精品解析：河南省南阳市桐柏县2024-2025学年九年级下学期第三次联考数学试题试卷

2024-2025学年九年级第三次质量检测试卷 数学 （满分120分，考试时间100分钟） 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. －6的绝对值是（ ） A. -6 B. 6 C. - D. 2. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（ ） A. B. C. D. 3. 经过近60年的发展，我国已建成目前世界上技术手段最为完 备的国家授时系统，授时精度从开始的毫秒级（千分之一秒）到了如今的百皮秒级（百亿分之一秒），提高了7个数量级，处于世界领先水平．已知1秒毫秒，1毫秒皮秒，则10秒等于（ ） A. 皮秒 B. 皮秒 C. 皮秒 D. 皮秒 4. 下列调查中，适宜采用全面调查方式的是 （ ） A. 调查“天鹅之城”三门峡黄河岸边浅滩湿地的水质情况 B. 对欲“搭乘”实践十九号卫星“上天”的药材种子的活性进行调查 C. 对搭乘郑州7，8号地铁线的乘客进行满意度调查 D. 对郑州市民春运期间返乡的交通方式进行调查 5. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，若添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 7. 若关于x的方程有实数根，则实数的值不可能是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点，都在反比例函数的图象上，顶点，分别在 轴的正半轴、 轴的正半轴上，对角线轴．若菱形的面积为，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，为的外接圆，过点B的切线与的延长线交于点A．若，的半径为3，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 如图（1），在等腰三角形中，，点M是的中点，点N是的中点．点P从点A出发，沿运动至点N，连接，．设点P运动的距离为x，，．在点P运动过程中，与x的函数关系图象如图（2）所示，与x的函数关系图象如图（3）所示．若图（2）中最低点D的纵坐标为，则图（3）中最低点E的纵坐标a的值为（ ） A. B. 6 C. D. 3 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若的周长为20，，则边的长可能是 __________（写出一个即可）． 12. 不等式组的整数解之和是______． 13. 一个不透明的口袋中装有5个小球（这些小球除所标数字外，其他完全相同），小球上分别标有数字1，2，3，4，5．现从中随机摸取一个，不放回，再摸取一个，先后摸到的小球上的数字分别作为一个两位数的十位数字和个位数字，则组成的两位数恰好是3的倍数的概率为______ ． 14. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A，C分别在x轴、y轴上，点D为对角线上一点，且，连接，过点O作于点E，交于点F．若点B的坐标为，则点E的横坐标为___________ 15. 如图，，点是平面内一动点，且，连接，将绕点逆时针旋转，得到，连接，则的最小值为 ______，最大值为 ______ 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 17. 为提高学生综合与实践能力，某校与周边农场合作，组 织七年级学生分组种植花卉（每组播种数量相同），体验从播种 到收获的完整过程．在种植过程中，张老师将每组的种子发芽数量（单位：株）分成个等级（级，；级，；级，；级，），并随机抽取个小组的种子发芽数量进行统计，绘制了如下频数分布表． 等级 种子发芽数量/株 小组个数 级 级 级 级 同时还统计出级的全部数据，如下表． 种子发芽数量/株 小组个数 请根据以上信息，解决下列问题： （1） ， ； （2）抽取的这个小组种子发芽数量的中位数是 株； （3）已知参与本次种植活动的小组共有个，种子发芽数量超过株的小组可以获得“种植小能手”徽章，试估计学校要为本次活动准备多少个“种植小能手”徽章． 18. 如图，在中，点E为的中点，是其对角线． （1）请仅用无刻度的直尺作图：作出的中点F（保留作图痕迹，不写作法），并证明点F是的中点． （2）在（1）的条件下，连接．给添加一个条件，使四边形是矩形，你添加的条件是___________． 19. 科学家阿基米德曾说：“假如给我一个支点，我可以撬起整个地球！”这运用的是杠杆原理．如图1，表示地球，点是支点． （1）请用无刻度的直尺和圆规在图1中作出撬起地球的杠杆（直线），使其经过点，且与相切于点．（标明字母，保留作图痕迹，不写作法） （2）如图2，连接交于点，延长交于点，为下方的上一点，且，在图1的条件下，若为的中点，求的度数． 20. 如图（1），在 中 ，，， 将含角的直角三角板的锐角顶点放至点 处，斜边交于点， 直角边交于点，．小华进行了如下探究． （1）他发现，且通过推理验证是正确的，请写出你的证明过程． （2）他设，． ①请你直接写出与的函数关系式． ②请在图（2）中画出该函数的大致图象，并写出该图象的一条性质． 21. 洛阳龙门石窟景区内某文创商店准备售卖A，B两种文创产品．如图是店里的一张进货单（墨迹覆盖了部分数据）： 进货单 序号 规格 单位 数量 单价 金额 1 A款 件 4000 2 B款 件 3250 店员说：“这次进货，B款文创产品的单价比A款文创产品的单价少15元，A，B两款文创产品的数量相同．” 请你解决下列问题 （1）求A，B两款文创产品的进货单价各是多少元． （2）已知A款文创产品每件的售价为100元，B款文创产品每件的售价为80元．根据市场需求，该商店计划再用不超过7400元的总费用购进这两款文创产品共100件进行销售．问：怎样进货才能使销售完这批货后获得的利润最大？最大利润是多少元？ 22. 田大爷的菜地中装有若干个垂直于地面的柱形喷水装置，用于灌溉蔬菜．每个装置有上、下两个喷头，这两个喷头朝向一致，喷出的水流均是抛物线的一部分，田大爷可根据需要调节两个喷头的高度．该装置可绕自身自动旋转．某日田大爷将所有喷头都打开，其中一个喷水装置的喷头A喷出的水落在水平地面的点C ，喷头B喷出的水落在水平地面的点D处，如图所示，以点O为原点，所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．测量可知，喷头A喷出的水距的距离为处达到最高，且最高处距离地面．喷头B喷出的水流所在抛物线的开口方向和形状均与喷头A的相同． （1）求点C的坐标． （2）身高为的田大爷直立穿梭在菜地中，设他到的水平距离为． ①当他在点间穿梭时，若他不会被喷头A喷出的水淋到，求p的取值范围． ②当他在点间穿梭时， （填“存在”或“不存在”）p的值，使他不会被水淋到． 23. 阅读与理解： 在一次培养学生对数学的兴趣、提升学生数学素养的实践操作活动中，李老师带领同学们进行了如下探究． 在的平分线上找一点，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别与边，交于点．连接，，组成四边形．同学们经过动手操作，发现有图（1）、图（2）、图（3）三种情况． （1）在图（2）的基础上，将绕点逆时针旋转至与重合的位置，得到，如图（4），求证：，，三点共线． 探究与运用： （2）如图（3），在四边形中，， ①求的度数； ②求四边形的面积． 思考与延伸： （3）如图（5），四边形是圆内接四边形，，．当四边形的对角线是直径时，以为斜边作等腰直角三角形，连接，直接写出线段的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年九年级第三次质量检测试卷 数学 （满分120分，考试时间100分钟） 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. －6的绝对值是（ ） A. -6 B. 6 C. - D. 【答案】B 【解析】 【分析】在数轴上，表示一个数的点到原点的距离叫做这个数的绝对值． 【详解】负数的绝对值等于它的相反数，所以-6的绝对值是6． 故选：B． 2. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三视图，主视图是在物体正面从前向后观察物体得到的图形；俯视图是站在物体的正面从上向下观察物体得到的图形；左视图是在物体正面从左向右观察到的图形，掌握三视图的定义是解题关键．根据三视图中的信息特征得到该几何体，即可解题． 【详解】解：由几何体的三视图看， 主视图是直角三角形，左视图是矩形，俯视图是矩形， 不难看出这个几何体是C选项． 故选：C． 3. 经过近60年的发展，我国已建成目前世界上技术手段最为完 备的国家授时系统，授时精度从开始的毫秒级（千分之一秒）到了如今的百皮秒级（百亿分之一秒），提高了7个数量级，处于世界领先水平．已知1秒毫秒，1毫秒皮秒，则10秒等于（ ） A. 皮秒 B. 皮秒 C. 皮秒 D. 皮秒 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂乘法的应用，科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．据此求解即可； 【详解】解：1秒毫秒，1毫秒皮秒， 秒皮秒， 秒皮秒， 故选：B． 4. 下列调查中，适宜采用全面调查方式的是 （ ） A. 调查“天鹅之城”三门峡黄河岸边浅滩湿地的水质情况 B. 对欲“搭乘”实践十九号卫星“上天”的药材种子的活性进行调查 C. 对搭乘郑州7，8号地铁线的乘客进行满意度调查 D. 对郑州市民春运期间返乡的交通方式进行调查 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全面调查与抽样调查，根据全面调查与抽样调查的特点，逐一判断即可解答． 【详解】解：A. 调查“天鹅之城”三门峡黄河岸边浅滩湿地的水质情况，适宜采用抽样调查方式，故该选项不符合题意； B. 对欲“搭乘”实践十九号卫星“上天”的药材种子的活性进行调查，适宜采用全面调查方式，故该选项符合题意； C. 对搭乘郑州7，8号地铁线的乘客进行满意度调查，适宜采用抽样调查方式，故该选项不符合题意； D. 对郑州市民春运期间返乡的交通方式进行调查，适宜采用抽样调查方式，故该选项不符合题意； 故选：B． 5. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，乘法公式，单项式乘以单项式，掌握运算法则是解题的关键． 分别根据合并同类项，完全平方公式，单项式乘以单项式运算法则判断即可． 【详解】解：A、，故A错误，不符合题意． B、，故B错误，不符合题意． C、，故C错误，不符合题意． D、，故D正确，符合题意． 故选：D 6. 如图，若添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似． 根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案． 【详解】解：， ， A，B，D都可判定；选项C中，不是夹这两个角的边，所以不相似， 故选：C． 7. 若关于x的方程有实数根，则实数的值不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了根的判别式，根据根的情况确定参数的范围，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，． 【详解】解：∵，方程有实数根， ∴，解得：， ∴不在范围内， 故选：． 8. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点，都在反比例函数的图象上，顶点，分别在 轴的正半轴、 轴的正半轴上，对角线轴．若菱形的面积为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，反比例函数的几何意义，过点作轴于点，根据的几何意义可得，，根据菱形的性质以及三角形的面积可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点作轴于点， ∵轴． ∴四边形是矩形 ∴ ∵菱形，对角线轴 ∴ ∵菱形的面积为， ∴ 故选：D． 9. 如图，为的外接圆，过点B的切线与的延长线交于点A．若，的半径为3，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查切线的性质，圆心角是圆周角的2倍，解直角三角形，扇形的面积公式，掌握知识点是解题的关键． 连接，求出，的度数，继而求出的度数，利用正切可求出，再根据扇形和直角三角形的面积公式，即可解答． 【详解】解：连接，如图 ∵，是的切线， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 故选D． 10. 如图（1），在等腰三角形中，，点M是的中点，点N是的中点．点P从点A出发，沿运动至点N，连接，．设点P运动的距离为x，，．在点P运动过程中，与x的函数关系图象如图（2）所示，与x的函数关系图象如图（3）所示．若图（2）中最低点D的纵坐标为，则图（3）中最低点E的纵坐标a的值为（ ） A. B. 6 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】由图（2）可知当时，有最小值，为，此时，，进而得，由勾股定理得，作点M关于的对称点，则点为的中点，连接交于点P，过点作于点H，此时，，，再由勾股定理求出即可得解． 【详解】解：∵在等腰三角形中，，点N是的中点， ∴，， 图（2）中最低点D的纵坐标为， ∴当时，有最小值，为，此时，， 又∵点M是的中点， ∴，， ∴在中，， 作点M关于的对称点，则点为的中点，连接交于点P，过点作于点H，此时，，， ∴， ∴，， ∴， 在中，， 即， 故选：A． 【点睛】本题主要考查动点函数问题、等腰三角形的性质、两点之间线段最短、中位线的性质定理、勾股定理． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若的周长为20，，则边的长可能是 __________（写出一个即可）． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系定理．关键是根据三角形三边关系定理求得边的取值范围． 根据三角形三边关系定理，先确定边的取值范围，再写出答案即可． 【详解】解：∵的周长为， ， ， ， ， ， ， ∴边的长可能为 8 ， 故答案为：8． 12. 不等式组的整数解之和是______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了求一元一次不等式组的解集，解题的关键是掌握求不等式组的解集的步骤． 先求出不等式组的解集，然后确定解集里的整数解，最后求解即可． 【详解】解： 解不等式①得，； 解不等式②得，； 所以，该不等式组的解集为， 所以，该解集中的整数解有：， 所以，整数解之和为， 故答案为：5． 13. 一个不透明的口袋中装有5个小球（这些小球除所标数字外，其他完全相同），小球上分别标有数字1，2，3，4，5．现从中随机摸取一个，不放回，再摸取一个，先后摸到的小球上的数字分别作为一个两位数的十位数字和个位数字，则组成的两位数恰好是3的倍数的概率为______ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了运用列表法求概率，根据题意正确列表成为解答本题的关键．用列表法确定所有可能数和可能被3整除的可能数，然后用概率公式求解即可． 【详解】解：根据题意列表如下： 1 2 3 4 5 1 12 13 14 15 2 21 23 24 25 3 31 32 34 35 4 41 42 43 45 5 51 52 53 54 随机一次性摸出两个球有种可能，组成的两位数恰好是3的倍数的有种， ∴组成的两位数恰好是3的倍数的概率为 故答案为：． 14. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A，C分别在x轴、y轴上，点D为对角线上一点，且，连接，过点O作于点E，交于点F．若点B的坐标为，则点E的横坐标为___________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系，正方形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，过D作于H，过E作于G，证明，可求出，，证明，可求出，根据勾股定理求出，根据等面积法求出，根据勾股定理求出，根据等面积法求出即可． 【详解】解：过D作于H，过E作于G， ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理， 故答案为：． 15. 如图，，点是平面内一动点，且，连接，将绕点逆时针旋转，得到，连接，则的最小值为 ______，最大值为 ______ 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，圆的有关性质，全等三角形的判定与性质，将绕点逆时针旋转得，连接，证明，则，故点在以圆心，为半径的圆上运动，当点在线段上时，的最小值为，当点在线段上时，的最大值为，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，将绕点逆时针旋转得，连接， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴点在以圆心，为半径的圆上运动， ∴如图， 当点在线段上时，的最小值为，当点在线段上时，的最大值为． 故答案为：，． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查乘方，零次幂，整式的混合运算，掌握其运算法则是关键． （1）分别算出乘方，零次幂，绝对值的值，再根据有理数的混合运算法则计算即可； （2）根据单项式乘以多项式，完全平方公式计算展开，再合并同类项即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 17. 为提高学生综合与实践能力，某校与周边农场合作，组 织七年级学生分组种植花卉（每组播种数量相同），体验从播种 到收获的完整过程．在种植过程中，张老师将每组的种子发芽数量（单位：株）分成个等级（级，；级，；级，；级，），并随机抽取个小组的种子发芽数量进行统计，绘制了如下频数分布表． 等级 种子发芽数量/株 小组个数 级 级 级 级 同时还统计出级的全部数据，如下表． 种子发芽数量/株 小组个数 请根据以上信息，解决下列问题： （1） ， ； （2）抽取的这个小组种子发芽数量的中位数是 株； （3）已知参与本次种植活动的小组共有个，种子发芽数量超过株的小组可以获得“种植小能手”徽章，试估计学校要为本次活动准备多少个“种植小能手”徽章． 【答案】（1）， （2） （3）个 【解析】 【分析】（）根据表格数据计算即可求解； （）根据中位数的定义解答即可； （）用乘以发芽数量超过株的小组个数占比即可求解； 本题考查了频数分布表，中位数，样本估计总体，看懂频数分布表是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意得，，， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：∵一共有个数据， ∴中位数是第个数据的平均数， ∵前两组的频数之和为，前三组的频数之和为， ∴中位数在级， ∴中位数为株， 故答案为：； 【小问3详解】 解：， 答：估计学校要为本次活动准备个“种植小能手”徽章． 18. 如图，在中，点E为的中点，是其对角线． （1）请仅用无刻度的直尺作图：作出的中点F（保留作图痕迹，不写作法），并证明点F是的中点． （2）在（1）的条件下，连接．给添加一个条件，使四边形是矩形，你添加的条件是___________． 【答案】（1） 如图，连接与相交于点，连接并延长交于点，则点即为所求． 证明：因为四边形是平行四边形， 所以，，． 所以， 所以， 则， 而，点为的中点， 所以， 所以， 即点是的中点． （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定等知识，掌握这些知识是解题的关键． （1）连接与相交于点，连接并延长交于点，则点即为所求．证明即可； （2）先证明四边形是平行四边形，当时，有，从而得结论成立． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：； 当时， 因为，分别是，的中点， 所以，，， 又四边形是平行四边形，，， 所以， 所以四边形是平行四边形； 因为，即， 所以四边形是矩形． 19. 科学家阿基米德曾说：“假如给我一个支点，我可以撬起整个地球！”这运用的是杠杆原理．如图1，表示地球，点是支点． （1）请用无刻度的直尺和圆规在图1中作出撬起地球的杠杆（直线），使其经过点，且与相切于点．（标明字母，保留作图痕迹，不写作法） （2）如图2，连接交于点，延长交于点，为下方的上一点，且，在图1的条件下，若为的中点，求的度数． 【答案】（1） 如图（1），直线即为所求作的直线； （2）15° 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，切线的性质与判定，作垂线，掌握以上知识是解题的关键； （1）连接，以的中点为圆心为半径作弧，交于点，作直线，即可求解． （2）根据垂径定理的推论可得，根据切线的性质可得，则得出，根据平行线的性质，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵是的切线， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴． 20. 如图（1），在 中 ，，， 将含角的直角三角板的锐角顶点放至点 处，斜边交于点， 直角边交于点，．小华进行了如下探究． （1）他发现，且通过推理验证是正确的，请写出你的证明过程． （2）他设，． ①请你直接写出与的函数关系式． ②请在图（2）中画出该函数的大致图象，并写出该图象的一条性质． 【答案】（1） 证明：∵在 中 ，，， ∴ 又∵， ∴ ∴ ∴． （2）①； ②描点连线，如图所示， 当时，随的增大而减小 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，画函数图象； （1）先证明，，即可证明； （2）①勾股定理求得，设，，根据（1）得出，进而得出与的函数关系式； ②根据列表，描点画出函数图象，结合函数图象，写出一条性质即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①∵，， ∴ 设，． ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 即 ∴ ②列表， 21. 洛阳龙门石窟景区内某文创商店准备售卖A，B两种文创产品．如图是店里的一张进货单（墨迹覆盖了部分数据）： 进货单 序号 规格 单位 数量 单价 金额 1 A款 件 4000 2 B款 件 3250 店员说：“这次进货，B款文创产品的单价比A款文创产品的单价少15元，A，B两款文创产品的数量相同．” 请你解决下列问题 （1）求A，B两款文创产品的进货单价各是多少元． （2）已知A款文创产品每件的售价为100元，B款文创产品每件的售价为80元．根据市场需求，该商店计划再用不超过7400元的总费用购进这两款文创产品共100件进行销售．问：怎样进货才能使销售完这批货后获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）款文创产品的进货单价为80元，款文创产品的进货单价为65元 （2）购进A款文创产品60件，B款文创产品40件时，销售完这批货后获得的利润最大，最大利润是1800元 【解析】 【分析】本题考查的是分式方程的解法，一元一次不等式的应用，一次函数的应用； （1）设款文创产品的进货单价为元，则款文创产品的进货单价为元．因为，两款文创产品的数量相同，再建立分式方程求解即可； （2）设购进款文创产品件，则购进款文创产品件．由题意得，可得．设销售完这批货后获得的利润为元，可得，再利用一次函数的性质求解即可. 【小问1详解】 解：设款文创产品的进货单价为元，则款文创产品的进货单价为元．因为，两款文创产品的数量相同， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，经检验符合题意； 则元． 所以款文创产品的进货单价为80元，款文创产品的进货单价为65元． 【小问2详解】 解：设购进款文创产品件，则购进款文创产品件． 由题意得， ∴， ∴， ∴， 解得． 设销售完这批货后获得的利润为元，则 ． ∵，所以随的增大而增大， ∴当时，有最大值，元， 此时件． ∴购进A款文创产品60件，B款文创产品40件时，销售完这批货后获得的利润最大，最大利润是1800元． 22. 田大爷的菜地中装有若干个垂直于地面的柱形喷水装置，用于灌溉蔬菜．每个装置有上、下两个喷头，这两个喷头朝向一致，喷出的水流均是抛物线的一部分，田大爷可根据需要调节两个喷头的高度．该装置可绕自身自动旋转．某日田大爷将所有喷头都打开，其中一个喷水装置的喷头A喷出的水落在水平地面的点C ，喷头B喷出的水落在水平地面的点D处，如图所示，以点O为原点，所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．测量可知，喷头A喷出的水距的距离为处达到最高，且最高处距离地面．喷头B喷出的水流所在抛物线的开口方向和形状均与喷头A的相同． （1）求点C的坐标． （2）身高为的田大爷直立穿梭在菜地中，设他到的水平距离为． ①当他在点间穿梭时，若他不会被喷头A喷出的水淋到，求p的取值范围． ②当他在点间穿梭时， （填“存在”或“不存在”）p的值，使他不会被水淋到． 【答案】（1） （2）①；②不存在 【解析】 【分析】（1）先用待定系数法求出抛物线的解析式，然后求出抛物线与x轴的交点坐标即可； （2）①把代入，求出，，得出当时，他不会被喷头A喷出的水淋到； ②先求出喷头B喷出的水流所在抛物线解析式为：，把代入得出，根据，即可得出答案． 【小问1详解】 解：喷头A喷出的水流所在抛物线的顶点坐标为，经过点， 设喷头A喷出的水流所在抛物线的解析式为： ， 把代入得：， 解得：， ∴喷头A喷出的水流所在抛物线的解析式为： ， 把代入得：， 解得：，， ∴点C的坐标为； 【小问2详解】 解：①把代入得： ， 解得：，， ∵他到的水平距离为， ∴当时，他不会被喷头A喷出的水淋到； ②∵喷头B喷出的水流所在抛物线的开口方向和形状均与喷头A的相同， ∴设喷头B喷出的水流所在抛物线解析式为： ， 把，代入得： ， 解得：， ∴喷头B喷出的水流所在抛物线解析式为：， 把代入得：， ∵， ∴当他在点间穿梭时，不存在p的值，使他不会被水淋到． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握待定系数，是解题的关键． 23. 阅读与理解： 在一次培养学生对数学的兴趣、提升学生数学素养的实践操作活动中，李老师带领同学们进行了如下探究． 在的平分线上找一点，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别与边，交于点．连接，，组成四边形．同学们经过动手操作，发现有图（1）、图（2）、图（3）三种情况． （1）在图（2）的基础上，将绕点逆时针旋转至与重合的位置，得到，如图（4），求证：，，三点共线． 探究与运用： （2）如图（3），在四边形中，， ①求的度数； ②求四边形的面积． 思考与延伸： （3）如图（5），四边形是圆内接四边形，，．当四边形的对角线是直径时，以为斜边作等腰直角三角形，连接，直接写出线段的长度． 【答案】 （1）证明：∵是角平分线上的点，， ∴，， ∵将绕点逆时针旋转至与重合的位置，得到， ∴， ∴，即，，三点共线． （2）①；②； （3） 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，角平分线的性质，勾股定理，圆内接四边形对角互补，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）根据角平分线的性质可得，，根据旋转的性质可得，进而可得，即，，三点共线； （2）①过点分别作的垂线，垂足分别为，根据角平分线的性质可得，证明，进而得出，即可求解； ②证明，得出，勾股定理求得的长，进而求得，根据全等三角形的性质，得出四边形的面积； （3）根据题意求得，进而分类讨论，当在的上方时，过点作于点，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得的长，当在的下方时，同理可得． 【详解】（1）略 （2）解：①如图，过点分别作的垂线，垂足分别为， ∵是角平分线上的点，，则 ∴ 又∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴； ②∵，是的角平分线， ∴ ∴ 在中， ∴ ∴， 在中， ∴ ∵ ∴， ∴四边形的面积． （3）解：∵四边形的对角线是直径 ∴， ∵， ∴是的角平分线， 又∵四边形是圆内接四边形，． ∴, ∴ ∴，， 如图，当在的上方时，过点作于点， ∵等腰直角三角形，为斜边 ∴， ∵ ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴ 设，则 在中， ∴ 解得：或（舍去） ∴ 当在的下方时，如图， 同理可得， 设，则 在中， ∴ 解得：（舍去）或 ∴ 综上所述，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $