精品解析：山东省潍坊市2024-2025学年下学期八年级7月学科素养展示数学试题

义务教育学科素养展示 八年级数学试题 注意事项： 1．本试题分三部分．共120分．考试时间为120分钟． 2、答卷前务必将试题密封线内及答题卡上面的项目填涂清楚．所有答案都必须涂、写在答题卡相应位置，答在本试卷上一律无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 3．填空题只写最后结果，单选每题3分，多选每题5分，填空每题5分，解答题需要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 一、知识应用创新 1. 的平方根是（ ） A. B. C. D. 2. 的末位数字是（　　） A. 1 B. 3 C. 7 D. 9 3. 分式方程的解为正数，则的取值范围（　　） A. B. 且 C. D. 且 4. 已知为直线上的三个点，且，以下判断正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 在平面直角坐标系中，已知点，直线与线段有交点，则的取值范围为（　　） A. 或 B. 且 C. D. 6. 下图是由四个大小不同的等边三角形和三个大小不同的圆组成的图案．已知最大等边三角形的面积为128，则图中最小等边三角形（阴影部分）的面积是（　　） A. 2 B. C. 4 D. 8 7. 如图，分别是的高，为的中点，，则面积的最大值是（　　） A. B. C. D. 8. 不等式组所有整数解的和为，则整数的值可能是（　　） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、思维开放探索 9. 正方形内有一点，若，，则面积为___________． 10. 如图，中，，，点是斜边上的一点， ，过点作一个直角，交边分别于点，则 ___________． 11. 如图，矩形的长，宽，顶点两点分别在轴的正半轴上滑动，，两点在第一象限，则的最大值是___________． 12. 如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，点，在轴上；都是等腰直角三角形，依次类推，若已知点，则点的纵坐标是___________． 13. 一次函数与轴交于点，将一次函数绕点顺时针旋转得到新的一次函数关系式为___________． 三、素养能力拓展 14. 计算：． 15. 如图，作业本上有这样一道填空题，其中有一部分被墨水污染了，若该题化简的结果为． (1)求被墨水污染的部分； (2)原分式的值能等于吗？为什么？ 16. 倡导垃圾分类，共享绿色生活．为了对回收的垃圾进行更精准的分类，某机器人公司研发出型和型两款垃圾分拣机器人，每台型、型机器人每小时分栋垃圾分别为0.4吨和0.2吨． （1）某垃圾处理厂计划向机器人公司购进一批型和型垃圾分栋机器人，这批机器人每小时一共能分拣垃圾20吨．设购买型机器人台（），型机器人台，请求出关于的函数解析式； （2）机器人公司的报价如下表： 型号 原价 购买数量少于30台 购买数量不少于30台 型 20万元/台 原价购买 每台打九折 型 12万元/台 原价购买 每台打八折 在（1）的条件下，设购买走费用为万元，问如何购买型和型机器人，使得购买总费用最少？请说明理由． 17. 如图，等腰中，，点是线段上的一点，且，，求的值． 18. 平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点． （1）求直线的表达式和点的坐标； （2）点是直线上一动点，当的面积与的面积相等时，求点的坐标； （3）若点是直线上方第一象限内的动点，当为等腰直角三角形时，请直接写出点的坐标． 19. “数形结合思想”是数学中重要的思维方法，核心是将抽象的数学语言与几何直观结合起来． 例如，欲求的最小值，我们可以借助图求得原代数式的最小值为． 请仿照以上方法，求的最小值． 20. 在中，，点D是边上一点（不与端点重合），连接．将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接． （1）如图1，，，求的度数； （2）如图2，，，过点作，交的延长线于，连接．点是的中点，点是的中点，连接，．用等式表示线段与的数量关系并证明： （3）如图3，，，，连接，．点从点移动到点过程中，将绕点逆时针旋转得线段，连接，作交的延长线于点．当取最小值时，在直线上取一点，连接，将沿所在直线翻折到所在的平面内，得，连接，，，当取最大值时，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 义务教育学科素养展示 八年级数学试题 注意事项： 1．本试题分三部分．共120分．考试时间为120分钟． 2、答卷前务必将试题密封线内及答题卡上面的项目填涂清楚．所有答案都必须涂、写在答题卡相应位置，答在本试卷上一律无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 3．填空题只写最后结果，单选每题3分，多选每题5分，填空每题5分，解答题需要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 一、知识应用创新 1. 的平方根是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平方根和算术平方根的定义，熟练掌握平方根和算术平方根的定义是解题的关键．先根据算术平方根的定义化简，再根据平方根的定义即可解答． 【详解】解：， 的平方根是． 故选：D． 2. 的末位数字是（　　） A. 1 B. 3 C. 7 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题关键是熟练掌握幂的乘方法则和二次根式的性质与化简． 将原式化简为，分别计算两个幂的末位数字，再求和． 【详解】解：，， ∴的末位数字依次是：，每 4 个为一组循环， ， ∴的末位数字为4， ， ∴的末位数字依次是：，每 4 个为一组循环， ， ∴的末位数字是3 ， ∴的末位数字为：， 故选：C． 3. 分式方程的解为正数，则的取值范围（　　） A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了根据分式方程的解的情况求参数，先把原方程去分母化为整式方程，再求出方程的解，最后根据分式方程的解为正数且原方程不能有增根列式求解即可． 【详解】解： 去分母得：， 解得， ∵分式方程的解为正数， ∴， ∴， ∵原方程不能有增根， ∴， ∴， ∴， ∴且， 故选：B． 4. 已知为直线上的三个点，且，以下判断正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的增减性，掌握一次函数的增减性成为解题的关键． 根据一次函数的增减性，逐项分析判断即可解答． 【详解】解：在直线中，，故随增大而减小．由，得． A．若，则、同号．当两者均为正时，，此时可能为负，导致，故A错误，不符合题意； B．若，则，．若，则可能为负，导致，故B错误，不符合题意； C．若，则、同号．当两者均为正时，可能为负，此时而，导致，故C错误，不符合题意； D．若，则，．由，得，故，，因此，D正确，符合题意． 故选D． 5. 在平面直角坐标系中，已知点，直线与线段有交点，则的取值范围为（　　） A. 或 B. 且 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与线段相交求参数问题，理解经过两点求得的是的最值是解题的关键． 先确定直线过定点，要使直线与线段有交点，分别将点的坐标代入，求得的值，即可求解． 【详解】解：依题意，直线可变形为， ∴因此直线恒过定点， 则将点代入方程，得，解得； 将点代入方程，得，解得； ∴的取值范围为或， 故选：A 6. 下图是由四个大小不同的等边三角形和三个大小不同的圆组成的图案．已知最大等边三角形的面积为128，则图中最小等边三角形（阴影部分）的面积是（　　） A. 2 B. C. 4 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，等边三角形的内接圆与外接圆的性质，相似三角形的性质与判定，设等边的外接圆圆心为O，过点O作于D，连接，可证明，，则等边的边长是其内接圆半径的倍，等边的外接圆半径是其内接圆半径的2倍；设最小的圆的半径为，则第二大的圆的半径为，则最大的圆的半径为，则最大的等边三角形的边长为，最小的等边三角形的边长为，则可得最大的等边三角形的边长是最小的等边三角形的边长的8倍，根据最大的等边三角形与最小的等边三角形相似，得到最大的等边三角形与最小的等边三角形的面积之比为，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，设等边的外接圆圆心为O，过点O作于D，连接， ∴， ∵， ∴，， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴等边的边长是其内接圆半径的倍，等边的外接圆半径是其内接圆半径的2倍， 如题干图所示，设最小的圆的半径为，则第二大的圆的半径为，则最大的圆的半径为， ∴最大的等边三角形的边长为，最小的等边三角形的边长为， ∴最大的等边三角形的边长是最小的等边三角形的边长的8倍， ∵最大的等边三角形与最小的等边三角形相似， ∴最大的等边三角形与最小的等边三角形的面积之比为， ∵最大等边三角形的面积为128， ∴图中最小等边三角形（阴影部分）的面积是2， 故选：A． 7. 如图，分别是的高，为的中点，，则面积的最大值是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质、勾股定理、完全平方公式、不等式的性质，结合、分别是的高，可得，设，，用a、b表示出、和的面积，再在中利用勾股定理，整理得到，再结合得到，即可解答． 【详解】解：、分别是的高， ， ， ， ，， 设，，则，， ，， ， ， ， 在中，， ， 整理得：， ， ， ， ， 解得：， ， 面积的最大值为． 故选：C． 8. 不等式组所有整数解的和为，则整数的值可能是（　　） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根据不等式组的解的情况求参数的值，分别解两个不等式，求出不等式组的解集，在根据整数解和为求出的取值范围，进而确定整数的值即可求解，正确求出不等式组的解集是解题的关键． 【详解】解：解不等式 ，得， 解不等式 ，得， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组所有整数解的和为， ∴或， 解得或， ∴整数的值是， ∴整数的值可能是个， 故选：． 二、思维开放探索 9. 正方形内有一点，若，，则面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，过点分别作的垂线，垂足分别为，延长交于点，则四边形是矩形，证明得出，根据勾股定理得出，即可得出，进而即可求得面积． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴ 如图所示，过点分别作的垂线，垂足分别为，延长交于点，则四边形是矩形， ∴ 设，，则， ∵， ∴， ∴ ∴ ∴即 在中，，即 ∴ ∴面积为 故答案为：． 10. 如图，中，，，点是斜边上的一点， ，过点作一个直角，交边分别于点，则 ___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，矩形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理；过点分别作的垂线，垂足分别为，证明，得出，根据，设，则，进而分别求得的长，即可求解． 【详解】解：如图，过点分别作的垂线，垂足分别为， 又∵， ∴ ∴四边形是矩形 ∴， ∵ ∴， ∴ ∴ ∵ 设，则 ∵中，，， ∴， 在中， ∴ ∴ 在中，， ∴， 故答案为：． 11. 如图，矩形的长，宽，顶点两点分别在轴的正半轴上滑动，，两点在第一象限，则的最大值是___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理；取的中点，连接，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得出，进而勾股定理求得，根据，即可求解． 【详解】解：如图，取的中点，连接 ∵矩形的长，是的中点， ∴， ∵， 在中，， ∵ ∴的最大值为， 故答案为：． 12. 如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，点，在轴上；都是等腰直角三角形，依次类推，若已知点，则点的纵坐标是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数规律探究，等腰直角三角形的性质，勾股定理；设点、的纵坐标分别为、，先求出，再根据等腰直角三角形的性质、结合函数解析式求解即可． 【详解】解：设点、的纵坐标分别为、， ∵在直线上， ∴， ∴． ∵是等腰直角三角形，， ∴，，则 ∵是等腰直角三角形， 设，代入，得：， 解得： ； 设，代入，得： 解得： …… 依次类推，的纵坐标为 ． ∴点的纵坐标是 故答案为：． 13. 一次函数与轴交于点，将一次函数绕点顺时针旋转得到新的一次函数关系式为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的性质、旋转的性质、全等三角形的判定和性以及待定系数法求解析式，解题的关键是由旋转得到相应的几何关系，并求得点的坐标．设一次函数与轴交于点，设旋转后的直线为，过点作交于点，作轴于点，证明，得出，进而待定系数法求解析式，即可求解． 【详解】解：设一次函数与轴交于点，设旋转后的直线为，过点作交于点，作轴于点， 当时，，当时，，则， ∴， ，则为等腰直角三角形，则，， ，， ， ，， ， 在，，则点， 设直线AM的表达式为， ∴ 解得： ∴旋转后的一次函数为： 故答案为：． 三、素养能力拓展 14. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】利用二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算法则是解答本题的关键． 15. 如图，作业本上有这样一道填空题，其中有一部分被墨水污染了，若该题化简的结果为． (1)求被墨水污染的部分； (2)原分式的值能等于吗？为什么？ 【答案】(1)x-4；(2)不能，见解析. 【解析】 【详解】试题分析：（1）设被墨水污染的部分是A，计算即可得到结论； （2）令，解得x=4，而当x=4时，原分式无意义，所以不能． 试题解析：解：（1）设被墨水污染的部分是A，则，解得：A= x-4； （2）不能，若，则x=4，由原题可知，当x=4时，原分式无意义，所以不能． 16. 倡导垃圾分类，共享绿色生活．为了对回收的垃圾进行更精准的分类，某机器人公司研发出型和型两款垃圾分拣机器人，每台型、型机器人每小时分栋垃圾分别为0.4吨和0.2吨． （1）某垃圾处理厂计划向机器人公司购进一批型和型垃圾分栋机器人，这批机器人每小时一共能分拣垃圾20吨．设购买型机器人台（），型机器人台，请求出关于的函数解析式； （2）机器人公司的报价如下表： 型号 原价 购买数量少于30台 购买数量不少于30台 型 20万元/台 原价购买 每台打九折 型 12万元/台 原价购买 每台打八折 在（1）的条件下，设购买走费用为万元，问如何购买型和型机器人，使得购买总费用最少？请说明理由． 【答案】（1）y=-2x+100（10≤x≤35）； （2）A型号机器人35台，购买B型号的机器人30台时，购买的总费用最少，最少为918万元；理由见详解 【解析】 【分析】（1）设1台A型机器人和1台B型机器人每小时各分拣垃圾x吨和y吨，根据题意列出方程组，变形和求出答案； （2）分10≤x＜30和30≤x≤35两种情况，列出w与x的函数关系式，再根据一次函数的性质可求出答案． 【小问1详解】 根据题意得：0.4x+0.2y=20， ∴y=-2x+100， 则：y=-2x+100（10≤x≤35）； 【小问2详解】 当10≤x＜30时， 由y=-2x＋100知此时40＜y≤80， ∴w=20x＋0.8×12（100－2x）=0.8＋960， ∵w＞0， ∴w随x的增大而增大， ∴当x=10时，此时w有最小值，最小值为0.8×10＋960=968（万元）， 当30≤x≤35时，可得30≤y≤40， ∴w=0.9×20x＋0.8×12（100-2x）=-1.2x＋960， ∵-1.2＜0， ∴w随x的增大而减小， ∴当x=35是，购买总费用w最少， 此时y=-2x＋100=-2×35＋100=30， 答：购买A型号机器人35台，购买B型号的机器人30台时，购买的总费用最少，最少为918万元． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解题的关键是正确找出题目中的等量关系，从而得到y与x的函数解析式以及分类思想的应用． 17. 如图，等腰中，，点是线段上的一点，且，，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，过点作交的延长线于点，过点作于点，证明，设，则，勾股定理求得，进而求得，，即可求解． 【详解】解：如图，过点作交的延长线于点，过点作于点， ∴ ∴ 设， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴ ∴ 在中， ∴ ∵ ∴ ∴ 18. 平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点． （1）求直线的表达式和点的坐标； （2）点是直线上一动点，当的面积与的面积相等时，求点的坐标； （3）若点是直线上方第一象限内的动点，当为等腰直角三角形时，请直接写出点的坐标． 【答案】（1），点 （2）点的坐标是或 （3）点的坐标是或或 【解析】 【分析】本题考查一次函数综合应用，矩形的判定和性质，全等三角形的性质与判定，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形，利用全等三角形对应边相等解决问题． （1）把的坐标代入直线的解析式，即可求得的值，然后在解析式中，令，求得的值，即可求得的坐标； （2）过点作，垂足为，求得的长，即可求得和的面积，二者的和即可表示，再根据的面积与的面积相等列方程即可得答案； （3）分三种情况：当为直角顶点时，过作轴于，过作于，由，可得①，②，即得；当为直角顶点时，过作轴于，由，可得，当为直角顶点时，过作轴于，同理可得． 【小问1详解】 解：直线交轴于点，交轴于点， ， ， 直线的解析式是． 当时，， 点； 【小问2详解】 解：如图1，设直线与直线的交点为，过点作，垂足为，则有， 设， 时，， ， ， ， 由点，可知点到直线的距离为1，即的边上的高长为1， ， ； 的面积与的面积相等， ， 解得或， 或； 【小问3详解】 解：当为直角顶点时，过作轴于，过作于， 如图2： 为等腰直角三角形， ，， ， ， ，， ， 四边形是矩形， ，①， ②， 由①②解得，， ， ； 当为直角顶点时，过作轴于，如图 为等腰直角三角形， ，， 而， ， ，， ， ， 当为直角顶点时，过作轴于，如图 同理可证， ，， ， 综上所述，坐标为：或或． 19. “数形结合思想”是数学中重要的思维方法，核心是将抽象的数学语言与几何直观结合起来． 例如，欲求的最小值，我们可以借助图求得原代数式的最小值为． 请仿照以上方法，求的最小值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，旋转的性质，坐标与图形，等边三角形的性质，本题可先对原式中的根式进行变形，然后借助几何图形，利用两点之间线段最短来求解最小值，本题通过对根式变形，设，，，，则，，，所以原式的值为，进而转为费马点问题，将绕点逆时针旋转得到，连接，则是等边三角形，当四点共线时，取得最小值，最小值为的长，求得，进而根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：∵ 设，，， 则，，， 所以原式的值为的长， 如图，将绕点逆时针旋转得到，连接，则是等边三角形， ∴ ∵，如图，过点作轴，则 ∴， ∴ ∴ ∴ ∴当四点共线时，取得最小值， 最小值为 即的最小值为 20. 在中，，点D是边上一点（不与端点重合），连接．将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接． （1）如图1，，，求的度数； （2）如图2，，，过点作，交的延长线于，连接．点是的中点，点是的中点，连接，．用等式表示线段与的数量关系并证明： （3）如图3，，，，连接，．点从点移动到点过程中，将绕点逆时针旋转得线段，连接，作交的延长线于点．当取最小值时，在直线上取一点，连接，将沿所在直线翻折到所在的平面内，得，连接，，，当取最大值时，请直接写出的面积． 【答案】（1） （2） 解：，理由如下： 如图，连接，， ∵，， ∴， 由旋转知，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵点是的中点，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∵点是的中点，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 即； （3） 【解析】 【分析】（1）利用，，得出是等边三角形，得出．由旋转得，则可求出，再利用外角即可求解； （2）连接，，利用，，得，证明，得，，得出，再证明，得出，可得，，再通过点是的中点，和点是的中点，证明，，通过证明是等腰直角三角形，即可得出； （3）取中点，中点，连接，，，通过证明，得出，由点为固定点，，得点在过点且垂直于的直线上运动，由点到直线的最短距离可得，当取最小值时，即垂直于点运动轨迹的直线，即点和点重合时，最小， 此时，由翻折可知，则点的轨迹为以点为圆心，为半径的圆，由点到圆上一点的最大距离可知当、、依次共线时，取最大值，此时，连接，过点作于点，过点作于点，证明，得出，，通过证明，得出，，再计算出，，即可求出，则，通过，求出， 可求出，则利用即可求出． 【小问1详解】 解：∵，， ∴是等边三角形， ∴． 由旋转得， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：取中点，中点，连接，，， ∵，， ∴，，， ∴， ∵是中点， ∴， ∴， 由旋转知，， ∴是等边三角形，， ∴， ∴， ∴， 由点为固定点，，得点在过点且垂直于的直线上运动， 由点到直线的最短距离可得，当取最小值时，即垂直于点运动轨迹的直线， 即点和点重合时，最小， 此时如图， 由翻折可知， ∴点的轨迹为以点为圆心，为半径的圆， 由点到圆上一点的最大距离可知当、、依次共线时，取最大值， 此时如图，连接，过点作于点，过点作于点， 由旋转知，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵，，， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∵为中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，三角形内角和定理和外角性质，熟练掌握这些性质与判定是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $