精品解析：2025年甘肃省武威市中考数学三模试卷

2025年甘肃省武威市中考数学三模试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在常见的扑克牌中，“红桃J”如下图这样放置，把它倒过来放，看它还是和原来一样的，这主要是利用数学中的（ ） A. 旋转 B. 平移 C. 轴对称 D. 以上都对 2. 下列4个数中最小的是（ ） A. 0 B. C. 4 D. 3. 在我国古代建筑中经常使用榫卯构件，如图是某种榫（燕尾榫）构件的示意图，其中榫的俯视图是（ ） A. B. C. D. 4. 2025年是乙巳蛇年，“巳巳如意”将蛇年与如意相结合，表达对新一年事事如意、顺遂美好的期盼．将分别印有“巳”、“巳”、“如”、“意”的四张质地均匀、大小相同的卡片放入盒中，从中随机抽取两张，则抽取到的卡片上印有汉字恰好是“如”和“意”的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，，以点 A 为圆心，为 半径画弧交y 轴正半轴于点 B ，则点 B 的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 一次函数与在同一平面直角坐标系中的图象如图所示．则不等式的解为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在四边形中，，，若，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，四边形内接与，E是延长线上一点，，则等于（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是内一点，连接，过点作，过点作交于点．若的面积为24，则四边形的面积为（　　） A. 6 B. 8 C. 12 D. 16 10. 二次函数（，，是常数，）的自变量与函数值的部分对应值如下表： … 1 … … 0 0 … 其中，．有下列结论：①；②；③；④当时，有最大值为，最小值为，此时的取值范围是．其中，正确结论的个数是（ ） A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 计算：_________； 12. 因式分解：________． 13. 已知关于的一元二次方程有一个实数根，则它的另一个实数根______． 14. 如图，将长为，宽为的长方形先向右平移，再向下平移，得到长方形，则空白部分的面积为______． 15. 如图，为的切线点A为切点，交于点C，点D在上，连接、、，若，则的度数为________． 16. 如图，直线与轴交于点，与轴交于点．将线段先向右平移个单位长度、再向上平移个单位长度，得到对应线段，反比例函数的图像恰好经过两点，连接．点在轴正半轴上，点是反比例函数的图像上的一个点，若是以为直角的等腰直角三角形时，满足条件的点的坐标为________． 17. 如图，在等腰直角中，；点E和点D分别是边和的中点，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点F，以点D为圆心，长为半径画弧，交于点E．若，则图中阴影部分的面积为___________． 18. 如图，在菱形中，，，点，分别是边和对角线上的动点，且，连接，相交于点，点是边上的一个动点，连接，，则的最小值是___________． 三、解答题：本题共9小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，图中，都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． （1）如图，先画线段的中点，是上一点．连接，再画的中点； （2）如图，若是线段上一点，先画点绕点逆时针旋转的对应点，再画点，使得四边形为平行四边形． 20. （1）计算： （2）解方程： 21. 某品牌学习机商店，为了提高学习机的销量，减少库存，决定对该品牌学习机进行降价销售，经市场调查，当学习机的售价为每台1800元时，每天可售出4台，在此基础上，售价每降低50元，每天将多售出1台，已知每台学习机的进价为1000元．如果该品牌学习机商店拟获利4200元，该商店需要将每台学习机售价定为多少元？ 22. 如图，已知，，，． （1）与是否全等？说明理由； （2）如果，，求的度数． 23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，. （1）求的值和一次函数的表达式. （2）根据图象，当时，直接写出不等式的解集. 24. 2025年1月20日，DeepSeek发布了其最新的推理大模型，又一次引起人们对人工智能的关注，人工智能是数字经济高质量发展的引擎．人工智能基于功能和应用领域可分为以下几类：：决策类人工智能；：人工智能机器人；：语音类人工智能；：视觉类人工智能．某公司就“你最关注的人工智能类型”对员工进行了一次调查，并将调查结果绘制成下面两幅不完整的统计图． （1）①此次共调查了________人； ②扇形统计图（图2）中类对应的圆心角度数为________． ③请将条形统计图（图1）补充完整． （2）将表示四个类型的字母，，，依次写在四张卡片上，卡片背面完全相同，将四张卡片背面朝上洗匀放置在平面上，从中随机抽取一张，记录卡片内容后放回洗匀，再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求抽取到的两张卡片内容不一致的概率． 25. 如图，为的直径，点C在外，平分，交于点D，交于点E，于点F，． （1）求证：是的切线； （2）若，求弧的长度． 26. 如图1，点是直线上一点，连结点与直线外一点，分别作与的平分线，，过点作，，点，为垂足，连接交于点，已知． （1）猜想与直线的位置关系，并说明理由． （2）若，求点到直线的距离． （3）如图2，延长交直线于点，连结，当是等腰三角形，求的长． 27. 平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． （1）求抛物线解析式； （2）如图，是第一象限抛物线上的点，，求点的横坐标； （3）将此抛物线沿水平方向平移，得到的新抛物线记为，与轴交于点设的顶点横坐标为，的长为． 求关于的函数解析式； 与轴围成的区域记为，与内部重合的区域（不含边界）记为当随的增大而增大，且内恰好有两个横、纵坐标均为整数的点时，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年甘肃省武威市中考数学三模试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在常见的扑克牌中，“红桃J”如下图这样放置，把它倒过来放，看它还是和原来一样的，这主要是利用数学中的（ ） A. 旋转 B. 平移 C. 轴对称 D. 以上都对 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考旋转，根据把图形倒过来放，看它还是和原来一样可判断出是图形是旋转变换即可． 【详解】解：“红桃J”如下图这样放置，把它倒过来放，看它还是和原来一样的，这主要是利用数学中的旋转， 故选：A． 2. 下列4个数中最小的是（ ） A. 0 B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，正数都大于0，负数都小于0，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小；据此进行比较即可求解．掌握比较方法是解题的关键． 【详解】解：， 最小， 故选：D． 3. 在我国古代建筑中经常使用榫卯构件，如图是某种榫（燕尾榫）构件的示意图，其中榫的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查简单几何体的三视图，掌握俯视图是从上往下看到的图形是解题的关键． 根据俯视图的定义（从上面观察物体所得到的视图是俯视图），即可得到答案． 【详解】解：A．是正视图，并非俯视图，故该选项不符合题意； B．是左视图，并非俯视图，故该选项不符合题意； C．未体现出上方凸起部分下方的遮挡虚线，与实际俯视效果不符，故该选项不符合题意； D．呈现了从上方观察到的轮廓，且用虚线表示了下方不可见的轮廓，符合俯视图要求，故该选项符合题意； 故选：D． 4. 2025年是乙巳蛇年，“巳巳如意”将蛇年与如意相结合，表达对新一年事事如意、顺遂美好的期盼．将分别印有“巳”、“巳”、“如”、“意”的四张质地均匀、大小相同的卡片放入盒中，从中随机抽取两张，则抽取到的卡片上印有汉字恰好是“如”和“意”的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】解：将分别印有“巳”、“巳”、“如”、“意”的四张质地均匀、大小相同的卡片分别记为、、、， 列表得： 共有12种等可能出现的结果，其中抽取到的卡片上印有汉字恰好是“如”和“意”的情况有2种， 抽取到的卡片上印有汉字恰好是“如”和“意”的概率为， 故选：B． 5. 如图，，以点 A 为圆心，为 半径画弧交y 轴正半轴于点 B ，则点 B 的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，勾股定理，根据题意可得，则，利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 6. 一次函数与在同一平面直角坐标系中的图象如图所示．则不等式的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质、用待定系数法求一次函数的解析式，利用待定系数法求出直线的解析式为，根据解析式可以求出当时，，由图象可知，一次函数的随增大而减小，所以当时，． 【详解】解：直线经过点和， 可得：， 解得：， 为， 当时，， 一次函数与的交点坐标是， 由图象可知，一次函数的随增大而减小， 当时，． 故选：A． 7. 如图，在四边形中，，，若，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点作于点，在上截取，连接并延长至点，使，连接，取的中点，连接，作于点，易得，进而得到，根据，得到，进而得到，得到，进而得到点在以为直径的圆上运动，进而得到，进行求解即可． 【详解】解：过点作于点，在上截取，连接并延长至点，使，连接，取的中点，连接，作于点，如图， 则：， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点在以为直径的圆上运动， ∴，， ∴当三点共线时，的值最大， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴的最大值为； 故选A． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形，求一点到圆上一点的最值问题，熟练掌握掌握相关知识点，添加辅助线构造相似三角形，确定动点的轨迹，是解题的关键． 8. 如图，四边形内接与，E是延长线上一点，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理、圆内接四边形的性质，先根据圆周角定理求得，再根据圆内接四边形的性质即可得到． 【详解】解：∵，， ∴， ∵四边形内接与， ∴，又， ∴， 故选：A． 9. 如图，是内一点，连接，过点作，过点作交于点．若的面积为24，则四边形的面积为（　　） A. 6 B. 8 C. 12 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，先证明可得，再进一步结合平行四边形的性质求解即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， ∵， ， ∴， ， 同理得， 在和中， ， ∴， ， ， 如图，过点作的垂线，分别交于点，， 在平行四边形中，，， ∴， ． 故选：C． 10. 二次函数（，，是常数，）的自变量与函数值的部分对应值如下表： … 1 … … 0 0 … 其中，．有下列结论：①；②；③；④当时，有最大值为，最小值为，此时的取值范围是．其中，正确结论的个数是（ ） A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象及性质．利用表格所给信息得出对称轴，由，，可判断对称轴右侧，随增大而增大，进而可知，，，进而可判断①②③；由对称轴可知最小值为，即时，当时，最大值在或时产生，根据当时，，当时，，即可判断的取值范围，进而可对④进行判断． 【详解】解：∵当时，，当时，， ∴函数的对称轴为：， 即：，即， ∵，且当时，，当时，， 又∵， ∴函数在对称轴右侧，随增大而增大， ∴，则， ∴，故②正确； 则，故③正确； 当时，，则， ∴，故①正确； 又∵函数的最小值为当时，， ∴当时，有最小值为，即能取， ∴， 又∵当时，，当时，， 由在对称轴左侧，随增大而减小，知：当时， ∴当时，最大值为， ∴；故④正确； 故选：D． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 计算：_________； 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，求一个数的算术平方根，掌握运算法则是解题的关键． 先求出，再化简绝对值，再进行加减计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：4． 12. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【分析】利用平方差公式直接分解即可． 【详解】 故答案为： 【点睛】本题考查了公式法分解因式，熟记平方差公式的结构特点是解题的关键． 13. 已知关于的一元二次方程有一个实数根，则它的另一个实数根______． 【答案】6 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程方法，解题的关键是掌握以上运算法则， 首先将代入方程求出，然后得出原方程，然后解方程即可求出另一个根． 【详解】解：把代入原方程，得， 解得， 把代入原方程， 得，即：， 解得， 即另一根． 故答案为：6 14. 如图，将长为，宽为的长方形先向右平移，再向下平移，得到长方形，则空白部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平移的性质，利用平移的性质求出空白部分长方形的长，宽即可解决问题． 【详解】解：由题意知，空白部分为长方形，长为，宽为， 因此空白部分的面积为． 故答案为：24． 15. 如图，为的切线点A为切点，交于点C，点D在上，连接、、，若，则的度数为________． 【答案】40° 【解析】 【分析】根据切线的性质和圆周角定理即可得到结论． 【详解】解：∵AB为圆O的切线， ∴AB⊥OA，即∠OAB＝90°， ∵∠ADC＝25°， ∴∠AOB＝2∠ADC＝50°， ∴∠ABO＝90°−50°＝40°． 故答案为40°． 【点睛】此题考查了切线的性质，以及圆周角定理，熟练掌握切线的性质是解本题的关键． 16. 如图，直线与轴交于点，与轴交于点．将线段先向右平移个单位长度、再向上平移个单位长度，得到对应线段，反比例函数的图像恰好经过两点，连接．点在轴正半轴上，点是反比例函数的图像上的一个点，若是以为直角的等腰直角三角形时，满足条件的点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据直线以坐标轴的交点的计算得到，，由平移的性质，反比例函数的计算得到，反比例函数解析为，设，可证，得到，代入列式求解即可． 【详解】解：直线与轴交于点，与轴交于点， ∴当时，，即， 当时，，则，即， ∵将线段先向右平移个单位长度、再向上平移个单位长度，得到对应线段， ∴， ∵反比例函数的图像恰好经过两点， ∴， 解得，， ∴， ∴反比例函数系数， ∴反比例函数解析为， ∵点在轴正半轴上，点是反比例函数的图像上的一个点， ∴设， 如图所示，是以为直角的等腰直角三角形，则，过点作轴的垂线，交轴于点，过点作延长线于点， ∴， 又，， ∴， ∴， 已知，，，则，， ∴， ∴， 解，整理得，， 解得，（不符合题意，舍去），， ∴，则， ∴， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了反比例函数图象与几何图形的综合，掌握待定系数法求解析式，图形平移的性质，等腰三角形的定义，全等三角形的判定和性质，解一元二次方程的计算，数形结合分析是关键． 17. 如图，在等腰直角中，；点E和点D分别是边和的中点，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点F，以点D为圆心，长为半径画弧，交于点E．若，则图中阴影部分的面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据勾股定理和等腰直角三角形的性质，得出，，再根据中点的性质，得出，再根据扇形的面积公式，得出，再根据中点的性质，得出，再根据中位线的性质，得出，再根据三角形的面积公式，得出，再根据中位线的性质，得出，再根据平行线的性质，得出，再根据扇形的面积公式，得出，然后根据，代入数据计算，即可得出图中阴影部分的面积． 【详解】解：在等腰直角中，， ∴，， 又∵点是边的中点， ∴， ∴， ∵点E和点D分别是边和的中点， ∴是的中位线，， ∴， ∴， ∵是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积． 故答案为： 【点睛】本题考查了勾股定理、等腰直角三角形的性质、扇形的面积公式、中位线的性质、平行线的性质，解本题的关键在充分利用数形结合思想解答，并熟练掌握相关的性质定理． 18. 如图，在菱形中，，，点，分别是边和对角线上的动点，且，连接，相交于点，点是边上的一个动点，连接，，则的最小值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据菱形的性质可证，根据全等三角形的性质可得，所以可知点是外接圆中劣弧上的一点，作点关于直线的对称点，当点、、三点在同一直线上时，的值最小，作辅助线构造矩形和直角三角形，利用勾股定理求出的长度，的长度即为的最小值． 【详解】解：四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ，， 又， 在和中，， ， ， ， ， ， 如下图所示，作的外接圆，作点关于直线的对称点，连接、、、、，交直线于点，过点作，于点， 则有， ， 当点、、三点在同一直线上时，的值最小， 此时直线与的交点就是点， ， ， ， ， ，， ， ， 解得：，， ， ， ， ， 点关于直线的对称点， ， ， 四边形是矩形， ， 菱形中，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，圆周角定理，对称性质，最短距离等知识，由全等得到，则点是的外接圆上的劣弧上的点，作出的外接圆，利用圆的性质求出的最小值． 三、解答题：本题共9小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，图中，都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． （1）如图，先画线段的中点，是上一点．连接，再画的中点； （2）如图，若是线段上一点，先画点绕点逆时针旋转的对应点，再画点，使得四边形为平行四边形． 【答案】（1）如图为所求： （2）如图为所求： 【解析】 【分析】（1）根据三角形三条中线交于一点即可画出点，连接，，再根据三角形的中位线性质，即可得出点； （2）取点，连接，，，可得垂直平分，交于点，连接并延长，交于点，连接，交于点，根据全等三角形性质，可在连接并延长，交于点，在根据平行四边形的性质，连接并延长交的延长线于点． 【小问1详解】 解：如图，根据直线与网格的交点，可得的中点为，的中点为，连接交于点， ∵三角形三条中线交于一点，连接，并延长交于点， ∴点为线段的中点， 连接， ∵的中点为，的中点为， ∴连接交于点，即为的中位线，点为的中点． 【小问2详解】 解：如图，取点，连接，，， 结合网格可得：，， ∴， ∵， ∴结合网格可得垂直平分，交于点， 连接并延长，交于点，连接，交于点，再连接并延长，交于点， 易证， ∴， ∵垂直平分，点为上的点， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴， 连接并延长交的延长线于点， ∵结合网格易得，， ∴四边形为平行四边形． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线的性质，等腰三角形的性质，三角形中线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 20. （1）计算： （2）解方程： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，求特殊角三角函数值，零指数幂，负整数指数幂，熟知相关计算方法是解题的关键． （1）先计算特殊角三角函数值，再计算零指数幂，负整数指数幂和绝对值，最后计算加减法即可得到答案； （2）先把原方程化为一般式，再利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：（1） ； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得． 21. 某品牌学习机商店，为了提高学习机的销量，减少库存，决定对该品牌学习机进行降价销售，经市场调查，当学习机的售价为每台1800元时，每天可售出4台，在此基础上，售价每降低50元，每天将多售出1台，已知每台学习机的进价为1000元．如果该品牌学习机商店拟获利4200元，该商店需要将每台学习机售价定为多少元？ 【答案】该商店需要将每台学习机售价定为1300元． 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．设每台学习机售价为x元，利用商店每天销售该品牌学习机获得的利润等于每台的销售利润乘以日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设每台学习机售价为x元， 依题意得：， 解得：，， ∵减少库存， ∴； 答：该商店需要将每台学习机售价定为1300元． 22. 如图，已知，，，． （1）与是否全等？说明理由； （2）如果，，求的度数． 【答案】（1） 与全等，理由如下： ∵， ∴，即， 在与中， ， ∴； （2）． 【解析】 【分析】（1）由证明即可； （2）由全等三角形的性质得，再由三角形内角和定理得，然后由平行线的性质得，即可解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由()可知，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即的度数为． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质以及平行线的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，. （1）求的值和一次函数的表达式. （2）根据图象，当时，直接写出不等式的解集. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数图象的交点问题、 待定系数法求函数表达式，利用数形结合思想求解是解答的关键． （1）利用待定系数法求解函数表达式即可； （2）根据两图象的交点，找到一次函数图象位于反比例函数图象上方部分的点的横坐标的范围即可求解． 【小问1详解】 解：由题意可得，解得， 反比例函数的表达式为， ，解得， ， ∵，在一次函数的图象上， ∴，解得， ∴一次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：由图象知，当，一次函数图象位于反比例函数图象上方， ∴不等式的解集为． 24. 2025年1月20日，DeepSeek发布了其最新的推理大模型，又一次引起人们对人工智能的关注，人工智能是数字经济高质量发展的引擎．人工智能基于功能和应用领域可分为以下几类：：决策类人工智能；：人工智能机器人；：语音类人工智能；：视觉类人工智能．某公司就“你最关注的人工智能类型”对员工进行了一次调查，并将调查结果绘制成下面两幅不完整的统计图． （1）①此次共调查了________人； ②扇形统计图（图2）中类对应的圆心角度数为________． ③请将条形统计图（图1）补充完整． （2）将表示四个类型的字母，，，依次写在四张卡片上，卡片背面完全相同，将四张卡片背面朝上洗匀放置在平面上，从中随机抽取一张，记录卡片内容后放回洗匀，再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求抽取到的两张卡片内容不一致的概率． 【答案】（1）①50，②28.8， ③补全图形如下： （2） 【解析】 【分析】（1）①利用A的人数除以其所占的百分比即可得到结论，②利用圆心角的意义解答即可；③根据条形统计图的特点，解答即可． （2）利用画树状图法解答即可． 【小问1详解】 解：①根据题意，得（人）， 故答案为：50． D类所占圆心角为：， 故答案为：28.8． ②解：根据题意，得C类的人数为：（人）， 【小问2详解】 解：根据题意，画树状图如下： 一共有16种等可能的结果，其中抽取到的两张卡片内容不一致的有12种， 故抽取到的两张卡片内容不一致概率为 【点睛】本题考查了条形统计图，扇形统计图，圆心角计算，样本容量的计算，画树状图法求概率，熟练掌握圆心角，样本容量，概率的计算是解题的关键． 25. 如图，为的直径，点C在外，平分，交于点D，交于点E，于点F，． （1）求证：是的切线； （2）若，求弧的长度． 【答案】（1） 证明：平分， ． 又，， ． ∵于点F， ． 又∵为的直径， ∴是的切线． （2）π 【解析】 【分析】此题考查了切线判定、全等三角形的判定和性质、弧长公式等知识，熟练掌握切线判定、弧长公式是关键． （1）证明，即可得到，进一步即可得到结论； （2）连结．求出，根据弧长公式进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，连接． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴弧的长为． 26. 如图1，点是直线上一点，连结点与直线外一点，分别作与的平分线，，过点作，，点，为垂足，连接交于点，已知． （1）猜想与直线的位置关系，并说明理由． （2）若，求点到直线的距离． （3）如图2，延长交直线于点，连结，当是等腰三角形，求的长． 【答案】（1） 解： ，理由如下： ∵，平分与， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴为矩形， ∴， ∴， ∴． （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据，平分与，得出， 结合平角的定义得出，结合，，即可得出为矩形，故，即可得，即可证明； （2）延长交于点E，证明，得出，，设C到的距离为d，根据等面积法即可得出； （3）分为①若， ②若，③若，分别求解即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：可延长交于点E， ∵， ∴， ∴，， 设C到的距离为d， ∴， ∴ ∴C到的距离为； 【小问3详解】 解：①若，则， 则； ②若， ∵， ∴符合本条件的等腰不存在； ③若， 如图，过E作垂直于点H， 设，则，， 由勾股定理可得方程， 求得：， ∴， 综上，或． 【点睛】该题主要考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，平行线的判定，矩形的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握分类讨论思想． 27. 平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． （1）求抛物线解析式； （2）如图，是第一象限抛物线上的点，，求点的横坐标； （3）将此抛物线沿水平方向平移，得到的新抛物线记为，与轴交于点设的顶点横坐标为，的长为． 求关于的函数解析式； 与轴围成的区域记为，与内部重合的区域（不含边界）记为当随的增大而增大，且内恰好有两个横、纵坐标均为整数的点时，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）；或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合应用，主要考查二次函数的性质，二次函数与几何变换，解直角三角形的计算，掌握二次函数的性质，二次函数与几何变换是解题的关键． （1）根据题意求出，即可解答； （2）根据题意求出，；设，作轴于点，根据，得到，列式求解即可； （3）根据题意表示出新抛物线的表达式，进而求出； 根据画出关与的大致图象如图，分类讨论，列出不等式组求解即可解答． 【小问1详解】 解：抛物线与轴交于， ， 解得，， 二次函数表达式为； 【小问2详解】 解：， 令，， 解得，或， 令，得， ，， 设， 作轴于点，如图， ， ，即， ， 整理得，， ∴， 解得，或舍去， 点的横坐标为； 【小问3详解】 解：将抛物线沿水平方向平移，顶点的纵坐标不变，为， 新抛物线的表达式为， ， ， ． 的取值范围为或． 由得，画出大致图象如图， 随着的增大而增大， 或， 中含，，三个整数点不含边界， 当内恰有个整数点，时， 当时，， 当时，， ， ， 或， ； 当内恰有个整数点，时， 当时，， 当时，， ， ， 或， ； 当内恰有个整数点，时，此种情况不存在，舍去； 综上，的取值范围为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $