第十二章分式和分式方程（期中知识清单）八年级数学上学期新教材冀教版

第十二章 分式和分式方程　知识清单 一、核心知识总结（必背・单元重点） 1. 分式 1.1 分式的定义 一般地，我们把形如 的代数式叫作分式。其中，， 都是整式，且 含有字母。 叫作分式的分子， 叫作分式的分母。 示例：， 的分母不含字母，是整式；，， 的分母都含有字母，是分式。 1.2 分式有意义、无意义的条件 在分数中，分母不能等于 。同样，在分式中，分母也不能等于 ，即当分式的分母等于 时，分式没有意义。 示例：分式 ，当 ，即 时，它有意义；当 ，即 时，它没有意义。 注意：因为 不能做除数，所以只有当分式的分母不为 时，分式才有意义；当分子的值为 而分母的值不为 时，分式的值才等于 。 示例：分式 ，当 时分母 ，此时分式的值为 。 1.3 分式的基本性质 分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于 的整式，分式的值不变。 其中， 是不等于 的整式。 示例：；。类比分数，分式有 （）。 注意：分式的基本性质是分式运算和变形的重要依据，分式的通分、约分等都是利用分式的基本性质进行恒等变形的。 1.4 分式的约分 把分式中分子和分母的公因式约去，叫作分式的约分。 示例：分式 中，分子和分母的公因式为 ，约去这个公因式，得到 。 注意：约分是为了将分式化为最简分式。 1.5 最简分式 分子和分母没有公因式的分式，叫作最简分式。 示例： 是最简分式；， 是最简分式。 注意：分式化简的结果应是最简分式或整式。 2. 分式的乘除 2.1 分式的乘法法则 分式与分式相乘，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。 示例：。 2.2 分式的除法法则 分式除以分式，把除式的分子与分母颠倒位置后，与被除式相乘。 示例：。 注意：分式的除法运算是转化为分式的乘法运算进行的；分式的运算结果要化为最简分式或整式。 3. 分式的加减 3.1 同分母分式的加减法法则 同分母的两个分式相加（或相减），分母不变，把分子相加（或相减）。 示例：。 3.2 分式的通分 把几个异分母分式分别化为与它们相等的同分母分式，叫作分式的通分。这个相同的分母叫作这几个分式的公分母。 示例：把 与 通分，可取 作为它们的公分母。 3.3 最简公分母 几个分式的公分母不止一个，通分时一般选取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫作最简公分母。 示例： 是分式 ， 的公分母，但 是它们的最简公分母。 注意：几个分式通分时，一般选取最简公分母作为通分后分式的分母。 3.4 异分母分式的加减法法则 异分母的两个分式相加（或相减），先通分，化为同分母的分式，再相加（或相减）。 示例：，异分母分式的加减同样先通分再加减。 3.5 分式的混合运算 分式的混合运算，与数的混合运算类似。在进行分式的加、减、乘、除混合运算时，一般要按照运算顺序进行：先算乘除，后算加减；如果有括号，要先算括号内的。 示例： 先通分得 。 4. 分式方程 4.1 分式方程的定义 分母中含有未知数的方程，叫作分式方程。 示例：， 都是分式方程。 4.2 分式方程的解（根） 使得分式方程两边相等的未知数的值，叫作分式方程的解（也叫作分式方程的根）。 示例：把 代入 ，方程左右两边相等，所以 是该分式方程的解。 4.3 增根 当分式方程中某个分式的分母的值等于 （或公分母等于 ）时，分式方程无解，我们把这样的根叫作分式方程的增根。 示例：解 ，去分母解得 ，但当 时 ，分母为 ，方程中的分式无意义，所以 是增根，不是原分式方程的解。 注意：因为解分式方程时可能产生增根，所以，解分式方程必须验根。 4.4 解分式方程的一般步骤 先确定分式方程中各分母的最简公分母，再把分式方程两边都乘最简公分母，将分式方程化为整式方程，然后解这个整式方程，最后经过验根以确定分式方程的解。 示例：解 ：方程两边同乘 ，得 ，解得 ，经检验 是原分式方程的解。 二、二级结论与方法技巧 1. 常用二级推论 1.1 分式的乘方 即分式的乘方，等于分子、分母分别乘方。 1.2 分式的值为 的条件 分式 的值为 ，当且仅当 且 ，两个条件缺一不可。 【使用提醒】求出使分子为 的值后，必须代回检验分母是否同时为 ，分母为 时应舍去。 1.3 分式值为正、为负的判定 当且仅当 、 同号； 当且仅当 、 异号。 1.4 分式的符号法则 分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任意两个，分式的值不变，即 。 1.5 约分后分母为 即得整式 分子、分母的公因式约尽后，若分母化为 （不含字母），则结果为整式；否则结果为最简分式。 1.6 求最简公分母的方法 取各分母系数的最小公倍数为系数，取各分母所有字母（或含字母的因式）的最高次幂的乘积，即为最简公分母。 2. 解题方法与操作步骤 2.1 验根的方法 把整式方程的解代入最简公分母：使公分母为 的是增根，舍去；不为 的再代回原分式方程检验两边是否相等。如 解得 ，代入 得 ，是增根，舍去。 2.2 分式化简求值的步骤 先化简（约分、通分、乘除统一为乘法），再代入求值。能先化简的一定先化简，避免直接代入造成繁复运算。如已知 ，，求 的值，先约分得 再代入更简。 2.3 约分的一般步骤 分子、分母都是单项式或因式乘积时，直接约去公因式；分子或分母是多项式时，先分解因式再约去公因式。如 。 2.4 通分的一般步骤 先确定异分母分式的最简公分母，再分别把它们化为同分母的分式。如 的最简公分母为 。 2.5 列分式方程解应用题的步骤 审题找等量关系 → 设未知数 → 列分式方程 → 解方程 → 验根（既检验是否为增根，又检验是否符合实际意义）→ 作答。如工程问题设工作时间为 ，据“效率提高 提前 个月完工”列 。 3. 大小比较 / 化简 / 运算小技巧 技巧 要点 示例 乘除统一为乘法 除法先把除式分子、分母颠倒位置化为乘法，再统一约分 约分前先分解因式 分子、分母为多项式时先提公因式、套公式分解，再约公因式 通分取最简公分母 取各分母所有因式的最高次幂的积，避免盲目相乘 互为相反数的因式先统一符号 与 相差一个负号，先化成同号再运算 整体代入求值 已知某整式的值时，把目标式凑成该整式整体代入 已知 ，则 裂项相消 ，累加时逐项相消 4. 常见考试模型 4.1 工程问题模型 公式：设工作总量为 （或某确定总量），若原计划用 天完成，则工作效率为 ；效率提高 后为 ，据“提前”列方程 。 限定：时间、效率均为正；解得的天数须使各量有意义。 示例：如 ，解得 ，即原计划 个月完成。 4.2 行程问题模型（顺流、逆流） 公式：路程 速度 时间；顺流速度 静水速度 水流速度，逆流速度 静水速度 水流速度。 限定：速度、时间均为正，水流速度小于静水速度。 示例：如顺水航行 千米与逆水航行 千米时间相等，设水流速度为 ，列 ，解得 。 4.3 销售、折扣问题模型 公式：设原价为 ，销售额 单价 数量；打折后单价 原价 折扣率（如八五折为 ）。 限定：售价高于进价、数量为正，不合题意的根舍去。 示例：如按八五折比按原价每月多卖 件、销售额增加 元，列 ，解得 。 三、章节高频易错点 + 错解 / 正解对比 易错点 1：判断分式时误把 当字母 典例：下列代数式：，，， 中，是分式的有哪些？ 错解： 的分母含有字母，所以 和 都是分式。 正解： 是圆周率，是一个具体的数，不是字母。，， 的分母都不含字母，是整式；只有 的分母含有字母，是分式。 原因：概念理解错误。分式定义的核心是“分母含有字母”，学生常把 误当成字母，或仅凭“有没有分数线”判断，忽略了“分母必须含字母”这一关键条件。判定分式只看分母是否含字母，与分子无关。 易错点 2：分式有意义与分式值为 的条件混淆 典例：当 为何值时，分式 的值为 ？ 错解：令分子 ，得 ，所以当 时分式的值为 。 正解：令分子 ，得 ；但当 时，分母 ，分式无意义，所以该分式的值不可能为 ，本题无解。 原因：忽略隐含条件。分式的值为 必须同时满足“分子为 ”和“分母不为 ”两个条件，学生只盯着“分子为 ”这一个条件，忘记代回检验分母，把“分式有意义”和“分式值为 ”混为一谈。 易错点 3：约分时把“和差”当公因式约去 典例：化简 。 错解：分子、分母同时约去 ，得 。 正解： 与 没有公因式，不能约分， 已经是最简分式。 原因：概念理解错误。约分只能约去分子、分母的“公因式”（乘积中的因子）， 在 、 中是“加数”而不是“因式”，不能约。学生把分数约分（如 约公因数 ）错误地迁移成“分子、分母含有相同字母就能约”。 易错点 4：解分式方程去分母时漏乘不含分母的项 典例：解方程 。 错解：两边同乘 ，得 ，所以 。 正解：两边同乘 ，得 ，即 ，解得 。检验： 时 ，所以 是原方程的解。 原因：方法错误。去分母时“两边同乘最简公分母”是对等式两边每一项都乘，学生只乘了分式项，漏乘了不含分母的整式项 ，导致等式右边少乘一个 ，解出错解。 易错点 5：解分式方程不验根，把增根当成方程的解 典例：解方程 。 错解：两边同乘 ，得 ，解得 ，所以方程的解是 。 正解：解得 ，检验：当 时 ，所以 是增根，原分式方程无解。 原因：遗漏验根。解分式方程去分母时，未知数的取值范围可能被扩大，去分母后整式方程的根若使最简公分母为 ，就是增根，必须舍去。学生缺少“解分式方程必须验根”的意识，解完就直接作答。 易错点 6：异分母分式相减，分子忘记整体变号 典例：计算 。 错解：。 正解：。 原因：符号处理错误。异分母分式相减时，分子相减是“减去一个整体”，去括号要变号：。学生漏掉括号或忘记把 变号成 ，只对 变号。这类错误源于对“减去整式”的理解不到位，是分式加减中最常见的符号错误。 学科网（北京）股份有限公司 $