精品解析：广东省惠州市和惠阳区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023—2024学年度第二学期期末教学质量监测 八年级数学试题 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 定期举行升旗仪式可以培养学生的爱国情怀．当国旗班升旗手匀速升旗时，旗子的高度h（米）与时间t（分）这两个变量之间的关系用图象可以表示为（ ） A. B. C. D. 3. 一次函数的图象不经过的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 某商场对上周女装的销售情况进行了统计，销售情况如表： 颜色 黄色 绿色 白色 紫色 红色 数量（件） 100 180 220 80 550 经理决定本周进女装时多进一些红色的，可用来解释这一现象的统计知识是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 5. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 一组从小到大排列的数据的中位数和平均数相等，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知直角三角形的两直角边长分别为5和12，则此直角三角形斜边上的中线长为（） A. B. 6 C. 13 D. 8. 如图，在平行四边形中，添加的下列条件中，能判定平行四边形是正方形的是（ ） A. B. C. 平分 D. 9. 图1是第七届国际数学教育大会（）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形；若，且，则的长度为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 10. 如图，在菱形中，按以下步骤作图，下列结论中错误的是（ ） （1）分别以，圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于点，； （2）作直线，且直线恰好经过点，且与边交于点； （3）连接． A. B. C. D. 二、填空题（本大题6小题，每小题3分，共18分） 11. 化简＝_____． 12. 函数中，自变量的取值范围是_____． 13. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，则点到坐标原点的距离为______． 14. 某校拟招聘一名优秀数学教师，现有甲、乙、丙三名教师入围，三名教师笔试、面试成绩如下表所示，综合成绩按照笔试占60%、面试占40%进行计算，学校录取综合成绩得分最高者，则被录取教师的综合成绩为_____． 教师成绩 甲 乙 丙 笔试 80分 82分 78分 面试 76分 74分 78分 15. 如图，正比例函数在同一平面直角坐标系中的图象如图所示．则比例系数的大小关系是______．（填“”、“”或“”） 16. 如图，矩形中，，，P，Q分别是上的两个动点，，沿EQ翻折形成，连接，则的最小值是___________． 三、解答题（一）（本大题共3小题，第17题8分，第18题6分，第19题7分，共21分） 17 计算． （1）； （2）． 18. 如图，一个梯子长为米，顶端带在墙上，这时梯子下端与墙角之间的距离是米，将梯子的底端向方向挪动米，如图，求梯子的顶端向上移动了多少米（即求的长）？ 19. 如图，已知分别是的边上的点，且． 求证： （1）四边形平行四边形； （2）． 四、解答题（2）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 20. 随着人们饮食结构愈发复杂，囤鲜需求与日俱增，为满足用户不同需求，某品牌推出了甲、乙两种型号的冰箱在商场中进行试销售，如图是根据甲、乙两种型号冰箱的销售量绘制成的折线统计图和统计分析表（结果保留一位小数）． 型号 平均数 中位数 众数 方差 甲 130 140 133.3 乙 130 根据以上信息，解答下列问题． （1）填空_____，_____， （2）求乙型号冰箱销售量的平均数和方差（若结果有小数，保留一位小数）； （3）若该品牌计划从甲、乙两种型号的冰箱选择一种在该商场进行销售，请运用你所学的统计知识，帮助该品牌分析应该选择哪种型号的冰箱，请说明理由． 21. 小明和妈妈一起在一条笔直的跑道上锻炼身体，到达起点小明做了一会准备活动，妈妈先跑，当小明出发时，妈妈已经距离起点米，他们距起点的距离（米）与小明出发的时间（秒）之间的关系如图所示，根据图中给出的信息解答下列问题． （1）如图，小明出发之后，前秒小明的速度是_____米/秒，前秒妈妈的速度是_____米/秒； （2）求代表的数字是多少？ （3）小明出发后的秒内，多少秒时，小明与妈妈的距离为米？ 22. 如图，在平行四边形中，，过点D作交的延长线于点E，连接交于点F． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，求的长． 五、解答题（3）（本大题2小题，每小题12分，共24分） 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，与轴、轴分别交于两点． （1）若点的坐标分别为．直接写出下列各小题答案． 方程解是______． 方程组的解是______． 不等式的解集是______． 不等式的解集是______． （2）若点的坐标分别为，直线的表达式为，求的面积； （3）在（）的基础上，点是轴上的一点，且使得是等腰三角形，直接写出所有符合条件条件的点的坐标． 24. 综合与实践． 数形结合思想可以借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观来阐明数之间某种关系． （1）年世界数学家大会（）在北京召开，这届大会会标（如图）中央图案是经过艺术处理的“弦图”（如图），它由个全等的直角三角形拼成，请观察“弦图”，直接写出满足的等量关系为______，并利用图形的“等面积思想”加以证明． （2）某数学兴趣小组，采用数形结合思想解决了如下问题． 已知线段，点在线段上，，求的最小值，他们解决问题的思路是，如图，在线段的同侧构造了两个和，令，利用勾股定理，得出，从而将问题转化成求“最小值”问题，再利用“将军饮马”模型，就完成了解答，请你写出解答过程． （3）如图，在中，，点分别为上的动点，且，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024学年度第二学期期末教学质量监测 八年级数学试题 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，满足被开方数不含有分母，被开方数不含有开得尽方的因数或因式，根据定义逐一判断即可． 【详解】解：A、被开方数含有开得尽的因数，不是最简二次根式，不符合题意； B、被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； C、是最简二次根式，符合题意； D、不是二次根式，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：C． 2. 定期举行升旗仪式可以培养学生的爱国情怀．当国旗班升旗手匀速升旗时，旗子的高度h（米）与时间t（分）这两个变量之间的关系用图象可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了用图象表示的变量间关系，根据题意明确因变量随自变量变化的趋势是解题的关键．利用用图象表示变量间关系的方法解答即可． 【详解】解：∵升旗手匀速升旗， ∴高度h将随时间t的增大而变增大， ∴用上升趋势的直线型表示， ∴只有B符合题意， 故选：B． 3. 一次函数的图象不经过的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，则的，得出经过的象限是第一、三、四象限，即可作答． 【详解】解：∵一次函数的 ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限 ∴不经过的象限是第二象限 故选：B 4. 某商场对上周女装的销售情况进行了统计，销售情况如表： 颜色 黄色 绿色 白色 紫色 红色 数量（件） 100 180 220 80 550 经理决定本周进女装时多进一些红色的，可用来解释这一现象的统计知识是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】C 【解析】 【分析】经理最值得关注的应该是爱买哪种颜色女装的人数最多，即众数．此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用． 【详解】解：在决定本周进女装时多进一些红色的，主要考虑的是各色女装的销售的数量，而红色上周销售量最大．由于众数是数据中出现次数最多的数，故考虑的是各色女装的销售数量的众数． 故选：C． 5. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减运算及乘除运算，分别利用二次根式加减运算法则以及乘除运算法则化简判断得出即可，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 【详解】解：A、无法计算，故此选项错误，故不符合题意； B、，故此选项错误，故不符合题意； C、，故此选项正确，故符合题意； D、，故此选项错误，故不符合题意； 故选：C． 6. 一组从小到大排列的数据的中位数和平均数相等，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平均数和中位数，根据平均数和中位数的定义可得，解之即可求解，掌握平均数和中位数的定义是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，， 解得， 故选：． 7. 已知直角三角形的两直角边长分别为5和12，则此直角三角形斜边上的中线长为（） A. B. 6 C. 13 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据勾股定理求得直角三角形斜边的长度，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求解. 【详解】已知直角三角形两直角边长分别为5和12，根据勾股定理求得斜边为13，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得此直角三角形斜边上的中线长为，故选D. 【点睛】本题考查勾股定理和直角三角形斜边上的中线的性质.求出直角三角形的斜边是解题的关键. 8. 如图，在平行四边形中，添加的下列条件中，能判定平行四边形是正方形的是（ ） A. B. C. 平分 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正方形的判定，根据正方形的判定方法逐一判断即可求解，掌握正方形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， 添加，可得平行四边形是矩形，再由可得平行四边形是正方形，故选项符合题意； 添加，可得平行四边形是矩形，得不到是正方形，故选项不合题意； 添加平分，可得平行四边形是菱形，得不到是正方形，故选项不合题意； 添加，可得平行四边形是菱形，得不到是正方形，故选项不合题意； 故选：． 9. 图1是第七届国际数学教育大会（）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形；若，且，则的长度为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质、勾股定理，由含角的直角三角形的性质得出，再由勾股定理计算即可得出答案． 【详解】解：在中，，， ， 在中，由勾股定理得：， 故选：C． 10. 如图，在菱形中，按以下步骤作图，下列结论中错误的是（ ） （1）分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于点，； （2）作直线，且直线恰好经过点，且与边交于点； （3）连接． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，，先根据菱形的性质可得，即可判断选项C正确；再证是等边三角形，根据等腰三角形的三线合一即可判断选项A正确；根据菱形的性质可得，根据即可判断选项B错误；根据和三角形的面积公式即可判断选项D正确． 【详解】解：如图，连接，， 由题意可知，垂直平分， ， 四边形是菱形， ， ，，选项C正确； 是等边三角形， ， （等腰三角形的三线合一），选项A正确； 又四边形是菱形， ，， 的边上的高等于的边上的高，，选项B错误； ， ，选项D正确； 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的性质、线段垂直平分线的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握菱形的性质是解题关键． 二、填空题（本大题6小题，每小题3分，共18分） 11. 化简＝_____． 【答案】2 【解析】 【分析】分子、分母都乘以，再进一步化简即可． 【详解】解：原式＝＝＝2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质及分母有理化的方法是解题关键 ． 12. 函数中，自变量的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据被开方式是非负数列式求解即可. 【详解】解：依题意，得， 解得：， 故答案为． 【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，函数有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑：①当函数解析式是整式时，字母可取全体实数；②当函数解析式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当函数解析式是二次根式时，被开方数为非负数．④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义． 13. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，则点到坐标原点的距离为______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标的几何意义，在解答此题时要注意求点到原点的距离时要用到勾股定理． 直角坐标系中，某点到轴的距离是它的纵坐标的绝对值，到轴的确距离是它的横坐标的绝对值，到原点的距离为． 【详解】解：点到原点的距离为， 故答案为：10． 14. 某校拟招聘一名优秀数学教师，现有甲、乙、丙三名教师入围，三名教师笔试、面试成绩如下表所示，综合成绩按照笔试占60%、面试占40%进行计算，学校录取综合成绩得分最高者，则被录取教师的综合成绩为_____． 教师成绩 甲 乙 丙 笔试 80分 82分 78分 面试 76分 74分 78分 【答案】分 【解析】 【分析】根据加权平均数的定义求出各老师的综合成绩，比较即可． 【详解】解：甲的综合成绩为， 乙的综合成绩为， 丙的综合成绩为， ， ∴录取乙老师，录取的综合成绩为分， 故答案为：分． 【点睛】本题考查加权平均数，掌握加权平均数的定义是解题的关键． 15. 如图，正比例函数在同一平面直角坐标系中的图象如图所示．则比例系数的大小关系是______．（填“”、“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查饿了正比例函数的性质，根据直线越靠近轴越大，即可判定求解，掌握正比例函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵直线越靠近轴越大，且由图象可知为正数， ∴， 故答案为：． 16. 如图，矩形中，，，P，Q分别是上的两个动点，，沿EQ翻折形成，连接，则的最小值是___________． 【答案】4 【解析】 【分析】如图作点D关于的对称点，连接，由，推出，又是定值，即可推出当E、F、P、共线时，定值最小，最小值． 【详解】解：如图作点D关于的对称点，连接， 在中，∵， ∴， ∵， ∴， ∵是定值， ∴当E、F、P、共线时，定值最小，最小值， ∴的最小值为4， 故答案为：4． 【点睛】本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称，根据两点之间线段最短解决最短问题． 三、解答题（一）（本大题共3小题，第17题8分，第18题6分，第19题7分，共21分） 17. 计算． （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（）利用二次根式的性质和运算法则计算即可求解； （）利用平方差公式、完全平方公式展开再合并即可求解； 本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 如图，一个梯子长为米，顶端带在墙上，这时梯子下端与墙角之间的距离是米，将梯子的底端向方向挪动米，如图，求梯子的顶端向上移动了多少米（即求的长）？ 【答案】米． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理得应用，根据勾股定理可得米，设米，在中由勾股定理可得，解方程即可求解，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，米，米， 设米，则米， 在中，， ∴， 解得，（不合，舍去）， ∴米， 答：梯子的顶端向上移动了米． 19. 如图，已知分别是的边上的点，且． 求证： （1）四边形是平行四边形； （2）． 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析． 【解析】 【分析】（）利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可求证； （）利用即可证明； 本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的的判定，掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， 即， ∴． 四、解答题（2）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 20. 随着人们饮食结构愈发复杂，囤鲜需求与日俱增，为满足用户不同需求，某品牌推出了甲、乙两种型号的冰箱在商场中进行试销售，如图是根据甲、乙两种型号冰箱的销售量绘制成的折线统计图和统计分析表（结果保留一位小数）． 型号 平均数 中位数 众数 方差 甲 130 140 133.3 乙 130 根据以上信息，解答下列问题． （1）填空_____，_____， （2）求乙型号冰箱销售量的平均数和方差（若结果有小数，保留一位小数）； （3）若该品牌计划从甲、乙两种型号的冰箱选择一种在该商场进行销售，请运用你所学的统计知识，帮助该品牌分析应该选择哪种型号的冰箱，请说明理由． 【答案】（1）135，130 （2）130，33.3 （3）建议该品牌选择乙型号的冰箱在该商场进行销售，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查折线统计图，平均数，中位数，众数，方差，能从统计图中获取信息，明确统计量的意义是解题的关键． （1）根据统计图数据和中位数的确定方法即可得到a的值；根据统计图数据和众数的确定方法即可得到b的值； （2）根据统计图数据和平均数、方差的计算公式即可得到m和n的值； （3）可从各种统计量的意义方面考虑应该选择哪种型号的冰箱即可． 【小问1详解】 解：∵甲型号冰箱6个月试销数量由小到大排列为：110，120，130，140，140，140， ∴甲型号冰箱试销量的中位数， ∵乙型号冰箱6个月试销数量为：130，140，120，130，130，130，其中130出现4次，是出现次数最多的数据， ∴乙型号冰箱试销量的众数， 故答案为：135，130； 【小问2详解】 解：由（1）知乙型号冰箱销售量分别为130，140，120，130，130，130， 所以，乙型号冰箱销售量的平均数（台）； 方差 【小问3详解】 解：建议该品牌选择乙型号的冰箱在该商场进行销售． 理由：甲、乙型号冰箱销售量的平均数都为130台，而方差，相比较乙型号冰箱销售量的波动性更小， 因此建议该品牌选择乙型号的冰箱在该商场进行销售． 21. 小明和妈妈一起在一条笔直的跑道上锻炼身体，到达起点小明做了一会准备活动，妈妈先跑，当小明出发时，妈妈已经距离起点米，他们距起点的距离（米）与小明出发的时间（秒）之间的关系如图所示，根据图中给出的信息解答下列问题． （1）如图，小明出发之后，前秒小明的速度是_____米/秒，前秒妈妈的速度是_____米/秒； （2）求代表的数字是多少？ （3）小明出发后的秒内，多少秒时，小明与妈妈的距离为米？ 【答案】（1），； （2）； （3）两人分别于秒、秒时相距米． 【解析】 【分析】（）根据图象即可求解； （）根据图象可知代表的数字是小明和妈妈第一次相遇时距离起点的距离，求出时间即可求出的值； （）分第一次相遇前，两人第一次相距米和第一次相遇后且，两人第二次相距米两种情况解答即可求解； 本题考查了函数的图象，一元一次方程的应用，看懂函数图象是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意可得，小明出发之后，前秒小明速度为米秒， 前秒妈妈的速度为米/秒， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：由图象可知，代表的数字是小明和妈妈第一次相遇时距离起点的距离， 由得，， ∴； 【小问3详解】 解：在第一次相遇前，当两人第一次相距米时， 由题意得，， 解得； ②在第一次相遇后且，当两人第二次相距米时， 由题意得，， 解得； 综上，小明出发后的秒内，两人分别于秒、秒时相距米． 22. 如图，在平行四边形中，，过点D作交的延长线于点E，连接交于点F． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）的长是 【解析】 【分析】此题重点考查平行四边形的性质、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明及是等边三角形是解题的关键． （1）由，，得，由四边形是平行四边形，点E在的延长线上，得，则四边形是平行四边形，即可由，根据矩形的定义证明四边形ACED是矩形； (2)由平行四边形的性质和矩形的性质得， 推出是等边三角形，则，，所以，即可根据勾股定理求得结果． 【小问1详解】 证明：， ， ， ， 四边形是平行四边形，点E在的延长线上， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形； 【小问2详解】 四边形是矩形，四边形是平行四边形， ，， ， 是等边三角形， ，， ，， ， 的长是． 五、解答题（3）（本大题2小题，每小题12分，共24分） 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，与轴、轴分别交于两点． （1）若点的坐标分别为．直接写出下列各小题答案． 方程的解是______． 方程组的解是______． 不等式的解集是______． 不等式的解集是______． （2）若点的坐标分别为，直线的表达式为，求的面积； （3）在（）的基础上，点是轴上的一点，且使得是等腰三角形，直接写出所有符合条件条件的点的坐标． 【答案】（1）；；；； （2）； （3）或或或． 【解析】 【分析】（）根据交点坐标及函数图象即可求解； （）利用待定系数法求出的解析式，再联立函数解析式求出点坐标，最后根据三角形面积公式计算即可求解； （）设点的坐标为，可得，分点分别为顶点三情况解答即可求解； 本题考查了一次函数与一元一次方程和不等式，一次函数的交点问题，勾股定理，等腰三角形的定义，坐标与图形，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵直线与轴的交点为， ∴方程的解为， 故答案为：； ∵直线与直线的交点为， ∴方程组的解为， 故答案为：； 由图象可得，当时，， ∴不等式的解集是， 故答案为：； 由函数图象可得，当时，， ∴不等式的解集是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：把代入得， ， 解得， ∴直线的函数解析式为， 由得，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：设点的坐标为 ∵， ∴， 当点为顶点时，， ∴， ∴或， ∴点的坐标为或； 当点为顶点时，， ∴点的坐标为； 当点为顶点时，则， ∴， 解得， ∴点的坐标为； 综上，点坐标为或或或． 24. 综合与实践． 数形结合思想可以借助于数精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观来阐明数之间某种关系． （1）年世界数学家大会（）在北京召开，这届大会会标（如图）的中央图案是经过艺术处理的“弦图”（如图），它由个全等的直角三角形拼成，请观察“弦图”，直接写出满足的等量关系为______，并利用图形的“等面积思想”加以证明． （2）某数学兴趣小组，采用数形结合思想解决了如下问题． 已知线段，点在线段上，，求的最小值，他们解决问题的思路是，如图，在线段的同侧构造了两个和，令，利用勾股定理，得出，从而将问题转化成求“最小值”问题，再利用“将军饮马”模型，就完成了解答，请你写出解答过程． （3）如图，在中，，点分别为上的动点，且，求的最小值． 【答案】（1），证明见解析； （2）； （3）． 【解析】 【分析】()由可得出答案； ()延长到点，使，连接交于点，作，交延长线于点，由勾股定理求出可得出答案； ()过点作，并截取，连接，过点作，交的延长线于点，证明，得出，得到 ，由勾股定理求出的长，则可得出答案； 本题考查了勾股定理，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【小问1详解】 解：． 证明：由图可知，，正方形的边长为 ∵，，， ∴， ∴， 故答案：； 【小问2详解】 解：延长到点，使，连接交于点，作，交延长线于点， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴最小值为， 即的最小值为； 【小问3详解】 解：过点作，并截取，连接，过点作，交的延长线于点， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$