河南省信阳市商城县2024-2025学年高一下学期7月期末考试数学试题

商城县2024-2025学年第二学期高一年级期末考试 数学试题 考生注意: 1.答题前,考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上,并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效， 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。） 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．若是平面内的一个基底，则下列四组向量中不能作为平面向量的基底的是（   ） A． B． C． D． 3．若为第三象限角，则下列各式的值为负数的是（    ） A． B． C． D． 4．若，则（    ） A． B． C． D． 5．已知一组数据39，41，44，46，49，50，x，55的第65百分位数是50，那么实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．已知的内角的对边分别为，若有两解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．在梯形中，，，，点E在线段上，则的取值范围为（    ）. A． B． C． D． 8．由瑞士著名建筑大师马里奥博塔设计的清华大学艺术博物馆整体为长方体造型，长方体是该建筑的直观图，当身高为 m人（忽略眼睛到头顶的距离）站在点处（的延长线上）时可以估测点、点的仰角，现测得楼宽长为m，此人估测得点的仰角为，点的仰角为，则估测教学楼的高为（    ）（单位：m) A． B． C． D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分） 9．设A，B是两个概率大于的随机事件，则下列结论正确的是（    ） A． B．若A和B互斥，则A和B一定相互独立 C．若事件，则 D．若A和B相互独立，则A和B一定不互斥 10．下列关于向量的命题，错误的是（   ） A． B．在边长为1的等边中， C．若，则 D．若，则向量的夹角是钝角 11．在正方体中，在线段上，则（    ） A．当为中点时，AE与所成角的正切值是 B．AE与平面所成角为定值 C．三棱锥的体积为定值 D．的最小值为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共计15分） 12．已知，且，则实数 ． 13．如图，正方体中，、分别为棱、的中点，则平面与底面夹角的余弦值为 . 14．刻画空间弯曲性是几何研究的重要内容，用“曲率”刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制）．例如，正四面体的每个顶点有个面角，每个面角为，所以正四面体在各顶点的曲率为．在底面为矩形的四棱锥中，底面，，与底面所成的角为，在四棱锥中，顶点的曲率为 ． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．(13分)已知，，． (1)若，求，； (2)若，求点的坐标． 16．(15分)已知函数． (1)求的单调递增区间； (2)若α是的一个零点，求的值． 17．(15分)已知，，分别为锐角三角形三个内角的对边，且． (1)求； (2)若，，求； (3)若，求的值． 18．(17分)某校从高一年级学生中随机抽取40名，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，所有成绩均为不低于40分的整数）分为6组：，绘制出如图所示的频率分布直方图． (1)求出图中实数a的值； (2)若该校高一年级共有学生640名，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于80分的人数； (3)若从成绩来自和两组的学生中随机选取两名学生： （ⅰ）写出该试验的样本空间； （ⅱ）求这两名学生数学成绩至多有一名及格的概率． 19．(17分)如图，在等腰直角三角形中，，M是半圆弧上异于A，B的动点，平面平面．设O，N分别为，的中点，，三棱锥体积的最大值为． (1)证明：平面； (2)当时，求二面角的正切值； (3)求点N到平面的距离（用表示）． 试卷第4页，共4页 试卷第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 商城县2024-2025学年第二学期高一年级期末考试 数学试题参考答案 1． B 2．D 3．C 4．C 5．A 6．B 7．D 8．D 9．CD 10．CD 11．ACD 12． 13． 14．/ 15．（1）依题意得，， 则，所以， 所以，． （5分） （2）由（1）知，，所以． （2分） 设点的坐标为，则， 因为，所以，， （4分） 所以，，故点的坐标为． （2分） 16．（1）利用降幂公式和诱导公式化简原函数： （6分） 函数的单调递增区间为. 令： 解得： 故函数的单调递增区间为. （5分） （2）根据零点条件： 利用倍角公式： ， 所以 （4分） 17．（1）由于，所以， 由根据正弦定理可得， 所以，且三角形为锐角三角形，即 所以. （5分） （2）在中，由余弦定理知， 即，解得或（舍）， 故. （4分） （3）由，可得， 所以， ， 即 （6分） 18．（1）解：因为频率分布直方图中所有小矩形面积之和为， 可得，解得. （4分） （2）解：由频率分布直方图可知成绩不低于80分的频率为， 所以该校高一年级期中考试数学成绩不低于80分的人数为人. （3分） （3）解：成绩来自的学生人数为人，记为， 成绩来自的学生人数为人呢，记为， （3分） 则从中随机选取两名学生的样本空间为：，共15个样本点， （3分） 设“两名学生数学成绩至多有一名及格”， 则，其中含了9个样本点， 所以这两名学生数学成绩至多有一名及格的概率. （4分） 19．（1）由为等腰直角三角形，且，且，分别为，的中点，连接，，则，又平面平面，且平面平面， 所以平面，又平面，所以， 又因为为直径所对的圆周角，所以，即， 又，所以，因，平面， 所以平面. （4分） （2）连接，由题意可知当时，三棱锥体积取到最大， 此时，解得， 由（1）知平面，平面，所以， 又，所以即为二面角， 因，所以，， 所以， 故二面角的正切值为. （6分） （3）连接，如图，由（1）知平面，平面，所以， 所以，，， 所以， 在中，，所以 设点到平面的距离为， 则，即，即， 解得， 故点到平面的距离为. （7分） 答案第4页，共4页 答案第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $$