第12章 分式和分式方程 单元测验　　2025—2026学年冀教版数学八年级上册

第12章分式和分式方程单元测验 考试范围：分式和分式方程；考试时间：90分钟；满分：100分 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.代数式，，，中，分式的个数是 A. B. C. D. 2.要使分式有意义，则(    ) A.   B.     C. 或 D. 且 3.若分式的值为，则的值是 A. B. C. D. 或 4.、下列各分式中与的值相等的分式是(    ) A.   B.   C.    D. 5.如果把分式中、都扩大到原来的倍，则分式的值    A.  缩小到 B. 扩大到倍 C. 不变 D. 缩小到 6.用换元法解分式方程，若设，则原方程可化为关于的整式方程是(    ) A. B. C. D. 7.分式的化简结果为(    ) A. B. C.          D. 8.解分式方程时，去分母变形正确的是(    ) A. B. C. D. 9.已知是分式方程的解，则实数的值为(    ) A. B. C. D. 10.某工厂接到装配台机器的任务，在装配好台以后，由于采用了新的技术，每天的工作效率是原来的倍，结果共用了天完成任务，求原来每天装配机器的台数。若设原来每天装配机器台，则下列所列方程中符合题意的是  A.   B.    C.       D.    11.货车行驶千米与小车行驶千米所用的时间相同．已知货车每小时比小车少行驶千米，则两车的速度各位多少？设小车的速度为千米时，依题意列方程，正确的是(    ) A. B. C. D. 12.  从甲地到乙地有两条公路，一条是全长公里的普通公路，一条是全长公里的高速公路，某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快公里小时，由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半．如果设该客车由高速公路从甲地到乙地所需时间为小时，那么满足的分式方程是(    ) A.   B.   C.   D.   第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 13.约分：__________ 14.当_________时，分式有意义． 15.年出生人数减年死亡人数的差与年平均人口数的比，叫做年人口自然增长率．如果用表示年出生人数，表示年死亡人数，表示年平均人口数，表示年人口自然增长率，则年人口自然增长率若把公式变形已知、、，求，则 ______． 16.已知，则分式的值为______． 三、计算题：本大题共2小题，共12分。 17.计算：                                      18.先化简，再求值，其中． 四、解答题：本题共5小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题分 当为何值时，去分母解方程会产生增根？ 20.本小题分 先化简，再从、、、中选一个你认为适合的数作为的值代入求值。 21.本小题分 阅读下面题目的计算过程：                                                                                               上面计算过程中哪些步骤有错误，请写出错误步骤的代号________________ 请写出正确的计算步骤： 22.本小题分 阅读下面的材料：方程的解为，；   方程的解为，；方程的解为，；  解答问题：   观察上述方程的解，猜想关于的方程的解是什么？   根据上面的规律，猜想关于的方程的解是什么？   猜想关于的方程 的解，并验证你的结论；   解方程：，并验证． 23.本小题分 为了响应“十三五”规划中提出的绿色环保的倡议，某校文印室提出了每个人都践行“双面打印，节约用纸”。已知打印一份资料，如果用厚型纸单面打印，总质量为，将其改为双面打印，用纸将减少一半；如果用薄型纸双面打印，这份资料的总质量为克，已知每页薄型纸比厚型纸轻，求薄型纸每页的质量墨的质量忽略不计 第4页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12章分式和分式方程单元测验 考试范围：分式和分式方程；考试时间：90分钟；满分：100分 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.代数式，，，中，分式的个数是 A. B. C. D. 【答案】B  【解析】略 2.要使分式有意义，则(    ) A.   B.     C. 或 D. 且 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查的是分式有意义的条件：当分母不为时，分式有意义．是一道比较简单的题目；分式有意义的条件是分母不等于，即可求得  【解答】 解：若分式有意义， 则， 即且， 解得且． 故选D． 3.若分式的值为，则的值是 A. B. C. D. 或 【答案】C  【解析】根据分式等于零的条件：分子等于零且分母不等于零，故   ，所以。故选C。 4.、下列各分式中与的值相等的分式是(    ) A.   B.   C.    D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查了分式的基本性质．这类题目容易出现的错误是把分子，分母的项的符号，特别是首项的符号，当成分子或分母的符号．分式中在分子，分母上同时乘以或除以同一个非的数或式子，分式的值不变．因而在分子的符号，分母的符号，分式本身的符号，三者中同时改变其中的两个，分式的值不变． 【解答】 解：， 故选C． 5.如果把分式中、都扩大到原来的倍，则分式的值    A.  缩小到 B. 扩大到倍 C. 不变 D. 缩小到 【答案】D  【解析】【分析】 本题主要考查了分式的基本性质，解题关键是用到了整体代入的思想把原分式中的、换成、，进行计算，再与原分式比较即可． 【解答】 解：把原分式中的、换成、，则 ，即缩小到． 故选D． 6.用换元法解分式方程，若设，则原方程可化为关于的整式方程是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查了用换元法解分式方程，换元法解分式方程是常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧． 根据原方程的特点，把看作整体，用代替，转化为关于的分式方程，去分母得整式方程． 【解答】 解：依题意，把代入原方程得： ， 方程两边同乘以整理得： ． 故选A． 7.分式的化简结果为(    ) A. B. C.          D. 【答案】C  【解析】【分析】 此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式通分并利用同分母分式的加法法则计算，约分即可得到结果． 【解答】 解：原式  故选C． 8.解分式方程时，去分母变形正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：， 两边同乘最简公分母，得：， 故选：． 将分式方程两边乘以最简公分母，转化为整式方程即可． 本题主要考查解分式方程，解题关键在于利用转化的思想，解分式方程注意要检验． 9.已知是分式方程的解，则实数的值为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】略 10.某工厂接到装配台机器的任务，在装配好台以后，由于采用了新的技术，每天的工作效率是原来的倍，结果共用了天完成任务，求原来每天装配机器的台数。若设原来每天装配机器台，则下列所列方程中符合题意的是  A.   B.    C.       D.    【答案】B  【解析】本题考查分式方程解应用题。 由题意知，装配前台时，每天装配机器台，那么需要的天数为，后来工作效率变为原来的倍，每天装配台，装配了台，那么需要的天数为，所有天数的和为，那么可列出分式方程， 故选B。 11.货车行驶千米与小车行驶千米所用的时间相同．已知货车每小时比小车少行驶千米，则两车的速度各位多少？设小车的速度为千米时，依题意列方程，正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：设小车的速度为千米时，则火车的速度为千米时， 根据题意，可列方程：， 故选：． 设小车的速度为千米时，则火车的速度为千米时，根据“货车行驶千米与小车行驶千米所用的时间相同”可列方程． 本题主要考查根据实际问题列分式方程，由实际问题抽象出分式方程的关键是分析题意找出相等关系． 12.  从甲地到乙地有两条公路，一条是全长公里的普通公路，一条是全长公里的高速公路，某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快公里小时，由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半．如果设该客车由高速公路从甲地到乙地所需时间为小时，那么满足的分式方程是(    ) A.   B.   C.   D.   【答案】D  【解析】【分析】 本题考查的是列分式方程解应用题，正确设出未知数、找出合适的等量关系是解题的关键．设出未知数，根据客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快公里小时，列出方程即可．  【解答】 解：设该客车由高速公路从甲地到乙地所需时间为小时，那么由普通公路从甲地到乙地所需时间为小时， 由题意得，， 故选D． 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 13.约分：__________ 【答案】  【解析】【分析】 本题考查了分式的约分，主要是根据分式的基本性质，要因式分解时，有时要注意运用公式时符号的变化根据约分的步骤找出分子与分母的公分母，再约去即可． 【解答】 解：． 故答案为． 14.当_________时，分式有意义． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义的条件分母，即可求得答案． 【解答】 解：分式有意义， 分母， 即． 故答案为 15.年出生人数减年死亡人数的差与年平均人口数的比，叫做年人口自然增长率．如果用表示年出生人数，表示年死亡人数，表示年平均人口数，表示年人口自然增长率，则年人口自然增长率若把公式变形已知、、，求，则 ______． 【答案】  【解析】【分析】 此题考查了分式的混合运算．注意掌握运算顺序是关键．由，直接去分母，移项，即可求得答案． 【解答】解：， ， ． 16.已知，则分式的值为______． 【答案】  【解析】解：， ，， ． ． 故答案为：． 由已知条件可知，根据分式的基本性质，先将分式的分子、分母同时除以，再把代入即可． 本题主要考查了分式的基本性质及求分式的值的方法，把作为一个整体代入，可使运算简便． 三、计算题：本大题共2小题，共12分。 17.计算：                                      【答案】解：， ； ， ， ， ．  【解析】此题主要考查了分式的加减与乘除运算，正确通分是解题关键． 直接进行约分即可； 先进行因式分解，再进行加减即可． 18.先化简，再求值，其中． 【答案】解：原式． 当时，原式．  【解析】根据分式的加减计算括号内的，然后根据分式的除法进行计算，最后将代入进行计算即可求解． 本题考查了分式的化简求值，掌握分式的运算法则是解题的关键． 四、解答题：本题共5小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题分 当为何值时，去分母解方程会产生增根？ 【答案】解：． 去分母，得， 整理得，， 最简公分母为，  原方程增根为或，  把代入整式方程，，  解得：，  把代入整式方程，，  解得：，  即当或时，分式方程 会产生增根．   【解析】本题考查了分式方程的增根，解决本题的关键是明确：根据分式方程的最简公分母确定增根；化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为的根．有增根，那么最简公分母，所以增根是或，把增根代入化为整式方程的方程即可求出的值． 20.本小题分 先化简，再从、、、中选一个你认为适合的数作为的值代入求值。 【答案】解：原式 ， 把代入原式， 原式．   【解析】本题主要考查的是分式的化简求值问题的有关知识，先将给出的分式进行化简，然后将代入原式，求解即可． 21.本小题分 阅读下面题目的计算过程：                                                                                               上面计算过程中哪些步骤有错误，请写出错误步骤的代号________________ 请写出正确的计算步骤： 【答案】解： ．   【解析】【分析】 本题考查了异分母分式的加减，掌握法则是关键．异分母的分式相加减，先通分化成同分母的分式，再加减．结果要化成最简分式或整式． 从步骤开始错误，错误原因是符号错误； 先通分，再根据分式的减法运算法则计算即可得． 【解答】 解：错误步骤的代号：． 见答案． 22.本小题分 阅读下面的材料：方程的解为，；   方程的解为，；方程的解为，；  解答问题：   观察上述方程的解，猜想关于的方程的解是什么？   根据上面的规律，猜想关于的方程的解是什么？   猜想关于的方程 的解，并验证你的结论；   解方程：，并验证． 【答案】解：猜想方程的解是  ，；  猜想方程的解是  ，； 猜想关于的方程的解为  ，， 理由为： 方程变形得：，即， 依此类推得到解为  ，；  方程变形得： 可得或， 解得：  ，．   【解析】本题考查分式方程的解，正确理解例题，发现方程与解之间的关系：方程的左边与右边的式子形式完全相同，只是左边是未知数，右边是把未知数换成了具体的数，则方程的解是方程右边的两部分，是解题的关键． 观察阅读材料中的方程解过程，归纳总结得到结果； 仿照方程解方程，归纳总结得到结果； 方程变形后，利用得出的规律得到结果即可； 方程变形后，利用得出的规律得到结果即可．  23.本小题分 为了响应“十三五”规划中提出的绿色环保的倡议，某校文印室提出了每个人都践行“双面打印，节约用纸”。已知打印一份资料，如果用厚型纸单面打印，总质量为，将其改为双面打印，用纸将减少一半；如果用薄型纸双面打印，这份资料的总质量为克，已知每页薄型纸比厚型纸轻，求薄型纸每页的质量墨的质量忽略不计 【答案】解：设薄型纸每页的质量为克，则厚型纸每页的质量为克， 根据题意，得： ， 解得：， 经检验：是原分式方程的解，且符合题意， 答：薄型纸每页的质量为克．   【解析】本题主要考查分式方程的应用，根据题意准确找到相等关系并据此列出方程是解题的关键．设薄型纸每页的质量为克，则厚型纸每页的质量为克，然后根据“双面打印，用纸将减少一半”列方程，然后解方程即可． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12章分式和分式方程单元测验 【答案】 1.   2.   3.   4.   5.   6.   7.   8.   9.   10.   11.   12.   13.   14.   15.   16.   17. 解：， ； ， ， ， ．  18. 解：原式． 当时，原式．  19. 解：． 去分母，得， 整理得，， 最简公分母为，  原方程增根为或，  把代入整式方程，，  解得：，  把代入整式方程，，  解得：，  即当或时，分式方程 会产生增根．   20. 解：原式 ， 把代入原式， 原式．   21. 解： ．   22. 解：猜想方程的解是  ，；  猜想方程的解是  ，； 猜想关于的方程的解为  ，， 理由为： 方程变形得：，即， 依此类推得到解为  ，；  方程变形得： 可得或， 解得：  ，．   23. 解：设薄型纸每页的质量为克，则厚型纸每页的质量为克， 根据题意，得： ， 解得：， 经检验：是原分式方程的解，且符合题意， 答：薄型纸每页的质量为克．   第3页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$