精品解析：陕西省咸阳市2024-2025学年高二下学期期末质量检测数学试题

咸阳市2024~2025学年度第二学期期末质量检测 高二数学试题 注意事项： 1．本试题共4页，满分150分，时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4．考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题卷不回收． 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知椭圆的两焦点分别为，，点为椭圆上任意一点，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 2. 已知，则（ ） A. 3 B. 1 C. -3 D. -1 3. 圆的圆心到直线的距离为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4. 已知是公差不为0的等差数列，，若，，成等比数列，则（ ） A. -20 B. 14 C. 16 D. 18 5. 已知双曲线的离心率为，则双曲线的焦点到渐近线的距离为（ ） A. B. 2 C. 4 D. 6. 某兴趣小组研究光照时长和向日葵种子发芽数量y（颗）之间的关系，采集5组数据，如下表所示．若去掉最后一组数据后，下列说法正确的是（ ） 光照时长 1 2 3 8 10 种子发芽数量y（颗） 4 6 5 11 2 A. 相关系数r的绝对值变小 B. 相关变量具有负相关关系 C. 拟合误差变大 D. 解释变量与响应变量的相关性变强 7. 有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，乙和丙不相邻．则不同排列方式共有（ ） A. 12种 B. 24种 C. 48种 D. 72种 8. 南宋数学家杨辉的重要著作《详解九章算法》中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列．以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列．若某个二阶等差数列的前4项为：2，3，6，11，则该数列的第27项为（ ） A. 676 B. 678 C. 731 D. 733 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在一次问答竞赛中，已知组的成绩与组的成绩均服从正态分布，且，，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数是上的奇函数，且当时，，则下列说法正确的有（ ） A. 函数有3个零点 B. 是函数的极小值点 C. 若，则函数的最小值为 D. 若，则方程有3个实数根 11. 已知抛物线的焦点为，顶点为，过点作直线，交抛物线于，两点，点在轴上方，分别过点，作直线的垂线，垂足分别为，，则下列说法正确的是（ ） A. 直线是抛物线的准线 B. 若直线的斜率为2，则 C. 面积的最小值为4 D. 的最小值为18 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在的展开式中，项的系数为______． 13. 经验表明，一般树的胸径（树的主干在地面以上处的直径）越大，树就越高．在研究树高与胸径之间的关系时，某同学收集了某种树的5组观测数据（如下表）： 胸径 8 9 10 11 12 树高 8.2 10 11 12 13.8 假设树高与胸径满足的经验回归方程为，则当胸径时，树高的预测值为______． 14. 如图，某植物园的参观路径形如三叶草，若要全部参观并且路线不重复，则不同的参观路线共有______种． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某地区为了评估新课改对学生成绩的影响，对两个程度相近的学校的高一年级的学生进行为期一个学期的实验．甲校高一年级采用新课改教学方法，乙校高一年级采用传统教学方法．学期末，在甲、乙两个学校的高一年级学生中各随机抽取200名，统计其期末考试成绩，成绩分为优秀（550分及以上）和非优秀（550分以下）两个命级，以下是样本统计结果的列联表： 学校 成绩 合计 优秀 非优秀 甲校 200 乙校 80 合计 130 （1）请根据以上信息，将列联表补充完整； （2）根据小概率值的独立性检验，能否认为推广新课改与成绩是否优秀有关？ 附：，其中． 0.10 0.05 0.010 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 16. 某电子设备制造厂所用的元件是由甲、乙、丙三家元件制造厂提供的，根据以往的记录有下表所示的数据．设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的且不区别标志． 元件制造厂 次品率 提供元件的份额 甲 0.02 0.2 乙 0.01 0.7 丙 0.03 0.1 （1）在仓库中随机取一只元件，求它是次品的概率； （2）在仓库中随机地取一只元件，若已知取到的是次品，求此次品出自甲工厂生产的概率． 17. 如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点．建立适当的空间直角坐标系，用空间向量方法解决如下问题： （1）求证：； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 18. 某校组织古诗词知识比赛，比赛分为两阶段，第一阶段参赛者从诗词基础知识和诗词的鉴赏与解读这两个题库中选择一个题库，并回答题库中的3个问题，至少答对其中2个问题，才能进入第二阶段，否则被淘汰，比赛成绩为0分；第二阶段参赛者选择刚刚没有被选中的题库，回答题库中的3个问题，答对一个问题得5分，比赛的成绩是第二阶段的得分总和．已知甲答对诗词基础知识题库中的每个问题的概率均为，答对诗词的鉴赏与解读题库中的每个问题的概率均为，各次答题是否正确相互独立． （1）若甲第一阶段选择诗词基础知识题库， （i）求甲通过第一阶段的概率； （ii）求甲的比赛成绩为10分的概率； （2）为使得甲最终得分的数学期望最大，第一阶段应该选择哪个题库？ 19. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）证明：，； （3）设，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 咸阳市2024~2025学年度第二学期期末质量检测 高二数学试题 注意事项： 1．本试题共4页，满分150分，时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4．考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题卷不回收． 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知椭圆的两焦点分别为，，点为椭圆上任意一点，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】根据椭圆的定义，即可求得答案. 【详解】由于椭圆，故椭圆长半轴长为， 故， 故选：D 2. 已知，则（ ） A. 3 B. 1 C. -3 D. -1 【答案】A 【解析】 【分析】对函数求导，令即可求出的值. 【详解】因为， 对函数求导， 令，则，解得. 故选：A. 3. 圆的圆心到直线的距离为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出圆心坐标，再利用点到直线距离公式求解. 【详解】圆的圆心到直线的距离 . 故选：A 4. 已知是公差不为0的等差数列，，若，，成等比数列，则（ ） A. -20 B. 14 C. 16 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】设出公差，根据题目条件得到方程，求出公差，进而求出. 【详解】设公差为，，，成等比数列，故， ，故，解得或0（舍去）， 故. 故选：B 5. 已知双曲线的离心率为，则双曲线的焦点到渐近线的距离为（ ） A. B. 2 C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，求得双曲线的方程，得出焦点坐标和渐近线方程，结合点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】由双曲线的离心率为， 可得，解得，即双曲线， 则双曲线的右焦点为，其中一条渐近线方程为，即， 所以双曲线的焦点到渐近线的距离为. 故选：A. 6. 某兴趣小组研究光照时长和向日葵种子发芽数量y（颗）之间的关系，采集5组数据，如下表所示．若去掉最后一组数据后，下列说法正确的是（ ） 光照时长 1 2 3 8 10 种子发芽数量y（颗） 4 6 5 11 2 A. 相关系数r的绝对值变小 B. 相关变量具有负相关关系 C. 拟合误差变大 D. 解释变量与响应变量的相关性变强 【答案】D 【解析】 【分析】观察图象，较其他的点偏离回归直线最大，去掉后，回归效果更好，结合相关系数、正负相关性、残差平方和以及相关性逐项分析判断. 【详解】观察图象知：较其他的点偏离回归直线最大，因此去掉后，回归效果更好， 对于A，相关系数越接近于1，线性相关性越强， 因此去掉后，相关系数的绝对值变大，A错误； 对于B，由表格数据可知越大，越大，所以相关变量具有正相关关系，B错误； 对于C，因为残差平方和越大，拟合效果越差，因此去掉后，残差平方和变小，拟合误差变小，C错误； 对于D，由选项A知，去掉后，相关系数的绝对值变大， 因此解释变量与响应变量的相关性变强，D正确. 故选：D 7. 有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，乙和丙不相邻．则不同排列方式共有（ ） A. 12种 B. 24种 C. 48种 D. 72种 【答案】C 【解析】 【分析】先考虑甲的站位，可选中间3个位置，不考虑乙和丙位置相邻不相邻，去除其中乙丙相邻情况，即可求得答案. 【详解】先考虑甲的站位，可选中间3个位置，不考虑乙和丙位置相邻不相邻， 此时共有种排列方式； 然后考虑其中乙和丙位置相邻的情况，即将乙和丙看作一个元素，和丁、戊全排列， 在这3个元素之间形成的两个位置上选一个将甲插入， 此时共有种排列方式； 故符合题意的不同排列方式共有（种）， 故选：C 8. 南宋数学家杨辉的重要著作《详解九章算法》中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列．以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列．若某个二阶等差数列的前4项为：2，3，6，11，则该数列的第27项为（ ） A. 676 B. 678 C. 731 D. 733 【答案】B 【解析】 【分析】记该二阶等差数列为，，计算出，利用累加法结合等差数列求和能求出的值. 【详解】记该二阶等差数列为，且该数列满足，记， 由题意可知，数列为等差数列，且， 所以等差数列的公差为，所以， 所以，则， 所以， 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在一次问答竞赛中，已知组的成绩与组的成绩均服从正态分布，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据正态分布的期望判断A，根据判断B，再应用正态分布的对称性计算判断C，D. 【详解】对于A，因为， 所以，故A正确， 对于B，因为，所以，故B错误； 对于C， 因为，故C错误； 对于D，， ，故D正确. 故选：AD. 10. 已知函数是上的奇函数，且当时，，则下列说法正确的有（ ） A. 函数有3个零点 B. 是函数的极小值点 C. 若，则函数的最小值为 D. 若，则方程有3个实数根 【答案】ACD 【解析】 【分析】先求出的解析式，利用方程法求解零点个数判断A，再求导逐步分析单调性判断B，结合的单调性求出极值，再结合端点值判断C，将实数根问题转化为函数交点问题，进而求解参数范围判断D即可. 【详解】因为函数是上的奇函数，所以， 由题意得当时， ， 当时，，则， 由奇函数性质得，此时， 则的解析式为， 对于A，由已知得，则是的零点， 令，解得或（舍去），则是的零点， 令，解得或（舍去），则是的零点， 得到函数有3个零点，故A正确， 对于B，当时，得到， 令，，令，， 则在上单调递增，在上单调递减， 可得是函数的极大值点，故B错误， 对于C，当时，由已知得在上单调递增， 在上单调递减，且，，趋近于0时，趋近于， 当时，得到， 令，，令，， 则在上单调递增，在上单调递减， 当时，在上单调递减，在上单调递增， 而，，趋近于0时，趋近于， 可得函数的最小值为，故C正确， 对于D，若方程有3个实数根，则与有三个交点， 如图，我们作出的图像， 由图像可得当时，与有三个交点， 即此时方程有3个实数根，故D正确. 故选：ACD 11. 已知抛物线的焦点为，顶点为，过点作直线，交抛物线于，两点，点在轴上方，分别过点，作直线的垂线，垂足分别为，，则下列说法正确的是（ ） A. 直线是抛物线的准线 B. 若直线的斜率为2，则 C. 面积的最小值为4 D. 的最小值为18 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据抛物线的定义、性质、直线与抛物线的关系、韦达定理、基本不等式的性质等知识对选项逐一判断即可. 【详解】因为抛物线方程为，所以其准线方程为，所以A正确； 因为 ，那么直线的方程为. 将该直线方程与抛物线方程联立方程组化简为. 设， 所以根据韦达定理得. 所以，B正确； 设直线的方程为，联立， 消去得. 根据韦达定理有， 所以， 所以，所以最小值为8，所以C错误； 由抛物线的定义可知， 所以. 因为 ， 所以， 当且仅当时等号成立，此时的最小值为18，所以D正确. 故选：ABD. 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在的展开式中，项的系数为______． 【答案】15 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项公式求指定项的系数即可. 【详解】二项展开式的通项公式为， 令，可得， 所以，项的系数为. 故答案为：15. 13. 经验表明，一般树的胸径（树的主干在地面以上处的直径）越大，树就越高．在研究树高与胸径之间的关系时，某同学收集了某种树的5组观测数据（如下表）： 胸径 8 9 10 11 12 树高 8.2 10 11 12 13.8 假设树高与胸径满足的经验回归方程为，则当胸径时，树高的预测值为______． 【答案】17.6 【解析】 【分析】根据经验回归方程必过样本中心点，即将平均数求出代入即可解，再将代入即可求解. 【详解】根据表中数据可求：，. 将其代入方程解得. 所以经验回归方程为. 将代入解得. 所以树高的预测值为 . 故答案为： 14. 如图，某植物园的参观路径形如三叶草，若要全部参观并且路线不重复，则不同的参观路线共有______种． 【答案】 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理求解即可. 【详解】解：参观路线分步完成： 第一步，选择三个“环形”路线中的一个流览，有3种选法； 而在游览选择的“环形”时，可以按顺时针或按逆时针2类方法完成； 第二步，选择余下的两个“环形”路线中的一个游览，有2种方法， 同理，在游览选择的“环形”时，可以按顺时针或按逆时针两类方法完成； 第三步，游览最后一个“环形”路线，也可以按顺时针或按逆时针两类方法完成， 根据分步乘法计数原理可知不同的参观路线共有种. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某地区为了评估新课改对学生成绩的影响，对两个程度相近的学校的高一年级的学生进行为期一个学期的实验．甲校高一年级采用新课改教学方法，乙校高一年级采用传统教学方法．学期末，在甲、乙两个学校的高一年级学生中各随机抽取200名，统计其期末考试成绩，成绩分为优秀（550分及以上）和非优秀（550分以下）两个命级，以下是样本统计结果的列联表： 学校 成绩 合计 优秀 非优秀 甲校 200 乙校 80 合计 130 （1）请根据以上信息，将列联表补充完整； （2）根据小概率值的独立性检验，能否认为推广新课改与成绩是否优秀有关？ 附：，其中． 0.10 0.05 0.010 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 【答案】（1）列联表： 学校 成绩 合计 优秀 非优秀 甲校 150 50 200 乙校 120 80 200 合计 270 130 400 （2）可以【解析】 【分析】（1）根据题意，结合题设中的数据，补充完整的列联表 （2）由列联表中的数据，求得，根据，即可得出结论. 【小问1详解】 解：根据题意，补充完整的列联表如下： 学校 成绩 合计 优秀 非优秀 甲校 150 50 200 乙校 120 80 200 合计 270 130 400 【小问2详解】解：零假设为：推广新课改与成绩是否优秀无关． 由列联表中的数据，可得， 因为，所以根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 所以推广新课改与成绩是否优秀有关． 16. 某电子设备制造厂所用的元件是由甲、乙、丙三家元件制造厂提供的，根据以往的记录有下表所示的数据．设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的且不区别标志． 元件制造厂 次品率 提供元件的份额 甲 0.02 0.2 乙 0.01 0.7 丙 0.03 0.1 （1）在仓库中随机取一只元件，求它是次品的概率； （2）在仓库中随机地取一只元件，若已知取到的是次品，求此次品出自甲工厂生产的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件和全概率公式可求得结果. （2）根据条件概率公式即可求出答案. 【小问1详解】 设表示“取到的是一只次品”，表示“所取到的元件是由甲制造厂提供的”， 表示“所取到的元件是由乙制造厂提供的”，表示“所取到的元件是由丙制造厂提供的”， 则，，， ，，． 由全概率公式得 ． 【小问2详解】 该元件出自甲工厂的概率为 ． 17. 如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点．建立适当的空间直角坐标系，用空间向量方法解决如下问题： （1）求证：； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明：在直三棱柱中，有，，， 以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， ，， ， ，即． （2）. 【解析】 【分析】（1）根据已知构建合适的空间直角坐标系，并标注出相关点坐标，应用向量法证明异面直线垂直即可； （2）由（1）求出平面与平面的法向量，再应用向量法求面面角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得，， ，，， 设平面的法向量为， 则即令，即， 设平面的法向量为， 则即令，即， ． 平面与平面夹角的余弦值为． 18. 某校组织古诗词知识比赛，比赛分为两阶段，第一阶段参赛者从诗词基础知识和诗词的鉴赏与解读这两个题库中选择一个题库，并回答题库中的3个问题，至少答对其中2个问题，才能进入第二阶段，否则被淘汰，比赛成绩为0分；第二阶段参赛者选择刚刚没有被选中的题库，回答题库中的3个问题，答对一个问题得5分，比赛的成绩是第二阶段的得分总和．已知甲答对诗词基础知识题库中的每个问题的概率均为，答对诗词的鉴赏与解读题库中的每个问题的概率均为，各次答题是否正确相互独立． （1）若甲第一阶段选择诗词基础知识题库， （i）求甲通过第一阶段的概率； （ii）求甲的比赛成绩为10分的概率； （2）为使得甲最终得分的数学期望最大，第一阶段应该选择哪个题库？ 【答案】（1）（i）；（ii）； （2）应选择诗词基础知识题库． 【解析】 【分析】（1）（i）法1：应用独立事件乘法公式、互斥事件加法求概率；法2：利用对立事件的概率求法求概率；（ii）应用独立重复试验的概率求法求甲在第二阶段答对诗词的鉴赏与解读题库中2个题目的概率，结合（i）及乘法公式求概率； （2）根据已知分别求出甲选择不同题库得分的期望，比较它们的大小，即可得结论. 【小问1详解】 （i）方法1：若甲通过第一阶段，则甲答对诗词基础知识题库中的问题数为3或2， 甲通过第一阶段的概率为． 方法2：若甲第一阶段被淘汰，则甲答对诗词基础知识题库中的问题数为0或1， 甲第一阶段被淘汰的概率为． 甲通过第一阶段的概率为． （ii）若甲的比赛成绩为10分，则甲通过第一阶段并在第二阶段答对诗词的鉴赏与解读题库中2个题目， 由（i）可知，甲通过第一阶段的概率为， 甲在第二阶段答对诗词的鉴赏与解读题库中2个题目的概率为， 又各次答题是否正确相互独立，则甲的比赛成绩为10分的概率为． 【小问2详解】 若甲第一阶段选择诗词基础知识题库，设最终得分为随机变量， 则的所有可能取值为0，5，10，15， 则，， ，， ． 若甲第一阶段选择诗词的鉴赏与解读题库，设最终得分为随机变量， 则的所有可能取值为0，5，10，15， 由题意可知，甲通过第一阶段的概率为， 甲第一阶段被淘汰的概率为， ，， ，， ， ， 为使得甲最终得分的数学期望最大，甲第一阶段应选择诗词基础知识题库． 19. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）证明：，； （3）设，证明：． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线的斜率，进而得解； （2）由题，问题转化为证明，令，只需证对任意的恒成立，设，求导，判断单调性求出最值得证； （3）由（2），令，可得，即，利用裂项相消法求和得证. 【小问1详解】 ， ， . 所求切线方程为，即. 【小问2详解】 要证，等价于证， 令，则，且，， 只需证在成立， 即证对任意的恒成立， 设， 则恒成立， 时，单调递减， ，即， . 【小问3详解】 由（2）知，对任意的恒成立． 对任意的，有，则， 即， ， ，得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $