专题2.2 圆的对称性（高效培优讲义）数学苏科版九年级上册

专题2.2 圆的对称性 教学目标 1.展示圆绕圆心旋转的动画，引导学生发现圆的旋转不变性、中心对称性；让学生对折圆形纸片，得出圆的轴对称性，明确对称轴是直径所在直线。 2.在同圆或等圆中，通过旋转操作，让学生观察相等圆心角所对弧和弦的情况，得出相关定理及推论，设置练习巩固。 3.借助圆的轴对称性，探究垂直于弦的直径的性质，证明垂径定理及推论，通过例题让学生掌握用垂径定理计算和证明。 教学重难点 1.重点：圆的多种对称性理解；圆心角、弧、弦关系定理；垂径定理及其应用。 2.难点：理解 “在同圆或等圆” 这一前提对定理成立的重要性；垂径定理证明中辅助线的添加及灵活应用。 知识点1 圆的对称性 （1）对称中心 圆既是中心对称图形，又是轴对称图形和旋转对称图形。 将圆周绕圆心旋转180°能与自身重合，因此它是中心对称图形，它的对称中心是圆心。将圆周绕圆心旋转任意一个角度都能与自身重合，这说明圆是旋转对称图形。 1．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。 2．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。 3．将整个圆分为360等份，每一份的弧对应1°的圆心角，我们也称这样的弧为1°的弧。圆心角的度数和它所对的弧的度数相等。 （2）对称轴 经过圆心画任意一条直线，并沿此直线将圆对折，直线两旁的部分能够完全重合，所以圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴，所以圆有无数条对称轴。 【即学即练】如图，是的弦，连接，若，则弦，之间的数量关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， ． 故选：C． 知识点2 垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 推论1： ①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； ②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； ③平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 常见辅助线做法： ①过圆心，作垂线，连半径，造直角三角形，用勾股，求长度；②有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分 【即学即练】如图所示，是圆的半径，弦于点，已知，，则弦 ． 【答案】8 【详解】解： 如图所示，根据垂径定理可得： 在中，由勾股定理得： 故答案为：8． 题型01 利用弧、弦、圆心角的关系求解 【例1】在中，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： （同圆中，等弧所对的弦相等） 是等腰三角形，（等腰三角形两底角相等） ，且（三角形内角和定理） 故选： ． 【变式1-1】如图，的三个顶点都在一圆上，固定点将依顺时针方向旋转，旋转后的三角形为，且会落在同一圆上，其中与的夹角为，若，，则值为何？（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：连接，如图所示： ∵，， ∴， 由旋转的性质得：， ∴， ∴， 在中，， ∴ ∴， ∴， ∴x的值为37． 故选：D． 【变式1-2】如图，点A，B，C在上，C是的中点，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，连接， 点是劣弧的中点， ， ， ， ， ∵， ∴． 故选：C． 【变式1-3】如图，已知为的直径，点C为圆上的一点，且所对的圆心角度数是所对的圆心角度数的，则所对的圆心角度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵为的直径， ∴， ∵所对的圆心角度数是所对的圆心角度数的， ∴， ∴． ∴所对的圆心角度数为． 故选：C． 【变式1-4】在中，记弦所对的优弧长为，所对的劣弧长为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意得：， 故选：D． 【变式1-5】如图，是的直径，是的弦，于点，是的中点，连接．若的半径为，且，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】解：连接， ∵是的直径，于点， ∴，． ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ， ∴， 故选：B 题型02 利用弧、弦、圆心角的关系求证 【例2】如图，D，E分别是的半径上的点，且，垂足分别为D，E，．求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式2-1】如图，已知点A，B，C，D是上四个点，． 求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：∵， ∴． ∴， ∴， ∴． 【变式2-2】如图，A，B，C，D是上的四个点，，与交于点M．求证：． 【答案】证明见解析 【详解】证明：∵， ∴． ∵， ∴． ∴．    ∴ 【变式2-3】如图，D，E分别是的半径上的点，且，垂足分别为D，E，．求证：C是的中点． 【答案】见解析 【详解】证明：∵， ∴． 在和中， ∵ ∴， ∴， ∴，即C是的中点． 【变式2-4】如图，，是的半径，且，弦分别经过，的中点D，E． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）解：，理由如下， 证明：过点作直径，如图， ，，是的半径，， ， 点D，E分别是，的中点，， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴． 题型03 利用垂径定理求值 【例3】如图，已知点A，C，D在上，点B在内，和均为直角，，，，则的半径为（   ）    A．5 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：过点O作于点E，延长，二线交于点F， ∵和均为直角， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∵，，， ∴，，， 设则， 连接， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了垂径定理的应用，矩形的判定和性质，圆的性质，勾股定理，解方程，熟练掌握垂径定理，勾股定理是解题的关键． 【变式3-1】如图，在中，弦，O到的距离，则的半径为 ． 【答案】2 【详解】解：∵，， ∴， 在中，由勾股定理可得， ∴的半径为2， 故答案为：2． 【变式3-2】如图，点A，B，C在上，垂直平分于点．现测得，则圆的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】连结，如图，设半径为， ∵垂直平分于点， ∴，， ∴， ∴点O，D，C三点共线， ， ， 在中， ，即 解得：， 则圆的半径为． 故答案为：A． 【变式3-3】如图，、、是上的点，，垂足为点，，若，则的长为（   ） A． B．3 C． D．4 【答案】B 【详解】解：连接， ， ∴， ．， ， ． 又， ． ∴是等边三角形， ∴ ，是等边三角形， ． 故选： ． 【点睛】本题主要考查了垂径定理、平行线的性质、等腰三角形的性质以及等边三角形的判定及性质，熟练掌握垂径定理和利用角度、边的关系推导线段间的数量关系是解题的关键． 【变式3-4】如图，是的直径，点、在上，且，垂足为．若，，则 ．    【答案】6 【详解】解：连接，设，则，    ∴ ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵在中，， ∴， 解得（不合题意，舍去）， ∴． 故答案为：6． 【变式3-5】如图， 为的直径，弦于E，已知，，求的直径 【答案】的直径为26 【详解】证明：∵为的直径，， ， 设的半径为， 则， 在中，， ， 解得：， ∴的半径为13， ∴的直径为26． 题型04 利用垂径定理证明 【例4】如图，是的弦，半径，垂足为，，交延长线于点．求证：是的中点． 【答案】见解析 【详解】证明：如图，连接． ∵是的弦，半径， ∴D是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即D为的中点． 【变式4-1】如图，在中，，是互相垂直的两条弦，，，垂足分别为．求证：． 【答案】证明见解析 【详解】证明：∵， ∴， ∵，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴． 【变式4-2】如图，，交于C、D两点，半径于点F．求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：∵为的弦， ， ， ， ， ． 【变式4-3】如图，点是上的三点，，求证：平分． 【答案】证明见解析． 【详解】解：如图，连， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴平分． 【变式4-4】已知：如图，的弦的延长线相交于点，且．求证：点在的平分线上． 【答案】见解析 【详解】解：如图，连接，分别过点作，，垂足分别为， ，， 又， ， ， ， ， 点在的平分线上． 题型05 利用垂径定理求同心圆问题 【例5】如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过，，O三点，那么这条圆弧所在圆的圆心为图中的（　　） A．点D B．点E C．点F D．点G 【答案】B 【详解】解：如图 作线段和的垂直平分线，交于点E，即为弧的圆心， 故选：B． 【点睛】本题考查了垂径定理，线段垂直平分线性质，坐标与图形性质的应用． 【变式5-1】如图，两个圆都是以为圆心，大圆的弦交小圆于两点． (1)求证：； (2)若，小圆的半径为5，求大圆的半径的值． 【答案】(1)见解析 (2)大圆的半径为 【详解】（1）证明：如图：作于E， 由垂径定理，得： 即； （2）解：如图，连接， ， ， 在和中，由勾股定理，得： ， ， 即， 解得： 大圆的半径为． 【变式5-2】如图，在破残的圆形残片上，弦的垂直平分线交弧于点，交弦于点，已知，． (1)求作此残片所在的圆的圆心（不写作法，保留作图痕迹）； (2)求出（1）中所作圆的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）解：作图如下， （2）解：设圆P的半径为r， ∵，，， ∴，， 在中，， ∴， 解得， ∴的半径为． 【变式5-3】如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于C，D两点．    (1)求证：； (2)若，，大圆的半径，求小圆的半径r的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：过O作于点E，如图， 由垂径定理可得，， ∴， ∴； （2）解：连接、，如图，    ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∴在中，， ∴，即小圆的半径r为 题型06 垂径定理中的分类讨论 【例6】在半径为5的圆中，有两条平行弦，已知，，则两条平行弦的距离为 ． 【答案】1或7 【详解】解：连接，．过点作于，交于， 当和在圆心的同侧时，如图所示， ，， ， ，， ，， 根据勾股定理，得 ，， 则． 当和在圆心的两侧时，如图所示， ，， ， ，， ，， 根据勾股定理，得 ，， 则． 故答案为：1或7． 【变式6-1】已知弓形的弦长为，所在圆的半径为，则弓形的高为 【答案】或 【详解】如图所示，弦，半径，过点O作交于点D， ∴ ∴ ∴弓形的高； ∴弓形的高； 综上所述，弓形的高为或． 故答案为：或． 【变式6-2】在中，和是两条平行弦，所对的圆心角分别为和，圆O的半径为，则之间的距离是 ． 【答案】或 【详解】解：分为两种情况： ①如图1，过O作于E，延长交于F， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴在中，由勾股定理得：， ∵， ∴， ， ； ②如图2，同理，， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了等腰三角形性质，三角形的内角和定理，勾股定理，直角三角形的性质，垂径定理的应用等知识点，主要考查学生的推理和计算能力，用了分类讨论思想． 【变式6-3】若圆的半径为，圆中一条弦长为，则此弦中点到此弦所对弧的中点的距离为 . 【答案】3或9 【详解】在⊙O中，弦AB=，半径； 过圆心O作直径MN，且MN⊥AB于点C，连接OB； 则AC=BC=AB=，OB=6， 由勾股定理得：OC=， ∴CM=6+3=9，CN=6-3=3； ∵MN⊥AB，且MN为⊙O的直径， ∴点M、N分别为、的中点， ∴AB弦中点到弦所对应的弧的中点的距离分别为3或9． 故答案为：3或9． 【点睛】本题考查了垂径定理及其推论的应用问题；解题的关键是作垂直于弦的直径，构造直角三角形． 【变式6-4】已知的直径，是的弦，，垂足为，且，则的长为 cm. 【答案】或 【详解】解：如图所示， 的直径，，， ， ， 如图一：，，， ， ， ； 如图二：同理可得， ， ， ∴， 综上所述，的长为或． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查的是垂径定理，勾股定理的应用，根据题意画出图形，使用垂径定理求出的长是解题的关键． 当题目未明确弦的位置时，要考虑不同位置下弦到圆心的距离、弦长等的变化，结合垂径定理分别计算对应结果，避免漏解。 题型07 垂径定理的推论 【例7】如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则弧所对的圆心角度数为 ． 【答案】90°/90度 【详解】解：如图所示，连接，作弦和的垂直平分线交于点O，则点O即为圆心，连接， ∵，， ∴， ∴， ∴弧所对的圆心角度数为． 故答案为：． 【变式7-1】如图，，，在上，，交于点．若，，则半径的长为（   ） A． B．6 C．8 D．10 【答案】D 【详解】解：∵为半径，， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 【变式7-2】如图，是的直径，是的弦，且．若的半径为，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【详解】解：是的直径，是的弦，且 ， ． 故选A. 【变式7-3】如图，是的直径，弦与交于点，连接，，，．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， ∵是的直径， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴； 故选D． 【变式7-4】如图，是的直径，弦交于点E，点B是劣弧的中点． (1)求证：． (2)若，的半径为1，求弦的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）解：∵点B是劣弧的中点，是的直径， ∴，， ∴． （2）解：如图，连接， ∵，，， ， ∵， ∴， ∴， ， ， ． 题型08 垂径定理的实际应用 【例8】石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一，它的主桥拱是圆弧形．如图是某地的石拱桥局部，其跨度为24米，所在圆的半径为米，则这个弧形石拱桥的拱高（的中点C到弦的距离）为（   ） A．8米 B．6米 C．4米 D．2米 【答案】C 【详解】解：如图所示，点O为所在圆的圆心，连接， 由题意得：，，， 设，则， 根据题意可得：， 即， 解得：，（舍去）， 即米． 故选：C． 【变式8-1】如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦长，桨轮船的轮子半径为，则轮子的浸水深度为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：，， ， ， ， 故选：A 【变式8-2】管是灌溉的常用工具之一，如图是一个圆柱形水管在某次灌溉时横截面的示意图，阴影部分为有水部分，如果水面的宽为，水面最深的地方高度为，则该水管的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】过点作的垂线交于点，交优弧于点，连接 ， 设 ，即 解得： 故选：B． 【变式8-3】在练习掷铅球项目时，某同学掷出的铅球在操场地上砸出一个直径为、深的小坑，则该铅球的直径为 ． 【答案】 【详解】解：如图，由题意知，，，是半径，且， ， 设铅球的半径为，则， 在中，根据勾股定理得：， 即， 解得：， 则铅球的直径为：， 故答案为：． 【变式8-4】如图，某大桥的拱桥线均为相等的圆弧，其中两拱脚之间的水平距离，弓形的高度． (1)计算桥拱圆弧所在圆的半径； (2)图中阴影部分为货轮通过此桥时的横截面示意图，为船身宽，为保证安全，点、与其正上方拱桥线上的对应点、的距离均应不小于．某日，测得拱顶点高出水面．现有一艘货轮露出水面部分的高度为，．该货轮每增加货物10吨，船身就会下降，请问要保证该货轮安全通过大桥，是否需要提前增加货物？如果需要，至少需要增加多少吨？ 【答案】(1) (2)需要提前增加货物，至少需要增加120吨 【详解】（1）解：如图，设桥拱圆弧所在圆的圆心为点，连接、， 由题意得，，，， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， 桥拱圆弧所在圆的半径为． （2）解：如图，设桥拱圆弧所在圆的圆心为点，连接、，连接交于点， 由题意得，四边形是矩形， ， ， ， 由（1）得，， ， ， 要保证该货轮安全通过大桥，则货轮露出水面部分的高度应不超过， ， 需要提前增加货物， 由题意得，至少需要增加吨， 答：要保证该货轮安全通过大桥，需要提前增加货物，至少需要增加120吨． 题型09 垂径定理的最值问题 【例9】如图，在中，弦，点在弦上移动，连接，过点作交于点，那么的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， ∵为定值， ∴当取最小值，即时，的值最大，此时点和点重合， ∵， ∴， ∴的最大值为， 故选：． 【变式9-1】如图，在半径为的中，弦，是上的一动点（不与点重合），是的中点，则的最大值为 ． 【答案】/ 【详解】连接，，，取的中点，连接，， 是的中点， ， ， 点在以为半径的上运动， 当点运动至的延长线与的交点处时，取得最大值为， ，， ， ， 的最大值为， 故答案为：. 【变式9-2】如图，的直径，弦，且弦在圆上滑动（的长度不变，点C、D与点A、B不重合），过点C作于点P，若M是的中点，则的最大值是 ． 【答案】4 【详解】解：延长交于点K，连接， ∵， ∴， ∵M是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴当最大时，的值最大， 即当为直径时，的值最大， ∵的直径， ∴， 故答案为：4． 一、单选题 1．如图，是⊙的直径，是⊙的弦，，垂足为E．若，，则的长为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【详解】解：∵是的直径，是的弦，， ∴， ∴， 故选：B ． 2．如图，是的直径，弦于点E，如果，则的长为（　　）       A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【详解】解：∵是的直径，弦于点E， ∴， 故选B 3．下列说法正确的有（   ） A．长度相等的两条弧是等弧 B．平分弦的直径一定垂直于这条弦 C．过圆心的线段是直径 D．圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是它的对称轴 【答案】D 【详解】解：A、能完全重合的两条弧是等弧，所以此选项不符合题意； B、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，所以此选项不符合题意； C、过圆心的弦是直径，所以此选项不符合题意； D、圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴，即直径所在直线是圆的对称轴，所以D选项正确． 故选：D． 4．如图，已知在中，是直径，，则下列结论不一定成立的是（   ） A． B． C．到、的距离相等 D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴O到、的距离相等， 所以A、C、D选项正确， 不能证明是等边三角形，不一定成立， 故选：B． 5．如图，圆弧形石拱桥的桥顶到水面的距离为 ，桥拱半径OC为 ，则水面宽AB为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：连接， ∵桥拱半径为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 6．如图，是的弦，半径，垂足为D．若，则的直径为（   ） A． B．6 C．5 D．4 【答案】A 【详解】解：连接， 半径， ， 设的半径为，则，， 在中， 根据勾股定理， 即， 解得，， 的直径为． 故选：A． 7．数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，，则圆形工件的半径为（   ） A． B．45 C．50 D． 【答案】C 【详解】解：如图，设这个残缺圆形工件的圆心为点，连接， ∵是弦的垂直平分线， ∴圆心在直线上， 又∵是弦的垂直平分线，， ∴，， 设圆形工件的半径为，则， ∵， ∴， 在中，，即， 解得， ∴圆形工件的半径为， 故选：C． 8．如图，是的直径，弦交于点，，，，则的长为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：作于H，连接，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． 故选：B． 二、填空题 9．如图所示，在中，直径弦，垂足为，已知，则直径 ． 【答案】 【详解】解：连接，如图所示： 在中，直径弦，垂足为， , 在中，,，， 则由勾股定理可得, ， 故答案为：． 10．如图，是的弦．半径于点D，且．则的长是 ． 【答案】2 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴在中，， ∴， 故答案为：2． 11．“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问：径几何？”大意是：如图，为的直径，弦，垂足为E，寸，寸，则的直径为 寸． 【答案】26 【详解】解：∵为的直径，，且寸， ∴寸， 设圆的半径的长为寸，则寸， ∵寸， ∴寸， 在直角三角形中，根据勾股定理得： ∴， 解得， ∴寸， 故答案为：26． 12．如图，将一把宽为的刻度尺（单位：）放在一个圆形茶杯的杯口上，刻度尺的一边与杯口外沿相切，另一边与杯口外沿相交的两个交点的读数恰好是2和10，则茶杯的杯口外沿半径为 ． 【答案】 【详解】解：作于C，的延长线交圆于D，其中点为圆心，为半径， 由题意可知，； ∵ ∴， 设茶杯的杯口外沿半径为 则在中，由勾股定理知 解得 故答案为：． 13．如图，的半径为3，点是弦延长线上的一点，连接，若，，则弦的长是 ． 【答案】 【详解】解：如图所示，过点O作于H，连接， ∴ 在中，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14．传统的七巧板是从我国宋代的“燕几图”演变而来的，嘉琪同学用边长为的正方形纸板做出如图1所示的七巧板，拼接成小鱼图案（外轮廓是轴对称图形）并把图案放到圆中，如图2所示，三点在圆上，圆的半径是 ． 【答案】 【详解】解：如图，延长交于，设圆心，连接， ∵边长为的正方形纸板做出如图1所示的七巧板， ∴大等腰直角三角形的直角边长为，中等腰直角三角形的直角边长为，小等腰直角三角形的直角边长为，小正方形的边长为，平行四边形的边长为和， ∴是平行四边形的短边和中等腰直角三角形的斜边组成，即， ∵小鱼图案外轮廓是轴对称图形， ∴垂直平分， ∴圆心在上，， 由题意可得， 设，则， ∵中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴圆的半径是， 故答案为：． 15．如图，在中，弦的长为8，于点，且．弦于点，如果，则的长为 【答案】 【详解】解：连接，过点作， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵的长为8，于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 16．如图，是的直径，弦于点，连接，若，． (1)求的长度； (2)求的长度． 【答案】(1)4 (2)5 【详解】（1）解：∵直径， ∴； （2）解：∵， ∴ 设， ∵, ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴． 17．如图1，某公园有一个圆形音乐喷泉，为了保障游客安全，管理部门打算在喷泉周围设置一圈防护栏现在对喷泉进行测量和规划，其示意图如图2所示，相关信息如下： 信息二：点为喷泉中心，是喷泉边缘的一条弦，米，是弦的中点，连接并延长，交劣弧于点，米． 信息二：已知防护栏要距离喷泉边缘1米，以为圆心，为半径作防护栏所在圆．请根据以上信息解答下列问题 (1)求喷泉的半径； (2)要在防护栏上每隔1.5米安装一盏景观灯，大约需要安装多少盏景观灯？（取3，结果保留整数） 【答案】(1)喷泉的半径为5米 (2)大约需要安装24盏景观灯 【详解】（1）解：连接，设喷泉的半径为，则：， ， 是弦的中点， 平分弦，， ， ， ， 米； 答：喷泉的半径为5米； （2）解：由题意，得：米， ∴（盏） 答：大约需要安装24盏景观灯． 18．如图，在中，弦，于，于． (1)求证：． (2)若的半径为5，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：， ， ∴， 即， ； （2）解：连接， ，， ． ． 19．如图，，交于点，，是半径，且于点． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)的半径是 【详解】（1）证明：，是半径，， ，， ， ； （2）解：设的半径是r， ， ， ， 的半径是5． 20．某隧道口是圆弧形拱顶，如图，圆心为O，隧道口的水平宽为，离地面的高度为，连接，拱顶最高处C离地面的高度为．在拱顶的M，N处安装照明灯． (1)求的半径的长； (2)若安装的两组照明灯M，N离地面的高度均为，求M，N之间的水平距离． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：如图，设、交于点G，、交于点， 设的半径的长为， ，， ， ， ， ， ， ， 在中利用勾股定理，得：， 即， 解得， 的半径的长是． （2）解：连接， ， ， ， ， 在中利用勾股定理，得： ， ， ，N之间的水平距离是． 21．如图，正方形内接于，为弧中点，连接． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求点到的距离． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）解： 四边形是正方形， ， 为弧的中点， ， ∴， ， 是等腰三角形． （2）解：如图，连接，连接并延长交于点， ，， 是线段的垂直平分线， 四边形是正方形， ， ∵， ， ∴， 则， ∴， ， ， 即点到的距离为． 【点睛】本题考查了勾股定理，正方形的性质，等腰三角形的判定与性质，垂直平分线的判定与性质，难度适中，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.2 圆的对称性 教学目标 1.展示圆绕圆心旋转的动画，引导学生发现圆的旋转不变性、中心对称性；让学生对折圆形纸片，得出圆的轴对称性，明确对称轴是直径所在直线。 2.在同圆或等圆中，通过旋转操作，让学生观察相等圆心角所对弧和弦的情况，得出相关定理及推论，设置练习巩固。 3.借助圆的轴对称性，探究垂直于弦的直径的性质，证明垂径定理及推论，通过例题让学生掌握用垂径定理计算和证明。 教学重难点 1.重点：圆的多种对称性理解；圆心角、弧、弦关系定理；垂径定理及其应用。 2.难点：理解 “在同圆或等圆” 这一前提对定理成立的重要性；垂径定理证明中辅助线的添加及灵活应用。 知识点1 圆的对称性 （1）对称中心 圆既是________图形，又是________图形和________图形。 将圆周绕圆心旋转180°能与自身重合，因此它是中心对称图形，它的对称中心是________。将圆周绕圆心旋转任意一个角度都能与自身重合，这说明圆是旋转对称图形。 1．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧________，所对的弦________。 2．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。 3．将整个圆分为360等份，每一份的弧对应1°的圆心角，我们也称这样的弧为1°的弧。圆心角的度数和它所对的弧的度数相等。 （2）对称轴 经过圆心画任意一条直线，并沿此直线将圆对折，直线两旁的部分能够完全重合，所以圆是轴对称图形，任何一条________所在的直线都是圆的对称轴，所以圆有________条对称轴。 【即学即练】如图，是的弦，连接，若，则弦，之间的数量关系为（　　） A． B． C． D． 知识点2 垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径________这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 推论1： ①平分弦（不是直径）的直径________于弦，并且平分弦所对的两条弧； ②弦的垂直平分线经过________，并且平分弦所对的两条弧； ③平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 推论2：圆的两条________所夹的弧相等。 常见辅助线做法： ①过圆心，作垂线，连半径，造直角三角形，用勾股，求长度；②有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分 【即学即练】如图所示，是圆的半径，弦于点，已知，，则弦 ． 题型01 利用弧、弦、圆心角的关系求解 【例1】在中，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，的三个顶点都在一圆上，固定点将依顺时针方向旋转，旋转后的三角形为，且会落在同一圆上，其中与的夹角为，若，，则值为何？（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，点A，B，C在上，C是的中点，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】如图，已知为的直径，点C为圆上的一点，且所对的圆心角度数是所对的圆心角度数的，则所对的圆心角度数为（　　） A． B． C． D． 【变式1-4】在中，记弦所对的优弧长为，所对的劣弧长为，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-5】如图，是的直径，是的弦，于点，是的中点，连接．若的半径为，且，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型02 利用弧、弦、圆心角的关系求证 【例2】如图，D，E分别是的半径上的点，且，垂足分别为D，E，．求证：． 【变式2-1】如图，已知点A，B，C，D是上四个点，． 求证：． 【变式2-2】如图，A，B，C，D是上的四个点，，与交于点M．求证：． 【变式2-3】如图，D，E分别是的半径上的点，且，垂足分别为D，E，．求证：C是的中点． 【变式2-4】如图，，是的半径，且，弦分别经过，的中点D，E． (1)求证：； (2)求证：． 题型03 利用垂径定理求值 【例3】如图，已知点A，C，D在上，点B在内，和均为直角，，，，则的半径为（   ）    A．5 B． C． D． 【变式3-1】如图，在中，弦，O到的距离，则的半径为 ． 【变式3-2】如图，点A，B，C在上，垂直平分于点．现测得，则圆的半径为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】如图，、、是上的点，，垂足为点，，若，则的长为（   ） A． B．3 C． D．4 【变式3-4】如图，是的直径，点、在上，且，垂足为．若，，则 ．    【变式3-5】如图， 为的直径，弦于E，已知，，求的直径 题型04 利用垂径定理证明 【例4】如图，是的弦，半径，垂足为，，交延长线于点．求证：是的中点． 【变式4-1】如图，在中，，是互相垂直的两条弦，，，垂足分别为．求证：． 【变式4-2】如图，，交于C、D两点，半径于点F．求证：． 【变式4-3】如图，点是上的三点，，求证：平分． 【变式4-4】已知：如图，的弦的延长线相交于点，且．求证：点在的平分线上． 题型05 利用垂径定理求同心圆问题 【例5】如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过，，O三点，那么这条圆弧所在圆的圆心为图中的（　　） A．点D B．点E C．点F D．点G 【变式5-1】如图，两个圆都是以为圆心，大圆的弦交小圆于两点． (1)求证：； (2)若，小圆的半径为5，求大圆的半径的值． 【变式5-2】如图，在破残的圆形残片上，弦的垂直平分线交弧于点，交弦于点，已知，． (1)求作此残片所在的圆的圆心（不写作法，保留作图痕迹）； (2)求出（1）中所作圆的半径． 【变式5-3】如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于C，D两点．    (1)求证：； (2)若，，大圆的半径，求小圆的半径r的值． 题型06 垂径定理中的分类讨论 【例6】在半径为5的圆中，有两条平行弦，已知，，则两条平行弦的距离为 ． 【变式6-1】已知弓形的弦长为，所在圆的半径为，则弓形的高为 【变式6-2】在中，和是两条平行弦，所对的圆心角分别为和，圆O的半径为，则之间的距离是 ． 【变式6-3】若圆的半径为，圆中一条弦长为，则此弦中点到此弦所对弧的中点的距离为 . 【变式6-4】已知的直径，是的弦，，垂足为，且，则的长为 cm. 当题目未明确弦的位置时，要考虑不同位置下弦到圆心的距离、弦长等的变化，结合垂径定理分别计算对应结果，避免漏解。 题型07 垂径定理的推论 【例7】如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则弧所对的圆心角度数为 ． 【变式7-1】如图，，，在上，，交于点．若，，则半径的长为（   ） A． B．6 C．8 D．10 【变式7-2】如图，是的直径，是的弦，且．若的半径为，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式7-3】如图，是的直径，弦与交于点，连接，，，．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式7-4】如图，是的直径，弦交于点E，点B是劣弧的中点． (1)求证：． (2)若，的半径为1，求弦的长． 题型08 垂径定理的实际应用 【例8】石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一，它的主桥拱是圆弧形．如图是某地的石拱桥局部，其跨度为24米，所在圆的半径为米，则这个弧形石拱桥的拱高（的中点C到弦的距离）为（   ） A．8米 B．6米 C．4米 D．2米 【变式8-1】如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦长，桨轮船的轮子半径为，则轮子的浸水深度为（ ） A． B． C． D． 【变式8-2】管是灌溉的常用工具之一，如图是一个圆柱形水管在某次灌溉时横截面的示意图，阴影部分为有水部分，如果水面的宽为，水面最深的地方高度为，则该水管的半径为（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】在练习掷铅球项目时，某同学掷出的铅球在操场地上砸出一个直径为、深的小坑，则该铅球的直径为 ． 【变式8-4】如图，某大桥的拱桥线均为相等的圆弧，其中两拱脚之间的水平距离，弓形的高度． (1)计算桥拱圆弧所在圆的半径； (2)图中阴影部分为货轮通过此桥时的横截面示意图，为船身宽，为保证安全，点、与其正上方拱桥线上的对应点、的距离均应不小于．某日，测得拱顶点高出水面．现有一艘货轮露出水面部分的高度为，．该货轮每增加货物10吨，船身就会下降，请问要保证该货轮安全通过大桥，是否需要提前增加货物？如果需要，至少需要增加多少吨？ 题型09 垂径定理的最值问题 【例9】如图，在中，弦，点在弦上移动，连接，过点作交于点，那么的最大值为（   ） A． B． C． D． 【变式9-1】如图，在半径为的中，弦，是上的一动点（不与点重合），是的中点，则的最大值为 ． 【变式9-2】如图，的直径，弦，且弦在圆上滑动（的长度不变，点C、D与点A、B不重合），过点C作于点P，若M是的中点，则的最大值是 ． 一、单选题 1．如图，是⊙的直径，是⊙的弦，，垂足为E．若，，则的长为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．如图，是的直径，弦于点E，如果，则的长为（　　）       A．1 B．2 C．4 D．8 3．下列说法正确的有（   ） A．长度相等的两条弧是等弧 B．平分弦的直径一定垂直于这条弦 C．过圆心的线段是直径 D．圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是它的对称轴 4．如图，已知在中，是直径，，则下列结论不一定成立的是（   ） A． B． C．到、的距离相等 D． 5．如图，圆弧形石拱桥的桥顶到水面的距离为 ，桥拱半径OC为 ，则水面宽AB为（    ） A． B． C． D． 6．如图，是的弦，半径，垂足为D．若，则的直径为（   ） A． B．6 C．5 D．4 7．数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，，则圆形工件的半径为（   ） A． B．45 C．50 D． 8．如图，是的直径，弦交于点，，，，则的长为(    ) A． B． C． D． 二、填空题 9．如图所示，在中，直径弦，垂足为，已知，则直径 ． 10．如图，是的弦．半径于点D，且．则的长是 ． 11．“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问：径几何？”大意是：如图，为的直径，弦，垂足为E，寸，寸，则的直径为 寸． 12．如图，将一把宽为的刻度尺（单位：）放在一个圆形茶杯的杯口上，刻度尺的一边与杯口外沿相切，另一边与杯口外沿相交的两个交点的读数恰好是2和10，则茶杯的杯口外沿半径为 ． 13．如图，的半径为3，点是弦延长线上的一点，连接，若，，则弦的长是 ． 14．传统的七巧板是从我国宋代的“燕几图”演变而来的，嘉琪同学用边长为的正方形纸板做出如图1所示的七巧板，拼接成小鱼图案（外轮廓是轴对称图形）并把图案放到圆中，如图2所示，三点在圆上，圆的半径是 ． 15．如图，在中，弦的长为8，于点，且．弦于点，如果，则的长为 三、解答题 16．如图，是的直径，弦于点，连接，若，． (1)求的长度； (2)求的长度． 17．如图1，某公园有一个圆形音乐喷泉，为了保障游客安全，管理部门打算在喷泉周围设置一圈防护栏现在对喷泉进行测量和规划，其示意图如图2所示，相关信息如下： 信息二：点为喷泉中心，是喷泉边缘的一条弦，米，是弦的中点，连接并延长，交劣弧于点，米． 信息二：已知防护栏要距离喷泉边缘1米，以为圆心，为半径作防护栏所在圆．请根据以上信息解答下列问题 (1)求喷泉的半径； (2)要在防护栏上每隔1.5米安装一盏景观灯，大约需要安装多少盏景观灯？（取3，结果保留整数） 18．如图，在中，弦，于，于． (1)求证：． (2)若的半径为5，，求的长． 19．如图，，交于点，，是半径，且于点． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 20．某隧道口是圆弧形拱顶，如图，圆心为O，隧道口的水平宽为，离地面的高度为，连接，拱顶最高处C离地面的高度为．在拱顶的M，N处安装照明灯． (1)求的半径的长； (2)若安装的两组照明灯M，N离地面的高度均为，求M，N之间的水平距离． 21．如图，正方形内接于，为弧中点，连接． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求点到的距离． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$