精品解析：海南省定安县2024-2025学年高二下学期7月期末考试数学试题

海南省定安县2024-2025学年高二下学期7月期末考试数学试题 注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将答题卡交回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知等差数列，其中，则（ ） A. B. 4 C. 5 D. 12 2. 已知关于的经验回归方程为，则样本点的残差为（ ） A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 3 设随机变量，则（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.6 4. 已知函数在处有极值，则（ ） A. B. C. D. 5. 记事件A为“抛一枚硬币正面向上”，事件B为“掷一颗骰子点数为6”，则条件概率为（ ） A B. C. D. 6. 用0，1，2，3，4，5可组成无重复数字的三位数的个数为（ ） A. 98 B. 99 C. 100 D. 101 7. 已知的展开式中第6项的系数为56，则实数（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 8. 是定义在上的偶函数，为其导函数且，且时，，则不等式的解集为（   ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知等比数列的公比为，，则（ ） A. B. C. D. 数列是公比为的等比数列 10. 函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 函数在区间上单调递减； B. ； C. 函数在处取极大值； D. 函数在区间内有两个极小值点. 11. 若，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机变量， 若E(X)=1， 则D(X)=___________. 13. 已知的取值如表所示，从散点图分析可知与线性相关，如果线性回归方程为，那么表格中数据的值为____. 0 1 2 4 4.3 4.8 6.7 14. 2025年春节，电影《哪吒之魔童闹海》大卖，使得哪吒成为网络最新顶流.某公司以哪吒为原型设计了小型钥匙扣，其质量服从正态分布（单位：），现抽取500个钥匙扣样本，其中质量在范围内的个数约为__________.（结果四舍五入保留整数） 参考数据：若，则， 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16题15分，第17题15分，第18题17分，第19题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数.（算出具体数字） （1）排成前后两排，前排3人，后排4人； （2）全体排成一排，女生必须站在一起； （3）全体排成一排，男生互不相邻； （4）全体排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边. 16. 已知数列的首项，且满足（） （1）求证：数列为等比数列；求数列的通项公式； （2）记，求数列前项的和． 17. 已知函数（为实常数）. （1）当时，求函数在上的最大值与最小值及相应的值； （2）讨论函数的单调性. 18. 为了研究高中学生每天整理数学错题的情况，沈阳市某校数学建模兴趣小组的同学在本校高二年级学生中采用随机抽样的方法抽取了40名学生，调查他们平时的数学成绩和整理数学错题的情况，现统计得部分数据如下： 数学成绩总评优秀人数 数学成绩总评非优秀人数 合计 每天都整理数学错题人数 14 a 不是每天都整理数学错题人数 b 15 20 合计 40 （1）计算a，b的值，并判断是否有99%的把握认为“数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关”？ （2）从样本中不是每天都整理数学错题的学生中随机抽取3名学生做进一步访谈，设恰好抽取到数学成绩总评优秀的人数为X，求X的分布列和期望. 附： 010 0.01 0001 2.706 6.635 10.828 19. 为了加快实现我国高水平科技自立自强，某科技公司逐年加大高科技研发投入.下图1是该公司2013年至2022年的年份代码x和年研发投入y（单位：亿元）的散点图，其中年份代码1∼10分别对应年份2013∼2022. 根据散点图，分别用模型①，②作为年研发投入y（单位：亿元）关于年份代码x的经验回归方程模型，并进行残差分析，得到图2所示的残差图.结合数据，计算得到如下表所示的一些统计量的值： 75 2.25 82.5 4.5 120 28.35 表中，. （1）根据残差图，判断模型①和模型②哪一个更适宜作为年研发投入y（单位：亿元）关于年份代码x的经验回归方程模型?并说明理由； （2）（i）根据（1）中所选模型，求出y关于x的经验回归方程； （ii）设该科技公司的年利润（单位：亿元）和年研发投入y（单位：亿元）满足（且），问该科技公司哪一年的年利润最大? 附：对于一组数据，，…，，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 海南省定安县2024-2025学年高二下学期7月期末考试数学试题 注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将答题卡交回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知等差数列，其中，则（ ） A. B. 4 C. 5 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差中项的性质即可求解. 【详解】由等差中项可得， 故选：C 2. 已知关于的经验回归方程为，则样本点的残差为（ ） A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，求出预测值，进而求出残差. 【详解】当时，，所以样本点的残差为. 故选：B 3. 设随机变量，则（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.6 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，由正态分布曲线的对称性，结合，即可求解. 【详解】由随机变量，可得，且 根据正态分布曲线的对称性，可得. 故选：A. 4. 已知函数在处有极值，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】函数在处有极值，则导函数在处的函数值等于0. 【详解】,因为函数在处有极值,所以,解得.代入检验满足题意， 故选：A 5. 记事件A为“抛一枚硬币正面向上”，事件B为“掷一颗骰子点数为6”，则条件概率为（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用古典概型概率公式求，再利用条件概率公式求. 【详解】因为事件A为“抛一枚硬币正面向上”， 事件B为“掷一颗骰子点数为6”， 所以，， 因为事件独立，所以， 所以， 故选：B. 6. 用0，1，2，3，4，5可组成无重复数字的三位数的个数为（ ） A. 98 B. 99 C. 100 D. 101 【答案】C 【解析】 【分析】由分步乘法计数原理代入计算，即可得到结果. 【详解】先填百位数，有种选法， 再填十位数，有种选法， 最后填个位数，有种选法， 由分步乘法计数原理可得， 一共可以组成无重复数字的三位数个. 故选：C 7. 已知的展开式中第6项的系数为56，则实数（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】写出展开式的通项，即可得到展开式的第项，从而得到方程，解得即可. 【详解】二项式展开式的通项为，（其中且）， 所以展开式的第项为， 依题意可得，解得. 故选：D 8. 是定义在上的偶函数，为其导函数且，且时，，则不等式的解集为（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】当时，构造函数，求导结合已知得其单调性，进而可得当时，，当时，，结合偶函数的性质即可进一步得解. 【详解】是定义在上的偶函数， 当时，令，则，所以在上单调递减， 当时，，即， 当时，，即， 即当时，的解集为， 因为函数是定义在上的偶函数，由其对称性可知： 当时，的解集为， 所以不等式的解集为. 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知等比数列的公比为，，则（ ） A. B. C. D. 数列是公比为的等比数列 【答案】AB 【解析】 【分析】对A，根据等比数列的定义求解即可；对B，由A可得，进而可得；对C，根据等比数列的求和公式求解即可；对D，根据等比数列的定义判断即可. 【详解】对A，由题知，故A正确； 对B，，故B正确； 对C，，故C错误； 对D，，故数列是首项为，公比为4的等比数列，故D错误． 故选：AB． 10. 函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 函数在区间上单调递减； B. ； C. 函数在处取极大值； D. 函数在区间内有两个极小值点. 【答案】BD 【解析】 【分析】先由给定的图象求得函数的单调性，进而逐一判断即可. 【详解】由图知，当时，，当时，， 当时，，当时，， 因此函数在上递增，在上递减，A错误，，B正确； 的极小值点为和，极大值点为，C错误，D正确. 故选：BD. 11. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于AB：利用赋值法分析求解；对于C：相对于选4个，1个1或者选2个，3个，即可得结果；对于D：分析可得是的展开式的系数和，利用赋值法分析求解. 【详解】对于A，令，则； 令，则； 所以，故A错误； 对于B，令，则； 且，两式相加可得， 即，所以，故B正确； 对于C，因为， 所以选4个，1个1或者选2个，3个， 即可求出展开式中的系数为，则，故C正确； 对于D，因为是的展开式的系数和， 所以令，则，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机变量， 若E(X)=1， 则D(X)=___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用二项分布的期望、方差公式列式求解. 【详解】随机变量，由，得，解得， 所以. 故答案为： 13. 已知的取值如表所示，从散点图分析可知与线性相关，如果线性回归方程为，那么表格中数据的值为____. 0 1 2 4 4.3 4.8 6.7 【答案】 【解析】 【分析】先求，根据线性回归方程必过样本中心点运算求解. 【详解】因为， 可知样本中心点在线性回归方程为上， 则，解得 故答案：. 14. 2025年春节，电影《哪吒之魔童闹海》大卖，使得哪吒成为网络最新顶流.某公司以哪吒为原型设计了小型钥匙扣，其质量服从正态分布（单位：），现抽取500个钥匙扣样本，其中质量在范围内的个数约为__________.（结果四舍五入保留整数） 参考数据：若，则， 【答案】239 【解析】 【分析】先计算，再将其乘以即可求出. 【详解】由题意可知，， 则 ， 则抽取500个钥匙扣样本，其中质量在范围内的个数约为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16题15分，第17题15分，第18题17分，第19题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数.（算出具体数字） （1）排成前后两排，前排3人，后排4人； （2）全体排成一排，女生必须站在一起； （3）全体排成一排，男生互不相邻； （4）全体排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边. 【答案】（1）5040 （2）576 （3）1440 （4）3720 【解析】 【分析】（1）分两步完成，先选3人站前排，余下4人站后排，再利用分步乘法计数原理求解；（2）利用捆绑法，将女生看成一个整体，进行全排列，再与3名男生进行全排列求解； （3）利用插空法，先排女生，再在空位中插入男生求解； （4）先7名学生全排列，再减去甲在最左边，乙在最右边，然后加上甲在最左边且乙在最右边的情况求解. 【小问1详解】 解：分两步完成，先选3人站前排，有种方法， 余下4人站后排，有种方法， 所以一共有（种）； 【小问2详解】 将女生看成一个整体，进行全排列，有种， 再与3名男生进行全排列有种， 共有=（种）. 【小问3详解】 先排女生有种方法，再在空位中插入男生有种方法， 故有（种）； 【小问4详解】 7名学生全排列，有种方法，其中甲在最左边时，有种方法，乙在最右边时，有种方法， 其中都包含了甲在最左边且乙在最右边的情形，有种方法， 故共有（种）. 16. 已知数列的首项，且满足（） （1）求证：数列为等比数列；求数列的通项公式； （2）记，求数列的前项的和． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由等比数列的定义即可求证， （2）由（1）求得，再由裂项相消法求和，即可求解. 【小问1详解】 由得， 又， 所以是首项为2，公比为2的等比数列． 【小问2详解】 由（1）知，， 所以， 所以， 所以 . 17. 已知函数（为实常数）. （1）当时，求函数在上的最大值与最小值及相应的值； （2）讨论函数单调性. 【答案】（1）当时，有最小值，当时，有最大值； （2）当时，在上递增，当时，在上递减，在上递增. 【解析】 【分析】（1）函数求导后，由导数的正负可求出函数的单调区间，从而可求出函数的最值； （2）对函数求导后，分和两种情况讨论导数的正负，从而可求出函数的单调区间. 【小问1详解】 当时，，则， 由，得，由，得， 所以在上递减，在上递增， 所以在上递减，在上递增， 所以当时，有最小值为， 因为，所以当时，有最大值； 【小问2详解】 由，得， 当时，在上恒成立，所以在上递增， 当时，由，得，由，得， 所以在上递减，在上递增. 18. 为了研究高中学生每天整理数学错题的情况，沈阳市某校数学建模兴趣小组的同学在本校高二年级学生中采用随机抽样的方法抽取了40名学生，调查他们平时的数学成绩和整理数学错题的情况，现统计得部分数据如下： 数学成绩总评优秀人数 数学成绩总评非优秀人数 合计 每天都整理数学错题人数 14 a 不是每天都整理数学错题人数 b 15 20 合计 40 （1）计算a，b的值，并判断是否有99%的把握认为“数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关”？ （2）从样本中不是每天都整理数学错题的学生中随机抽取3名学生做进一步访谈，设恰好抽取到数学成绩总评优秀的人数为X，求X的分布列和期望. 附： 0.10 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 【答案】（1），，有99%的把握认为“数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关” （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）根据列联表计算，计算卡方，利用独立性检验即可求解； （2）根据题意先求的可能取值，再求对应的概率，即可得分布列，进而求期望. 【小问1详解】 依题意，，， 数学成绩总评优秀人数 数学成绩总评非优秀人数 合计 每天都整理数学错题人数 14 6 20 不是每天都整理数学错题人数 5 15 20 合计 19 21 40 零假设为：数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题无关 根据列联表中的数据，计算得 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 所以有99%的把握认为“数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关”. 【小问2详解】 不是每天都整理数学错题的学生有20人，其中数学成绩总评优秀人数为5，X的所有可能值为0，1，2，3， ，，，， 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 P 期望. 19. 为了加快实现我国高水平科技自立自强，某科技公司逐年加大高科技研发投入.下图1是该公司2013年至2022年的年份代码x和年研发投入y（单位：亿元）的散点图，其中年份代码1∼10分别对应年份2013∼2022. 根据散点图，分别用模型①，②作为年研发投入y（单位：亿元）关于年份代码x的经验回归方程模型，并进行残差分析，得到图2所示的残差图.结合数据，计算得到如下表所示的一些统计量的值： 75 2.25 82.5 4.5 120 28.35 表中，. （1）根据残差图，判断模型①和模型②哪一个更适宜作为年研发投入y（单位：亿元）关于年份代码x的经验回归方程模型?并说明理由； （2）（i）根据（1）中所选模型，求出y关于x的经验回归方程； （ii）设该科技公司的年利润（单位：亿元）和年研发投入y（单位：亿元）满足（且），问该科技公司哪一年的年利润最大? 附：对于一组数据，，…，，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，. 【答案】（1）选择模型②更适宜，理由见解析 （2）（i）；（ii）该公司2028年的年利润最大 【解析】 【分析】（1）根据残差图确定； （2）根据最小二乘法求非线性回归方程即可求解； 【小问1详解】 根据图2可知，模型①的残差波动性很大，说明拟合关系较差； 模型②的残差波动性很小，基本分布在0的附近，说明拟合关系很好，所以选择模型②更适宜. 【小问2详解】 （i）设，所以， 所以，， 所以关于的经验回归方程为 （ii）由题设可得， 当取对称轴即，即时，年利润L有最大值， 故该公司2028年的年利润最大. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$