山东省济南市天桥区2024-2025学年七年级下学期期末数学试卷　

( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( 学校 :___________ 姓名： ___________ 班级： ___________ 考号： ___________ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) 绝密★启用前 2024-2025学年山东省济南市天桥区七年级（下）期末 数学试卷 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.第届世界乒乓球锦标赛于年月日至日在卡塔尔多哈举办，我国乒乓球运动员在比赛中取得优异成绩，下列世乒赛标识中，是轴对称图形的是(    ) A. B. C. D. 2.我国在广东省江门市新建的中微子实验室主体部分将于年月正式运行，中微子的空间范围至少是，数据用科学记数法可表示为(    ) A. B. C. D. 3.下列运算中，正确的是(    ) A. B. C. D. 4.为估计池塘两岸、间的距离，如图，小明在池塘一侧选取了一点，测得，，那么的距离不可能是(    ) A. B. C. D. 5.有下列说法 在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种； 平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行； 同角或等角的补角相等； 其中正确的有(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 6.某学习小组做抛掷一枚瓶盖的实验，整理的实验数据如表： 累计抛掷次数 盖面朝上次数 盖面朝上频率 随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近于精确到． A. B. C. D. 7.如图，一根垂直于地面的木杆在一次强台风中于离地面处折断倒下，木杆顶端落在距离木杆底端处的地面上，这根木杆在折断前的高度为(    ) A. B. C. D. 8.从便携折叠椅中抽象出的图形如图所示，若，，，则的度数为(    ) A. B. C. D. 9.如图，已知，点，，，在射线上，点，，，在射线上，，，，均为等边三角形，若，则的边长为(    ) A. B. C. D. 10.如图，四边形是长方形，动点从出发，以厘米秒的速度沿着运动至点停止．记点的运动时间为秒，的面积为平方厘米，其中与的函数关系如图所示，那么下列说法错误的是(    ) A. 厘米 B. 长方形的周长为厘米 C. 当秒时，平方厘米 D. 当平方厘米时，秒 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 11.计算： ______． 12.如图所示的是一个可以自由转动的转盘转动转盘，当转盘停止时，指针落在灰色区域的概率是______． 13.汽车开始行驶时，油箱中有油升，如果每小时耗油升，则油箱内余油量升与行驶时间小时的关系式为______． 14.如图，在直角中，，以为边作，满足，点为上一点，连接，，有下列结论：；；；若，则其中正确结论的序号是______． 三、解答题：本题共10小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 计算：． 16.本小题分 先化简，再求值：，其中． 17.本小题分 已知直线，被直线所截，点为与的交点，于点，，，求证：请完成下面的证明过程： 证明：已知， ____________ 又已知， ______ ____________ ______ 又已知， ____________ ____________ 18.本小题分 如图，点，，，在一条直线上，，若______，则请从；；这三个选项中选择一个作为条件，使结论成立，并说明理由． 19.本小题分 振华超市想通过促销来吸引顾客，设立了一个如图的翻奖牌图中的奖牌对应的奖品如图所示，翻到“谢谢惠顾”不得奖，翻到金额数则获得相应的购物券，并规定：顾客一次购买不少于元的商品，就能获得一次翻奖牌的机会． 某顾客购物消费了元，获得一次翻奖牌的机会则该顾客获得元购物券的概率是______；获得元购物券的概率是______；不获奖的概率是______；3分 此商场某天有名顾客参与抽奖，请你估计一下抽到元消费券的大约有多少人？5分 20.本小题分 周末，数学兴趣小组来到广场做活动课题，并制作如下实践报告： 活动课题 风筝离地面垂直高度探究 问题背景 风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已多年，相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源． 测量数据 假设风筝放飞时风筝线在空中被拉直线段勘测组测量了相关数据，并画出如图的示意图，测得人放风筝的手与风筝的水平距离的长为米，风筝线的长为米，牵线放风筝的手到地面的距离为米． 数据处理组得到数据以后做了认真分析，请帮助他们完成以下任务： 根据测量所得数据，计算出风筝离地面的垂直高度；3分 如果风筝沿方向下降了米，的长度保持不变，求要回收多少米的风筝线？6分 21.本小题分 如图，的顶点，，都在正方形的格点上，利用网格线按下列要求解答： 作图：关于直线的对称图形；2分 若网格上的每个小正方形的边长为，求的面积；3分 在直线上求作一点，使点，点到它的距离之和最小保留作图痕迹．5分 22.本小题分 某快递公司开展“快递员提升配送效率”活动，要求快递员也要注意安全驾驶快递员小李骑电动车去派送快递，他行驶了一段时间后，想起要去附近的便利店取个包裹，于是又折回到刚经过的便利店，取到包裹后继续前往派送点，直到抵达派送点如图是他本次所用的时间与出发地距离的关系示意图，根据图中提供的信息回答下列问题： 图中自变量是______；1分 出发地到派送点的距离是______米，小李在便利店停留了______分钟；2分 整个送快递的过程中，小李的最快速度是______米分钟；3分 当快递员小李距离派送点米时，请直接写出小李所用时间．4分 23.本小题分 数学课上，在复习“三角形”这一章时，老师提出如下问题：如图，在中，，为的角平分线，点为角平分线上的一点并在包括点，不包括点上运动，过点向边作垂线，垂足为，请你猜想在点运动过程中，，，的数量关系，并说明理由． 一组同学通过画图的方式探究点运动到点时的情况如图，尝试改变，，具体的数值求的值，对应值如下： 度 度 度 由表中数据可得， ______， ______；2分 二组同学受到启发，开始研究点在线段上不包括端点、运动时的情况如图，很快发现了，，之间的数量关系：______；2分 三组同学提出：如果点在直线上不包括点、运动如图，，，之间有什么样的数量关系呢？请你帮助他们解答并证明．8分 24.本小题分 如图，在中，，，若点是延长线上一点，连接，以为腰作等腰直角，且，，连接． 求证：≌；3分 试说明：；3分 如图，当点是延长线上一点改成点是直线上一点，其它条件不变，连接，若，，请直接写出的值．6分 第6页，共7页 第7页，共7页 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根据三角形的三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得，再解即可． 此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和． 5.【答案】  【解析】解：同一平面内，两条直线的位置关系有：相交和平行，垂直是相交的特殊，故说法错误； 平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故说法正确； 过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，故说法正确； 同角或等角的补角相等，故说法正确， 故正确的说法有个． 故选：． 根据补角定义，平行线的性质，平行公理逐个判断即可． 本题考查了补角定义，垂线的性质，平行公理等知识点，能熟记知识点的内容是解此题的关键． 6.【答案】  【解析】解：由表中数据可得：随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近， 故选：． 根据图表中数据可知，随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近解答本题即可． 本题考查了利用频率估计概率，解题的关键是能够仔细观察表格并了解：现随着实验次数的增多，频率逐渐稳定到某个常数附近，可用这个常数表示概率． 7.【答案】  【解析】解：如图，由题意得：，， 设折断部分的高度为， 在直角三角形中，由勾股定理，得：， 木杆折断之前的高度为：； 故选：． 设折断部分的高度为，利用勾股定理进行求解即可． 本题考查勾股定理的应用，解答本题的关键是熟练运用勾股定理解决问题． 8.【答案】  【解析】解：，， ， 是的外角，， ， ， 故选：． 根据两直线平行，内错角相等得出的度数，再根据三角形外角的性质即可求出的度数，最后根据对顶角的性质即可求出的度数． 本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，对顶角、邻补角，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 9.【答案】  【解析】解：为等边三角形， ，， ， ， ， ， 同理可得， ， ， ， 的边长：， 故选：． 由等边三角形的性质得到，，再由三角形外角的性质求出，则，同理得，，，由此得出规律，即可求解． 本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、规律型等知识，熟练掌握等边三角形的性质，找出规律是解题的关键． 10.【答案】  【解析】解：时，的面积越来越大， 时，动点在上运动， 厘米． 时，的面积不变， 时，动点在上运动， 厘米． 选项正确，不符合题意． 长方形的周长厘米， 选项正确，不符合题意． ， 当秒时，动点在上运动，平方厘米， 选项正确，不符合题意． ， 平方厘米时，点在或上， 当点在上时， ， 解得：， 当点在上时， ， 解得：， 平方厘米时，或． 选项错误，符合题意． 故选：． 通过图发现：、、时，的面积为的变化趋势发生变化得到长方形的长和宽，从而判断出、选项正确；秒时点在上运动根据三角形面积公式可判断C正确；平方厘米时，点可能在上，也可能在上，求出此时的值即可． 本题考查动点问题的函数图象，三角形的面积公式及一次函数的性质，进行分类讨论是解决此类问题常用的方法． 11.【答案】  【解析】解：根据单项式乘多项式法则可得： ， 故答案为：． 根据单项式乘多项式法则计算即可． 本题考查了整式的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 12.【答案】  【解析】解：白色区域的圆心角为， 灰色区域的圆心角为， 指针落在灰色区域的概率是． 故答案为：． 用灰色区域的圆心角除以周角可得到指针落在灰色区域的概率． 本题考查了几何概率：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是利用长度比，面积比，体积比等． 13.【答案】  【解析】解：与的关系式为． 故答案为：． 根据油箱内余油量汽车开始行驶时油箱中的油量每小时耗油量行驶时间计算即可． 本题考查函数关系式，根据油箱内余油量汽车开始行驶时油箱中的油量每小时耗油量行驶时间写出函数关系式是解题的关键． 14.【答案】  【解析】解：在中，，中，，如图，延长至，使，设与交于点， ， 垂直平分， ，， ， ， ， ， 在与中， ， ≌， ，， 故正确，该选项符合题意； ， ， 平分， 当时，，则， 当时，，则无法说明， 故是不正确的； 设，则， ， ， ， ， ， ， 故正确，该选项符合题意； ≌， ， ， ， ， 故正确，该选项符合题意； 故答案为：． 根据且，要构造倍的，故延长至，使，从而得到，进一步证明，且，接着证明≌，则，，所以是正确的，也可以通过线段的等量代换运算推导出是正确的，设，则，因为，所以，接着用表示出，再计算出，故是正确的，当时，可以推导出，否则不垂直于，故是错误的． 本题考查了全等三角形的判定与性质，通过二倍角这一条件，构造两倍的，是本题的突破口，也是常用方法，同时，要注意本题设参数导角，对学生分析数据的能力有一定要求． 15.【答案】  【解析】解： ． 先根据有理数的乘方、绝对值、负整数指数幂、零指数幂的运算法则计算，再根据有理数的加减法则计算即可． 本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 16.【答案】，．  【解析】解：原式 ． 当时，原式． 根据整式混合运算法则进行化简，然后再代入数据求值即可． 本题主要考查了整式化简求值，熟练掌握整式混合运算法则是解题的关键． 17.【答案】  垂直的定义      等式的性质  对顶角相等    等量代换    同位角相等，两条直线平行  【解析】证明：已知， 垂直的定义． 又已知， 等式的性质． 对顶角相等． 又已知， 等量代换．  同位角相等，两条直线平行． 故答案为：，，，等式的性质，对顶角相等，，等量代换，，同位角相等，两条直线平行． 根据垂直的定义可得，再根据角的加减运算可得，由对顶角相等可得，再根据同位角相等，两条直线平行即可证明． 本题考查了垂直的定义，角的加减运算，对顶角，平行线的判定的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 18.【答案】或  【解析】解：， ， 选择：， ， 在和中，， ≌， ， ； 选择：无法求解； 选择： 在和中，， ≌， ， ； 故答案为：或． 根据全等三角形的判定与性质求解即可． 本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解答本题的关键． 19.【答案】，，；   人．  【解析】共有种可能情况，获得元购物券的情况有种，获得元购物券的情况有种，不获奖的情况有种， 获得元购物券的概率为；获得元购物券的概率是；不获奖的概率是， 故答案为：，，； 共有种可能情况，获得元购物券的情况有种， 获得元购物券的概率为， 此商场某天有名顾客参与抽奖， 估计抽到元消费券的大约有：人． 答：估计抽到元消费券的大约有人． 直接根据概率公式求解即可； 先求出抽到元消费券的概率，进而可得出结论． 本题考查的是概率公式，用样本估计总体，熟记概率公式是解题的关键． 20.【答案】米；   要回收米的风筝线．  【解析】由题意得，，米，米， 在中，由勾股定理得，， 米， 则米； 如图，当风筝沿方向下降了米时， 米， 在中，由勾股定理得，， 米， 米， 要回收米的风筝线． 利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求解； 根据勾股定理计算即可得到结论． 本题考查了用勾股定理解决实际问题，解题的关键是熟练掌握勾股定理． 21.【答案】见解答．  ．   见解答．  【解析】如图，即为所求． 的面积为． 如图，连接交直线于点，连接， 此时，为最小值， 则点即为所求． 根据轴对称的性质作图即可． 利用割补法求三角形的面积即可． 连接交直线于点，则点即为所求． 本题考查作图轴对称变换、轴对称最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． 22.【答案】时间；   ，；   ；   分钟或分钟或分钟．  【解析】图中自变量是时间， 故答案为：时间； 出发地到派送点的距离是米，小李在便利店停留了：分钟， 故答案为：，； 整个送快递的过程中，小李的最快速度是：米分钟， 故答案为：； 当时，速度为米分钟， 当时，速度为， 当时，速度为米分钟， 设小李从家出发分钟时，离派送点的距离是米， 当时，，得， 当时，，得， 当时，，得， 即小李出发分钟或分钟或分钟后，离派送点的距离是米． 根据函数的定义解答即可； 根据函数图象进行回答即可； 根据图象可知至分钟速度最快； 分别求出在不同时段的速度，再根据题意列方程解答即可． 本题主要考查函数图象，由图象得出有用信息是解题的关键． 23.【答案】，；   ，证明见解析；   结论不变，证明见解析．  【解析】，． 故答案为：，； 结论：． 理由：如图中，过点作于点． 平分， ， ， ， ， ，， ， ； 故答案为：； 结论：． 理由：如图中，过点作于点． 同法可证． 探究规律利用规律解决问题； 结论：如图中，过点作于点证明； 结论不变，证明方法类似． 本题考查作图基本作图，三角形内角和定理，角平分线的定义，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 24.【答案】见解析；   见解析；   的值为或．  【解析】证明：，， ， ， 即， 是等腰直角三角形，且， ， 在和中， ， ≌； 解：，，是等腰直角三角形，且， ，， ， 由可知，≌， ，， ， ， ， ； 解：和是等腰直角三角形，，， ，， ，，， 分两种情况： 如图，点在延长线上时，过点作于点， ， ， ， ， ， 由可知，，， ； 如图，点在延长线上时，过点作于点， ， ， ， ， ， ， 同得：≌， ； 综上所述，的值为或． 证≌，即可得出结论； 由等腰直角三角形的性质，，则，再由全等三角形的性质得，，则，然后由勾股定理即可解决问题； 分两种情况，点在延长线上时，过点作于点，由等腰三角形的性质得，再由可知，，，再由勾股定理求出的长即可； 点在延长线上时，过点作于点，由等腰直角三角形的性质得，同得≌，则；即可得出结论． 本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型． 第20页，共21页 第1页，共13页 学科网（北京）股份有限公司 $$