精品解析：辽宁省沈阳市铁西区2024-2025学年下学期八年级数学期末试卷

2024-2025学年度下学期期末质量监测八年数学 （本试卷共23道题，满分120分，考试时间120分钟） 第一部分 选择题 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效第一部分选择题 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 我国古代数学的许多创新与发明都曾在世界上有重要影响．下列图形“杨辉三角”“中国七巧板”“刘徽割圆术”“赵爽弦图”中，中心对称图形是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念进行判断即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不合题意； B．不是中心对称图形，故此选项不合题意； C. 不是中心对称图形，故此选项不合题意； D. 是中心对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查的是中心对称图形．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 2. 因式分解：（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用平方差公式因式分解即可． 【详解】解：， 故选：A． 【点睛】本题考查利用平方差公式进行因式分解，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 3. 如图，在矩形中，点在上，当是等边三角形时，的度数为（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 120° 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键． 由矩形得到，继而得到，而是等边三角形，因此得到． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 故选：C． 4. 在直角坐标系中，把点先向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到点．若点的横坐标和纵坐标相等，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】先根据平移方式确定点B的坐标，再根据点的横坐标和纵坐标相等列方程，解方程即可． 【详解】解：点先向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到点， ，即， 点的横坐标和纵坐标相等， ， ， 故选C． 【点睛】本题考查平面直角坐标系内点的平移，一元一次方程的应用等，解题的关键是掌握平面直角坐标系内点平移时坐标的变化规律：横坐标右加左减，纵坐标上加下减． 5. 若关于x的不等式组的解集为，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查根据不等式组的解集求参数的范围，先解不等式组，再根据不等式组的解集，得到关于参数的不等式，进行求解即可． 【详解】解：解，得：， ∵不等式组的解集为：， ∴， ∴； 故选B． 6. 下列条件中，能判定平行四边形是菱形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查菱形的判定方法,根据菱形的判定定理，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，结合选项逐一分析即可 【详解】A. 若，则平行四边形为矩形，而非菱形，故A错误； B. 由及平行四边形邻角互补可得，此时平行四边形为矩形，故B错误； C. 对角线的平行四边形是矩形，不能判定为菱形，故C错误； D. 对角线的平行四边形是菱形，符合菱形的判定条件，故D正确． 故选：D． 7. 下列各式中能用完全平方公式分解因式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式分解因式，需满足的形式，据此依次判断即可； 【详解】解：A.： 首项和末项符号相反，且不是平方数，无法构成完全平方公式； B.： 首项为，中间项对应，但末项非正数且非平方数，不符合公式； C.： 首项和末项符号相反，且非平方数，无法构成完全平方公式； D.： 首项，中间项可写为，末项是，符合完全平方公式，即； 综上，只有满足完全平方公式的条件； 故选：D 8. 分式方程的解为正数，则的取值范围（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程及分式方程的解，先解分式方程，求出分式方程的解，再根据分式方程解的情况解答即可求解，正确求出分式方程的解是解题的关键． 【详解】解：方程两边同时乘以得，， 解得， ∵分式方程的解为正数， ∴， ∴， 又∵， 即， ∴， ∴的取值范围为且， 故选：． 9. 如图，在中，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理等知识点，熟悉掌握等腰三角形的性质是解题的关键．设，，根据，，用含、的代数式表示、，最后在中，利用三角形内角和定理，代入计算即可． 【详解】∵，， 设，， ∴，， ∴， ， ∴， ∴ 故选． 10. 如图，在平行四边形中，点是的中点，点，分别在边，上，线段经过点，下列结论：；；；．其中错误结论的个数为（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质，根据平行四边形的对边平行、对角相等可知、正确；因为与有交点，所以错误，故错误；因为是平行四边形的对角线，所以，利用可证，所以可知，从而可证，故正确． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， 故正确； 与相交于点， 与不平行， 故错误； 四边形是平行四边形， ， 故正确； 四边形是平行四边形，是的对角线， ，， ， 点是的中点， ， 在和中，， ， ， ， ， 故正确． 综上所述，错误结论的个数为. 故选： A． 第二部分 非选择题 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 计算：______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的加减运算．直接按同分母分式加减运算法则计算即可． 【详解】解：． 故选：1． 12. 因式分解： _______． 【答案】 【解析】 【分析】先提公因式，然后利用完全平方公式因式分解即可． 【详解】解：． 13. 如图，已知，，是正边形的三条边，在同一平面内，以为边在该正边形的外部作正方形．若，则的值为______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查的是正方形的性质，多边形内角与外角，先求解正多边形的1个内角度数，得到正多边形的1个外角度数，再结合外角和可得答案，关键是正方形性质的应用． 【详解】解：四边形是正方形， ， ， ， 正边形的一个外角为， 的值为． 故答案为：12． 14. 不等式的最大整数解是_______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查求一元一次不等式的最大整数解，解题的关键是会解一元一次不等式． 解一元一次不等式，取最大整数解即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∵， ∴的最大整数解为， 故答案为：． 15. 如图，在中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧分别交于点和点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部交于点，连接并延长交于点．若的面积为，则的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，角平分线的定义和角平分线的尺规作图，由三角形内角和定理可得，由含30度角的直角三角形的性质可得，则由勾股定理可得；由作图方法可得，平分，则，据此额度，，，再由三角形面积计算公式求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴，， ∴， 由作图方法可得，平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴， ∴或（舍去）， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）解不等式组： （2）解分式方程： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，解分式方程，掌握相关解法是解题关键． （1）先求出每个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定不等式组的解集即可． （2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：（1）， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为； （2）， 去分母得：， 解得：， 经检验，时，， 分式方程的解为． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当时，原式． 18. 如图，点是直线外一点，利用直尺和圆规按如下步骤作图： ①在直线上任取一点，连接； ②以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，； ③分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部交于点，作射线： ④以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点，作直线． （1）判断与的位置关系，并说明理由： （2）若，，求的长． 【答案】（1），理由见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查的是尺规作图—作角平分线、等腰三角形的判定与性质及含30度角的直角三角形的性质， （1）先证明，，进而得出，即可证明结论； （2）作于点H，求出，根据勾股定理及含30度角的直角三角形的性质求出结论； 小问1详解】 解：，理由如下： 由题意得：平分，， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：作于点H， ，， ， ，平分， ， ， 在中， ， 解得：． 19. 如图，在中，，D是的中点，，，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， D是BC的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是矩形． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定以及性质，等腰三角形三线合一的性质，勾股定理等知识，掌握这些性质是解题的关键． （1）由等腰三角形三线合一的性质得出，有平行线的性质得出，结合已知条件可得出，即可证明四边形是矩形． （2）由（1）可知四边形是矩形．由矩形的性质得出，，，由已知条件可得出，由勾股定理求出，最后根据等面积法可得出，即可求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知四边形是矩形． ∴，，， ∵D是的中点， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴ 即， ∴． 20. 如图，在中，延长到点，使，点是边上的点，延长到点，使，连接，且．若，，求的长． 【答案】9 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形中位线定理，由三角形中位线定理得到，则，，证明得到，再由，得到，则． 【详解】解：∵，， ∴是的中位线， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 21. 为了加强学生体育锻炼，某班计划购买部分绳子和实心球，已知每条绳子的价格比每个实心球的价格少23元，且84元购买绳子的数量与360元购买实心球的数量相同． （1）绳子和实心球的单价各是多少元？ （2）如果本次购买的总费用不超过510元，且购买绳子的数量是实心球数量的3倍，那么绳子最多能购买多少条？ 【答案】（1）绳子单价为7元，实心球的单价为30元 （2）绳子最多能购买30条 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，理解题意并正确列方程和不等式是解题关键． （1）设绳子的单价是元，则实心球的单价是元，根据“84元购买绳子的数量与360元购买实心球的数量相同”列分式方程求解即可； （2）设绳子能购买条，则实心球能购买条，根据“购买的总费用不超过510元”列一元一次不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设绳子的单价是元，则实心球的单价是元， 则， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， （元）， 答：绳子的单价为7元，实心球的单价为30元 【小问2详解】 解：设绳子能购买条，则实心球能购买条， 则， 解得：， 是正整数， 绳子最多能购买30条． 22. 在中，点是的中点，于点，与交于点，且． （1）如图1，当点为的中点时， ①求证：是等边三角形； ②___________； （2）如图2，判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）①见解析；②； （2），理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质等知识，掌握等边三角形和直角三角形的性质是解题关键． （1）①根据线段中点得到，根据垂直平分线的性质，得到，即可证明结论； ②连接并延长交于点，根据等边三角形的性质，得到，，，进而得到，推出，再根据求解即可； （2）连接，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，得到，根据等边对等对等角和三角形外角的性质得到，，再利用三角形外角的性质求解即可． 【小问1详解】 解：①点是的中点，点为的中点， ，， ， ， ，点为的中点， 是的垂直平分线， ， ， 是等边三角形； ②如图，连接并延长交于点， 由①可知，是等边三角形， 点是的中点，点为的中点，， ，，， 在中，， ， ， ， 故答案为： 【小问2详解】 解：，理由如下： 如图，连接， ， ， 点是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， 即． 23. 【初步探究】 （1）如图1，在等边三角形中，点，分别为边，上的动点（不与端点重合），．将线段绕点顺时针旋转一定角度得到线段，当时， ①___________； ②若，求的长； （2）如图2，在中，，，点，分别为边，上的动点（不与端点凪合），．过点作于点，交于点，将绕点逆时针旋转得到，连接．请判断四边形的形状，并说明理由： 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，，，点为边上的点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，求周长的最小值． 【答案】（1）①；②；（2）四边形是平行四边形，理由见解析；（3） 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，平行四边形的判定，熟知相关知识是解题的关键． （1）①由等边三角形的性质得到，再由平行线的性质可得答案；②由等边三角形的性质得到，，由平行线的性质得到，求出，则由旋转的性质可得；过点B作于H，则，，则，由勾股定理得，由勾股定理； （2）求出，，可证明；由旋转的性质可得，证明，得到，则，，再由，得到，则四边形是平行四边形； （3）取的中点G，连接，可求出，由旋转的性质可得，再证明，得到的周长等于的周长；作点B关于直线的对称点H，连接，则；可得到的周长，则当三点共线时，有最小值；可证明，由勾股定理可得，据此可得答案． 【详解】解：（1）①∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴； ②∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴； ∵， ∴， 由旋转的性质可得； 如图所示，过点B作于H，则， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理； （2）四边形是平行四边形，理由如下： ∵中，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； 由旋转的性质可得， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； （3）如图所示，取的中点G，连接， ∵在中，，， ∴， ∵G为的中点， ∴； 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴的周长等于的周长； 如图所示，作点B关于直线的对称点H，连接， ∴； ∴的周长， ∴当三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值， ∵， ∴等边三角形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴的周长的最小值为， ∴的周长的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度下学期期末质量监测八年数学 （本试卷共23道题，满分120分，考试时间120分钟） 第一部分 选择题 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效第一部分选择题 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 我国古代数学的许多创新与发明都曾在世界上有重要影响．下列图形“杨辉三角”“中国七巧板”“刘徽割圆术”“赵爽弦图”中，中心对称图形是（ ）． A. B. C. D. 2. 因式分解：（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在矩形中，点在上，当是等边三角形时，的度数为（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 120° 4. 在直角坐标系中，把点先向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到点．若点的横坐标和纵坐标相等，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 若关于x的不等式组的解集为，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 下列条件中，能判定平行四边形是菱形的是（ ） A. B. C. D. 7. 下列各式中能用完全平方公式分解因式的是（ ） A. B. C. D. 8. 分式方程的解为正数，则的取值范围（ ） A. B. 且 C. D. 且 9. 如图，在中，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平行四边形中，点是的中点，点，分别在边，上，线段经过点，下列结论：；；；．其中错误结论的个数为（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 第二部分 非选择题 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 计算：______． 12. 因式分解： _______． 13. 如图，已知，，是正边形的三条边，在同一平面内，以为边在该正边形的外部作正方形．若，则的值为______． 14. 不等式的最大整数解是_______． 15. 如图，在中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧分别交于点和点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部交于点，连接并延长交于点．若的面积为，则的长为_______． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）解不等式组： （2）解分式方程： 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 如图，点是直线外一点，利用直尺和圆规按如下步骤作图： ①在直线上任取一点，连接； ②以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，； ③分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部交于点，作射线： ④以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点，作直线． （1）判断与的位置关系，并说明理由： （2）若，，求的长． 19. 如图，在中，，D是的中点，，，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求的长． 20. 如图，在中，延长到点，使，点是边上的点，延长到点，使，连接，且．若，，求的长． 21. 为了加强学生的体育锻炼，某班计划购买部分绳子和实心球，已知每条绳子的价格比每个实心球的价格少23元，且84元购买绳子的数量与360元购买实心球的数量相同． （1）绳子和实心球的单价各是多少元？ （2）如果本次购买的总费用不超过510元，且购买绳子的数量是实心球数量的3倍，那么绳子最多能购买多少条？ 22. 在中，点是的中点，于点，与交于点，且． （1）如图1，当点为的中点时， ①求证：是等边三角形； ②___________； （2）如图2，判断与的数量关系，并说明理由． 23. 【初步探究】 （1）如图1，在等边三角形中，点，分别为边，上的动点（不与端点重合），．将线段绕点顺时针旋转一定角度得到线段，当时， ①___________； ②若，求的长； （2）如图2，在中，，，点，分别为边，上的动点（不与端点凪合），．过点作于点，交于点，将绕点逆时针旋转得到，连接．请判断四边形的形状，并说明理由： 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，，，点为边上的点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，求周长的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $