浙江省绍兴市柯桥区2024-2025学年七年级下学期6月期末数学试题

2024-2025学年浙江省绍兴市柯桥区七年级（下）期末数学试卷 一、选择题（每小题2分，共20分） 1．（2分）下列运算正确的是（　　） A．x2•x3＝x6 B．（﹣x2）3＝x6 C．（x+y）2＝x2+y2 D．3x2﹣4x2＝﹣x2 2．（2分）若有意义，则下列说法正确的是（　　） A．x＞3 B．x≠3 C．x＞3且x≠0 D．x≠0 3．（2分）在数学活动课上，小丽同学将含30°角的直角三角板的一个顶点按如图方式放置在直尺的一边上，测得∠1＝26°，则∠2的度数是（　　） A．46° B．64° C．52° D．56° 4．（2分）下列等式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（　　） A．（a+1）（a﹣1）＝a2﹣1 B．6x＝2•3x C．x2+2x+1＝x（x+2）+1 D．﹣a2+6a﹣9＝﹣（a﹣3）2 5．（2分）把分式方程化为整式方程，方程两边需同时乘以（　　） A．2x B．2x﹣4 C．2x（x﹣2） D．2x（2x﹣4） 6．（2分）某校在“爱护水资源”活动中组织学生进行社会调查，并对学生的调查报告进行了评比，如图是将某年级60篇学生调查报告的成绩进行整理，分成5组画出的频率分布条形图．已知从左至右4个小组的频率分别是0.05，0.15，0.35，0.30．那么在这次评比中，被评为优秀的调查报告有（分数大于或等于80分为优秀，且分数为整数）（　　） A．27篇 B．25篇 C．24篇 D．18篇 7．（2分）在多项式4x2+1中，添加一个单项式使其成为一个整式的完全平方，则加上的单项式不可以是（　　） A．4x B．2x C．﹣4x D．4x4 8．（2分）中国古代的《孙子兵法》中记载了一道广为人知的数学问题：现有一百匹马，一百片瓦，大马一匹可以驮三片瓦，小马三匹可以驮一片瓦，问有多少匹大马和多少匹小马？设有大马x匹，小马y匹，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 9．（2分）作业本中有这样一道题，阅读材料，并完成下列问题：不难求得方程的解是x1＝3，；的解是x1＝4，；的解是x1＝5，；小涛同学仔细观察上述方程及其解，猜想得到：关于x的方程（m≠0）的解是x1＝m，．并尝试解关于x的方程．则小涛同学得到的正确的方程的解为（　　） A．x1＝m， B．x1＝m， C．x1＝m﹣1， D． 10．（2分）如果甲同学的语文分数或英语分数至少有一门比乙同学高，则称甲同学不亚于乙同学．在班级45个学生中，如果某同学不亚于其他44人，就称他（她）为“潜力之星”，那么某班45个学生中的“潜力之星”最多可能有（　　） A．22人 B．23人 C．44人 D．45人 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．（3分）分解因式：4x2﹣1＝　 　 ． 12．（3分）已知2x＝3，22y＝5，则2x﹣2y的值为 　 　 ． 13．（3分）对于任意实数a、b，定义关于“@”的一种运算：a@b＝2a+b，例如3@4＝2×3+4＝10．若x@（﹣y）＝3，（2y）@x＝5，则x+y的值为 　 　 ． 14．（3分）若关于x的分式方程有增根，则m＝ 　 　 ． 15．（3分）如图所示，在数学拓展课上，小聪将直角三角形纸片ABC（∠A＝25°，∠B＝65°）沿DE向上折叠，点A落在点A'处，当DA'∥BC时，∠DEC＝ 　 　 度． 16．（3分）对任意一个三位数n，如果n满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F（n）．例如n＝123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213+321+132＝666，666÷111＝6，所以F（123）＝6． （1）计算：F（124）＝ 　 　 ； （2）若s，t都是“相异数”，其中s＝100x+32，t＝150+y（1≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是正整数），规定：k，当F（s）+F（t）＝16时，则k的值是 　 　 ． 三、解答题（本大题共有8小题，共62分） 17．（6分）计算下列各题： （1）； （2）（x﹣3）2﹣（2﹣x）（2+x）． 18．（6分）解方程（组）： （1）； （2）． 19．（6分）因式分解： （1）ab﹣2a2b+a3b； （2）（a﹣b）2+b﹣a． 20．（6分）先化简，再求值：，其中a＝4． 21．（8分）学校为了丰富课后服务内容，欲增加一些体育专项课程，为此对该校一部分学生进行了一次“你最喜欢的项目”问卷调查（每人只选一项）．根据收集到的数据，绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，完成下列问题： （1）在这次问卷调查中，共调查了多少名学生？ （2）求在扇形统计图中，喜欢“足球”的所占的圆心角度数； （3）如果全校共有学生2000名，请估计该校最喜欢“排球”的学生约有多少人？ 22．（8分）已知：如图点C在∠MON的一边OM上，过点C的直线AB∥ON，CD平分∠OCB，CE⊥CD． （1）若∠O＝40°，求∠BCD的度数； （2）求证：CE平分∠OCA． 23．（10分）根据以下素材，完成任务． 素材一 为促进消费，某旅行社推出“柯桥古镇一日游”活动，收费标准如下： 人数a 0＜a≤100 100＜a≤200 a＞200 收费标准（元/人） 6x 85 5x 素材二 A、D公司人数少于100人，B公司人数多于200人，C公司人数多于100人，A公司比B公司少160人． 素材三 A、B、C、D四个公司分别各自参加此项活动，经核算，A公司共花费7200元，B公司共花费18000元；C公司和D公司共花费18270元，若C、D公司联合组团只需花费17850元． 任务一 求x的值． 任务二 C公司和D公司分别有多少人？ 24．（12分）一般情况下，一个分式通过适当的变形，我们可以把它化成一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式，例如： ①； ②； ③ （1）仿照上述方法，试将分式，化为一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式； （2）仿照上述方法，把化成一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式； （3）已知x、y均为正整数，，，且M、N均为正数．若M+N＝3，请求出x、y的值． 2024-2025学年浙江省绍兴市柯桥区七年级（下）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B D D C A B C B D 一、选择题（每小题2分，共20分） 1．（2分）下列运算正确的是（　　） A．x2•x3＝x6 B．（﹣x2）3＝x6 C．（x+y）2＝x2+y2 D．3x2﹣4x2＝﹣x2 【解答】解：x2•x3＝x5，则A不符合题意， （﹣x2）3＝﹣x6，则B不符合题意， （x+y）2＝x2+2xy+y2，则C不符合题意， 3x2﹣4x2＝﹣x2，则D符合题意， 故选：D． 2．（2分）若有意义，则下列说法正确的是（　　） A．x＞3 B．x≠3 C．x＞3且x≠0 D．x≠0 【解答】解：若有意义， 则x﹣3≠0， 解得x≠3， 故选：B． 3．（2分）在数学活动课上，小丽同学将含30°角的直角三角板的一个顶点按如图方式放置在直尺的一边上，测得∠1＝26°，则∠2的度数是（　　） A．46° B．64° C．52° D．56° 【解答】解：如图，三角板EFG与直尺ABCD分别交AB于点F、H． ∵AB∥CD， ∴∠2＝∠FHG． 又∵∠1+∠E＝∠FHG， ∴∠2＝∠1+∠E＝26°+30°＝56°． 故选：D． 4．（2分）下列等式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（　　） A．（a+1）（a﹣1）＝a2﹣1 B．6x＝2•3x C．x2+2x+1＝x（x+2）+1 D．﹣a2+6a﹣9＝﹣（a﹣3）2 【解答】解：（a+1）（a﹣1）＝a2﹣1是乘法运算，则A不符合题意， 6x＝2•3x中等号左边是单项式，则B不符合题意， x2+2x+1＝x（x+2）+1中等号右边不是积的形式，则C不符合题意， ﹣a2+6a﹣9＝﹣（a﹣3）2符合因式分解的定义，则D符合题意， 故选：D． 5．（2分）把分式方程化为整式方程，方程两边需同时乘以（　　） A．2x B．2x﹣4 C．2x（x﹣2） D．2x（2x﹣4） 【解答】解：由2x﹣4＝2（x﹣2），另一个分母为2x， 故可得方程最简公分母为2x（x﹣2）． 故选：C． 6．（2分）某校在“爱护水资源”活动中组织学生进行社会调查，并对学生的调查报告进行了评比，如图是将某年级60篇学生调查报告的成绩进行整理，分成5组画出的频率分布条形图．已知从左至右4个小组的频率分别是0.05，0.15，0.35，0.30．那么在这次评比中，被评为优秀的调查报告有（分数大于或等于80分为优秀，且分数为整数）（　　） A．27篇 B．25篇 C．24篇 D．18篇 【解答】解：由题意可知：分数在89.5﹣99.5段的频率为1﹣0.05﹣0.15﹣0.35﹣0.30＝0.15， 则由频率＝频数÷总数得：分数在79.5﹣99.5段的频率为0.30+0.15＝0.45， 则这次评比中被评为优秀的调查报告有60×0.45＝27篇； 故选：A． 7．（2分）在多项式4x2+1中，添加一个单项式使其成为一个整式的完全平方，则加上的单项式不可以是（　　） A．4x B．2x C．﹣4x D．4x4 【解答】解：A．4x2+1+4x＝（2x+1）2，即是整式2x+1的完全平方，故本选项不符合题意； B．4x2+1+2x不是一个整式的完全平方，故本选项符合题意； C．4x2+1﹣4x＝（2x﹣1）2，即是整式2x﹣1的完全平方，故本选项不符合题意； D．4x2+1+4x4＝（2x2+1）2，即是整式2x2+1的完全平方，故本选项不符合题意； 故选：B． 8．（2分）中国古代的《孙子兵法》中记载了一道广为人知的数学问题：现有一百匹马，一百片瓦，大马一匹可以驮三片瓦，小马三匹可以驮一片瓦，问有多少匹大马和多少匹小马？设有大马x匹，小马y匹，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：设大马有x匹，小马有y匹，由题意得： ， 故选：C． 9．（2分）作业本中有这样一道题，阅读材料，并完成下列问题：不难求得方程的解是x1＝3，；的解是x1＝4，；的解是x1＝5，；小涛同学仔细观察上述方程及其解，猜想得到：关于x的方程（m≠0）的解是x1＝m，．并尝试解关于x的方程．则小涛同学得到的正确的方程的解为（　　） A．x1＝m， B．x1＝m， C．x1＝m﹣1， D． 【解答】解：∵， ∴ ∴xm， ∴x﹣1m﹣1， ∴x﹣1＝m﹣1或x﹣1， ∴x1＝m，x2． 故选：B． 10．（2分）如果甲同学的语文分数或英语分数至少有一门比乙同学高，则称甲同学不亚于乙同学．在班级45个学生中，如果某同学不亚于其他44人，就称他（她）为“潜力之星”，那么某班45个学生中的“潜力之星”最多可能有（　　） A．22人 B．23人 C．44人 D．45人 【解答】解：要使“潜力之星”最多，可将每名学生的长处与其他同学的短处相比较； 取45人一种特殊情况：他们中语文成绩与英语成绩都互不相等，并且语文成绩最高者英语成绩最低，语文成绩次高者英语成绩次低， 这样以来，语文成绩最好的学生（语文优于其他44人）自然是“潜力之星”，语文成绩第二的学生（优于其他43人）英语比较是倒数第二（优于1人），他也是“潜力之星”， 同理可说明45人可以都是“潜力之星”， 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．（3分）分解因式：4x2﹣1＝　（2x+1）（2x﹣1）　 ． 【解答】解：4x2﹣1 ＝（2x）2﹣12 ＝（2x+1）（2x﹣1）． 故答案为：（2x+1）（2x﹣1）． 12．（3分）已知2x＝3，22y＝5，则2x﹣2y的值为 　　 ． 【解答】解：∵2x＝3，22y＝5， ∴2x﹣2y＝2x÷22y＝3÷5， 故答案为：． 13．（3分）对于任意实数a、b，定义关于“@”的一种运算：a@b＝2a+b，例如3@4＝2×3+4＝10．若x@（﹣y）＝3，（2y）@x＝5，则x+y的值为 　　 ． 【解答】解：由新定义，得， ①×4，得8x﹣4y＝12③， ②+③，得9x＝17， 解得：， 把代入①，得， 解得：， ∴． 故答案为：． 14．（3分）若关于x的分式方程有增根，则m＝ 　﹣1　 ． 【解答】解：去分母，得2x﹣3（x﹣1）＝﹣2m， ∵分式方程有增根， ∴x﹣1＝0， 解得x＝1， ∴2﹣3（1﹣1）＝﹣2m， 解得m＝﹣1． 故答案为：﹣1． 15．（3分）如图所示，在数学拓展课上，小聪将直角三角形纸片ABC（∠A＝25°，∠B＝65°）沿DE向上折叠，点A落在点A'处，当DA'∥BC时，∠DEC＝ 　57.5　 度． 【解答】解：∵DA'∥BC， ∴∠ADA′＝∠B＝65°． 由折叠的性质，可得：∠ADE＝∠A′DE， ∵∠ADA′＝∠ADE+∠A′DE， ∴∠ADE∠ADA′65°＝32.5°． ∵∠DEC是△ADE的外角， ∴∠DEC＝∠A+∠ADE＝25°+32.5°＝57.5°． 故答案为：57.5． 16．（3分）对任意一个三位数n，如果n满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F（n）．例如n＝123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213+321+132＝666，666÷111＝6，所以F（123）＝6． （1）计算：F（124）＝ 　7　 ； （2）若s，t都是“相异数”，其中s＝100x+32，t＝150+y（1≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是正整数），规定：k，当F（s）+F（t）＝16时，则k的值是 　　 ． 【解答】解：（1）根据“相异数”的定了可得124的三个新三位数为：214，421，142， ∴F（124）＝（214+421+142）÷111＝777÷111＝7， 故答案为：7； （2）∵s，t都是“相异数”，其中s＝100x+32，t＝150+y， ∴F（s）＝（302+10x+230+x+100x+23）÷111＝x+5， F（t）＝（510+y+100y+51+105+10y）÷111＝y+6， ∵F（s）+F（t）＝16， ∴x+5+y+6＝x+y+11＝16， ∴x+y＝5， ∵1≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是正整数， ∴或或或， ∵s是“相异数”， ∴x≠2且x≠3， ∵t是“相异数”， ∴y≠1， ∴， ∵x＝1，y＝4，F（s）＝5+x＝6，F（t）＝6+y＝10， ∴k， 故答案为：． 三、解答题（本大题共有8小题，共62分） 17．（6分）计算下列各题： （1）； （2）（x﹣3）2﹣（2﹣x）（2+x）． 【解答】解：（1）原式＝1﹣4 ＝﹣3； （2）原式＝x2﹣6x+9﹣（4﹣x2） ＝x2﹣6x+9﹣4+x2 ＝2x2﹣6x+5． 18．（6分）解方程（组）： （1）； （2）． 【解答】解：（1）， ①×3﹣②，得x＝﹣10， 把x＝﹣10代入①，得﹣20+y＝7， 解得y＝27， 所以方程组的解是； （2）， 方程两边同乘x﹣2，得x﹣1＝﹣3﹣（x﹣2）， 解得x＝0， 检验：当x＝0时x﹣2≠0， 所以原分式方程的解是x＝0． 19．（6分）因式分解： （1）ab﹣2a2b+a3b； （2）（a﹣b）2+b﹣a． 【解答】解：（1）原式＝ab（1﹣2a+a2） ＝ab（1﹣a）2； （2）原式＝（b﹣a）2+（b﹣a） ＝（b﹣a）（b﹣a+1）． 20．（6分）先化简，再求值：，其中a＝4． 【解答】解： • • • ， 当a＝4时，原式． 21．（8分）学校为了丰富课后服务内容，欲增加一些体育专项课程，为此对该校一部分学生进行了一次“你最喜欢的项目”问卷调查（每人只选一项）．根据收集到的数据，绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，完成下列问题： （1）在这次问卷调查中，共调查了多少名学生？ （2）求在扇形统计图中，喜欢“足球”的所占的圆心角度数； （3）如果全校共有学生2000名，请估计该校最喜欢“排球”的学生约有多少人？ 【解答】解：（1）扇形统计图中其它部分占20%，条形图中其它的人数是40人， 40÷20%＝200（名）， 答：在这次问卷调查中，共调查了200名学生； （2）扇形统计图中“足球”的比例是15%， ∴喜欢“足球”的所占的圆心角度数360°×15%＝54°； （3）羽毛球的占比是：1﹣40%﹣20%﹣15%＝25%， 2000×25%＝500（人）， 答：估计该校最喜欢“排球”的学生约有500人． 22．（8分）已知：如图点C在∠MON的一边OM上，过点C的直线AB∥ON，CD平分∠OCB，CE⊥CD． （1）若∠O＝40°，求∠BCD的度数； （2）求证：CE平分∠OCA． 【解答】（1）解：∵AB∥ON，∠O＝40°， ∴∠OCB＝180°﹣∠O＝140°， ∵CD平分∠OCB， ∴∠BCD∠OCB＝70°； （2）证明：∵CE⊥CD， ∴∠OCE+∠DCO＝90°， ∵∠ACB＝180°， ∴∠ECA+∠DCB＝90°， ∵CD平分∠OCB， ∴∠DCB＝∠DCO， ∴∠ACE＝∠ECO， ∴CE平分∠OCA． 23．（10分）根据以下素材，完成任务． 素材一 为促进消费，某旅行社推出“柯桥古镇一日游”活动，收费标准如下： 人数a 0＜a≤100 100＜a≤200 a＞200 收费标准（元/人） 6x 85 5x 素材二 A、D公司人数少于100人，B公司人数多于200人，C公司人数多于100人，A公司比B公司少160人． 素材三 A、B、C、D四个公司分别各自参加此项活动，经核算，A公司共花费7200元，B公司共花费18000元；C公司和D公司共花费18270元，若C、D公司联合组团只需花费17850元． 任务一 求x的值． 任务二 C公司和D公司分别有多少人？ 【解答】解：（任务一）根据题意得：160， 解得：x＝15， 经检验，x＝15是所列方程的解，且符合题意． 答：x的值为15； （任务二）设C公司有x人，D公司有y人， ∵17850÷85＝210（人），210＞200， ∴x+y＞200． 当100＜x≤200时，， 解得：（不符合题意，舍去）； 当x＞200时，， 解得：． 答：C公司有210人，D公司有28人． 24．（12分）一般情况下，一个分式通过适当的变形，我们可以把它化成一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式，例如： ①； ②； ③ （1）仿照上述方法，试将分式，化为一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式； （2）仿照上述方法，把化成一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式； （3）已知x、y均为正整数，，，且M、N均为正数．若M+N＝3，请求出x、y的值． 【解答】解：（1）1； 2（x﹣1）； （2） ＝x2 ＝x2﹣3x+9； （3）∵1， 1， 因为M+N＝3， 所以113， 即1， 令x﹣5＝a，7y﹣5＝b， ∴， ∴ab﹣5a﹣5b＝0， ∴ab﹣5a﹣5b+25＝25， ∴（ab﹣5a）﹣（5b﹣25）＝25， ∴a（b﹣5）﹣5（b﹣5）＝25， ∴（a﹣5）（b﹣5）＝25， ∵M、N均为正数，x、y均为正整数， ∴a，b为正整数， ∴或或， ∴或（此时y，舍去）或（此时y，舍去）， ∴a＝6，b＝30， ∴x＝11，y＝5， 经检验，符合题意， ∴x＝11，y＝5． 学科网（北京）股份有限公司 $$