精品解析：宁夏银川市灵武市第一中学2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题

灵武市第一中学高二年级上学期期末考试 数学试卷 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册，选择性必修第二册第四章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在平面直角坐标系中，直线在轴上的截距为（ ） A. B. 8 C. D. 2. 已知点P是双曲线：上一点，分别为C的左、右焦点，若，则（ ） A. 5 B. 13 C. 5或9 D. 5或6 3. 已知数列满足，，则数列的前9项和为（ ） A. 6 B. C. 3 D. 4. 已知点在平面内，点在外，且的一个法向量，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 5. 已知是等差数列的前项和，若，，则（ ） A. 40 B. 45 C. 50 D. 55 6. 已知抛物线的焦点为为上一点，，当的周长最小时，的面积为（ ） A. B. 1 C. D. 2 7. 已知数列为各项均为正数的等比数列，和是方程的两个根，则（ ） A. B. 3 C. D. 4 8. 椭圆是轴对称图形，亦是中心对称图形，因其对称性，受到一些艺术制品设计者的青睐.现有一工艺品，其图案的基本图形由正方形和内嵌其中的“斜椭圆”组成（如图）．在平面直角坐标系中，将标准方程表示的椭圆绕着对称中心旋转一定角度，可得“斜椭圆”.已知一“斜椭圆”的方程为，则该“斜椭圆”的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知等差数列的公差为，若，，则首项的值可能是（ ） A. 18 B. 19 C. 20 D. 21 10. 若直线分别与轴，轴交于，两点，点是圆上的一点，则的面积可能为（ ） A. 8 B. 11 C. 14 D. 17 11. 若数列满足，则称数列为斐波那契数列，设，若数列的前项和为，则的值可能是（ ） A. 148 B. 150 C. 152 D. 154 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知椭圆的焦距为2，则______． 13. 中国三大名楼之一的黄鹤楼因其独特的建筑结构而闻名，其外观有五层而实际上内部有九层，隐喻“九五至尊”之意，为迎接国庆节的到来，有网友建议在黄鹤楼内部挂灯笼进行装饰，若在黄鹤楼内部塔楼的顶层挂4盏灯笼，且相邻的两层中，下一层的灯笼数是上一层灯笼数的两倍，则九层塔楼一共需要挂______盏灯笼． 14. 已知P是抛物线上一动点，过点P作圆C：的两条切线，切点分别为A，B，则的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆的圆心在直线上，且经过点，. （1）求圆的标准方程； （2）求经过点且与圆相切的直线方程. 16. 已知数列的前项和为，，且. （1）求的通项公式； （2）若，数列的前项和为，求证：. 17. 如图，在四棱锥中，平面，四边形是矩形，，点是的中点，点分别是线段上的点，且． （1）求证：； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 18. 已知等差数列满足成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 19. 已知双曲线的一条渐近线方程为，左、右顶点分别为，，且. （1）求的方程； （2）若点为直线上的一点，直线交于另外一点（不同于点）. ①记，的面积分别为，，且，求点的坐标； ②若直线交于另外一点，点是直线上的一点，且，其中为坐标原点，试判断是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 灵武市第一中学高二年级上学期期末考试 数学试卷 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册，选择性必修第二册第四章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在平面直角坐标系中，直线在轴上的截距为（ ） A. B. 8 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对直线方程，令，即可求得结果. 【详解】对方程，令，解得； 故直线在轴上的截距为. 故选：A. 2. 已知点P是双曲线：上一点，分别为C的左、右焦点，若，则（ ） A. 5 B. 13 C. 5或9 D. 5或6 【答案】C 【解析】 【分析】由双曲线的定义求解. 【详解】由题意可知，，，若，则或9． 故选：C 3. 已知数列满足，，则数列的前9项和为（ ） A. 6 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由数列递推式依次求出前几项得出数列具有周期性，再由周期性计算求解即可得解. 【详解】因为，， 所以， 所以， 所以， 所以. 所以数列是周期为3的数列，故数列的前9项和为. 故选：B 4. 已知点在平面内，点在外，且的一个法向量，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由点到平面的距离的向量法公式直接计算求解即可. 【详解】由点,得, 所以点到平面的距离为. 故选：B. 5. 已知是等差数列的前项和，若，，则（ ） A. 40 B. 45 C. 50 D. 55 【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列和的性质，分析即得解. 【详解】由等差数列的性质得： ，，成等差数列， 所以， 解得. 故选：A 6. 已知抛物线的焦点为为上一点，，当的周长最小时，的面积为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】点到准线距离，的周长最小，则最小，必须使得三点共线，求出此时点坐标，可求的面积. 【详解】如图，， 作垂直于的准线，垂足为，由抛物线的定义知， 所以的周长为，要使周长最小， 则必须使得三点共线，即点在过垂直于的直线上（图中点处）， 将代入中，求得点，所以， 在边上的高为1， 故其面积为. 故选：A. 7. 已知数列为各项均为正数的等比数列，和是方程的两个根，则（ ） A. B. 3 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用等比数列的性质得到，计算出，结合对数运算性质计算出结果. 【详解】由题意得，为各项均为正数的等比数列，故， 且， 故. 故选：C 8. 椭圆是轴对称图形，亦是中心对称图形，因其对称性，受到一些艺术制品设计者的青睐.现有一工艺品，其图案的基本图形由正方形和内嵌其中的“斜椭圆”组成（如图）．在平面直角坐标系中，将标准方程表示的椭圆绕着对称中心旋转一定角度，可得“斜椭圆”.已知一“斜椭圆”的方程为，则该“斜椭圆”的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由椭圆的对称性可得长半轴的长度为曲线上的点到原点距离的最大值，短半轴的长度为曲线上的点到原点距离的最小值，然后根据已知方程结合基本不等式可求出的最大值和最小值，从而可求出长半轴长和短半轴长，进而可求出离心率. 【详解】设“斜椭圆”的中心为坐标原点， 由椭圆的对称性可得长半轴的长度为曲线上的点到原点距离的最大值， 短半轴的长度为曲线上的点到原点距离的最小值， 由基本不等式，可得， 所以，解得， 当且仅当时成立， 当且仅当时，成立， 所以椭圆的长半轴长为，短半轴长为， 所以椭圆离心率为. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知等差数列的公差为，若，，则首项的值可能是（ ） A. 18 B. 19 C. 20 D. 21 【答案】BC 【解析】 【分析】根据等差数列的通项，建立不等式组，可得答案. 【详解】由题意，得，所以. 故选：BC. 10. 若直线分别与轴，轴交于，两点，点是圆上的一点，则的面积可能为（ ） A. 8 B. 11 C. 14 D. 17 【答案】BC 【解析】 【分析】圆，圆心为，利用圆上点到直线之间的距离最大值为圆心到直线距离加半径，距离最小值为圆心到直线距离减半径，从而确定三角形的高的取值范围，然后得到面积的取值范围. 【详解】易得，，所以. 圆的标准方程为，圆心为， 圆心到直线的距离为， 所以点到直线的距离的取值范围为， 所以. 故选：BC. 11. 若数列满足，则称数列为斐波那契数列，设，若数列的前项和为，则的值可能是（ ） A. 148 B. 150 C. 152 D. 154 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据，可得，再分析各项的特征，进而可得出的各项，进而可得出答案. 【详解】所以， 所以， 观察的各项：， 从第2项起奇偶性分别为：奇偶奇，奇偶奇，奇偶奇，， 且为奇（偶）数时，也是奇（偶）数， 所以的各项依次为:， 所以数列的前150项和为， 因为， 所以的值可以是148，150，152. 故选：ABC. 【点睛】关键点睛：分析各项的特征，得出的各项，是解决本题的关键. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知椭圆的焦距为2，则______． 【答案】5或7. 【解析】 【分析】讨论焦点在轴上或在轴上，分别计算即可得到结果. 【详解】当椭圆焦点在轴时，， 由焦距为得，，故，解得. 当椭圆焦点在轴时，， 由焦距为得，，故，解得. 故答案为：5或7. 13. 中国三大名楼之一的黄鹤楼因其独特的建筑结构而闻名，其外观有五层而实际上内部有九层，隐喻“九五至尊”之意，为迎接国庆节的到来，有网友建议在黄鹤楼内部挂灯笼进行装饰，若在黄鹤楼内部塔楼的顶层挂4盏灯笼，且相邻的两层中，下一层的灯笼数是上一层灯笼数的两倍，则九层塔楼一共需要挂______盏灯笼． 【答案】 【解析】 【分析】利用等比数列求和公式运算即可得解. 【详解】解：由题意，各层灯笼数从上到下排成一列构成等比数列， 由题意知，公比， 因为等比数列前项和，. 所以前9项和为， 所以九层塔楼一共需要挂盏灯笼． 故答案为：. 14. 已知P是抛物线上一动点，过点P作圆C：的两条切线，切点分别为A，B，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】设求得的最小值，进而可得利用二倍角的余弦公式可求. 【详解】由题意知圆故半径为1， 设则当且仅当即时，等号成立， 即当时，取得最小值，且 所以又 所以 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆的圆心在直线上，且经过点，. （1）求圆的标准方程； （2）求经过点且与圆相切的直线方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）求出线段的中垂线方程，求出圆心坐标及半径即可； （2）按切线斜率存在与否，结合点到直线的距离公式求出切线方程. 【小问1详解】 线段的中点，直线的斜率， 则线段的中垂线方程为，即， 由，解得，， 因此圆的圆心，半径， 所以圆的标准方程为； 【小问2详解】 点到直线的距离为2，即直线与圆相切； 当切线斜率存在时，设切线方程为，即， 由，解得，因此方程为， 所以经过点且与圆相切的直线方程为或. 16. 已知数列的前项和为，，且. （1）求的通项公式； （2）若，数列的前项和为，求证：. 【答案】（1）； （2）由（1）知， . 又，所以. 【解析】 【分析】（1）利用，得到，从而说明是公差为2的等差数列，利用等差数列的基本量计算即可; （2）表示出，利用裂项相消法，计算证明即可. 【小问1详解】 因为，所以， 所以， 所以是公差为2的等差数列， 又，所以，解得， 所以. 【小问2详解】 略 17. 如图，在四棱锥中，平面，四边形是矩形，，点是的中点，点分别是线段上的点，且． （1）求证：； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）因为平面，平面，且四边形是矩形， 所以两两垂直， 以点为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 根据题意，因为，且. 所以． 因为， 所以，即． （2） 【解析】 【分析】（1）通过建立空间直角坐标系得到，借助数量积公式计算即可; （2）利用向量法求出平面与平面的法向量，求出二面角的余弦值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得． 设是平面的一个法向量， 则， 令，得，所以． 因为平面， 所以平面， 所以平面的一个法向量为． 因为， 结合图形可得：平面与平面夹角的余弦值为． 18. 已知等差数列满足成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差、等比中项可得，，结合题意解方程可得，进而可得公差和通项； （2）由（1）可得：，利用裂项相消法运算求解即可. 【小问1详解】 因为数列为等差数列，则，即， 又因为成等比数列，则， 联立方程，解得或， 且，则，可知公差， 所以数列的通项公式. 【小问2详解】 由（1）可得：， 所以. 19. 已知双曲线的一条渐近线方程为，左、右顶点分别为，，且. （1）求的方程； （2）若点为直线上的一点，直线交于另外一点（不同于点）. ①记，的面积分别为，，且，求点的坐标； ②若直线交于另外一点，点是直线上的一点，且，其中为坐标原点，试判断是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由. 【答案】（1） （2）①或；②是， 【解析】 【分析】（1）根据条件，直接求出，即可求解； （2）①设，直线：，联立直线与双曲线方程，消得到，进而可得，再结合条件，即可求解；②设直线：，联立双曲线方程，求得，， 结合①中结果，可求直线的方程，进而判断直线恒过定点，即可求解. 【小问1详解】 由题意知 解得，， 所以的方程为. 【小问2详解】 由题意可知，，，设，因为直线交于另外一点（不同于点）， 所以，又双曲线的渐近线为，故，解得， 所以直线，即， 由，消得， 所以，解得， 所以. ①因为，， 又，所以， 解得或，即点的坐标为或. ②直线，即， 由，消得，， 即，所以，解得， 所以， 所以直线的斜率， 所以直线的方程为， 令，得，解得， 所以直线恒过定点， 又，即，又点是的中点，所以， 所以是定值，且定值为. 【点睛】关键点点晴：本题的关键在于第（2）问中的②小问，设，直线的方程分别为，，通过联直线与双曲线方程，求得两点坐标，进而求出直线的方程，再判断出直线过定点，即可求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $