精品解析：辽宁葫芦岛市某校2026-2027学年九年级上学期第一次阶段检测数学试卷

数学 一、选择题（共10小题，每题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列关于x的方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的顶点为( ) A. （1，4） B. （1，-4） C. （-1，4） D. （-1，-4） 3. 用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（ ） A. B. C. D. 4. 将抛物线向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，则新抛物线的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 5. 下列关于x的一元二次方程中，没有实数根的是（ ） A. B. C. D. 6. 生物兴趣小组的同学们在十一假期收集树叶标本，开学后向本组其他成员各赠送一件，已知全组共互赠标本72件，则这个小组共有（ ）人． A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 7. 随着农业科技的发展，葫芦岛市绥中县逐步采用高科技技术辅助手段和标准化管理体系进行水果种植．某果农种植白梨，两年前每亩产量为2吨，采用新技术后，现在每亩产量比两年前多0.5吨．设每亩产量的年平均增长率为x，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象为（ ） A. B. C. D. 9. 如图1，小球从某一高度由静止下落到正下方竖直放置的弹簧上，并压缩弹簧（自然状态下，弹簧的初始长度为）．从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中（不计空气阻力，弹簧在整个过程中始终发生弹性形变），小球的速度v（）和弹簧被压缩的长度x（）之间的函数关系可近似看作二次函数（对称轴为直线），图象如图2所示，根据图象，下列说法中正确的是（ ） A. 小球从开始接触弹簧就一直减速 B. 当小球的速度最大时，弹簧的长度是 C. 当弹簧长度为时，小球速度为0 D. 当弹簧的长度为时，小球的速度与刚接触弹簧时的速度相同 10. 如图，抛物线（）与x轴交于点，对称轴为直线．结合图象分析下列结论：①；②；③；④；⑤一元二次方程的两根分别为．其中正确结论有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（共5小题，每题3分，共15分） 11. 关于x的方程的一个根为，则的值为_________． 12. 已知三角形的两边长分别为2和4，第三边长是一元二次方程的解，则这个三角形的周长是_________． 13. 飞机着陆时速度快，通常借助直道滑行一段距离来保持飞机稳定．据统计某飞机着陆后滑行的距离（单位：）与滑行的时间（单位：）的函数解析式是，那么飞机着陆后滑行________才能停下来． 14. 如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是____________ 15. 如图，平面直角坐标系中有两条抛物线，它们的顶点P，Q都在x轴上，平行于x轴的直线与两条抛物线相交于A，B，C，D四点，若，，，则的长度为_________． 三、解答题（共8小题，16－20题每题8分，21题10分，22题12分，23题13分，共75分） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 外出时戴上口罩、做好防护，可以有效遏制肺炎支原体病毒的传染．有个人患了支原体肺炎，经过两轮传染后共有人患了支原体肺炎（假设每个人每轮传染的人数同样多）．求每轮传染中平均个人传染了几个人？如果控制不及时，第三轮中又将有多少人被传染？ 18. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m取何值时，原方程总有两个不相等的实数根； （2）若，是原方程的两根，且，求m的值． 19. 已知正比例函数的图象与抛物线相交于点． （1）求和的值； （2）抛物线的顶点是，与直线的另一个交点是，求的面积． 20. 如图1，将一张宽的矩形硬纸片裁剪掉图中阴影部分（两个正方形，两个矩形）之后，恰好折成如图2的底面为正方形的有盖纸盒（底面积大于侧面积），纸盒侧面积为，求该有盖纸盒的底面边长．（单位：） 21. 已知二次函数的自变量x和函数y的部分对应值如表所示． （1）根据表格写出该二次函数的解析式为______，顶点为______； （2）在如图所示的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象； （3）根据函数图象，直接写出当时，的取值范围______； （4）若点在这个二次函数的图象上，且满足，结合图象，求满足条件的的取值范围． 22. 中国瓷器是世界上最早最精美的陶瓷之一，也是中国文化的重要组成部分．六中数学社团的同学们在进行历史和数学跨学科学习时，进行了方案探究和任务性学习； 【数学建模】 图1是一个盖碗，图2是其截面图，盖碗高度．，，碗口宽，茶盖的最高点离的距离，碗体呈抛物线形状（碗体厚度不计）． 【任务探究】 （1）任务一：已知一件白瓷盖碗的成本价是元，当售价为元时，每天可以售出件．为扩大销量，文旅公司决定降价销售此款盖碗，经调查发现，售价每降低元，每天可以多售出件．求售价定为多少时，每天获得的利润最大？ （2）任务二：如图2，以碗口宽的中点为原点，以所在直线为轴，的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，则点坐标为（，），点坐标为（，），求碗体的抛物线解析式； （3）任务三：如图3，盖碗中的茶水加满至碗口处，喝掉一部分后，水面下降至处（），水面的宽度为．求此时碗中茶水的深度（即水面到碗内最低点的垂直距离）． 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，顶点为，将抛物线平移得到抛物线，若抛物线的对称轴为直线，其顶点在线段的延长线上（点不与点重合）．抛物线与的交点为． （1）直接写出、两点坐标和直线的解析式； （2）求抛物线的解析式及点坐标（用含的代数式表示）； （3）过点作轴，交抛物线于另一点，交抛物线于另一点，且． ①求的值； ②抛物线（）与抛物线（）组成的图象，当时，图象的最高点的纵坐标为，最低点的纵坐标为，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 一、选择题（共10小题，每题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列关于x的方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】明确一元二次方程的标准形式及各项要求求解即可． 【详解】解：∵方程是分式方程， ∴选项A不符合题意， ∵当时，的二次项系数为0， ∴选项B不符合题意， ∵展开化简得，是一元一次方程， ∴选项C不符合题意， ∵方程是一元二次方程， ∴选项D符合题意． 2. 抛物线的顶点为( ) A. （1，4） B. （1，-4） C. （-1，4） D. （-1，-4） 【答案】B 【解析】 【分析】根据顶点式直接判断即可． 【详解】解：抛物线的顶点为：（1，-4）， 故选：B． 【点睛】本题考查了求二次函数的顶点坐标，解题关键是知道二次函数顶点式的顶点坐标为． 3. 用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】移项后，方程两边加一次项系数一半的平方，将左边配成完全平方式． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 4. 将抛物线向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，则新抛物线的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线平移的规律来确定新抛物线的函数表达式． 【详解】解：原抛物线解析式为， 向上平移2个单位，得， 向左平移3个单位，得． 5. 下列关于x的一元二次方程中，没有实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的根的判别式的值来判断方程根的情况． 【详解】解：A.方程， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根，不符合题意， B.方程， ∵， ∴方程没有实数根，符合题意， C.方程， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根，不符合题意， D.方程，整理为一般形式得， ∵， ∴方程有两个相等的实数根，不符合题意． 6. 生物兴趣小组的同学们在十一假期收集树叶标本，开学后向本组其他成员各赠送一件，已知全组共互赠标本72件，则这个小组共有（ ）人． A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】利用互赠总件数=人数×(人数)的等量关系列方程求解． 【详解】解：设这个小组共有人， 每人向其他名成员各赠送1件标本，全组共互赠件， 依题意得， 整理得， 因式分解得， 解得，， ∵人数为正整数， ∴不符合题意，舍去． 7. 随着农业科技的发展，葫芦岛市绥中县逐步采用高科技技术辅助手段和标准化管理体系进行水果种植．某果农种植白梨，两年前每亩产量为2吨，采用新技术后，现在每亩产量比两年前多0.5吨．设每亩产量的年平均增长率为x，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】明确增长次数为2，结合年平均增长率的计算方式列方程． 【详解】解：∵两年前每亩产量为2吨，年平均增长率为. ∴一年后每亩产量为吨， ∴现在每亩产量为吨， ∵现在每亩产量比两年前多吨，即为吨， ∴可列方程． 8. 一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数的图象，得到，，继而得到，以此确定抛物线的图象即可． 【详解】解：根据题意，得，， 故，， 故二次函数的图象开口向下，且顶点在y轴的负半轴， 符合要求． 9. 如图1，小球从某一高度由静止下落到正下方竖直放置的弹簧上，并压缩弹簧（自然状态下，弹簧的初始长度为）．从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中（不计空气阻力，弹簧在整个过程中始终发生弹性形变），小球的速度v（）和弹簧被压缩的长度x（）之间的函数关系可近似看作二次函数（对称轴为直线），图象如图2所示，根据图象，下列说法中正确的是（ ） A. 小球从开始接触弹簧就一直减速 B. 当小球的速度最大时，弹簧的长度是 C. 当弹簧长度为时，小球速度为0 D. 当弹簧的长度为时，小球的速度与刚接触弹簧时的速度相同 【答案】B 【解析】 【分析】先明确x的物理意义是弹簧被压缩的长度，弹簧实际长度等于原长减去x，结合二次函数图象的单调性判断小球速度变化趋势，判断A选项．二次函数开口向下，对称轴处v取最大值，对应，用弹簧原长减去该x值得到对应弹簧长度，判断B选项．图象中对应，计算对应弹簧长度，判断C选项．利用二次函数的对称性，找到与对应的v值相同的对称点对应的x值，再计算对应弹簧长度，判断D选项． 【详解】选项A：从图2的函数图象可知，x从0到时速度逐渐增大，后速度才逐渐减小， ∴小球接触弹簧后是先加速、后减速，并非一直减速，A错误． 选项B：二次函数在对称轴处取得最大值，也就是速度最大时，弹簧被压缩的长度． ∵弹簧原长为， ∴此时弹簧长度为，B正确． 选项C：弹簧长度为时，弹簧被压缩的长度， 从图象可知时小球速度才为0，C错误． 选项D：刚接触弹簧时对应压缩长度； 若弹簧长度为，对应压缩长度． 根据二次函数的对称性，对称轴为，关于对称轴的对称点是， 即和时速度相等， 处的速度和处速度不相同，D错误． 10. 如图，抛物线（）与x轴交于点，对称轴为直线．结合图象分析下列结论：①；②；③；④；⑤一元二次方程的两根分别为．其中正确结论有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】先根据抛物线开口方向判断的符号，结合对称轴公式判断的符号，再根据抛物线与轴交点位置判断的符号，由此判断结论①．利用抛物线对称轴为，结合已知交点，根据抛物线对称性求出另一个与轴的交点坐标，代入抛物线解析式判断结论②．分析时对应的抛物线上的点的位置，确定的符号，判断结论③．结合对称轴得到的与的关系，以及时的函数值为0，代入推导判断结论④．一元二次方程的两个根为和．由根与系数的关系得；．代入方程，化简得解得，．判断结论⑤． 【详解】 ∵抛物线开口向下， ∴； ∵对称轴为，由对称轴公式， ∴； ∵抛物线与轴交于正半轴， ∴得； ∵抛物线与轴一个交点为， ∴由对称性得另一交点为． 结论①：∵， ∴，①结论正确． 结论②：∵抛物线过点， ∴将代入解析式得，②结论正确． 结论③：∵对应的函数值，在对称轴和交点之间， ∴结合图象可知该点在轴上方，即， ∴，③结论正确． 结论④：∵和， ∴代入得，即， ∴。 ∵， ∴，即，④结论错误． 结论⑤：∵抛物线的对称轴为，与x轴交于， ∴另一个交点的横坐标为，即另一个交点为． ∴一元二次方程的两个根为和． ‌根据根与系数和关系，对于方程，两根满足， ​，即；，即． 把、代入方程， 得：． ∵， ∴化简得 因式分解得，解得，，⑤结论正确． 综上，正确结论共4个． 二、填空题（共5小题，每题3分，共15分） 11. 关于x的方程的一个根为，则的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】已知一元二次方程的一个根，将根代入原方程即可求解参数的值． 【详解】解：把代入方程，得 整理得 解得 12. 已知三角形的两边长分别为2和4，第三边长是一元二次方程的解，则这个三角形的周长是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形三边关系，解一元二次方程，根据三角形三边关系得出第三边长的取值范围，再求出一元二次方程的解并分析判断，最后结合三角形周长公式求解即可． 【详解】解：三角形的两边长分别为2和4， 第三边长的取值范围为：第三边， 第三边长是一元二次方程的解， 且 解得（不合题意，舍去），， 第三边长是， 则这个三角形的周长是． 故答案为：． 13. 飞机着陆时速度快，通常借助直道滑行一段距离来保持飞机稳定．据统计某飞机着陆后滑行的距离（单位：）与滑行的时间（单位：）的函数解析式是，那么飞机着陆后滑行________才能停下来． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，飞机停下来时，滑行的距离最远，即此时s有最大值，据此求解即可． 【详解】解： ， 当飞机着陆后滑行，才能停下来； 故答案为：． 14. 如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是____________ 【答案】 【解析】 【分析】将不等式变形为，结合函数图像，找出抛物线在直线下方部分对应的的取值范围即可． 【详解】解：∵， ∴， 抛物线与直线交于，两点， 当或时，， 观察函数图像可知，当时，抛物线的图像在直线的下方， 不等式的解集为． 15. 如图，平面直角坐标系中有两条抛物线，它们的顶点P，Q都在x轴上，平行于x轴的直线与两条抛物线相交于A，B，C，D四点，若，，，则的长度为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的性质，矩形的性质，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键． 分别作出两条抛物线的对称轴，，交于点，，得四边形是矩形，利用抛物线的对称性计算即可． 【详解】解：通过点、分别作出两条抛物线的对称轴，，交于点M，，如图所示， ， 四边形是矩形， ， ，，， ， ， ， ． 故答案为：． 三、解答题（共8小题，16－20题每题8分，21题10分，22题12分，23题13分，共75分） 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）将方程移项得到一元二次方程的一般形式，再利用因式分解法求解即可； （2）将方程去括号、移项得到一元二次方程的一般形式，再利用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解： 移项得，， 因式分解得，， 或， 解得，． 【小问2详解】 解： 去括号得，， 移项得，， 因式分解得，， 或， 解得，． 17. 外出时戴上口罩、做好防护，可以有效遏制肺炎支原体病毒的传染．有个人患了支原体肺炎，经过两轮传染后共有人患了支原体肺炎（假设每个人每轮传染的人数同样多）．求每轮传染中平均个人传染了几个人？如果控制不及时，第三轮中又将有多少人被传染？ 【答案】每轮传染中平均个人传染了个人，如果控制不及时，第三轮中又将有人被传染． 【解析】 【分析】理清每一轮传染后总患病人数的变化规律，根据两轮后总患病人数为建立方程求解即可，第三轮中被传染的人数等于每轮传染中平均个人传染的人数乘以第二轮后传染的人得到． 【详解】解：设每一轮传染中平均个人传染了个人，根据题意得， ， ， 解得，（舍去）． （人） 答：每轮传染中平均个人传染了个人，如果控制不及时，第三轮中又将有人被传染． 18. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m取何值时，原方程总有两个不相等的实数根； （2）若，是原方程的两根，且，求m的值． 【答案】（1） 证明：∵ ∴无论m取何值时，原方程总有两个不相等的实数根； （2）， 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式与根的关系即可求出答案； （2）根据一元二次方程的根与系数的关系以及配方法即可求出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， 又∵ ∴， 解得：，． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的关系以及一元二次方程根与系数的关系． 19. 已知正比例函数的图象与抛物线相交于点． （1）求和的值； （2）抛物线的顶点是，与直线的另一个交点是，求的面积． 【答案】（1），； （2）． 【解析】 【分析】（1）把点 的横坐标代入 求出 ，再把 代入 求出 ； （2）由（1）写出抛物线的解析式并得顶点 的坐标；解方程 得另一交点 的坐标；直线 即 过原点 ，且 ， 点 在线段 上，以 为公共底边把 分成 与 ，分别用"底 高 "求面积后相加． 【小问1详解】 解：∵ 点 在正比例函数 的图象上， ∴ ． ∵ 点 在抛物线 上， ∴ ，解得 ． ∴ ，． 【小问2详解】 解：由（1）得抛物线的解析式为 ， ∴ 顶点 的坐标为 ． 令 ， 整理，得 ， 解得 ，． ∵ 是点 的横坐标， ∴ 点 的横坐标为 ，此时 ， ∴ ． ∵ 直线 的解析式为 ， ∴ 直线 过原点 ， ∵ ， ∴ 点 在线段 上， ∴ ． ∵ ，， ∴ ，且 在 轴上， ∴ 点 到直线 的距离为 ，点 到直线 的距离为 ， ∴ ，， ∴ ． 20. 如图1，将一张宽的矩形硬纸片裁剪掉图中阴影部分（两个正方形，两个矩形）之后，恰好折成如图2的底面为正方形的有盖纸盒（底面积大于侧面积），纸盒侧面积为，求该有盖纸盒的底面边长．（单位：） 【答案】 【解析】 【分析】设有盖纸盒的底面边长为，根据长方形的面积公式结合纸盒的侧面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之取底面积大于侧面积时的即可得出结论 【详解】解：设有盖纸盒的底面边长为， ，，， 当时，，∴不合题意，舍去，∴ 答：该有盖纸盒的底面边长为 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 21. 已知二次函数的自变量x和函数y的部分对应值如表所示． （1）根据表格写出该二次函数的解析式为______，顶点为______； （2）在如图所示的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象； （3）根据函数图象，直接写出当时，的取值范围______； （4）若点在这个二次函数的图象上，且满足，结合图象，求满足条件的的取值范围． 【答案】（1）（或 ）；顶点为 ． （2） （3）． （4）． 【解析】 【分析】（1）由 与 时函数值都是 ，得对称轴为直线 ；设 ，把 、、 代入求出 、、，配方得顶点坐标，并把 、 代入得 、； （2）列表、描点，再用平滑曲线连接； （3）对称轴 在 内，最低点是顶点 ；当 趋近 时 趋近 但取不到，据此写出 的取值范围； （4）先求图象上纵坐标为 的点的横坐标，再由 结合图象得 的取值范围，从而求 ． 【小问1详解】 解： ． ∵ 当 时 ，∴ ． 把 代入，得 ，即 ； 把 代入，得 ，即 ． 两式相加，得 ，解得 ，， ∴ ． ∵ ， ∴ 顶点为 ； 把 、 分别代入，得 ，． 【小问2详解】 解：由（1）知 ，取自变量 、、、、、，对应的 值分别为 、、、、、； 在平面直角坐标系中描出各点 、、、、、， 再用平滑曲线顺次连接并向上延伸，即得所求图象，图略 【小问3详解】 解：由（2）的图象可知，抛物线的最低点是顶点 ，且 在 内， ∴ 当 时， 取最小值 ，即 ． ∵ 当 时 ，当 时 ，且 时的图象都在 轴下方， ∴ （当 趋近 时， 趋近 ，但 取不到 ）． ∴ 当 时，． 【小问4详解】 解：当 时，，即 ， 解得 ，， 即图象上纵坐标为 的点的横坐标为 和 ． 由图象可知，当 时，． ∵ 点 在该二次函数的图象上，且 ， ∴ ， ∴ ， 即满足条件的 的取值范围是 ． 22. 中国瓷器是世界上最早最精美的陶瓷之一，也是中国文化的重要组成部分．六中数学社团的同学们在进行历史和数学跨学科学习时，进行了方案探究和任务性学习； 【数学建模】 图1是一个盖碗，图2是其截面图，盖碗高度．，，碗口宽，茶盖的最高点离的距离，碗体呈抛物线形状（碗体厚度不计）． 【任务探究】 （1）任务一：已知一件白瓷盖碗的成本价是元，当售价为元时，每天可以售出件．为扩大销量，文旅公司决定降价销售此款盖碗，经调查发现，售价每降低元，每天可以多售出件．求售价定为多少时，每天获得的利润最大？ （2）任务二：如图2，以碗口宽的中点为原点，以所在直线为轴，的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，则点坐标为（，），点坐标为（，），求碗体的抛物线解析式； （3）任务三：如图3，盖碗中的茶水加满至碗口处，喝掉一部分后，水面下降至处（），水面的宽度为．求此时碗中茶水的深度（即水面到碗内最低点的垂直距离）． 【答案】（1）售价定为73元时，每天获得的利润最大； （2）；； （3）． 【解析】 【分析】（1）设售价定为 元、每天获得的利润为 元，根据“售价每降低 元，每天多售出 件”列出 关于 的二次函数，配方求最大值； （2）由 得 、 的横坐标分别为 、，由 得 ，再由 、 得 ；抛物线顶点为 ，设 ，代入点 求解析式； （3）由 、 及抛物线的对称性得水面端点的横坐标为 ，代入解析式求出水面所在的高度，它与点 的纵坐标之差即为碗内茶的深度． 【小问1详解】 解：设售价定为 元，每天获得的利润为 元． 根据题意，得 ， 即 ． ∵ ， ∴ 当 时， 取最大值，最大值为 元， ∴ 售价定为 元时，每天获得的利润最大． 【小问2详解】 解：∵ ，点 为 的中点， ∴ ， ∴ ，． ∵ 茶盖最高点 距 的距离 ， ∴ ． ∵ 盖碗高度 ， ∴ 点 在点 的下方 cm 处，即 ． ∵ ，点 在点 的上方， ∴ ，即 ． ∴ 点坐标为 ， 点坐标为 ． ∵ 碗体 所在抛物线的顶点为 ， ∴ 设抛物线的解析式为 ． 把 代入，得 ，解得 ， ∴ 碗体 所在抛物线的解析式为 ． 【小问3详解】 解：∵ ，， ∴ 点 、 的纵坐标相等， ∵ 碗体所在抛物线关于 轴对称， ∴ 线段 被 轴垂直平分， ∴ 点 的横坐标为 ． 当 时，， ∴ 水面 所在的高度为 ． ∵ 点 的纵坐标为 ， ∴ 此时碗内茶的深度为 ， ∴ 此时碗内茶的深度为 ． 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，顶点为，将抛物线平移得到抛物线，若抛物线的对称轴为直线，其顶点在线段的延长线上（点不与点重合）．抛物线与的交点为． （1）直接写出、两点坐标和直线的解析式； （2）求抛物线的解析式及点坐标（用含的代数式表示）； （3）过点作轴，交抛物线于另一点，交抛物线于另一点，且． ①求的值； ②抛物线（）与抛物线（）组成的图象，当时，图象的最高点的纵坐标为，最低点的纵坐标为，直接写出的取值范围． 【答案】（1）；；； （2），（或）； （3）①；②． 【解析】 【分析】（1）令 得点 的坐标，抛物线 的顶点即点 ，再用待定系数法求直线 的解析式； （2）平移不改变抛物线的开口方向与开口大小，故设 ，顶点 在直线 上，代入求 ；联立 、 消去 解出交点 的横坐标，再代回求纵坐标； （3）①由 轴得 ，分别在 、 中用 反解横坐标；由图可知点 在直线 与 之间，得 ，从而用 列方程求 ； ②写出 时 的解析式，抓住图象 的衔接点 与 的顶点 ，由最低点、最高点分别确定 的范围． 【小问1详解】 解：在 中，令 ，得 ， ∴ ； 抛物线 的顶点为 ． 设直线 的解析式为 ， 把 、 代入，得 ，， 解得 ，， ∴ 直线 的解析式为 ． 【小问2详解】 解：∵ 抛物线 由 平移得到， ∴ 设 ，其顶点为 ． ∵ 点 在直线 ： 上， ∴ ， ∴ ． ∵ 点 不与点 重合， ∴ ． 联立 与 ，得 ， 整理，得 ， 即 ， ∵ ， ∴ ， 此时 ， ∴ 点 的坐标为 ，即 ． 【小问3详解】 解：①∵ 轴， ∴ ． 在 中，令 ，得 ， 解得 （点 ），或 ， ∴ ． 在 中，令 ， 整理，得 ， 解得 （点 ），或 ， ∴ ． 由图可知，点 在直线 与直线 之间， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，． ∵ ， ∴ ， 解得 ． ②当 时，，顶点为 ，且 ． 图象 由 （）与 （）组成； ∵ ， ∴ 图象 在 处衔接，且衔接点处 ． 在 上的最低点为顶点 ，最高不超过 ； 在 上先降后升，在 处取得最低点 ． ∵ 图象 的最低点的纵坐标为 ，而 只在 处取到， ∴ ， ∵ 当 时， 随 的增大而增大， 而图象 的最高点的纵坐标为 ， ∴ 需 ，即 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； 当 时，最高点的纵坐标为 ，最低点的纵坐标为 ， ∴ 的取值范围是 ． 【点睛】本题考查二次函数的平移、待定系数法、两条抛物线的交点，以及利用图象研究函数的最值；解题关键是抓住“平移不改变开口方向与开口大小”，设 ，并利用顶点 在直线 上确定解析式；第（3）问利用水平线与两条抛物线交点的对称性反解横坐标，结合图象确定点的位置关系；第②问抓住图象 的衔接点 与最低点 两个关键点，分段确定 的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $