陕西省咸阳市武功县普集高级中学2023-2024学年高二下学期数学期末模拟试题（五）

第 1 页 共 6 页 2023~2024学年度高二年级 第二学期期末复习题(五) 班级 姓名 一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5 分，共 40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1．下列求导运算错误的是 ( ) A． 2( ) 2x lnx xlnx x   B． 1( )x x x x e e    C． 2( 3 ) 2 3 3x xx x lg    D． [ cos(2 )] 2sin(2 ) 6 6 x x      2．在平行六面体 1 1 1 1ABCD ABC D 中，E为 1 1AD 的 中点，设 AB a   ， AD b   ， 1AA c   ， 则CE   ( ) A． 1 2 a b c     B． 1 2 a b c     C． 1 2 a b c     D． 1 2 a b c      3．如图是 ( )y f x 的导函数 ( )f x 的图象，则下列 说法正确的个数是 ( ) ① ( )f x 在区间[ 2, 1]  上是增函数； ② 1x   是 ( )f x 的极小值点； ③ ( )f x 在区间[ 1, 2] 上是增函数，在区间 [2,4]上是 减函数； ④ 1x  是 ( )f x 的极大值点. A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．我们将服从二项分布的随机变量称为二项随机 变量，服从正态分布的随机变量称为正态随机变 量．概率论中有一个重要的结论是棣莫弗一拉普拉 斯极限定理，它表明，若随机变量 ( , )Y B n p ，当 n充分大时，二项随机变量 Y可以由正态随机变量 X来近似，且正态随机变量 X的期望和方差与二项 随机变量 Y的期望和方差相同．棣莫弗在 1733年 证明了 1 2 p  的特殊情形，1812年，拉普拉斯对一 般的p进行了证明．现抛掷一枚质地均匀的硬币100 次，则利用正态分布近似估算硬币正面向上次数超 过 60次的概率为 ( )（附：若  2,X N   ， 则 0( ) .6827P X        ， ( 2 2 ) 0.9545P X        ， 3 3 0 9( ) .9 73P X        ） A．0.1587 B．0.0228 C．0.0027 D．0.0014 5．某商品的地区经销商对 2023年 1月到 5月该商 品的销售情况进行了调查，得到如下统计表．发现 销售量 y（万件）与时间 x（月）成线性相关，根据 表中数据，利用最小二乘法求得 y与 x的回归直线 方程为：  0.48 0.56y x  ． 则下列说法错误的是 ( ) 时间 x（月） 1 2 3 4 5 销售量 y（万件） 1 1.6 2.0 a 3 A．由回归方程可知 2024年 1月份该地区的销售量 为 6.8万件 B．表中数据的样本中心点为  3,2.0 C． 2.4a  D．由表中数据可知，y和 x成正相关 第 2 页 共 6 页 6．双曲线C：   2 2 2 2 1 0, 0 x y a b a b     的左、右焦 点分别为 1F， 2F ，过 1F的直线与双曲线C的右支在 第一象限的交点为A，与 y轴的交点为 B，且 B为 1AF 的中点，若 2ABF 的周长为6a，则双曲线C的 渐近线方程为 ( ) A． 3y x  B． 2y x  C． 3 2 y x  D． 2 2 y x  7．下图是一块高尔顿板示意图：在一块木块上钉 着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小 木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块 玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每 次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后 落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为 1，2， 3，……，6，用 X 表示小球落入格子的号码， 则 ( ) A．     11 6 64 P X P X    B．   5 2 E X  C．   3 2 D X  D．   5 4 D X  8．关于函数   2lnf x a x x   ， 下列判断错误的是 ( ) A．函数  f x 的图像在点 1x  处的切线方程为  2 4 0a x y a     B． 2x a  是函数  f x 的一个极值点 C．当 1a  时，   ln 2 1f x   D．当 1a   时，不等式    2 1 0f x f x   的解集 为 1 ,1 2       二、多项选择题：本题共 4小题，每小题 5 分，共 20分.在每小题给出的选项中，有多 项符合题目要求.全部选对的得 5分，有选错 的得 0分，部分选对的得 2分. 9．已知直线 l：4 3 2 0x y   ，下列说法正确的是 ( ) A．直线 l经过点  1,2P B．直线 l与坐标轴围成的三角形面积是 1 6 C．直线 l与直线8 6 7 0x y   的距离是 1 D．直线 l与圆    2 21 3 9x y    相切 10．已知正项等比数列 na 的公比为q，前 n项和 为 4 6, 2, 8nS a a  ，则 ( ) A． 2q = B． 10 256a  C．数列 1 na       是递减数列 D． 1 12 4 n nS   11．下列说法正确的是 ( ) A．若二项式 1 2 n x     的展开式中所有项的系数和为 1 128  ，则展开式共有 7项 B．对具有线性相关关系的变量 ,x y，其线性回归方 程为 ˆ 3 4y x  ，若一个样本点为  m,2 ，则实数m 的值是 2 C．已知随机变量 X 服从正态分布  2,N   ，若    2 6 1P X P X     ，则 2  D．已知 2 6X Y  ，若  5,0.6X B ，则   4.8D Y  第 3 页 共 6 页 12．已知点  1 1,0F  ，  2 1,0F ，动点 P到直线 2x  的距离为d ， 2 2 2 PF d  ，则 ( ) A．点 P的轨迹是椭圆 B．点 P的轨迹曲线的离心率等于 12 C．点 P的轨迹方程为 2 2 1 2 x y  D． 1 2PF F△ 的周长为定值 4 2 三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分， 共 20分. 13．中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天 实验舱和梦天实验舱．假设空间站要安排甲、乙等 6 名航天员开展实验，三个实验舱每个至少一人至 多三人，则不同的安排方法有__________种． 14．甲、乙、丙三人参加某高校举行的自主招生考 试，若甲、乙、丙三人通过自主招生考试的概率分 别为 1 3 ， 1 3 ， 1 2 ，且三人是否通过考试互不影响， 则三人中至少有一人通过考试的条件下，只有丙通 过考试的概率为 ． 15．已知O为坐标原点，直线 l过抛物线 2: 2 ( 0)D y px p  的焦点 F ，与抛物线D及其准线 依次交于 , ,A B C三点（其中点 B在 ,A C之间），若 4, 2AF BC BF  .则 OAB 的面积是________． 16．已知   3 , 0 e 3 , 0 x x x f x x x x       ，若关于 x的方程  f x a 有 3个不同实根，则实数 a取值范围 为 ． 第 4 页 共 6 页 四、解答题：本题共 6小题，共 70分.解答 应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知 3 2 2( ) 3f x x ax bx a    在 1x   时有极值 0． （1）求常数 ,a b的值； （2）求 ( )f x 在区间[ 4,0] 上的最值． 18．（12分）已知 na 是公差不为 0的等差数列， 若 1 3 13, ,a a a 是等比数列 nb 的连续三项． （1）求数列 nb 的公比；（2）若 1 1a  ，数列 1 1 n na a        的前 n和为 nS 且 101 021 0 2n S  ，求 n的最 小值． 第 5 页 共 6 页 19．（12分）某车企随机调查了今年某月份购买本 车企生产的  *20 Nn n 台新能源汽车车主，统计得 到以下 2 2 列联表，经过计算可得 2 5.556  ． 喜欢 不喜欢 总计 男性 10n 12n 女性 3n 总计 15n （1）完成表格并求出 n值，并判断有多大的把握认 为购车消费者对新能源车的喜欢情况与性别有关； （2）采用比例分配的分层抽样法从调查的不喜欢 和喜欢新能源汽车的车主中随机抽取 12 人，再从 抽取的 12 人中抽取 4 人，设被抽取的 4 人中属于 不喜欢新能源汽车的人数为 X ，求 X 的分布列及数 学期望． 20．（12分）如图，在正四棱柱 1 1 1 1ABCD ABC D 中， 2AD  ， 1 5AA  ，点 P在棱 1CC 上，且 1AP平面 BDP． （1）求 1 C P CP 的值； （2）若 1C P CP ，求二面角 1A BD P  的余弦值． 第 6 页 共 6 页 21．（12分）已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0) x yC a b a b     的一 个焦点为 (2,0)F ，且离心率为 6 3 ． （1）求椭圆C的方程； （2）不过原点O的直线 :l y x m  与椭圆 C交于 ,A B两点，求 ABO 面积的最大值及此时直线 l的 方程． 22．（12分）已知函数 ( ) ex mf x x  ． （1）讨论 ( )f x 的单调性； （2）若 1 2x x ，且    1 2 2f x f x  ， 证明：0 em  ，且 1 2 2x x  ． 2023~2024学年度高二年级第二学期期末复习题(五) 班级 姓名 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．下列求导运算错误的是　 　 A． B． C． D． 【解析】，运算正确；，运算正确； ．，运算错误；，运算正确．故选：． 2． 在平行六面体中，为的中点，设，，， 则　 　 A． B． C． D． 【解析】在平行六面体中，是平行四边形，于是得， 又，且，而为的中点，则， 从而得，所以.故选：D【答案】D 3．如图是的导函数的图象，则下列说法正确的个数是　 　 ①在区间上是增函数； ②是的极小值点； ③在区间上是增函数，在区间上是减函数； ④是的极大值点. A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【解析】由导函数的图象可知，当时， 当时，当时，当时， 所以在区间上单调递减，故①错误；在区间上单调递增，在区间上单调递减，上单调递增，在和处取得极小值，处取得极大值，故②③正确，④错误； 故选：C．【答案】C 4．我们将服从二项分布的随机变量称为二项随机变量，服从正态分布的随机变量称为正态随机变量．概率论中有一个重要的结论是棣莫弗一拉普拉斯极限定理，它表明，若随机变量，当n充分大时，二项随机变量Y可以由正态随机变量X来近似，且正态随机变量X的期望和方差与二项随机变量Y的期望和方差相同．棣莫弗在1733年证明了的特殊情形，1812年，拉普拉斯对一般的p进行了证明．现抛掷一枚质地均匀的硬币100次，则利用正态分布近似估算硬币正面向上次数超过60次的概率为　 　（附：若，则，，） A．0.1587 B．0.0228 C．0.0027 D．0.0014 【解析】抛掷一枚质地均匀的硬币100次，设硬币正面向上次数为，则， 所以，， 由题意，，且，， 因为，所以利用正态分布近似估算硬币正面向上次数超过60次的概率为，故选：B.【答案】B 5．某商品的地区经销商对2023年1月到5月该商品的销售情况进行了调查，得到如下统计表．发现销售量y（万件）与时间x（月）成线性相关，根据表中数据，利用最小二乘法求得y与x的回归直线方程为：．则下列说法错误的是　 　 时间x（月） 1 2 3 4 5 销售量y（万件） 1 1.6 2.0 a 3 A．由回归方程可知2024年1月份该地区的销售量为6.8万件 B．表中数据的样本中心点为 C． D．由表中数据可知，y和x成正相关 【解析】依题意，， 而y与x的回归直线方程为：，则， 解得，，表中数据的样本中心点为，BC正确； 由，得y和x成正相关，D正确； 2024年1月份，即，由回归直线方程，得， 因此2024年1月份该地区的销售量约为6.8万件，A错误. 故选：A【答案】A 6．双曲线：的左、右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支在第一象限的交点为，与轴的交点为，且为的中点，若的周长为，则双曲线的渐近线方程为　 　 A． B． C． D． 【解析】如图所示：由对称性可知，因为的周长为， 所以， 又， 所以，． 因为为的中点， 所以， 则为等边三角形， 所以，，．又因为， 所以在中，．所以，， 即双曲线的渐近线方程为．故选：B【答案】B 7．下图是一块高尔顿板示意图：在一块木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为1，2，3，……，6，用表示小球落入格子的号码，则　 　 A． B． C． D． 【解析】设A=“向右下落”，则=“向左下落”，且， 设Y=X-1，因为小球在下落过程中共碰撞5次，所以， 于是（）. 所以，A错误；， ， 所以，B错误； ，C错误，D正确故选：D【答案】D 8．关于函数，下列判断错误的是　 　 A．函数的图像在点处的切线方程为 B．是函数的一个极值点 C．当时， D．当时，不等式的解集为 【解析】因为，所以，， 所以，因此函数的图像在点处的切线方程为，即，故A正确； 当时，在上恒成立，即函数在定义域内单调递减，无极值点；故B错； 当时，，由得；由得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增； 因此，即；故C正确； 当时，在上恒成立，所以函数在上单调递减；由可得，解得：，故D正确；故选：B.【答案】B 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分. 9．已知直线：，下列说法正确的是　 　 A．直线经过点 B．直线与坐标轴围成的三角形面积是 C．直线与直线的距离是1 D．直线与圆相切 【解析】对于A，当时，，所以直线经过点，A对； 对于B，令；令，所以直线与坐标轴围成三角形面积是，B对；对于C，把化为，则这两直线平行， 所以直线与直线的距离是，C错； 对于D，由圆可知圆心，半径，又圆心到直线的距离为，所以直线与圆相切，D对.故选：ABD.【答案】ABD 10．已知正项等比数列的公比为，前项和为，则　 　 A． B． C．数列是递减数列 D． 【解析】由正项等比数列的公比为可得：，，. 因为所以，解得则.故选项A 正确； 对于选项B，，故选项B错误； 对于选项C，因为，所以，即， 故数列是递减数列，故选项C正确；对于选项D，， 故选项D错误.故选：AC【答案】AC 11．下列说法正确的是　 　 A．若二项式的展开式中所有项的系数和为，则展开式共有项 B．对具有线性相关关系的变量，其线性回归方程为，若一个样本点为，则实数的值是 C．已知随机变量服从正态分布，若，则 D．已知，若，则 【解析】对于A，令，则展开式所有项系数和为，解得：，则展开式共有项，A错误；对于B，样本点不一定在回归直线上，不一定是，B错误； 对于C，，， ，，C正确； 对于D，，， ，，D正确.故选：CD.【答案】CD 12．已知点，，动点到直线的距离为，，则　 　 A．点的轨迹是椭圆 B．点的轨迹曲线的离心率等于 C．点的轨迹方程为 D．的周长为定值 【解析】因为点，，动点到直线的距离为， 设动点的坐标为，可得，化简可得，所以点的轨迹为椭圆， 故AC正确；离心率为，故B错误； 的周长为定值，故D错误；故选:AC【答案】AC 3、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设空间站要安排甲、乙等6名航天员开展实验，三个实验舱每个至少一人至多三人，则不同的安排方法有__________种． 【解析】若6名航天员三个实验舱，三个实验舱每个至少一人至多三人， 若每组人数分别为，共有种， 若每组人数分别为，共有种， 综上所有不同的安排方法共有.故答案为：450【答案】450 14．甲、乙、丙三人参加某高校举行的自主招生考试，若甲、乙、丙三人通过自主招生考试的概率分别为，，，且三人是否通过考试互不影响，则三人中至少有一人通过考试的条件下，只有丙通过考试的概率为 ． 【解析】由题可得，三人中至少有一人通过考试的概率， 只有丙通过考试的概率，所以三人中至少有一人通过考试的条件下，只有丙通过考试的概率．故答案为： 【答案】 15．已知为坐标原点，直线过抛物线的焦点，与抛物线及其准线依次交于三点（其中点在之间），若.则的面积是__________． 【解析】过点作垂直于准线，垂足为，过点作垂直于准线， 垂足为，设准线与轴相交于点，如图， 则， 在中，，所以，所以， 故在中，，所以， 则.又轴，，所以， 又抛物线，则，所以， 所以抛物线，点.因为，所以直线的斜率， 则直线，与抛物线方程联立，消并化简得， 易得，设点，则， 则， 又直线，可化为，则点到直线的距离， 所以.故选：B.【答案】 16．已知，若关于x的方程有3个不同实根，则实数取值范围为 ． 【解析】当时，，，当时，，当时，，故在上单调递增，在上单调递减，且，当时，恒为正，当时，，， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 且，画出的图象如下： 要想关于x的方程有3个不同实根，则要函数与有3个不同的交点即可， 显然当时，符合要求.故答案为：【答案】 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知在时有极值0． （1）求常数的值；（2）求在区间上的最值． 【解析】（1）由题意知：，，解得或， 当时，，单调递增，无极值，不合题意； 当时，，当或时，，单调递增， 当时，，单调递减，在时有极值，符合题意；故； （2）由（1）知，，在上单调递增，在单调递减， 故在取极大值，极大值为，在取极小值，极小值为， 又，，故的最大值为4，最小值为0. 18．（12分）已知是公差不为0的等差数列，若是等比数列的连续三项． （1）求数列的公比；（2）若，数列的前和为且，求的最小值． 【解析】（1）设等差数列的公差为，由是等比数列的连续三项， 得，即，化简得．． 设数列的公比的公比为，则． （2）若，则， ． 由，得，故的最小值为1011． 19．（12分）某车企随机调查了今年某月份购买本车企生产的台新能源汽车车主，统计得到以下列联表，经过计算可得． 喜欢 不喜欢 总计 男性 女性 总计 （1）完成表格并求出值，并判断有多大的把握认为购车消费者对新能源车的喜欢情况与性别有关； （2）采用比例分配的分层抽样法从调查的不喜欢和喜欢新能源汽车的车主中随机抽取12人，再从抽取的12人中抽取4人，设被抽取的4人中属于不喜欢新能源汽车的人数为，求的分布列及数学期望． 附：，其中. 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【解析】（1）补充表格数据如下： 喜欢 不喜欢 总计 男性 女性 总计 根据数表可得，又因为，所以； 提出假设：购车消费者对新能源车的喜欢情况与性别无关，由题意，， 所以有的把握认为购车消费者对新能源车的喜欢情况与性别有关 （2）由（1）可知，抽取喜欢新能源汽车有：9人；抽取不喜欢新能源汽车有：3人 由题的可能值为： ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 的数学期望（人），所以的数学期望1人. 20．（12分）如图，在正四棱柱中，，，点在棱上，且平面． （1）求的值；（2）若，求二面角的余弦值． 【解析】（1）如图，以点为原点，，，的方向分别为，，轴的正方向， 建立空间直角坐标系，设， 则点，，，． 则，． 因为平面， 所以， 所以， 解得或． 当时，，，；当时，，，． （2）因为，由（1）知，．平面的一个法向量为． 设平面的法向量为，因为，， 所以令，则．所以， 由图知，二面角的平面角为锐角，所以二面角的余弦值为． 21．（12分）已知椭圆的一个焦点为，且离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）不过原点的直线与椭圆C交于两点，求面积的最大值及此时直线的方程． 【解析】（1）由已知得，又离心率，得到，， 所以椭圆的方程为． （2）设，联立，消得， ，得到，由韦达定理得，， 又因为，又原点到直线的距离为， 所以， 当且仅当，即，满足， 所以，面积的最大值为，此时直线的方程为． 22．（12分）已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若，且，证明：，且． 【解析】（1）的定义域为R，由题意，得，， 当时，恒成立，在上单调递增； 当，且当时，，单调递减； 当时，，单调递增．综上，当时，在上单调递增； 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增． （2）证明：由，得，是方程的两个实数根， 即是方程的两个实数根．令，则， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减，所以． 因为当时，；当时，，，所以． 不妨设，因为，是方程的两个实数根，则． 要证，只需证．因为，，所以只需证． 因为，所以只需证． 今，， 则 在恒成立．所以在区间上单调递减，所以，即当时，． 所以，即成立． ( 第 1 页 共 2 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1 页 共 12 页 2023~2024学年度高二年级第二学期期末复习题(五) 班级 姓名 一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1．下列求导运算错误的是 ( ) A． 2( ) 2x lnx xlnx x   B． 1( )x x x x e e    C． 2( 3 ) 2 3 3x xx x lg    D． [ cos(2 )] 2sin(2 ) 6 6 x x      【解析】 2 2 1.( ) 2 2A x lnx xlnx x xlnx x x       ，运算正确； 2 1.( ) x x x x x x e xe xB e e e      ，运算正确； C． 2( 3 ) 2 3 3x xx x ln    ，运算错误； .[ cos(2 )] 2sin(2 ) 6 6 D x x      ，运算正确．故选：C． 2．在平行六面体 1 1 1 1ABCD ABC D 中， E为 1 1AD 的中点，设 AB a   ， AD b   ， 1AA c   ， 则CE   ( ) A． 1 2 a b c     B． 1 2 a b c     C． 1 2 a b c     D． 1 2 a b c      【解析】在平行六面体 1 1 1 1ABCD ABC D 中， ABCD是平行四边形，于是得 AC AB AD     a b    ， 又 1 1 / /AD AD，且 1 1AD AD ，而 E为 1 1AD 的中点，则 1 1 1 1 1 1 2 2 2 A E AD AD b       ， 从而得 1 1 1 2 AE AA AE c b         ，所以 1 1( ) ( ) 2 2 CE AE AC c b a b a b c                    .故选：D【答案】D 3．如图是 ( )y f x 的导函数 ( )f x 的图象，则下列说法正确的个数是 ( ) ① ( )f x 在区间[ 2, 1]  上是增函数； ② 1x   是 ( )f x 的极小值点； ③ ( )f x 在区间[ 1, 2] 上是增函数，在区间 [2,4]上是减函数； ④ 1x  是 ( )f x 的极大值点. A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【解析】由导函数 ( )f x 的图象可知，当 2 1x    时 ( ) 0f x  ， 当 1 2x   时 ( ) 0f x  ，当 2 4x  时 ( ) 0f x  ，当4 5x  时 ( ) 0f x  ， 所以 ( )f x 在区间 2, 1  上单调递减，故①错误；在区间 1,2 上单调递增，在区间  2,4 上单调递减， 4,5 上单调递增，在 1x   和 4x  处取得极小值， 2x  处取得极大值，故②③正确，④错误； 故选：C．【答案】C 4．我们将服从二项分布的随机变量称为二项随机变量，服从正态分布的随机变量称为正态随机变量．概 第 2 页 共 12 页 率论中有一个重要的结论是棣莫弗一拉普拉斯极限定理，它表明，若随机变量 ( , )Y B n p ，当 n充分大时， 二项随机变量 Y可以由正态随机变量 X来近似，且正态随机变量 X的期望和方差与二项随机变量 Y的期望 和方差相同．棣莫弗在 1733年证明了 1 2 p  的特殊情形，1812年，拉普拉斯对一般的 p进行了证明．现抛 掷一枚质地均匀的硬币 100次，则利用正态分布近似估算硬币正面向上次数超过 60次的概率为 ( ) （附：若  2,X N   ，则 0( ) .6827P X        ， ( 2 2 ) 0.9545P X        ， 3 3 0 9( ) .9 73P X        ） A．0.1587 B．0.0228 C．0.0027 D．0.0014 【解析】抛掷一枚质地均匀的硬币 100次，设硬币正面向上次数为 X ，则 1~ 100, 2 X B     ， 所以   1100 50 2 E X np    ，     1 11 100 1 25 2 2 D X np p            ， 由题意，  2,X N   ，且   50E X   ，  2 25D X   ， 因为 ( 2 2 ) 0.9545P X        ，所以利用正态分布近似估算硬币正面向上次数超过 60次的概率为     1 0.954560 50 2 5 0.0228 2 P X P X        ，故选：B.【答案】B 5．某商品的地区经销商对 2023年 1月到 5月该商品的销售情况进行了调查，得到如下统计表．发现销售 量 y（万件）与时间 x（月）成线性相关，根据表中数据，利用最小二乘法求得 y与 x的回归直线方程为：  0.48 0.56y x  ．则下列说法错误的是 ( ) 时间 x（月） 1 2 3 4 5 销售量 y（万件） 1 1.6 2.0 a 3 A．由回归方程可知 2024年 1月份该地区的销售量为 6.8万件 B．表中数据的样本中心点为  3,2.0 C． 2.4a  D．由表中数据可知，y和 x成正相关 【解析】依题意， 1 2 3 4 5 1 1.6 2 3 7.63, 5 5 5 a ax y            ， 而 y与 x的回归直线方程为：  0.48 0.56y x  ，则 7.6 3 0.48 0.56 5 a    ， 解得 2.4a  ， 2.0y  ，表中数据的样本中心点为  3,2.0 ，BC正确； 由0.48 0 ，得 y和 x成正相关，D正确； 2024年 1月份，即 13x  ，由回归直线方程  0.48 0.56y x  ，得 0.48 13 0.56 6.8y     ， 因此 2024年 1月份该地区的销售量约为 6.8万件，A错误. 故选：A【答案】A 第 3 页 共 12 页 6．双曲线C：   2 2 2 2 1 0, 0 x y a b a b     的左、右焦点分别为 1F， 2F ，过 1F的直线与双曲线C的右支在第一 象限的交点为A，与 y轴的交点为 B，且 B为 1AF 的中点，若 2ABF 的周长为6a，则双曲线C的渐近线方 程为 ( ) A． 3y x  B． 2y x  C． 3 2 y x  D． 2 2 y x  【解析】如图所示：由对称性可知 2 1BF BF ，因为 2ABF 的周长为6a， 所以 1 2 6AF AF a  ， 又 1 2 2AF AF a  ， 所以 1 4AF a ， 2 2AF a ． 因为 B为 1AF 的中点， 所以 1 2AB BF a  ， 则 2ABF 为等边三角形， 所以 2 3 ABF   ， 1 2 2 3 F BF   ， 1 3 F BO   ．又因为 1OF c ， 所以在 1Rt F BO 中， 11 1 3sin 2 2 OF cF BO BF a     ．所以 3 c a  ， 2 b a  ， 即双曲线C的渐近线方程为 2y x  ．故选：B【答案】B 7．下图是一块高尔顿板示意图：在一块木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉 之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小 木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为 1，2，3，……，6， 用 X 表示小球落入格子的号码，则 ( ) A．     11 6 64 P X P X    B．   5 2 E X  C．   3 2 D X  D．   5 4 D X  【解析】设 A=“向右下落”，则 A =“向左下落”，且     12P A P A  ， 设 Y=X-1，因为小球在下落过程中共碰撞 5次，所以 15, 2 Y B       ， 于是     5 5 5 5 1 1 11 C 1 C 2 2 2 k k k kP Y k P X k                         （ 0,1,2,3,4,5k  ）. 所以     5 0 5 1 11 6 C 2 32 P X P X          ，A错误；     5 1 5 1 52 5 C 2 32 P X P X          ，     5 2 5 1 53 4 C 2 16 P X P X          ， 第 4 页 共 12 页 所以        1 5 5 71 6 2 5 3 4 32 32 16 2 E X           ，B错误；   2 2 2 27 1 7 5 7 10 7 101 2 3 4 2 32 2 32 2 32 2 32 D X                                   2 27 5 7 1 55 6 2 32 2 32 4                  ，C错误，D正确故选：D【答案】D 8．关于函数   2lnf x a x x   ，下列判断错误的是 ( ) A．函数  f x 的图像在点 1x  处的切线方程为  2 4 0a x y a     B． 2x a  是函数  f x 的一个极值点 C．当 1a  时，   ln 2 1f x   D．当 1a   时，不等式    2 1 0f x f x   的解集为 1 ,12       【解析】因为   2lnf x a x x   ，所以  1 2f  ，   2 2af x x x    ， 所 以  1 2f a   ， 因 此 函 数  f x 的 图 像 在 点 1x  处 的 切 线 方 程 为   2 2 1y a x    ， 即  2 4 0a x y a     ，故 A正确； 当 a<0时，   2 2 0af x x x     在  0,x  上恒成立，即函数在定义域内单调递减，无极值点；故 B错； 当 1a  时，   2 2 1 2 2xf x x x x     ，由 ( ) 0f x¢ > 得 2x  ；由   0f x  得0 2x  ， 所以函数   2lnf x x x   在  0,2 上单调递减，在  2,  上单调递增； 因此  min 2ln 2 ln 2 1 2 f x     ，即   ln 2 1f x   ；故 C正确； 当 1a   时，   2 1 2 0f x x x      在  0,x  上恒成立，所以函数  f x 在  0,  上单调递减；由    2 1 0f x f x   可得 2 1 0 0 2 1 x x x x        ，解得： 1 1 2 x  ，故 D正确；故选：B.【答案】B 二、多项选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分.在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求.全部选对的得 5分，有选错的得 0分，部分选对的得 2分. 9．已知直线 l： 4 3 2 0x y   ，下列说法正确的是 ( ) A．直线 l经过点  1,2P B．直线 l与坐标轴围成的三角形面积是 1 6 C．直线 l与直线8 6 7 0x y   的距离是 1 D．直线 l与圆    2 21 3 9x y    相切 第 5 页 共 12 页 【解析】对于 A，当 1, 2x y  时， 4 3 2 4 6 2 0x y      ，所以直线 l经过点  1,2P ，A对； 对于 B，令 20, 3 x y  ；令 10, 2 y x   ，所以直线 l与坐标轴围成的三角形面积是 1 2 1 1 2 3 2 6     ， B对；对于 C，把8 6 7 0x y   化为 74 3 0 2 x y   ，则这两直线平行， 所以直线 l与直线8 6 7 0x y   的距离是  22 72 32 104 3     ，C错； 对于 D，由圆    2 21 3 9x y    可知圆心  1, 3 ，半径 3r  ，又圆心  1, 3 到直线 l的距离为  22 4 9 2 3 4 3 r       ，所以直线 l与圆    2 21 3 9x y    相切，D对.故选：ABD.【答案】ABD 10．已知正项等比数列 na 的公比为q，前 n项和为 4 6, 2, 8nS a a  ，则 ( ) A． 2q = B． 10 256a  C．数列 1 na       是递减数列 D． 1 12 4 n nS   【解析】由正项等比数列 na 的公比为q可得： 11 nna a q  ， 0na  ， 0q  . 因为 4 62, 8a a  所以 3 1 5 1 2 8 a q a q     ，解得 1 1 , 2 4 a q  则 1 3 1 2 2 4 n n na     .故选项 A 正确； 对于选项 B， 9 910 1 1 2 128 4 a a q    ，故选项 B错误； 对于选项 C，因为 32nna  ，所以 2 3 2 1 1 1 1 1 1 0 2 2 2n n nn na a           ，即 1 1 1 n na a  ， 故数列 1 na       是递减数列，故选项 C正确；对于选项 D，    1 2 1 1 21 14 2 1 1 2 4 nn n n a q S q         ， 故选项 D错误.故选：AC【答案】AC 11．下列说法正确的是 ( ) A．若二项式 1 2 n x     的展开式中所有项的系数和为 1 128  ，则展开式共有 7项 B．对具有线性相关关系的变量 ,x y，其线性回归方程为 ˆ 3 4y x  ，若一个样本点为  m,2 ，则实数m的值 是 2 第 6 页 共 12 页 C．已知随机变量 X 服从正态分布  2,N   ，若    2 6 1P X P X     ，则 2  D．已知 2 6X Y  ，若  5,0.6X B ，则   4.8D Y  【解析】对于 A，令 1x  ，则展开式所有项系数和为 1 1 2 128 n        ，解得： 7n  ，则展开式共有8项，A 错误；对于 B，样本点  m,2 不一定在回归直线上， m 不一定是 2，B错误； 对于 C，    2 6 1P X P X     ，    2 2 1P X P X      ，    2 6P X P X     ， 6 2 2 2     ，C正确； 对于 D，  5,0.6X B  ，   5 0.6 0.4 1.2D X     ， 2 6X Y  ，      2 6 4 4 1.2 4.8D Y D X D X       ，D正确.故选：CD.【答案】CD 12．已知点  1 1,0F  ，  2 1,0F ，动点 P到直线 2x  的距离为d ， 2 2 2 PF d  ，则 ( ) A．点 P的轨迹是椭圆 B．点 P的轨迹曲线的离心率等于 12 C．点 P的轨迹方程为 2 2 1 2 x y  D． 1 2PF F△ 的周长为定值 4 2 【解析】因为点  1 1,0F  ，  2 1,0F ，动点 P到直线 2x  的距离为d ， 2 2 2 PF d  设动点 P的坐标为  ,x y ，可得   2 21 2 2 2 x y x     ，化简可得 2 2 1 2 x y  ，所以点 P的轨迹为椭圆， 故 AC正确；离心率为 2 2 ce a   ，故 B错误； 1 2PF F△ 的周长为定值 2 2 2 2 2a c   ，故 D错误；故选:AC【答案】AC 三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分. 13．中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设空间站要安排甲、乙等 6名 航天员开展实验，三个实验舱每个至少一人至多三人，则不同的安排方法有__________种． 【解析】若 6名航天员三个实验舱，三个实验舱每个至少一人至多三人， 第 7 页 共 12 页 若每组人数分别为1,2,3，共有 1 2 3 36 5 3 3C C C A 360  种， 若每组人数分别为 2,2, 2，共有 2 2 2 36 4 2 33 3 C C C A 90 A   种， 综上所有不同的安排方法共有360 90 450  .故答案为：450【答案】450 14．甲、乙、丙三人参加某高校举行的自主招生考试，若甲、乙、丙三人通过自主招生考试的概率分别为 1 3 ， 1 3 ， 1 2 ，且三人是否通过考试互不影响，则三人中至少有一人通过考试的条件下，只有丙通过考试的 概率为 ． 【解析】由题可得，三人中至少有一人通过考试的概率 1 1 1 1 71 1 1 1 3 3 2 9 P                         ， 只有丙通过考试的概率 2 1 1 1 21 1 3 3 2 9 P             ，所以三人中至少有一人通过考试的条件下，只有丙通过 考试的概率 2 29 7 7 9 P   ．故答案为： 27【答案】 2 7 15．已知O为坐标原点，直线 l过抛物线 2: 2 ( 0)D y px p  的焦点 F ，与抛物线D及其准线依次交于 , ,A B C 三点（其中点 B在 ,A C之间），若 4, 2AF BC BF  .则 OAB 的面积是__________． 【解析】过点 B作 BM垂直于准线，垂足为M ，过点A作 AN垂直于准线， 垂足为 N，设准线与 x轴相交于点 P，如图， 则 , 4BM BF AN AF   ， 在 MBC 中， 2BC BF ，所以 2BC BM ，所以 30MCB  ， 故在 ANC 中， 2 8AC AN  ，所以 8AC AF CF   ， 则 8 4CF AF   .又CN x 轴， 30MCB  ，所以 1 2 2 PF CF  ， 又抛物线 2: 2D y px ，则 ,0 , ,0 2 2 p pP F           ，所以 2 2 2 p pPF p    ， 所以抛物线 2: 4D y x ，点  1,0F .因为 30MCB  ，所以直线 AB的斜率 3k   ， 则直线  : 3 1AB y x   ，与抛物线方程联立  2 3 1 4 y x y x       ，消 y并化简得 23 10 3 0x x   ， 易得 0  ，设点    1 1 2 2, , ,A x y B x y ，则 1 2 10 3 x x  ， 则 1 2 1 2 10 162 2 2 3 3 p pAB BF AF BM AN x x x x p              ， 又直线  : 3 1AB y x   ，可化为 3 3 0x y   ，则点O到直线 AB的距离 3 3 23 1 d     ， 第 8 页 共 12 页 所以 1 1 16 3 4 3 2 2 3 2 3OAB S AB d     △ .故选：B.【答案】 4 3 3 16．已知   3 , 0 e 3 , 0 x x x f x x x x       ，若关于 x的方程  f x a 有 3个不同实根，则实数 a取值范围为 ． 【解析】当 0x  时，   ex xf x  ，   1 ex xf x   ，当  0,1x 时，   1 0 ex xf x    ，当  1,x  时，   1 0 ex xf x    ，故  f x 在  0,1x 上单调递增，在  1,x  上单调递减， 且   11 e f  ，当 0x  时，   ex xf x  恒为正，当 0x  时，   33 f x x x ，     23 3 3 1 1f x x x x      ， 当  , 1x   时，   23 03   f x x ，当  1,0x  时，   23 03   f x x ， 故  f x 在  , 1x   上单调递减，在  1,0x  上单调递增， 且  1 3 1 2f       ，画出   3 , 0 e 3 , 0 x x x f x x x x       的图象如下： 要想关于 x的方程  f x a 有 3个不同实根，则要函数  y f x 与 y a 有 3个不同的交点即可， 显然当 10, e a      时，符合要求.故答案为： 10, e       【答案】 10, e       四、解答题：本题共 6小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知 3 2 2( ) 3f x x ax bx a    在 1x   时有极值 0． （1）求常数 ,a b的值；（2）求 ( )f x 在区间[ 4,0] 上的最值． 【解析】（1）由题意知： 2( ) 3 6   f x x ax b， 2( 1) 1 3 0 ( 1) 3 6 0 f a b a f a b               ，解得 1 3 a b    或 2 9 a b    ， 当 1, 3a b  时， 2 2( ) 3 6 3 3( 1) 0f x x x x       ， ( )f x 单调递增，无极值，不合题意； 当 2, 9a b  时，  2( ) 3 12 9 3( 1) 3f x x x x x       ，当 3x   或 1x   时， ( ) 0f x  ， ( )f x 单调递增， 当 3 1x    时， ( ) 0f x  ， ( )f x 单调递减，在 1x   时有极值，符合题意；故 2, 9a b  ； （2）由（1）知， 3 2( ) 6 9 4f x x x x    ， ( )f x 在   4, 3 , 1,0   上单调递增，在  3, 1  单调递减， 故 ( )f x 在 3x   取极大值，极大值为 ( 3) 4f   ， ( )f x 在 1x   取极小值，极小值为 ( 1) 0f   ， 又 ( 4) 0f   ， (0) 4f  ，故 ( )f x 的最大值为 4，最小值为 0. 18．（12分）已知 na 是公差不为 0的等差数列，若 1 3 13, ,a a a 是等比数列 nb 的连续三项． 第 9 页 共 12 页 （1）求数列 nb 的公比；（2）若 1 1a  ，数列 1 1 n na a        的前 n和为 nS 且 101 021 0 2n S  ，求 n的最小值． 【解析】（1）设等差数列 na 的公差为d ，由 1 3 13, ,a a a 是等比数列 nb 的连续三项， 得 2 3 1 13a a a  ，即     2 1 1 12 12a d a a d    ，化简得 2 14 8d a d ． 10, 2d d a   ． 设数列 nb 的公比的公比为q，则 3 1 1 1 1 1 1 2 4 5a a d a aq a a a       ． （2）若 1 1a  ，则 1 1 1 1 1 12, 2 1, (2 1)(2 1) 2 2 1 2 1n n n d a n a a n n n n             ， 1 1 1 1 1 2 1 3 3 5 5 7 (2 1) (2 1)n S n n               1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 2 3 3 5 5 7 2 1 2 1 2 2 1 2 1 n n n n n                          ． 由 101 021 0 2n S  ，得 , 1010 2 1 20 10 0 21 1n n n     ，故 n的最小值为 1011． 19．（12分）某车企随机调查了今年某月份购买本车企生产的  *20 Nn n 台新能源汽车车主，统计得到以 下 2 2 列联表，经过计算可得 2 5.556  ． 喜欢 不喜欢 总计 男性 10n 12n 女性 3n 总计 15n （1）完成表格并求出 n值，并判断有多大的把握认为购车消费者对新能源车的喜欢情况与性别有关； （2）采用比例分配的分层抽样法从调查的不喜欢和喜欢新能源汽车的车主中随机抽取 12人，再从抽取的 12人中抽取 4人，设被抽取的 4人中属于不喜欢新能源汽车的人数为 X ，求 X 的分布列及数学期望． 附：         2 2 ( )n ad bc a b c d a c b d       ，其中 n a b c d    .  2P x k 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 第 10 页 共 12 页 【解析】（1）补充表格数据如下： 喜欢 不喜欢 总计 男性 10n 2n 12n 女性 5n 3n 8n 总计 15n 5n 20n 根据数表可得 2 2 20 (3 10 5 2 ) 10 5.556 15 5 12 8 9 n n n n n n n n n n          ，又因为 *Nn ，所以 5n  ； 提出假设 0H ：购车消费者对新能源车的喜欢情况与性别无关，由题意，  2 5.556 5.024,6.635   ， 所以有97.5%的把握认为购车消费者对新能源车的喜欢情况与性别有关 （2）由（1）可知，抽取喜欢新能源汽车有：9人；抽取不喜欢新能源汽车有：3人 由题 X 的可能值为：0,1,2,3     4 0 3 1 9 3 9 3 4 4 12 12 C C C C14 280 , 1 C 55 C 55 P X P X      ，     2 2 1 3 9 3 9 3 4 4 12 12 C C C C12 12 , 3 C 55 C 55 P X P X      所以 X 的分布列为： X 0 1 2 3 P 14 55 28 55 12 55 1 55 X 的数学期望   14 28 12 10 1 2 3 1 55 55 55 55 E X          （人），所以 X 的数学期望 1人. 20．（12分）如图，在正四棱柱 1 1 1 1ABCD ABC D 中， 2AD  ， 1 5AA  ，点 P在棱 1CC 上，且 1AP平面 BDP． （1）求 1 C P CP 的值；（2）若 1C P CP ，求二面角 1A BD P  的余弦值． 【解析】（1）如图，以点D为原点，DA  ，DC  ， 1DD  的方向分别为 x， y， z轴的正方向， 建立空间直角坐标系D xyz ，设CP t  0 5t  ， 则点  0,0,0D ，  2,2,0B ，  1 2,0,5A ，  0,2,P t ． 则  1 2,2, 5A P t    ，  0,2,DP t  ． 因为 1AP平面 BDP， 所以 1AP DP   ， 所以      1 2,2, 5 0,2, 4 5 0A P DP t t t t           ， 解得 1t  或 4t  ． 第 11 页 共 12 页 当 1t  时， 1CP  ， 1 4C P  ， 1 4 C P CP  ；当 4t  时， 4CP  ， 1 1C P  ， 1 1 4 C P CP  ． （2）因为 1C P CP ，由（1）知 1CP  ， 1 4C P  ．平面 PDB的一个法向量为  1 2, 2, 4A P     ． 设平面 1ADB的法向量为  , ,n x y z  ，因为  2, 2,0DB   ，  1 0,2, 5A B    ， 所以 1 2 2 0, 2 5 0, n DB x y n A B y z             令 5y  ，则  5,5,2n    ．所以    1 1 1 2,2, 4 5,5,2 1cos , 32 6 3 6 A P nA P n A P n              ， 由图知，二面角 1A BD P  的平面角为锐角，所以二面角 1A BD P  的余弦值为 1 3 ． 21．（12分）已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0) x yC a b a b     的一个焦点为 (2,0)F ，且离心率为 6 3 ． （1）求椭圆C的方程； （2）不过原点O的直线 :l y x m  与椭圆 C交于 ,A B两点，求 ABO 面积的最大值及此时直线 l的方程． 【解析】（1）由已知得 2c  ，又离心率 6 3 ce a   ，得到 6a  ， 2 2 2 6 4 2b a c     ， 所以椭圆C的方程为 2 2 1 6 2 x y   ． （2）设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ，联立 2 2 1 6 2 x y y x m        ，消 y得 2 24 6 3 6 0x mx m    ， 2 2 236 16(3 6) 12 96 0m m m        ，得到 2 8m  ，由韦达定理得， 2 1 2 1 2 3 3 6, 2 4 m mx x x x     ， 又因为 2 2 2 2 1 12 96 61 2 8 4 2 mAB k x x m        ，又原点到直线的距离为 2 m d  ， 所以 2 2 2 2 21 1 6 3 3 ( 8 )8 (8 ) 3 2 2 2 4 4 22ABO m m mS d AB m m m               ， 当且仅当 2 28m m  ，即 2m   ，满足 2 8m  ， 所以， ABO 面积的最大值为 3，此时直线 l的方程为 2y x  ． 22．（12分）已知函数 ( ) ex mf x x  ． （1）讨论 ( )f x 的单调性； （2）若 1 2x x ，且    1 2 2f x f x  ，证明： 0 em  ，且 1 2 2x x  ． 【解析】（1） ( )f x 的定义域为 R，由题意，得 e( ) 1 e ex x x mf x m    ， xR， 当 0m  时， ( ) 0f x  恒成立， ( )f x 在R上单调递增； 当 0m  ，且当 ( , ln )x m  时， ( ) 0f x  ， ( )f x 单调递减； 当 (ln , )x m  时， ( ) 0f x  ， ( )f x 单调递增．综上，当 0m  时，  f x 在R上单调递增； 当 0m  时，  f x 在区间  , lnm 上单调递减，在区间  ln ,m  上单调递增． 第 12 页 共 12 页 （2）证明：由    1 2 2f x f x  ，得 1x ， 2x 是方程 2ex mx   的两个实数根， 即 1 2,x x 是方程 e (2 )xm x  的两个实数根．令 ( ) e (2 )xg x x  ，则 ( ) e (1 )xg x x   ， 所以当  ,1x  时， ( ) 0g x  ，  g x 单调递增； 当  1x ， 时， ( ) 0g x  ，  g x 单调递减，所以    max 1 eg x g  ． 因为当 x时， ( ) 0g x  ；当 x时， ( )g x  ，  2 0g  ，所以0 em  ． 不妨设 1 2x x ，因为 1x ， 2x 是方程 e (2 ) xm x  的两个实数根，则 1 21 2x x   ． 要证 1 2 2x x  ，只需证 1 22x x  ．因为 1 1x ， 22 1x  ，所以只需证    1 22g x g x  ． 因为    1 2g x g x ，所以只需证    2 22g x g x  ． 今 ( ) ( ) (2 )h x g x g x   ，1 2x  ， 则  2 2( ) ( ) (2 ) e (1 ) e ( 1) (1 ) e ex x x xh x g x g x x x x             2 2e e(1 ) 0 e x xx      在  1, 2 恒成立．所以 ( )h x 在区间 (1, 2)上单调递减，所以 ( ) (1) 0h x h  ，即当1 2x  时， ( ) (2 )g x g x  ． 所以    2 22g x g x  ，即 1 2 2x x  成立． 2023~2024学年度高二年级 第二学期期末复习题(五) 班级 姓名 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．下列求导运算错误的是　 　 A． B． C． D． 2． 在平行六面体中，为的中点，设，，， 则　 　 A． B． C． D． 3．如图是的导函数的图象，则下列说法正确的个数是　 　 ①在区间上是增函数； ②是的极小值点； ③在区间上是增函数，在区间上是减函数； ④是的极大值点. A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．我们将服从二项分布的随机变量称为二项随机变量，服从正态分布的随机变量称为正态随机变量．概率论中有一个重要的结论是棣莫弗一拉普拉斯极限定理，它表明，若随机变量，当n充分大时，二项随机变量Y可以由正态随机变量X来近似，且正态随机变量X的期望和方差与二项随机变量Y的期望和方差相同．棣莫弗在1733年证明了的特殊情形，1812年，拉普拉斯对一般的p进行了证明．现抛掷一枚质地均匀的硬币100次，则利用正态分布近似估算硬币正面向上次数超过60次的概率为　 　（附：若，则，，） A．0.1587 B．0.0228 C．0.0027 D．0.0014 5． 某商品的地区经销商对2023年1月到5月该商品的销售情况进行了调查，得到如下统计表．发现销售量y（万件）与时间x（月）成线性相关，根据表中数据，利用最小二乘法求得y与x的回归直线方程为：． 则下列说法错误的是　 　 时间x（月） 1 2 3 4 5 销售量y（万件） 1 1.6 2.0 a 3 A．由回归方程可知2024年1月份该地区的销售量为6.8万件 B．表中数据的样本中心点为 C． D．由表中数据可知，y和x成正相关 6． 双曲线：的左、右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支在第一象限的交点为，与轴的交点为，且为的中点，若的周长为，则双曲线的渐近线方程为　 　 A． B． C． D． 7．下图是一块高尔顿板示意图：在一块木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为1，2，3，……，6，用表示小球落入格子的号码， 则　 　 A． B． C． D． 8．关于函数， 下列判断错误的是　 　 A．函数的图像在点处的切线方程为 B．是函数的一个极值点 C．当时， D．当时，不等式的解集为 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分. 9．已知直线：，下列说法正确的是　 　 A．直线经过点 B．直线与坐标轴围成的三角形面积是 C．直线与直线的距离是1 D．直线与圆相切 10．已知正项等比数列的公比为，前项和为，则　 　 A． B． C．数列是递减数列 D． 11．下列说法正确的是　 　 A．若二项式的展开式中所有项的系数和为，则展开式共有项 B．对具有线性相关关系的变量，其线性回归方程为，若一个样本点为，则实数的值是 C．已知随机变量服从正态分布，若，则 D．已知，若，则 12．已知点，，动点到直线的距离为，，则　 　 A．点的轨迹是椭圆 B．点的轨迹曲线的离心率等于 C．点的轨迹方程为 D．的周长为定值 3、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设空间站要安排甲、乙等6名航天员开展实验，三个实验舱每个至少一人至多三人，则不同的安排方法有__________种． 14．甲、乙、丙三人参加某高校举行的自主招生考试，若甲、乙、丙三人通过自主招生考试的概率分别为，，，且三人是否通过考试互不影响，则三人中至少有一人通过考试的条件下，只有丙通过考试的概率为 ． 15．已知为坐标原点，直线过抛物线的焦点，与抛物线及其准线依次交于三点（其中点在之间），若.则的面积是________． 16．已知，若关于x的方程有3个不同实根，则实数取值范围为 ． 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知在时有极值0． （1）求常数的值； （2）求在区间上的最值． 18．（12分）已知是公差不为0的等差数列，若是等比数列的连续三项． （1）求数列的公比；（2）若，数列的前和为且，求的最小值． 19．（12分）某车企随机调查了今年某月份购买本车企生产的台新能源汽车车主，统计得到以下列联表，经过计算可得． 喜欢 不喜欢 总计 男性 女性 总计 （1）完成表格并求出值，并判断有多大的把握认为购车消费者对新能源车的喜欢情况与性别有关； （2）采用比例分配的分层抽样法从调查的不喜欢和喜欢新能源汽车的车主中随机抽取12人，再从抽取的12人中抽取4人，设被抽取的4人中属于不喜欢新能源汽车的人数为，求的分布列及数学期望． 20．（12分）如图，在正四棱柱中，，，点在棱上，且平面． （1）求的值； （2）若，求二面角的余弦值． 21．（12分）已知椭圆的一个焦点为，且离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）不过原点的直线与椭圆C交于两点，求面积的最大值及此时直线的方程． 22．（12分）已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若，且， 证明：，且． ( 第 1 页 共 2 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$