精品解析：辽宁省锦州市2024-2025学年七年级下学期7月期末数学试题

锦州市2024～2025学年度七年级（下）期末质量检测 数学试卷 考试时间90分钟 试卷满分100分 ※考生注意：请在答题卡各题目规定的区域内作答，答在本试卷上无效． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一个选项是正确的） 1. 在AI技术迅猛发展的当下，语言模型成为了行业焦点．下列热门AI语言模型的标识中，其文字上方的图形是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形”，熟记轴对称图形的定义是解题关键．根据轴对称图形的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、不是轴对称图形，则此项不符合题意； B、是轴对称图形，则此项符合题意； C、不是轴对称图形，则此项不符合题意； D、不是轴对称图形，则此项不符合题意； 故选：B． 2. “经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯”，这个事件是（ ） A 随机事件 B. 必然事件 C. 不可能事件 D. 确定事件 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查事件的分类．根据交通信号灯的变化特点，绿灯的出现是可能发生也可能不发生的，属于随机事件． 【详解】经过有交通信号灯的路口时，信号灯可能显示红灯、黄灯或绿灯，遇到绿灯的具体结果无法提前确定． 因此，“遇到绿灯”这一事件是否发生具有不确定性，属于随机事件． 故选A． 3. 水是生命之源，以固态、液态、气态三种形态在自然界中循环存在．水的三态变化本质上是由水分子的热运动和分子间作用力决定的．一个水分子的半径约为．数据用科学记数法表示正确的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此求解即可． 【详解】数据用科学记数法表示正确的为． 故选D． 4. 光线在不同介质中的传播速度不同，当光线从空气射向水中时会发生折射．如图，在空气中平行的两条入射光线，在水中的两条折射光线也是平行的．若水面和杯底互相平行，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线性质的应用，根据水面和杯底互相平行，水中的两条折射光线平行，利用平行线的性质即可求解． 【详解】解：如图： 解：水面和杯底互相平行， ， ， 水中的两条折射光线平行， ， 故选：C． 5. 如图，在中，边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点．若的周长为，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质，解题的关键是掌握垂直平分线上的点到两边距离相等．根据是的垂直平分线，是的垂直平分线，可得，，根据的周长，即可求解． 【详解】解：边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点， ，， 的周长为12cm， ， ， 故选：B． 6. 下列图形中，由，能得到的是（ ） A. B.     C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定，熟知同位角相等，两直线平行，内错角相等，两直线平行是解题的关键．根据平行线的判定进行解答即可． 【详解】解：A、由得到，不能得到，不符合题意； B、由不能得到，不符合题意； C、由得到，，可以根据同位角角相等，两直线平行得，符合题意； D、由不能得到，不符合题意； 故选：C 7. 若等腰三角形一边长为，另一边长为，则第三边长为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了等腰三角形的定义及三角形三边关系， 根据等腰三角形的定义及三角形三边关系分情况进行判断． 【详解】分两种情况讨论： 当腰长为时，底边为． ∵，符合条件，可构成三角形． ∴第三边长为； 当腰长为时，底边为 ∵，无法构成三角形． 综上，第三边只能为． 故选：C． 8. 下面是“作已知角的平分线”的尺规作图方法． （1）如图，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交于点； （2）分别以点为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点； （3）作射线，则射线就是所求作的射线． 上述方法通过判定得到，从而得到是的角平分线，其中判定的依据是（ ） A. 三边分别相等的两个三角形全等 B. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 根据作图过程得到，因为，所以，即可得到答案． 【详解】解：根据作图过程得， ， ， 判定的依据是三边分别相等的两个三角形全等， 故选：A． 9. 如图，将一个圆柱形小水杯固定在大圆柱形容器底面中央，用一个注水管沿大圆柱形容器内壁匀速注水，则大圆柱形容器的水面高度与注水时间之间关系的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了函数的图象．正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，能够通过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是变化情况． 【详解】解：将一个圆柱形小水杯固定在大圆柱形容器底面中央，用一个注水管沿大圆柱形容器内壁匀速注水，大圆柱形容器的水面高度从点持续上升，当大圆柱形容器的水面达到小水杯的高度，持续注入的水会流入到小水杯内，此时大圆柱形容器的水面高度保持不变，当小水杯注满水后，大圆柱形容器的水面高度再持续上升，符合的函数图象只有D． 故选：D． 10. 如图，在中，分别是边上的点，相交于点，若，，则下列结论不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，掌握全等三角形的性质和判定是解题的关键． 利用线段的和差可判断A，证明，可判断B，证明，可判断D，选项C无法判断． 【详解】解：A、由，得，即，故本选项不符合题意； B、由，得，可得，故本选项不符合题意； C、根据题中条件，无法推出，故本选项符合题意； D、由可得，又， 可得，所以，故本选项不符合题意； 故选：C． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 如图是小明同学在体育课上跳远后留下的脚印，跳远成绩是测量过点作起跳线的垂线段的长度，其依据是_______________． 【答案】垂线段最短 【解析】 【分析】本题主要考查了垂线段最短性质的运用，熟练掌握由点到直线的距离的定义是解题关键． 由点到直线的距离的定义和跳远比赛的规则作出分析判断即可求解． 【详解】解：测量的依据的是：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短， 故答案为：垂线段最短． 12. 某种绿豆在相同条件下发芽的试验结果如下表所示： 每批粒数 发芽的粒数 发芽的频率 根据表中数据，估计这种绿豆发芽的概率约是______．（结果保留两位小数） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率；用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．根据利用频率估计概率得到随实验次数的增多，发芽的频率越来越稳定在左右，由此该种绿豆发芽的概率的估计值为． 【详解】解：根据表中数据，估计这种绿豆发芽的概率约是， 故答案为：． 13. 某市出租车的收费起步价为8元，即路程不超过3公里时收费8元，超过的部分每公里收费2元．若乘客乘坐出租车行驶的路程为公里，乘车费为元，则与之间的关系式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数关系式的建立，熟练掌握根据实际问题中的数量关系列函数关系式是解题的关键，涉及到分段计费问题中费用的组合计算．先确定乘车费由起步价和超过3公里部分的费用组成，分别表示出这两部分费用，再相加得到函数关系式． 【详解】解：当时，起步价是8元，超过3公里的部分为公里，这部分费用为元． 总乘车费起步价超过3公里部分的费用， ， 化简． 故答案为： ． 14. 如图，的内部有两条射线，，，于点，连接交于点．若，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、角平分线的性质，熟练掌握等腰三角形三线合一及角平分线的性质是解题的关键．先根据已知角的关系及，得出是的垂直平分线，得到的长度，再利用角平分线的性质求解． 【详解】解：设 ， ，且 ，， 故答案为：． 15. 如图，在中，是的中点，分别过点作的垂线，垂足为．若，，则的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，根据题意得先证明，进而可得，，，根据即可求解． 【详解】解：∵是的中点， ∴， ∵． ∴． 又∵． ∴． ∴，，， 又∵ ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本题共8道题，共65分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中，． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）按照整式乘除运算顺序，先做除法（同底数幂相除，底数不变，指数相减 ），再做乘法（同底数幂相乘，底数不变，指数相加 ）来计算． （2）先利用平方差公式、多项式乘多项式法则展开式子，再合并同类项，接着做多项式除以单项式运算化简，最后代入求值． 本题主要考查了整式的混合运算及化简求值，熟练掌握整式乘除运算法则、乘法公式（平方差公式等）是解题的关键，涉及同底数幂的乘除、平方差公式、多项式的乘除运算等知识点． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式 ． 当，时，原式 17. 如图，某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，并将转盘等分为16个扇形．顾客每购买200元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好落在红色、黄色或绿色区域，顾客就可以分别获得200元、100元、50元的购物券（若指针落在分隔线上重转）．某顾客在该商场消费210元，获得一次转动转盘的机会．该顾客获得200元、50元购物券的概率分别是多少？ 【答案】和 【解析】 【分析】本题主要考查了概率的计算，熟练掌握概率公式（事件包含的基本事件数试验的基本事件总数 ）是解题的关键，涉及到等可能事件概率的应用知识点．先确定转动转盘所有可能的结果总数，再分别找出获得200元、50元购物券对应的区域结果数，最后根据概率公式（，是总结果数，是事件发生的结果数 ）计算概率． 【详解】解：由题意可知，任意转动转盘一次，指针落在不同扇形的可能的结果共有16种，这些结果出现的可能性相同． 其中，指针落在红色区域的结果有1种，落在绿色区域的结果有4种． 所以，（获得200元购物券）． （获得50元购物券）． 18. 在正方形网格中，和直线如图所示． （1）在网格中作出关于直线对称的，点的对应点分别为点； （2）结合所画图形，直线上作出点，使最短； （3）若每一个小正方形的边长为1，求的面积． 【答案】（1）图见解析 （2）图见解析 （3） 【解析】 【分析】(1)根据轴对称的特点，对称点连线垂直轴，对称点与轴等距的原理，画图即可． (2) 根据点A关于的对称点，连接，交于点P，点P即为所求． (3)利用分割法计算即可． 本题考查了坐标的对称问题，线段和最小作图计算，分割法计算三角形的面积，熟练掌握对称的原理，正确作图是解题的关键． 【小问1详解】 解：轴对称的原理：对称点连线垂直轴，对称点与轴等距，画图如下： 则即为所求． 【小问2详解】 解：点A关于的对称点，连接，交于点P， 则点P即为所求． 【小问3详解】 根据题意，得的面积为：． 19. 如图，点在同一直线上，点在同侧，，，．判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【解析】 【分析】先利用平行线性质得到角相等，结合已知线段相等推出另一组线段相等，再通过全等三角形判定证明两个三角形全等，最后依据全等三角形性质及平行线判定确定与的位置关系．本题主要考查了平行线的性质与判定、全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定条件（如 ）以及平行线的判定方法（同位角相等，两直线平行等 ）是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴，即． 在和中， ∵，，， ∴（SAS）． ∴． ∴． 20. 近年来，电动汽车作为绿色交通工具越来越受到人们的青睐，电动汽车的电池容量与续航里程也成为人们最为关心的问题之一．现对某型号电动汽车充满电后进行测试，其电池剩余电量（千瓦时）与行驶里程（千米）之间的关系如下表所示： 行驶里程（千米） 剩余电量（千瓦时） （1）在这个变化过程中，自变量和因变量各是什么？ （2）求该型号电动汽车的电池容量； （3）求该型号电动汽车的剩余电量（千瓦时）与行驶里程（千米）之间的关系式． 【答案】（1）自变量是行驶里程，因变量是剩余电量 （2）该型号电动汽车的电池容量是80千瓦时 （3） 【解析】 【分析】本题考查了自变量和因变量的定义，由表格写函数关系式，根据表格找到两个量之间的关系是解题的关键． （1）根据自变量和因变量的定义即可解答； （2）根据表格可得行驶里程每增加10千米，剩余电量减少2千瓦时，即可解答； （3）根据表格计算出行驶公里，消耗电量为度，可得出函数关系． 【小问1详解】 解：自变量是行驶里程，因变量是剩余电量． 【小问2详解】 由表格知，行驶里程每增加10千米，剩余电量减少2千瓦时． 所以当时，． 所以该型号电动汽车的电池容量是80千瓦时． 【小问3详解】 （千瓦时／千米）， 因为行驶里程每增加1千米，剩余电量均匀地减少0.2千瓦时， 所以该型号电动汽车剩余电量（千瓦时）与行驶里程（千米）之间的关系式为： 21. 定义一种新的运算：对于任意两个有理数，规定． 例如，；． 若为有理数，请解答下列问题： （1）若是一个完全平方式，求的值； （2）若，，求的值． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】本题考查定义新运算，完全平方公式，理解新定义的法则是解题的关键： （1）根据新定义的法则，列式计算，根据完全平方公式的结构得出的值； （2）根据新定义得出，进而根据，利用完全平方公式变形求值，即可求解． 【小问1详解】 解： ． 因为是一个完全平方式， 所以．所以或． 【小问2详解】 因为， 所以． 所以． 因为， 所以． 所以 22. 随着科技的进步，机器人的种类日益繁多，应用场景更加广泛．某机器人实验基地的科研人员对新型智能机器人进行测试，测试路线如图1所示（图中各角均为直角）．机器人（抽象为一点）从点出发，沿的路线匀速运动，并能够监测区域内的实时情况． 的面积与机器人运动的时间之间的关系如图2所示．若， 请根据图象问答下列问题： （1）求机器人的运动速度； （2）求的值； （3）当时，求的值． 【答案】（1） （2）的值为30 （3）的值为4.5 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，从函数图像获取信息是解题的关键； （1）由图2的第一段折线可知，机器人经过到达点处，进而根据速度等于路程除以时间，即可求解； （2）由图2的第三段折线可知，机器人从点到达点需要，根据三角形的面积公式，即可求解； （3）由图2可知，当时，机器人位于点和点之间，设此时机器人到的距离为．进而根据时间等于路程除以速度，即可求解． 【小问1详解】 解：由图2的第一段折线可知，机器人经过到达点处， 因为，， 所以． 所以． 所以机器人的运动速度． 【小问2详解】 由图2的第三段折线可知，机器人从点到达点需要， 所以． 因为图中各角均为直角， 所以． 所以． 所以的值为30． 【小问3详解】 由图2可知，当时，机器人位于点和点之间，设此时机器人到的距离为． 因为，所以． 所以． 因为，所以． 因为， 所以． 所以当时，的值为 23. 在中，边上一点，为边上一点，连接，将沿折叠得到，直线与直线相交于点． （1）当为边的中点，且时， ①如图1，探究的形状，并说明理由； ②如图2，若，探究与的数量关系，并说明理由； （2）如图3，，，，当时，求的度数． 【答案】（1）①是直角三角形，理由见解析；②，理由见解析 （2）或 【解析】 【分析】（1）①根据等边对等角得出，，进而根据三角形内角和定理得出，即可求解； ②根据已知得出，进而证明，根据全等三角形的性质，即可得出结论； （2）设，则，，根据建立方程，得出．所以，．进而可得，进而分两种情况讨论，①当点在下方时，②当点在上方时，根据平行线的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：①是直角三角形，理由如下： 如图1，因为，， 所以，．所以． 在中， 因为， 所以， 即． 所以． 所以是直角三角形． ②如图2，因为，所以． 所以， 即． 在和中， 因为，，， 所以． 所以． 【小问2详解】 如图3，因为，所以． 设，所以． 因为，所以． 因为，所以． 所以．所以，． 所以． ①当点在下方时，如图3， 因为，所以． 因为， 在中，． 所以． ②当点在上方时，如图4， 因为，所以． 因为， 在中，． 综上，的度数为或． 【点睛】本题考查了折叠的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，平行线的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 锦州市2024～2025学年度七年级（下）期末质量检测 数学试卷 考试时间90分钟 试卷满分100分 ※考生注意：请在答题卡各题目规定的区域内作答，答在本试卷上无效． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一个选项是正确的） 1. 在AI技术迅猛发展的当下，语言模型成为了行业焦点．下列热门AI语言模型的标识中，其文字上方的图形是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. “经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯”，这个事件是（ ） A. 随机事件 B. 必然事件 C. 不可能事件 D. 确定事件 3. 水是生命之源，以固态、液态、气态三种形态在自然界中循环存在．水的三态变化本质上是由水分子的热运动和分子间作用力决定的．一个水分子的半径约为．数据用科学记数法表示正确的为（ ） A. B. C. D. 4. 光线在不同介质中的传播速度不同，当光线从空气射向水中时会发生折射．如图，在空气中平行的两条入射光线，在水中的两条折射光线也是平行的．若水面和杯底互相平行，，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点．若的周长为，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 下列图形中，由，能得到的是（ ） A B.     C. D. 7. 若等腰三角形的一边长为，另一边长为，则第三边长为（ ） A. B. C. D. 或 8. 下面是“作已知角的平分线”的尺规作图方法． （1）如图，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交于点； （2）分别以点为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点； （3）作射线，则射线就是所求作的射线． 上述方法通过判定得到，从而得到是的角平分线，其中判定的依据是（ ） A. 三边分别相等的两个三角形全等 B. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 9. 如图，将一个圆柱形小水杯固定在大圆柱形容器底面中央，用一个注水管沿大圆柱形容器内壁匀速注水，则大圆柱形容器的水面高度与注水时间之间关系的图象大致是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，分别是边上的点，相交于点，若，，则下列结论不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 如图是小明同学在体育课上跳远后留下的脚印，跳远成绩是测量过点作起跳线的垂线段的长度，其依据是_______________． 12. 某种绿豆在相同条件下发芽的试验结果如下表所示： 每批粒数 发芽的粒数 发芽的频率 根据表中数据，估计这种绿豆发芽的概率约是______．（结果保留两位小数） 13. 某市出租车的收费起步价为8元，即路程不超过3公里时收费8元，超过的部分每公里收费2元．若乘客乘坐出租车行驶的路程为公里，乘车费为元，则与之间的关系式为______． 14. 如图，的内部有两条射线，，，于点，连接交于点．若，，则的长为______． 15. 如图，在中，是的中点，分别过点作的垂线，垂足为．若，，则的面积是______． 三、解答题（本题共8道题，共65分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中，． 17. 如图，某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，并将转盘等分为16个扇形．顾客每购买200元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好落在红色、黄色或绿色区域，顾客就可以分别获得200元、100元、50元的购物券（若指针落在分隔线上重转）．某顾客在该商场消费210元，获得一次转动转盘的机会．该顾客获得200元、50元购物券的概率分别是多少？ 18. 在正方形网格中，和直线如图所示． （1）在网格中作出关于直线对称，点的对应点分别为点； （2）结合所画图形，在直线上作出点，使最短； （3）若每一个小正方形的边长为1，求的面积． 19. 如图，点在同一直线上，点在同侧，，，．判断与的位置关系，并说明理由． 20. 近年来，电动汽车作为绿色交通工具越来越受到人们的青睐，电动汽车的电池容量与续航里程也成为人们最为关心的问题之一．现对某型号电动汽车充满电后进行测试，其电池剩余电量（千瓦时）与行驶里程（千米）之间的关系如下表所示： 行驶里程（千米） 剩余电量（千瓦时） （1）在这个变化过程中，自变量和因变量各是什么？ （2）求该型号电动汽车的电池容量； （3）求该型号电动汽车的剩余电量（千瓦时）与行驶里程（千米）之间的关系式． 21. 定义一种新的运算：对于任意两个有理数，规定． 例如，；． 若为有理数，请解答下列问题： （1）若是一个完全平方式，求的值； （2）若，，求的值． 22. 随着科技进步，机器人的种类日益繁多，应用场景更加广泛．某机器人实验基地的科研人员对新型智能机器人进行测试，测试路线如图1所示（图中各角均为直角）．机器人（抽象为一点）从点出发，沿的路线匀速运动，并能够监测区域内的实时情况． 的面积与机器人运动的时间之间的关系如图2所示．若， 请根据图象问答下列问题： （1）求机器人的运动速度； （2）求值； （3）当时，求的值． 23. 在中，为边上一点，为边上一点，连接，将沿折叠得到，直线与直线相交于点． （1）当为边中点，且时， ①如图1，探究的形状，并说明理由； ②如图2，若，探究与的数量关系，并说明理由； （2）如图3，，，，当时，求的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $