精品解析：河南省南阳市油田2024-2025学年八年级下学期期末教学质量检测数学试卷

2025年春期南阳油田八年级期末教学质量检测试卷 数 学 注意事项： 1．本试卷共8页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的． 1. 分式的值为0，则的值是（ ） A 0 B. C. 1 D. 0或1 2. 黄金是自然界中延展性最好的金属，最薄的金箔厚度为，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 点P（1，﹣2）关于y轴对称的点的坐标是（ ） A. （1，2） B. （﹣1，2） C. （﹣1，﹣2） D. （﹣2，1） 4. 下列函数中，为正比例函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 矩形具有而菱形不具有的性质是（ ） A. 对角线相等 B. 对角线互相平分 C. 对角线互相垂直 D. 对角相等 6. 若点在x轴上，则点所在象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 7. 如图，菱形的两条对角线相交于点O，若菱形的周长为，，则菱形的面积是（ ） A. 12 B. 24 C. 40 D. 48 8. 某学校组织了一场体育测试，现抽出60个人体育考试分数，并对此进行统计，如图所示．关于这60人的分数，下列说法正确的是（ ） A. 中位数是12 B. 中位数是75 C. 众数是21 D. 众数是85 9. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为5，边在轴上．．若将正方形绕点逆时针旋转．得到正方形．则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 小澎从家里出发骑自行车去上学，出发了一段时间后，想起今天考试需要带2B铅笔，于是赶紧折回到刚经过的文具店，买到铅笔后继续赶往学校，以下是他离家的距离y（米）与所用的时间t（分钟）之间的关系图，根据前图中的信息，则下列说法①小澎家到学校的距离是1800米；②小澎在文具店停留了4分钟；③本次上学途中，小澎一共行了3400米；④若骑单车的速度大于320米/分就有安全隐患，在整个上学的途中，小澎骑车有4分钟的超速骑行，存在安全隐患．正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知一个反比例函数在各个象限内，随的增大而减小，那么这个反比例函数的解析式可以是_______．（只需写出一个） 12. 如图，工人师傅砌门时，要想检验门框是否符合设计要求（即门框是否为矩形），在确保两组对边分别相等的前提下，只要测量出对角线的长度，然后看它们是否相等就可以判断了，这种做法的根据是___________________________________________． 13. 某校组织35名同学参加了马拉松知识竞赛，预赛分数各不相同，取前18名同学参加决赛．其中一名同学知道自己的分数后，要判断自己能否进入决赛，只需要知道这35名同学分数的________．（填“众数”，“中位数”，“平均数”，“方差”） 14. 如图，已知为反比例函数的图象上的一点，过点作轴，垂足为点，则的面积为________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点B的坐标为．点E在边上．将沿折叠，点D落在点F处．若点F的坐标为．则点E的坐标为______． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 计算及化简 （1） （2） 17. 为提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，学校开展了丰富多彩的课外体育活动．在八年级组织的篮球联赛中，甲、乙两名队员表现优异，他们在近六场比赛中关于得分、篮板和失误三个方面的统计结果如下． 技术统计表 队员 平均每场得分 平均每场篮板 平均每场失误 甲 265 8 2 乙 26 10 3 根据以上信息，回答下列问题． （1）这六场比赛中，得分更稳定的队员是_________（填“甲”或“乙”）；甲队员得分的中位数为27.5分，乙队员得分的中位数为________分． （2）请从得分方面分析：这六场比赛中，甲、乙两名队员谁的表现更好． （3）规定“综合得分”为：平均每场得分×1+平均每场篮板×1.5+平均每场失误，且综合得分越高表现越好．请利用这种评价方法，比较这六场比赛中甲、乙两名队员谁的表现更好． 18. 如图，矩形的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，对角线，相交于点E，反比例函数的图象经过点A． （1）求这个反比例函数的表达式． （2）请先描出这个反比例函数图象上不同于点A的三个格点，再画出反比例函数的图象． （3）将矩形向左平移，当点E落在这个反比例函数的图象上时，平移的距离为________． 19. 如图，已知矩形． （1）尺规作图：作对角线的垂直平分线，交于点E，交于点F；（不写作法，保留作图痕迹） （2）连接．求证：四边形是菱形． 20. 实验数据显示，一般成人喝毫升某品牌白酒后，血液中酒精含量（毫克百毫升）与时间（时）变化的图象如图（图象由线段与部分双曲线组成）所示．国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于（毫克百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路． 实验数据显示，一般成人喝100毫升某品牌白酒后，血液中酒精含量y（毫克/百毫升 （1）求线段和双曲线的函数表达式； （2）参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上点在家喝完毫升该品牌白酒，第二天早上点能否驾车去上班？请说明理由． 21. 某长跑俱乐部的营养师需要用甲、乙两种原料为运动员配置功能饮料，已知每克甲种原料比每克乙种原料贵元，且用元购买的甲种原料与用元购买的乙种原料一样多．已知每克甲种原料含单位的钠元素，每克乙种原料含单位的钠元素． （1）求购买甲、乙两种原料的单价． （2）若购买甲、乙两种原料共克，在钠元素总含量不低于单位的情况下，如何选购原料才能使得费用最低？最低费用是多少元？ 22. 跨学科主题学习：“气温与海拔高度之间的关系”研究 某学校数学社团开展了“气温与海拔高度之间的关系”研究为主题的跨学科活动．该社团分组到附近山地进行实地测量，6个小组分别测量了当地同一时刻在不同海拔高度的气温，测量数据记录如下表： 海拔高度百米 ．．． 10 11 12 13 14 15 ．．． 气温 ．．． ．．． 根据表格中测量数据，完成下面3个任务： 任务1：建立数学模型，在平面直角坐标系中，将表格中的数据描点、连线； 任务2：根据任务1中图象呈现特征，求与的函数表达式； 任务3：由任务2的函数表达式，求当日同一时刻海拔高度为1500米的气温． 23. 如图，的对角线，交于点，分别以点，为圆心，，长为半径画弧，两弧交于点，连接，． （1）试判断四边形的形状，并说明理由； （2）若将题设中“”这一条件改为“矩形”，其余条件不变，则四边形是怎样的四边形？请给出证明； （3）若将题设中“”这一条件改为“菱形”，其余条件不变，则四边形是怎样的四边形？请直接写出结果，不需要证明； （4）若将题设中“”这一条件改为“正方形”，其余条件不变，则四边形是怎样的四边形？请直接写出结果，不需要证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年春期南阳油田八年级期末教学质量检测试卷 数 学 注意事项： 1．本试卷共8页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的． 1. 分式的值为0，则的值是（ ） A. 0 B. C. 1 D. 0或1 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式值为0的条件进行求解即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴， 解得， 故选A． 【点睛】本题主要考查了分式值为0条件，熟知分式值为0的条件是分子为0，分母不为0是解题的关键． 2. 黄金是自然界中延展性最好的金属，最薄的金箔厚度为，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故选：． 3. 点P（1，﹣2）关于y轴对称的点的坐标是（ ） A. （1，2） B. （﹣1，2） C. （﹣1，﹣2） D. （﹣2，1） 【答案】C 【解析】 【详解】关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，由此可得P（1，﹣2）关于y轴对称的点的坐标是（﹣1，﹣2）， 故选：C． 【点睛】本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标，正确地记住关于坐标轴对称的点的坐标特征是关键． 关于x轴对称的点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数； 关于y轴对称的点的坐标特点：纵坐标不变，横坐标互为相反数． 4. 下列函数中，为正比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数的定义，形如（为常数且）的函数是正比例函数；根据此定义逐一验证各选项是否符合该形式即可． 【详解】解：A：，该函数含常数项“”，不符合正比例函数的形式，不符合题意； B：，该函数为二次函数（最高次数为2），而正比例函数为一次函数，不符合题意； C：，该函数可写为，属于反比例函数，不符合一次函数的形式，不符合题意； D：，该函数可化简为，符合（）的形式，是正比例函数，符合题意； 故答案为：D． 5. 矩形具有而菱形不具有的性质是（ ） A. 对角线相等 B. 对角线互相平分 C. 对角线互相垂直 D. 对角相等 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形和菱形的性质，特殊四边形的性质要从边、角、对角线三方面入手，并加以考虑它们之间的联系和区别． 根据矩形和菱形的性质判断即可． 【详解】解：A、矩形的对角线相等，而菱形的对角线不一定相等，故本选项符合题意； B、矩形和菱形对角线都互相平分，故本选项不符合题意； C、菱形的对角线垂直，矩形的对角线不一定垂直，故本选项不符合题意； D、矩形和菱形都是对角相等，故本选项不符合题意； 故选：A． 6. 若点在x轴上，则点所在象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据点P在x轴上，可得，从而可得，即可求解． 【详解】解：点在x轴上， ∴， ∴， ∴点所在象限是第二象限， 故选：B． 7. 如图，菱形的两条对角线相交于点O，若菱形的周长为，，则菱形的面积是（ ） A. 12 B. 24 C. 40 D. 48 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，先根据菱形的对角线互相垂直平分得到，则由勾股定理可得，进而得到，最后根据菱形的面积等于其对角线乘积的一半进行求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，且菱形的周长为20， ∴， ∵菱形的两条对角线相交于点O，， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， 故选：B． 8. 某学校组织了一场体育测试，现抽出60个人的体育考试分数，并对此进行统计，如图所示．关于这60人的分数，下列说法正确的是（ ） A. 中位数是12 B. 中位数是75 C. 众数是21 D. 众数是85 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了众数与中位数，一组数据中出现次数最多的数叫做众数；把一组数据按大小排列，最中间一个（奇数个数据）或两个（偶数个数据）数据的平均数是中位数，按照这两个概念进行求解即可． 【详解】解：从统计图知，85分出现的次数最多，故众数是85；把分数按大小排列，最中间的两个数是第30与31个数，而，故中位数是；故只有选项D正确； 故选：D． 9. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为5，边在轴上．．若将正方形绕点逆时针旋转．得到正方形．则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是正方形的性质，旋转的性质，坐标与图形，由正方形与旋转可得在轴上，，结合，可得，，进一步可得答案. 【详解】解：∵正方形的边长为5，边在轴上，将正方形绕点逆时针旋转．得到正方形． ∴，在轴上，， ∵， ∴，， ∴， 故选：A 10. 小澎从家里出发骑自行车去上学，出发了一段时间后，想起今天考试需要带2B铅笔，于是赶紧折回到刚经过的文具店，买到铅笔后继续赶往学校，以下是他离家的距离y（米）与所用的时间t（分钟）之间的关系图，根据前图中的信息，则下列说法①小澎家到学校的距离是1800米；②小澎在文具店停留了4分钟；③本次上学途中，小澎一共行了3400米；④若骑单车的速度大于320米/分就有安全隐患，在整个上学的途中，小澎骑车有4分钟的超速骑行，存在安全隐患．正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，正确计算平均速度是解题的关键． 根据图象起点和终点的纵坐标差，确定两地之间的距离，可以判断①的正误；根据平行x轴的线段的两个端点的自变量值的差，就是停留的时间，可以判断②的正误；根据题意，行走的总路程为米，可以判断③的正误；分别计算前6分钟的平均速度为：，不超速； 6分钟到8分钟之间的平均速度为：，超速，且时间为2分钟；12分钟到16分钟之间的平均速度为：，不超速，可判定④的正误． 【详解】解：①、根据函数图象，学校的纵坐标为1800，小澎家的纵坐标为0，故小澎家到学校的路程是1800米，正确； ②、根据题意，小澎在书店停留的时间为从8分到12分，故小澎在书店停留了4分钟，正确； ③、本次上学途中，小澎一共行了米，正确； ④、由图象可知：前6分钟的平均速度为：，不超速； 6分钟到8分钟之间的平均速度为：，超速，且时间为2分钟； 12分钟到16分钟之间的平均速度为：，不超速，错误； 所以说法正确的个数有3个． 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知一个反比例函数在各个象限内，随的增大而减小，那么这个反比例函数的解析式可以是_______．（只需写出一个） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的增减性，根据增减性可知该反比例函数的比例系数大于0，据此可得答案． 【详解】解：∵一个反比例函数在各个象限内，随的增大而减小， ∴该反比例函数的比例系数大于0， ∴符合题意的反比例函数解析式可以为， 故答案为：（答案不唯一）． 12. 如图，工人师傅砌门时，要想检验门框是否符合设计要求（即门框是否为矩形），在确保两组对边分别相等的前提下，只要测量出对角线的长度，然后看它们是否相等就可以判断了，这种做法的根据是___________________________________________． 【答案】对角线相等的平行四边形为矩形 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定，根据对角线互相相等的平行四边形是矩形进行作答即可． 【详解】解：依题意，∵两组对边分别相等， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， 则只要测量出对角线长度，然后看它们是否相等就可以判断了，这种做法的根据是对角线相等的平行四边形为矩形． 故答案为：对角线相等的平行四边形为矩形． 13. 某校组织35名同学参加了马拉松知识竞赛，预赛分数各不相同，取前18名同学参加决赛．其中一名同学知道自己的分数后，要判断自己能否进入决赛，只需要知道这35名同学分数的________．（填“众数”，“中位数”，“平均数”，“方差”） 【答案】中位数 【解析】 【分析】本题考查了统计量的选择以及中位数意义，解题的关键是正确的求出这组数据的中位数． 由于比赛取前18名参加决赛，共有35名选手参加，根据中位数的意义分析即可． 【详解】解：35个不同的成绩按从小到大排序后，中位数及中位数之后的共有18个数， 故只要知道自己的成绩和中位数就可以知道是否进入决赛了． 故答案为：中位数． 14. 如图，已知为反比例函数的图象上的一点，过点作轴，垂足为点，则的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与几何求面积，解题关键是掌握反比例函数的几何意义．结合反比例函数关系，设出点坐标，再根据三角形面积即可求出答案． 【详解】解析：∵为反比例函数的图象上的一点， ∴设， ∵轴， ∴，， ∴． 故答案为：． 15. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点B的坐标为．点E在边上．将沿折叠，点D落在点F处．若点F的坐标为．则点E的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查翻折变换（折叠问题），勾股定理，矩形的判定与性质，正方形的性质，坐标与图形变化-对称，利用勾股定理求出正方形的边长是解题关键．设，可得，在中，利用勾股定理可求出，根据翻折的性质得出，，，设，在中利用勾股定理可求出a值，即可得答案． 【详解】解：在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，如图，设与y轴交于点G，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵点A坐标为， ∴， ∵将沿折叠，点D落在点F处．若点F的坐标为， ∴，，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴点E的坐标为， 故答案为： 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 计算及化简 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）按照先算乘方、绝对值、开方，再算乘法，最后算加减的顺序，逐步计算式子的值． （2）先对括号内的式子进行通分计算，再将除法转化为乘法，然后通过因式分解约分，得到化简结果． 本题主要考查了零指数幂、负整数指数幂、绝对值、算术平方根以及分式的混合运算，熟练掌握相关运算法则（零指数幂：；负整数指数幂：为正整数；分式运算先算括号内再算乘除，因式分解用于约分）是解题的关键． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 17. 为提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，学校开展了丰富多彩的课外体育活动．在八年级组织的篮球联赛中，甲、乙两名队员表现优异，他们在近六场比赛中关于得分、篮板和失误三个方面的统计结果如下． 技术统计表 队员 平均每场得分 平均每场篮板 平均每场失误 甲 26.5 8 2 乙 26 10 3 根据以上信息，回答下列问题． （1）这六场比赛中，得分更稳定的队员是_________（填“甲”或“乙”）；甲队员得分的中位数为27.5分，乙队员得分的中位数为________分． （2）请从得分方面分析：这六场比赛中，甲、乙两名队员谁的表现更好． （3）规定“综合得分”为：平均每场得分×1+平均每场篮板×1.5+平均每场失误，且综合得分越高表现越好．请利用这种评价方法，比较这六场比赛中甲、乙两名队员谁的表现更好． 【答案】（1）甲 29 （2）甲 （3）乙队员表现更好 【解析】 【分析】本题考查了折线统计图，统计表，中位数，加权平均数等知识，解题的关键是∶ （1）根据折线统计图的波动判断得分更稳定的球员，根据中位数的定义求解即可； （2）根据平均每场得分以及得分的稳定性求解即可； （3）分别求出甲、乙的综合得分，然后判断即可． 【小问1详解】 解∶从比赛得分统计图可得，甲的得分上下波动幅度小于乙的得分上下波动幅度， ∴得分更稳定的队员是甲， 乙的得分按照从小到大排序为14，20，28，30，32，32，最中间两个数为28，30， ∴中位数为， 故答案为∶乙，29； 【小问2详解】 解∶ 因为甲的平均每场得分大于乙的平均每场得分，且甲的得分更稳定， 所以甲队员表现更好； 【小问3详解】 解∶甲的综合得分为， 乙的综合得分为， ∵， ∴乙队员表现更好． 18. 如图，矩形的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，对角线，相交于点E，反比例函数的图象经过点A． （1）求这个反比例函数的表达式． （2）请先描出这个反比例函数图象上不同于点A的三个格点，再画出反比例函数的图象． （3）将矩形向左平移，当点E落在这个反比例函数的图象上时，平移的距离为________． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析，画反比例函数图象，平移性质等知识，解题的关键是： （1）利用待定系数法求解即可； （2）分别求出，，对应的函数值，然后描点、连线画出函数图象即可； （3）求出平移后点E对应点的坐标，利用平移前后对应点的横坐标相减即可求解． 【小问1详解】 解：反比例函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴这个反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：当时，， 当时，， 当时，， ∴反比例函数的图象经过，，， 画图如下： 【小问3详解】 解：∵向左平移后，E在反比例函数的图象上， ∴平移后点E对应点的纵坐标为4， 当时，， 解得， ∴平移距离为． 故答案为：． 19 如图，已知矩形． （1）尺规作图：作对角线的垂直平分线，交于点E，交于点F；（不写作法，保留作图痕迹） （2）连接．求证：四边形是菱形． 【答案】（1）见解析； （2）见解析． 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质，垂直平分线的画法及性质，三角形全等的判定与性质，菱形的判定． （1）根据垂直平分线的画法即可求解； （2）由直线是线段的垂直平分线．得到，，，，根据矩形的性质可证，可得，即可得到，即可求证． 【小问1详解】 解：如图1所示，直线为所求； 【小问2详解】 证明：如图2，设与的交点为O， 由（1）可知，直线是线段的垂直平分线． ∴，，，， 又∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 20. 实验数据显示，一般成人喝毫升某品牌白酒后，血液中酒精含量（毫克百毫升）与时间（时）变化的图象如图（图象由线段与部分双曲线组成）所示．国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于（毫克百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路． 实验数据显示，一般成人喝100毫升某品牌白酒后，血液中酒精含量y（毫克/百毫升 （1）求线段和双曲线的函数表达式； （2）参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上点在家喝完毫升该品牌白酒，第二天早上点能否驾车去上班？请说明理由． 【答案】（1），； （2）第二天早上能驾车去上班，理由见解析． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的应用，待定系数法求解析式，掌握知识点的应用是解题的关键． （）设线段的函数表达式为，再把代入，求出，当时求出点，然后把点代入即可求解； （）由得：当时，，然后比较即可． 【小问1详解】 解：设线段的函数表达式为， 依题意，线段过点， 把代入， 解得，， ∴； 当时，，即； 设双曲线的函数表达式为， 将点代入得：， ∴； 【小问2详解】 解：第二天早上能驾车去上班，理由如下： 由得：当时，， 从时到第二天早上点时间间距为小时， ∵， ∴ 第二天早上能驾车去上班． 21. 某长跑俱乐部的营养师需要用甲、乙两种原料为运动员配置功能饮料，已知每克甲种原料比每克乙种原料贵元，且用元购买的甲种原料与用元购买的乙种原料一样多．已知每克甲种原料含单位的钠元素，每克乙种原料含单位的钠元素． （1）求购买甲、乙两种原料的单价． （2）若购买甲、乙两种原料共克，在钠元素总含量不低于单位的情况下，如何选购原料才能使得费用最低？最低费用是多少元？ 【答案】（1）购买甲种原料的单价为元/克，购买乙种原料的单价为元/克 （2）当购买甲种原料克，乙种原料克时，才能使得费用最低，最低费用为元 【解析】 【分析】本题考查了利用分式方程解决实际问题，利用一元一次不等式解决销售问题，解题关键是找准等量关系或不等关系． （1）设购买甲种原料的单价为x元/克，可用x表示出购买乙种原料的单价，再根据“已知每克甲种原料比每克乙种原料贵元，且用元购买的甲种原料与用元购买的乙种原料一样多”列出方程求解； （2）设购买甲种原料m克，可用m表示出购买乙种原料的质量，根据“购买甲、乙两种原料共克，在钠元素总含量不低于单位的情况下”列出不等式求解． 【详解】解：（1）设购买甲种原料的单价为x元/克，则购买乙种原料的单价为（）元/克． 由题意，可得， 解得． 经检验，为分式方程的解，且符合题意． （元/克）． 答：购买甲种原料的单价为元/克，购买乙种原料的单价为元/克． （2）设购买甲种原料m克，则购买乙种原料（）克． 由题意，得，解得． 设费用为W元． 由题意，可得， ∵， ∴W随m的增大而增大． ∴当m取最小值时，W有最小值，最小值为． ∴（克）． 答：当购买甲种原料克，乙种原料克时，才能使得费用最低，最低费用为元． 22. 跨学科主题学习：“气温与海拔高度之间的关系”研究 某学校数学社团开展了“气温与海拔高度之间的关系”研究为主题的跨学科活动．该社团分组到附近山地进行实地测量，6个小组分别测量了当地同一时刻在不同海拔高度的气温，测量数据记录如下表： 海拔高度百米 ．．． 10 11 12 13 14 15 ．．． 气温 ．．． ．．． 根据表格中的测量数据，完成下面3个任务： 任务1：建立数学模型，在平面直角坐标系中，将表格中的数据描点、连线； 任务2：根据任务1中图象呈现的特征，求与的函数表达式； 任务3：由任务2的函数表达式，求当日同一时刻海拔高度为1500米的气温． 【答案】任务1：见解析；任务2：；任务3： 【解析】 【分析】本题考查了求一次函数解析式及实际应用，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式是解题的关键； 任务1：根据表格数据在平面直角坐标系中描点，连线即可； 任务2：设T与h之间的函数关系式为，运用待定系数法求一次函数解析式即可； 任务3：首先将1500米转化为15百米，然后代入函数解析式即可解答． 【详解】解：任务1：如图所示： 任务2：设T与h之间的函数关系式为， 把，分别代入关系式，得： ， 解得， 所以，T与h之间的函数关系式为； 任务三： 1500米百米， 将代入得 ， 答：当日同一时刻海拔高度为1500米的气温为． 23. 如图，的对角线，交于点，分别以点，为圆心，，长为半径画弧，两弧交于点，连接，． （1）试判断四边形的形状，并说明理由； （2）若将题设中“”这一条件改为“矩形”，其余条件不变，则四边形是怎样的四边形？请给出证明； （3）若将题设中“”这一条件改为“菱形”，其余条件不变，则四边形是怎样的四边形？请直接写出结果，不需要证明； （4）若将题设中“”这一条件改为“正方形”，其余条件不变，则四边形是怎样的四边形？请直接写出结果，不需要证明． 【答案】（1）四边形为平行四边形，理由见解析 （2）四边形为菱形，证明见解析 （3）四边形为矩形 （4）四边形为正方形 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形对角线性质，结合画弧条件得出线段相等关系，依据平行四边形判定（两组对边分别相等）判断四边形形状． （2）先由矩形对角线性质得，进而推出，再结合（1）中四边形是平行四边形，根据菱形判定（一组邻边相等的平行四边形）确定形状． （3）利用菱形对角线垂直且平分的性质，结合画弧条件，依据矩形判定（有一个角是直角的平行四边形）判断． （4）根据正方形对角线垂直、相等且平分的性质，结合画弧条件，依据正方形判定（邻边相等且有一个角是直角的平行四边形）确定形状． 【小问1详解】 解：四边形是平行四边形，理由如下： ∵ 四边形是平行四边形，对角线，交于点， ∴ ，． 又∵ 分别以点，为圆心，，长为半径画弧，两弧交于点， ∴ ，， ∴ ，， ∴ 四边形是平行四边形． 【小问2详解】 解：四边形是菱形，理由如下： ∵ 四边形是矩形，对角线，交于点， ∴ ，，， ∴ ． 由（1）知四边形是平行四边形， 又∵ ， ∴ 四边形是菱形； 【小问3详解】 解：四边形是矩形，理由如下： ∵ 四边形是菱形，对角线，交于点， ∴ ，，． 由（1）知四边形是平行四边形， 又∵ ，即， ∴ 四边形是矩形； 【小问4详解】 解： 四边形是正方形，理由如下： ∵ 四边形是正方形，对角线，交于点， ∴ ，，，， ∴ ，． 由（1）知四边形是平行四边形， 又∵ 且， ∴ 四边形是正方形， 【点睛】本题主要考查了平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定与性质，熟练掌握这些图形的判定定理和性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $