精品解析：广东省惠州市惠阳区2024-2025学年八年级下学期7月期末数学试题

2024-2025学年度第二学期期末教学质量监测八年级数学试题 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列二次根式，能与合并的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在中，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 若能使下列二次根式有意义，则这个二次根式可以是（ ） A. B. C. D. 4. 李师傅到单位附近的加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，则其中的常量是（ ） 116.64 金额 18 数量/升 648 单价/元 A. 金额 B. 数量 C. 单价 D. 金额和数量 5. 为了固定垂直于地面的木桩，工人们在木桩离地面高4米的点A拉了一根长5米的钢丝，另一头固定在地面的处（接头处长度不计），则点与木桩底部的距离应为（ ） A. 3米 B. 4米 C. 5米 D. 6米 6. 若三角形的三边长分别为，且满足，则这个三角形的形状是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 7. 如图，小明与家人乘车去惠州西湖游玩然后返回家中，小明与家的距离与所用时间的对应关系如图所示，以下说法错误的是（ ） A. 小明全家去西湖时的平均速度为 B. 小明全家返回时的平均速度为 C 小明全家停车游玩了小时 D. 小明“乘车去西湖”和“从西湖返回家”的时间相同 8. 如图，在中，，，、分别为的中点，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 9. 为培养和促进学生对数理化科普知识兴趣，激发学生形成学科学、用科学、爱科学、积极探索的学习风尚，学校举办了“数理化科普知识竞赛”，设有数学、物理、化学三个科目，学校按照的比例计算综合成绩来评定参赛学生的奖项．在这次竞赛中，小明同学数学、物理、化学三科成绩分别为90分、80分、85分，那么小王的竞赛综合成绩为（ ） A. 85 B. 86 C. 87 D. 88 10. 在矩形中，对角线、相交于点，平分交于点，．连接，则下面的结论：①是等边三角形；②是等腰三角形；③；④，其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分） 11. 化简：_____． 12. 若直线经过第二、四象限，则m的取值范围为________． 13. 如图，在平面直角坐标系xOy中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是_______． 14. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，且与直线相交于点，则的解集是_____． 15. 如图，在正方形的边上连接等腰直角三角形，然后在等腰直角三角形的直角边上连接正方形，无限重复上述过程，如果第一个正方形的边长为，那么第个正方形的面积为______． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 计算： 17. 如图，某沿海城市接到台风警报，在该市正南方向的处有一台风中心正以的速度向方向移动，已知城市到的距离，那么台风中心经过多长时间从点移到点？ 18. 如图，四边形是平行四边形． （1）尺规作图：作的平分线交于点（保留作图痕迹，不写作法）． （2）在（）的情况下，若，，求的长． 四、解答题（一）（本大题共3小题，每小题8分，共27分） 19. 校园消防关系到全校师生的生命安全．某校为加强学生的消防意识，开展了“消防安全知识”宣传活动，活动后举办了消防知识竞赛（百分制），并分别在七、八年级中各随机抽取10名学生的成绩进行了统计、整理与分析（成绩用x表示，共分为三个等级：合格，良好，优秀），下面给出了部分信息： 信息一：10名七年级学生的成绩：83，84，84，88，89，89，95，95，95，98． 信息二：10名八年级学生中“良好”等级包含的所有数据：85，90，90，90，94． 信息三： 年级 平均数 中位数 众数 方差 “优秀”等级所占百分比 七年级 90 89 a 26.6 八年级 90 b 90 30 抽取10名八年级学生的成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，______，______． （2）该校七、八年级各有700名学生，估计该校七、八年级学生中成绩为“优秀”等级的学生共有多少人？ （3）根据以上数据，你认为该校七、八年级中，哪个年级学生对消防知识掌握得更好？请说明理由． 20. 跨学科融合——项目式学习 供水路线设计 背景 在惠州东江流域，有一个依山傍水的传统村落——青溪村（图中点处）．过去，村民们一直依赖河边原有的两个取水点、获取生活用水，且．但由于东江流域季节性洪水冲刷，从村庄到取水点的道路被严重损毁，已无法通行． 测量数据 为保障村民日常用水，青溪村与地理科研团队合作开展“智慧供水”项目，决定在河边新建取水点（、、在一条直线上），并修建一条新路．经地理勘测团队测量，千米，千米，千米． 任务一 最佳路线评估地理团队在进行供水路线规划时，需要确定是否为从村庄到河边的最近路． （）请你结合数学知识，通过计算加以说明：是否为从村庄到河边的最近路？ 任务二 工程成本分析在项目成本核算阶段，施工团队需要了解新路比原路少多少千米，从而估算节省的材料与人力成本． （）请运用数学方法，结合地理实际测量数据，求出新路相比原路缩短多少千米？ 21. 惠州西湖是国家5A级旅游景区，拥有深厚的历史文化底蕴，苏轼曾在此留下众多诗篇．景区内游船租赁服务颇受游客喜爱，某游船租赁公司计划在景区投放新型游船型和型（两种游船乘船人数一样）．已知租3艘型和2艘型游船共需租金1080元：租1艘型和4艘型游船共需租金1160元． （1）求出每艘型和型的租金分别是多少钱？ （2）惠阳区“伯恩”公司组织部分员工去西湖团建活动，需租型和型游船一共20艘，且型游船不超过型游船的2倍，请你通过计算确定该公司租船费用最低的方案？并求出最低费用是多少？ 五、解答题（3）（本大题3小题，22题13分，23题14分，共27分） 22. 综合与实践 折纸是一项有趣的活动，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习．在折纸过程中，我们可以研究图形的运动和性质，也可以在思考问题的过程中，初步建立几何直观，现在就让我们带着数学的眼光来折纸吧．定义：将纸片折叠，若折叠后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为完美矩形． （1）操作发现： 如图①，将纸片按所示折叠成完美矩形，若的面积为，，则此完美矩形的边长 ，面积为 ． （2）类比探究： 如图②，将平行四边形纸片按所示折叠成完美矩形，若平行四边形的面积为，，则完美矩形的周长为 ． （3）拓展延伸： 如图③，将平行四边形纸片按所示折叠成完美矩形，若，，求此完美矩形的周长为多少． 23. 数学建模 【模型建立】如图，三个直角三角形的直角顶点都在同一条直线上，这一模型叫作“一线三垂直”型．这种模型是证明三角形全等的常见模型，在数学解题中被广泛使用． 【模型探索】 （）如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于：，两点．以线段为直角边在的右边作等腰直角，直接写出点的坐标：_____，______，_____． （）如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于，两点，，是直线上的两动点，连接，．若，，求长的最小值． 【模型应用】 （）如图，在（）情况下，经过点的直线与轴交于点，为线段上的一点，作射线．若，求直线的函数解析式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第二学期期末教学质量监测八年级数学试题 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列二次根式，能与合并的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式，二次根式合并的条件是化简后为同类二次根式（即被开方数相同）．先将各选项化简，再判断是否与的被开方数一致． 【详解】解：，被开方数为． A．，被开方数为，不符合． B．，被开方数为，不符合． C．，被开方数为，符合条件． D．无法进一步化简，被开方数为，不符合． 综上，只有选项C能与合并． 故选C． 2. 如图，在中，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质．根据平行四边形的对角相等即可求解． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴． 故选：C． 3. 若能使下列二次根式有意义，则这个二次根式可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件：根号下的数大于等于零，是解题的关键，根据二次根式有意义的条件逐一判断即可得到答案． 【详解】A、有意义的条件是，则，能使二次根式有意义，故此选项符合题意； B、有意义的条件是，则，不能使二次根式有意义，故此选项不符合题意； C、有意义的条件是，则，不能使二次根式有意义，故此选项不符合题意； D、有意义的条件是，则，不能使二次根式有意义，故此选项不符合题意； 故选：A． 4. 李师傅到单位附近的加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，则其中的常量是（ ） 116.64 金额 18 数量/升 6.48 单价/元 A. 金额 B. 数量 C. 单价 D. 金额和数量 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查常量与变量，根据常量与变量的定义即可判断． 【详解】解：常量是固定不变的量，变量是变化的量， 单价是不变的量，而金额是随着数量的变化而变化， 故选：C． 5. 为了固定垂直于地面的木桩，工人们在木桩离地面高4米的点A拉了一根长5米的钢丝，另一头固定在地面的处（接头处长度不计），则点与木桩底部的距离应为（ ） A. 3米 B. 4米 C. 5米 D. 6米 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：∵ ∴， 在中，米，米。 ∴， 米 ， 故选：A． 6. 若三角形的三边长分别为，且满足，则这个三角形的形状是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理的应用，绝对值非负性，平方根的非负性质．根据绝对值非负性，平方根的非负性质得出a，b，c的值，再利用勾股定理的逆定理即可得出三角形的形状． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴这个三角形是直角三角形， 故选：B． 7. 如图，小明与家人乘车去惠州西湖游玩然后返回家中，小明与家的距离与所用时间的对应关系如图所示，以下说法错误的是（ ） A. 小明全家去西湖时的平均速度为 B. 小明全家返回时平均速度为 C. 小明全家停车游玩了小时 D. 小明“乘车去西湖”和“从西湖返回家”的时间相同 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，解题关键是从图象中获取路程、时间信息，结合速度公式分析判断 ； 根据图象可知小明全家去西湖时花费1.5小时，路程为，回家时花费2小时，路程为，根据速度路程时间可判断A、B；小明全家在出发1.5小时后到西湖，在出发6小时后离开西湖，据此可判断C；小明全家出发后，根据离家时间和回家过程中两个时间进行比较，可判断D． 【详解】A． 小明全家去西湖时的平均速度为，原说法正确，不符合题意； B．小明全家返回时的平均速度为，原说法正确，不符合题意； C． 小明全家停车游玩了小时，原说法正确，不符合题意； D． 小明全家乘车去西湖的时间是，从西湖返回家的时间是，，时间不相同，该选项原说法错误，符合题意； 故选：D． 8. 如图，在中，，，、分别为的中点，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，含30度角的直角三角形的性质，根据含30度角的直角三角形的性质得到，再由三角形中位线定理可得． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∵、分别为的中点， ∴是的中位线， ∴， 故选：A． 9. 为培养和促进学生对数理化科普知识的兴趣，激发学生形成学科学、用科学、爱科学、积极探索的学习风尚，学校举办了“数理化科普知识竞赛”，设有数学、物理、化学三个科目，学校按照的比例计算综合成绩来评定参赛学生的奖项．在这次竞赛中，小明同学数学、物理、化学三科成绩分别为90分、80分、85分，那么小王的竞赛综合成绩为（ ） A. 85 B. 86 C. 87 D. 88 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查加权平均数的计算，根据各科成绩及其权重比例求解综合成绩． 【详解】解：， 因此，小明的综合成绩为86分． 故选B． 10. 在矩形中，对角线、相交于点，平分交于点，．连接，则下面的结论：①是等边三角形；②是等腰三角形；③；④，其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】判断出是等腰直角三角形，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出，再判断出是等边三角形，可判断①；根据等边三角形的性质求出，再求出，可判断②；由直角三角形的性质可得，可判断③；由面积公式可得，可判断④． 【详解】解：平分， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 在矩形中，， 是等边三角形，是等边三角形，故①正确； ， ， ， 是等腰三角形，故②正确； 在中，， ，故③错误； ， ，故④正确； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质是解题的关键． 二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分） 11. 化简：_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简，利用平方差公式分母有理化即可，掌握分母有理化是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 若直线经过第二、四象限，则m的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用正比例函数的定义得出m的取值范围即可． 【详解】解：∵正比例函数的图象过第二、四象限， ∴m−3＜0， 解得：． 故答案为： 【点睛】此题主要考查了正比例函数的性质，正确把握正比例函数的性质是解题关键． 13. 如图，在平面直角坐标系xOy中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是_______． 【答案】（5，4） 【解析】 【分析】利用菱形的性质以及勾股定理得出DO的长，进而求出C点坐标． 【详解】解：∵菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y轴上， ∴AB=5， ∴DO=4， ∴点C的坐标是：（5，4）． 故答案：（5，4）． 14. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，且与直线相交于点，则的解集是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与不等式，根据两条直线的交点坐标即可求解，掌握数形结合思想是解题的关键． 【详解】解：∵直线与直线相交于点， ∴不等式的解集是， 故答案为：． 15. 如图，在正方形的边上连接等腰直角三角形，然后在等腰直角三角形的直角边上连接正方形，无限重复上述过程，如果第一个正方形的边长为，那么第个正方形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题利用了等腰直角三角形的性质，直角边长是斜边长的倍，及正方形的面积公式求解，观察图形，分别求得每个正方形的边长，从而发现规律，根据其规律解题即可找到第个正方形的边长为是解题的关键． 【详解】可以发现，第一个正方形的边长为， 第个正方形的边长为 ， 第个正方形的边长为 第个正方形的边长为 ， ∴第个正方形的面积 ， 故答案为：． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了零指数幂，二次根式的混合运算．先根据零指数幂，二次根式的乘法，绝对值的性质化简，再计算，即可求解． 【详解】解： ． 17. 如图，某沿海城市接到台风警报，在该市正南方向的处有一台风中心正以的速度向方向移动，已知城市到的距离，那么台风中心经过多长时间从点移到点？ 【答案】台风中心经过小时从点移到点． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，首先根据勾股定理计算的长，再根据时间路程速度进行计算，解题的关键是掌握勾股定理的应用． 【详解】在直角三角形中，根据勾股定理，得 ， 时，， 答：台风中心经过小时从点移到点． 18. 如图，四边形是平行四边形． （1）尺规作图：作的平分线交于点（保留作图痕迹，不写作法）． （2）在（）的情况下，若，，求的长． 【答案】（1）作图见解析 （2） 【解析】 【分析】（）根据角平分线的作法作图即可； （）由平行四边形的性质和角平分线的定义可得，即得，进而即可求解； 本题考查了角平分线的作法，平行四边形的性质，等腰三角形的判定等，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：如图所示，线段即为所求； 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 四、解答题（一）（本大题共3小题，每小题8分，共27分） 19. 校园消防关系到全校师生的生命安全．某校为加强学生的消防意识，开展了“消防安全知识”宣传活动，活动后举办了消防知识竞赛（百分制），并分别在七、八年级中各随机抽取10名学生的成绩进行了统计、整理与分析（成绩用x表示，共分为三个等级：合格，良好，优秀），下面给出了部分信息： 信息一：10名七年级学生的成绩：83，84，84，88，89，89，95，95，95，98． 信息二：10名八年级学生中“良好”等级包含的所有数据：85，90，90，90，94． 信息三： 年级 平均数 中位数 众数 方差 “优秀”等级所占百分比 七年级 90 89 a 26.6 八年级 90 b 90 30 抽取的10名八年级学生的成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，______，______． （2）该校七、八年级各有700名学生，估计该校七、八年级学生中成绩为“优秀”等级的学生共有多少人？ （3）根据以上数据，你认为该校七、八年级中，哪个年级学生对消防知识掌握得更好？请说明理由． 【答案】（1）95，90，20 （2）估计该校七、八年级学生中成绩为“优秀”等级的学生共有490人 （3）七年级学生对消防知识掌握得更好，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据已知条件可以分别求出八年级10名学生“优秀”和“良好”的人数，再根据众数和中位数的定义即可求解； （2）用样本估计总体即可求解； （3）结合平均数、众数、中位数、方差进行分析，给出合理建议即可． 【小问1详解】 解：由学生成绩统计表可知，八年级10名学生中“优秀”等级所占百分比为，“良好”等级所占百分比为， ∴八年级“优秀”等级人数为：（人）， ∴八年级“良好”等级：（人）， ∴八年级“合格”等级所占百分比为， ∴， ∴八年级“合格”等级人数为：（人）， ∴八年级10名学生中，中位数为将10名学生成绩从小到大排序后第5、6成绩的平均数，即八年级10名学生中“良好”等级的第3、4成绩的平均数，为（分）， 10名七年级学生的成绩中，95出现次数最多， ∴； 故答案为：95，90，20； 【小问2详解】 解：估计该校七、八年级学生中成绩为“优秀”等级的学生共有 （人）； 【小问3详解】 解：七年级学生对消防知识掌握得更好， 理由如下： 平均数：七、八年级学生成绩的平均数相同； 众数：七年级学生成绩的众数比八年级学生成绩的众数高； 方差：七年级学生成绩的方差比八年级学生成绩的方差小，即七年级学生成绩比八年级学生成绩更稳定． 综上所述，该校七年级学生对消防知识掌握得更好． 【点睛】本题考查了会从统计图中获取信息进行相关计算，众数、中位数的定义，平均数、众数、中位数、方差的特征，正确获取信息，会根据数据的集中趋势特征数和离散程度的特征数进行分析决策是解题的关键． 20. 跨学科融合——项目式学习 供水路线设计 背景 在惠州东江流域，有一个依山傍水的传统村落——青溪村（图中点处）．过去，村民们一直依赖河边原有的两个取水点、获取生活用水，且．但由于东江流域季节性洪水冲刷，从村庄到取水点的道路被严重损毁，已无法通行． 测量数据 为保障村民日常用水，青溪村与地理科研团队合作开展“智慧供水”项目，决定在河边新建取水点（、、在一条直线上），并修建一条新路．经地理勘测团队测量，千米，千米，千米． 任务一 最佳路线评估地理团队在进行供水路线规划时，需要确定是否为从村庄到河边的最近路． （）请你结合数学知识，通过计算加以说明：是否为从村庄到河边的最近路？ 任务二 工程成本分析在项目成本核算阶段，施工团队需要了解新路比原路少多少千米，从而估算节省的材料与人力成本． （）请运用数学方法，结合地理实际测量数据，求出新路相比原路缩短多少千米？ 【答案】（）是从村庄到河边的最近路，理由见解析；（）千米 【解析】 【分析】（）利用勾股定理的逆定理可得是直角三角形，， 再根据垂线段最短即可说明； （）设千米，则千米，在中，利用勾股定理求出的值即可求解； 本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，垂线段最短，掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． 【详解】解：（）是从村庄到河边的最近路，理由如下： 在中，，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∵垂线段最短， ∴是从村庄到河边的最近路； （）设千米，则千米， ∴千米， 在中，由勾股定理得：， . ∴， 解得， ∴千米， ∴千米， 答：新路相比原路缩短千米． 21. 惠州西湖是国家5A级旅游景区，拥有深厚的历史文化底蕴，苏轼曾在此留下众多诗篇．景区内游船租赁服务颇受游客喜爱，某游船租赁公司计划在景区投放新型游船型和型（两种游船乘船人数一样）．已知租3艘型和2艘型游船共需租金1080元：租1艘型和4艘型游船共需租金1160元． （1）求出每艘型和型的租金分别是多少钱？ （2）惠阳区“伯恩”公司组织部分员工去西湖团建活动，需租型和型游船一共20艘，且型游船不超过型游船的2倍，请你通过计算确定该公司租船费用最低的方案？并求出最低费用是多少？ 【答案】（1）每艘型和型的租金分别是200元，240元钱 （2）租用A型游船13艘，租用B型游船7艘，费用最低，最低费用是4280元 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用： （1）设每艘型和型的租金分别是x元，y元钱，根据题意，列出方程组，即可求解； （2）设租用A型游船m艘，则租用B型游船艘，根据题意，可求出m范围；设租金为W元，根据题意，列出W关于m的函数关系式，再根据一次函数的性质解答，即可求解． 【小问1详解】 解：设每艘型和型的租金分别是x元，y元钱，根据题意得： ， 解得：， 答：每艘型和型的租金分别是200元，240元钱； 【小问2详解】 解：设租用A型游船m艘，则租用B型游船艘，根据题意得： ， 解得：， ∵m为整数， ∴m最大为13， 设租金为W元，根据题意得： ， ∵， ∴W随x的增大而减小， ∴当时，W最小，最小值为4280，此时， 答：租用A型游船13艘，租用B型游船7艘，费用最低，最低费用是4280元． 五、解答题（3）（本大题3小题，22题13分，23题14分，共27分） 22. 综合与实践 折纸是一项有趣的活动，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习．在折纸过程中，我们可以研究图形的运动和性质，也可以在思考问题的过程中，初步建立几何直观，现在就让我们带着数学的眼光来折纸吧．定义：将纸片折叠，若折叠后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为完美矩形． （1）操作发现： 如图①，将纸片按所示折叠成完美矩形，若的面积为，，则此完美矩形的边长 ，面积为 ． （2）类比探究： 如图②，将平行四边形纸片按所示折叠成完美矩形，若平行四边形的面积为，，则完美矩形的周长为 ． （3）拓展延伸： 如图③，将平行四边形纸片按所示折叠成完美矩形，若，，求此完美矩形的周长为多少． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，折叠的性质，矩形的性质，勾股定理等知识点，熟悉利用折叠的性质是解题的关键． （1）根据折叠的性质和三角形的面积公式分别求出矩形的长和宽，即可得到矩形的周长； （2）根据折叠的性质和三角形的面积公式分别求出矩形的长和宽，即可得到矩形的周长； （3）连接，根据折叠的性质证出四边形是平行四边形，设，则，利用勾股定理求出矩形的长和宽，即可得到矩形的周长． 【小问1详解】 解：由折叠可知，，，， ∴，点是中点， 过点作于点，交于点，如图①所示： ∵， ， ∴由折叠可知：， ∴， ∴完美矩形的面积为：； 【小问2详解】 解：由折叠可得：，，，， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的周长； 【小问3详解】 解：连接，如图所示： 由折叠可得：点和分别是和的中点， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴设，则， ∵在中，， ∴， 解得：， ∴，， ∴矩形的周长． 23. 数学建模 【模型建立】如图，三个直角三角形的直角顶点都在同一条直线上，这一模型叫作“一线三垂直”型．这种模型是证明三角形全等的常见模型，在数学解题中被广泛使用． 【模型探索】 （）如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于：，两点．以线段为直角边在的右边作等腰直角，直接写出点的坐标：_____，______，_____． （）如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于，两点，，是直线上的两动点，连接，．若，，求长的最小值． 【模型应用】 （）如图，在（）的情况下，经过点的直线与轴交于点，为线段上的一点，作射线．若，求直线的函数解析式． 【答案】（），，；（）；（） 【解析】 【分析】（）过点作轴于点，由一次函数解析式可得，，即得，，再证明，得到，，进而即可求解； （）当时，最小，由一次函数解析式可得，，即得，进而证明，得到，利用勾股定理求出即可求解； （）过点作于点，过点作轴于点，交过点和轴的平行线于点，可得为等腰直角三角形，即得，同理（）可证，得到，，又由四边形为矩形可得，，由一次函数解析式得，即得，设， 则，，由，列出方程组求出的值，进而得到点的坐标，最后再利用待定系数法解答即可求解． 【详解】解：（）如图，过点作轴于点，则， ∵一次函数的图象与轴、轴分别交于，两点， ∴，， ∴，， ∵是以为直角边等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：，，； （）如图，当时，最小， ∵， ∴， ∴， ∵一次函数的图象与轴、轴分别交于，两点， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴长的最小值为； （）如图，过点作于点，过点作轴于点，交过点和轴的平行线于点， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 同理（）可证， ∴，， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵直线与轴交于点， ∴， ∴， 设， ∴，， ∵，， ∴， 解得， ∴， 设直线的函数解析式为，把和代入得， ， 解得， ∴直线的函数解析式为． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，一次函数的几何应用，勾股定理，待定系数法求一次函数解析式，正确作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $