生中被录取的人数（最后结果四舍五入，保留整数）. 参考数据：. 参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，，若随机变量，则，，. 【答案】（1）；208 （2）90 【解析】 【分析】（1）先根据所给数据计算，，，再根据所给公式计算和，可得线性回归方程，再将代入方程，可以预测2025年的报考人数. （2）根据正态分布的性质，先求和，再根据全概率公式预测2025年报考该专业考生中被录取的人数. 【小问1详解】 因为，， . 所以，. 所以. 当时，，即预测2025年的报考人数为. 【小问2详解】 因为. . 所以预测2025年报考该专业考生中被录取的人数约为： 人. 18. 已知函数，. （1）若，求函数的极值； （2）若，且不等式在上恒成立，求a的最小值. 【答案】（1）极大值为：；无极小值. （2）2 【解析】 【分析】（1）当时，利用导数分析函数的单调性，可得函数极值的情况. （2）先把不等式化为在上恒成立.在利用，转化为在上恒成立，结合二次函数的性质，可求的取值范围，进而确定的最小值. 【小问1详解】 当时，，. 所以，. 由；由. 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以当时，函数有极大值，为；无极小值. 【小问2详解】 不等式为， 所以不等式在上恒成立， 所以在上恒成立. 设，则， 当时，，， 又在上是增函数，，， 所以存在，使得， 当时，，； 当时，，， 即在上单调递增，在上单调递减， ，， 则，所以， 因为，所以， 又因为，所以， 所以的最小值为. 19. 某芯片厂生产高端人工智能芯片须经过性能测试.已知通过测试Ⅰ的概率为40%，未通过测试I的芯片须进入测试Ⅱ，通过率为，通过任意一次测试即为合格芯片.已知一枚芯片合格，则该芯片是通过测试Ⅰ的概率为θ. （1）求θ（结果用p表示）； （2）切比雪夫不等式是概率论中关于随机变量偏离其均值的概率定理，其形式如下：设随机变量X的期望为，方差为，则对任意，均有.请结合该定理解决下列两个问题： （ⅰ）若厂商声称该厂芯片通过测试Ⅱ的概率为50%.现质量检测部门随机抽取了该厂生产的100枚芯片，经检测有40枚合格.请说明该厂商的说法是否可信（注：当随机事件A发生的概率小于0.05时，可称事件A为小概率事件）； （ⅱ）为估计θ，工厂随机抽取m枚合格芯片，其中k枚为通过测试Ⅰ，记.若要使得总能不超过0.01，试估计最小样本量）. 【答案】（1） （2）（ⅰ）该厂商的说法不可信；（ⅱ）10000 【解析】 【分析】（1）利用条件概率表示. （2）（ⅰ）结合二项分布的期望和方差公式，判断是否为小概率事件. （ⅱ）根据列式，解不等式可求的取值范围. 【小问1详解】 设事件表示芯片通过测试Ⅰ，则， 设事件表示芯片通过测试Ⅱ，则， 设事件表示芯片通过测试，则. 所以. 【小问2详解】 （ⅰ）若，则. 设抽取的100枚芯片中，合格芯片数为，则，所以,. 当时，， 根据切比雪夫不等式：. 所以若，则为小概率事件，所以厂商的说法不可信. （ⅱ）因为，所以，. 由切比雪夫不等式：. 因为（当时取等号）. 所以要使，即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 三明市2024——2025学年第二学期普通高中期末质量检测 高二数学试题 （满分：150分 考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知幂函数的图象经过点，则该函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 3. 已知且，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 下列函数中，既是偶函数又在上是减函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 由0，1，2，3，5组成的无重复数字的4位数共有（ ） A. 24个 B. 72个 C. 96个 D. 120个 6. 若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知随机变量，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 16 8. 定义在R上的函数满足，当时，.已知函数，若，，不等式成立，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题中，正确的是（ ） A. 在经验回归方程中，当解释变量每增加1个单位时，响应变量将平均减少0.3个单位 B. 两个变量线性相关性越强，则相关系数r就越接近于1 C. 独立性检验中，根据分类变量X与Y的成对样本数据计算得到，推断零假设不成立，即认为X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05 D. 用决定系数比较两个回归模型的拟合效果时，越大，表示残差平方和越大，模型拟合效果越差 10. 设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数是R上的奇函数，且过点，对于一切正实数m，n，都有.当时，恒成立，则（ ） A. B. 方程所有根的和为 C. 在上是单调函数 D. 不等式的解集为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的系数是______（用数字作答）. 13. 《数术记遗》记述了我国古代十余种算法.甲、乙、丙三人拟收集该书中运筹算、九宫算、了知算、成数算和把头算等5种算法的相关资料，要求每人至少收集其中一种，且每种算法只由一个人收集，则不同的分工收集方案有______种. 14. 已知函数的定义域为D，若，b，，，，可以作为一个三角形的三条边长，则称函数是D上的“三角形函数”.已知函数是上的“三角形函数”，则实数m的取值范围为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在高考志愿模拟填报中，学生甲对10个专业感兴趣，其中包括3个人工智能类、5个电子信息类和2个新能源类专业.他计划从这10个专业中随机选择4个进行填报，每个专业被选中的可能性相同. （1）求甲至少填报3个电子信息类专业的概率； （2）若甲填报人工智能类专业的数量为X，求随机变量X的分布列和数学期望. 16. 已知函数（，且）. （1）若，求函数在点处的切线方程； （2）已知，若关于x的不等式在区间上有解，求实数m的取值范围. 17. 某大学为了解数学专业研究生招生的情况，对近五年的报考人数进行了统计，得到如下统计数据： 年份 2020 2021 2022 2023 2024 年份代码t 1 2 3 4 5 报考人数y 30 65 95 135 175 （1）经分析，y与t存在显著的线性相关性，求y关于t的线性回归方程，并预测2025年的报考人数； （2）每年报考该专业研究生的考试成绩大致符合正态分布，录取方案：总分在400分以上的直接录取；在之间的进入面试环节，录取其中的50%；低于355分的不予录取.请预测2025年报考该专业考生中被录取的人数（最后结果四舍五入，保留整数）. 参考数据：. 参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，，若随机变量，则，，. 18. 已知函数，. （1）若，求函数的极值； （2）若，且不等式在上恒成立，求a的最小值. 19. 某芯片厂生产高端人工智能芯片须经过性能测试.已知通过测试Ⅰ的概率为40%，未通过测试I的芯片须进入测试Ⅱ，通过率为，通过任意一次测试即为合格芯片.已知一枚芯片合格，则该芯片是通过测试Ⅰ的概率为θ. （1）求θ（结果用p表示）； （2）切比雪夫不等式是概率论中关于随机变量偏离其均值的概率定理，其形式如下：设随机变量X的期望为，方差为，则对任意，均有.请结合该定理解决下列两个问题： （ⅰ）若厂商声称该厂芯片通过测试Ⅱ的概率为50%.现质量检测部门随机抽取了该厂生产的100枚芯片，经检测有40枚合格.请说明该厂商的说法是否可信（注：当随机事件A发生的概率小于0.05时，可称事件A为小概率事件）； （ⅱ）为估计θ，工厂随机抽取m枚合格芯片，其中k枚为通过测试Ⅰ，记.若要使得总能不超过0.01，试估计最小样本量）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $