精品解析：云南省楚雄彝族自治州2024-2025学年八年级下学期7月期末数学试题

楚雄州中小学2024-2025学年下学期期末教育学业质量监测初中八年级数学试卷 注意事项： 1．全卷满分100分，答题时间为120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题（本大题共15小题，每小题2分，共30分．每小题只有一个正确选项） 1. 下列各式一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式的定义，形如（）的式子称为二次根式，需满足被开方数非负且根指数为2． 本题考查了二次根式的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：选项A：，根指数为2，被开方数中，，因此， 无论取何值，该式子均有意义， 故符合题意； 选项B：，根指数为3，属于三次根式， 不符合题意； 选项C：，被开方数为负数，在实数范围内无意义，故不是二次根式， 不符合题意； 选项D：，根指数为2，但被开方数需满足，当时无意义，因此不满足“一定”是二次根式的条件，不符合题意； 故选：A． 2. 已知1纳米等于0.000000001米，则250纳米用科学记数法表示为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．将250纳米转换为米，再应用科学记数法表示即可． 【详解】解：250纳米米； 故选C． 3. 如图，下列三角形是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解∶A．∵，∴该三角形不是直角三角形； B．∵，∴该三角形不是直角三角形； C．∵，∴该三角形不是直角三角形； D．∵，∴该三角形不是直角三角形； 故选∶D． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算， 根据计算法则需逐一验证各选项的正确性． 【详解】解：A. ，，故错误， B. ，故错误， C. ，故错误， D. ，计算正确． 故选：D． 5. 某奶茶店在试销期间对销售品种的销售数量进行了统计： 品种 奶茶 奶盖茶 水果茶 素茶 抹茶 五谷茶 销售数量/杯 20 70 380 100 80 30 若该店决定增加水果茶的进货量，则影响该决策的统计量是（ ） A. 中位数 B. 平均数 C. 众数 D. 方差 【答案】C 【解析】 【分析】影响增加水果茶进货量的决策应基于其销量最高的统计量，即众数． 本题考查了统计的歌特征量，熟练掌握歌特征量的特点是解题的关键． 【详解】解：统计量分析如下： A. 中位数：将各品种销量排序为20、30、70、80、100、380，中位数为，无法反映水果茶销量最高，不符合题意． B. 平均数：总销量为，平均数为，虽高于平均，但无法直接说明水果茶最畅销． C. 众数：众数是数据中出现次数最多的值，水果茶销量380杯为最高，是唯一众数，直接体现其最受欢迎． D. 方差：反映数据波动，但无法指明具体品种销量高低． 因此，水果茶销量显著高于其他品种，众数最能支持增加进货的决策， 故选：C． 6. 为响应“书香传递温暖”校园公益活动，八年级5个班的同学积极捐献图书，5个班所捐图书的本数分别为30，31，32，31，31，则每个班所捐图书本数的平均数是（ ） A. 30 B. 31 C. 31.5 D. 32 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平均数的计算，根据平均数的定义，将所有数据之和除以数据的个数即可． 【详解】解：五个班所捐图书本数分别为30、31、32、31、31， 计算总和：， 计算平均数：总和155除以班级数5，即， 故选：B． 7. 若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是菱形．则四边形ABCD一定是 ( ) A. 菱形 B. 对角线互相垂直的四边形 C. 矩形 D. 对角线相等的四边形 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形的中位线定理得到EH∥FG，EF=FG，EF=BD，要是四边形为菱形，得出EF=EH，即可得到答案． 【详解】解：∵E，F，G，H分别是边AD，AB，CB，DC的中点， ∴EH=AC，EH∥AC，FG=AC，FG∥AC，EF=BD， ∴EH∥FG，EF=FG， ∴四边形EFGH是平行四边形， 假设AC=BD， ∵EH=AC，EF=BD， 则EF=EH， ∴平行四边形EFGH是菱形， 即只有具备AC=BD即可推出四边形是菱形， 故选：D． 【点睛】题目主要考查中位线的性质及菱形的判定和性质，理解题意，熟练掌握运用三角形中位线的性质是解题关键． 8. 如图，在四边形中，，则四边形的面积是（ ） A. B. C. D. 100 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理，含的直角三角形的性质等整式，过B作于H，可证四边形是矩形，得出，求出，根据含的直角三角形的性质，在中，根据勾股定理，得，求出，然后根据梯形的面积公式求解即可． 【详解】解∶如图，过B作于H， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴ 又， ∴， ∵，， ∴， 在中，根据勾股定理，得， ∴， 解得（负值舍去）， ∴四边形的面积是， 故选：A． 9. 关于一次函数，下列结论正确的是（ ） A. 图象必经过点 B. 图象经过第一、二、三象限 C. 图象与直线平行 D. 随的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质， 根据一次函数的性质，逐一分析各选项的正误． 【详解】A.当时，，故A不符合题意， B. 函数的，图像呈下降趋势；，与y轴交于负半轴，因此图像经过第二、三、四象限，故B不符合题意， C. 直线与的k均为，相同则两直线平行，故C符合题意， D. 因，y随x的增大而减小，故D不符合题意． 故选：C． 10. 如图，在中，的平分线交于点的平分线交于点．若，则的长是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定等知识，根据平行四边形的性质得出，，，根据平行线的性质和角平分线的定义可得出，根据等角对等边可得出，同理，然后根据线段的和差关系求解即可． 【详解】解∶∵四边形是平行四边形，， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理， 又， ∴， 故选：B． 11. 某父子骑自行车沿直线骑行，孩子先前进了一段长距离，在休息亭休息了一段时间后未见爸爸，又按原路原速度返回一段短距离，相遇后，又再前进一段距离，则孩子离出发点的距离与时间的关系示意图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了函数的图象，解题应首先看清横轴和纵轴表示的量，然后根据实际情况采用排除法求解．应根据时间的不断变化，来反映离家的远近，特别是“休息了一段时间后又按原路返回，再前进”，要通过图象反映出来． 【详解】解：因为他休息了一段时间，那么在这段时间内，时间在增长，路程没有变化，应排除A； 又按原路返回，说明随着时间的增长，他离出发点近了点，排除D； C选项虽然离出发点近了，但时间没有增长，应排除C． 故选∶B． 12. 如图，四边形是边长为的菱形，其中对角线的长为，则菱形的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质和勾股定理，先根据菱形的性质求出，，，然后根据勾股定理求出，则，然后根据菱形的面积公式求解即可． 【详解】解∶∵四边形是边长为的菱形，对角线的长为， ∴，，， ∴， ∴， ∴菱形的面积是， 故选：D． 13. 如图，，要证明，则需添加下列条件中的一个，其中不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 根据三角形全等的判定方法（、、、、）逐一判断即可． 【详解】解：已知，， 补充，无法证明， 补充，根据证明， 补充，根据证明， 补充，根据证明， 故选：A． 14. 观察下列各式： ； ； ； …… 根据你的观察，计算的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了二次根式运算规律问题的解决能力，关键是能准确理解题意，并进行规律的归纳、应用． 根据题意进行猜想、归纳出这种式子的规律，将式子算：改写为，运用规律进行求解． 【详解】∵， ， ， …… ， ， 故选：C． 15. 小王家和小红家都距学校3千米，两人约好在学校门口相遇．已知小王骑车的平均速度是小红骑车的平均速度的1.25倍，结果小红比小王多用了15分钟．若设小红平均每小时骑行千米，根据题意，可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了列分式方程， 设小红平均每小时骑行千米，则小王的速度为千米/小时，根据两人骑行时间的关系（小红比小王多用了15分钟），建立方程即可． 【详解】解：小红的速度为千米/小时，骑行时间为小时； 小王的速度为千米/小时，骑行时间为小时 小红比小王多用了15分钟，即小时， 因此：小红的骑行时间 = 小王的骑行时间 + 时间差， 即． 故选：D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 要使有意义，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键，依据二次根式被开方数大于等于零求解即可． 【详解】解：有意义， ， 解得：． 故答案为：． 17. 如图，在中，分别是边的中点．若的周长为40，则的周长为_______． 【答案】20 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，三角形的中位线等于第三边长的一半，据此可得，再由三角形周长公式可得，据此求解即可． 【详解】解：∵在中，分别是边的中点， ∴都是的中位线， ∴， ∵的周长为40， ∴， ∴的周长， 故答案为：20． 18. 已知，满足等式，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平方和算术平方根的非负性、幂的乘方的逆用，利用完全平方公式因式分解，有理数乘方运算，由，得，故有，，由，再代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴ ， 故答案为：． 19. 如图，直线与直线相交于点，则关于的一元一次不等式的解集为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，根据直线与直线相交于点，结合函数图象可得答案． 【详解】解：由直线与直线相交于点， 根据图象即可知不等式组的解为． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了整式的混合运算和化简求值、二次根式的运算等知识，熟练掌握乘法公式和二次根式的运算法则是关键． 先利用乘法公式和单项式乘以多项式法则计算得到化简结果，再把字母的值代入利用二次根式的运算法则计算即可． 【详解】解：原式 . 当时， 原式， 21. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根，负整数指数幂，零指数幂，乘方． 先计算算术平方根，负整数指数幂，零指数幂，乘方，再计算加减即可． 【详解】解：原式 ． 22. 某社区有一块空地需要绿化，某绿化组承担了此项任务．工作一段时间后，绿化组提高了工作效率．该绿化组完成的绿化面积与工作时间（单位：）之间的函数关系如图所示． （1）求直线的函数解析式． （2）求该绿化组提高工作效率前每小时完成的绿化面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的实际应用，解题的关键在于根据题意求出一次函数解析式． （1）设直线的函数解析式为，将点代入解析式求解，即可解题； （2）根据，结合（1）中解析式求出,进而求解即可． 【小问1详解】 解：设直线的函数解析式为， 将点代入， 得 解得 故直线的函数解析式为； 【小问2详解】 解：当时，， ． 答：该绿化组提高工作效率前每小时完成的绿化面积是． 23. 在八年级学生中随机抽取若干名学生参加普法知识竞赛，将成绩收集、整理成如图所示的扇形统计图和条形统计图． 根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）抽取的学生人数是_________． （2）在样本中，94分的学生人数为_______．抽取的样本中，学生成绩的中位数是_______． （3）已知八年级共有学生300人，若普法知识竞赛成绩在96分及以上为优秀，请你估计该校八年级共有多少名学生可以获得优秀成绩． 【答案】（1）60 （2） （3）210名 【解析】 【分析】（1）92分的人数和占比计算即得； （2）94分的人数等于抽取的总人数乘其占比；根据前3组总人数33人，得第30名和第31名学生的成绩在第3组，即96分组，得中位数为96分； （3）300乘96分及以上人数上比即得． 【小问1详解】 解：∵92分的有6人，占， ∴抽取的总人数为（人）， 故答案为：60人； 【小问2详解】 解：94分的人数：（人）； ∵（人）， ∴竞赛成绩按从小到大的顺序排列，第30名和第31名学生的成绩在96分组， ∴中位数为96分； 故答案为：12，96； 【小问3详解】 解：（人）， 故该校八年级共约有210名学生可以获得优秀成绩． 【点睛】本题考查了扇形统计图和条形统计图．熟练掌握扇形统计图和条形统计图互补性，关键信息，求中位数，样本估计总体，是解题的关键． 24. 如图，是的中点，四边形是矩形． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）求证：． 【答案】（1） 证明：四边形是矩形， ． 是的中点， ， ． ， 四边形是平行四边形； （2） 证明：四边形是矩形， ． 四边形是平行四边形， ， ， ． 又， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，平行线的判定和性质，等边对等角． （1）根据矩形的性质得到，求出，即可证明四边形是平行四边形； （2）根据矩形的性质和平行四边形的性质得到，根据等边对等角得到，根据平行线的性质证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 25. 定义：若两个实数满足，则与互为“和谐数”，点为“和谐点”． （1）若为“和谐点”，求的值． （2）已知点是关于的一次函数和的图象的交点，是否存在实数，使点为“和谐点”？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的交点问题，新定义运算． （1）根据“和谐点”的定义列式计算即可； （2）先求出，进而求出，根据“和谐点”的定义列式计算即可． 【小问1详解】 解：为“和谐点”， ， ； 【小问2详解】 解：存在． 是关于的一次函数和图象的交点， ， 解得． 将代入，得． 点为“和谐点”， ， 解得， 存在的值为，使点为“和谐点”． 26. 某省发生了地震，牵动着全国人民的心，各地开展了“一方有难，八方支援”的救援活动．其中甲、乙两厂积极投入，生产了救灾帐篷共5000顶，且乙厂的生产量比甲厂生产量的2倍少1000顶．这批帐篷将运往A，B两地，其中运往A地2400顶，运往B地2600顶，运费（单位：元/顶）情况如下： A地 B地 甲厂 2 2.5 乙厂 1.5 2.4 （1）求甲、乙两厂各生产了多少顶救灾帐篷． （2）设这批救灾帐篷从乙厂运往地顶，全部运往两地的总运费为元，求与之间的函数解析式，并设计使总运费最少的调运方案． 【答案】（1）甲厂生产了2000顶救灾帐篷，乙厂生产了3000顶救灾帐篷 （2），总运费最少的调运方案是甲厂的2000顶救灾帐篷全部运往B地；乙厂运往A地2400顶救灾帐篷，运往B地600顶救灾帐篷 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，一元一次不等式组和一元一次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设甲厂生产了顶救灾帐篷，则乙厂生产了顶救灾帐篷，由“生产了救灾帐篷共5000顶”建立一元一次方程求解； （2）根据题意得出y与x之间的函数关系式，通过解不等式组求出x的取值范围，再根据一次函数的性质解答即可． 【小问1详解】 解：设甲厂生产了顶救灾帐篷，则乙厂生产了顶救灾帐篷． 由题意，得， 解得， （顶）． 答：甲厂生产了2000顶救灾帐篷，乙厂生产了3000顶救灾帐篷； 【小问2详解】 解：甲、乙两厂运往两地的帐篷数量（单位：顶）如下表所示： A地 B地 甲厂 乙厂 由题意，可得 解得. ， 随的增大而减小， 当时，运费最少， 总运费最少的调运方案是甲厂的2000顶救灾帐篷全部运往B地；乙厂运往A地2400顶救灾帐篷，运往B地600顶救灾帐篷． 27. 倍长中线法是一种常见的几何解题方法，它是指延长中线，使所延长部分与中线相等，然后连接相应的顶点，构造出全等三角形，将分散的条件集中起来，从而解决问题的方法． 问题解决 如图1，在中，是边上的中线，延长到点，使，连接． （1）求证：． （2）若，，，求的长． 拓展应用 （3）如图2，在正方形中，是的中点，连接，过点作于点，连接，求证：． 【答案】 （1）证明：∵是边上的中线， ∴， 又∵，， ∴． （2）； （3）证明：如图，延长到点，使，连接． ∵是边的中点， ∴． 又∵，， ∴， ∴，． 在正方形中，，， ∴， ∴、、三点共线，且为的中点． ∵， ∴， 即． 【解析】 【分析】（1）由已知可得，根据即可证得结论； （2）由三角形全等可得对应边相等，由勾股定理的逆定理可证得是直角三角形，，根据勾股定理可得的长度，从而可得的长； （3）延长到点，使，连接，可证，由全等三角形的性质和正方形的性质，点为的中点，根据直角三角形的性质即可证得结论． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知，， ∴，，， 又∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴是直角三角形， 在中，， ∴． （3）略 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，正方形的性质，直角三角形的性质，解题的关键是正确作出辅助线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 楚雄州中小学2024-2025学年下学期期末教育学业质量监测初中八年级数学试卷 注意事项： 1．全卷满分100分，答题时间为120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题（本大题共15小题，每小题2分，共30分．每小题只有一个正确选项） 1. 下列各式一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知1纳米等于0.000000001米，则250纳米用科学记数法表示为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 3. 如图，下列三角形是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 某奶茶店在试销期间对销售品种的销售数量进行了统计： 品种 奶茶 奶盖茶 水果茶 素茶 抹茶 五谷茶 销售数量/杯 20 70 380 100 80 30 若该店决定增加水果茶的进货量，则影响该决策的统计量是（ ） A. 中位数 B. 平均数 C. 众数 D. 方差 6. 为响应“书香传递温暖”校园公益活动，八年级5个班的同学积极捐献图书，5个班所捐图书的本数分别为30，31，32，31，31，则每个班所捐图书本数的平均数是（ ） A. 30 B. 31 C. 31.5 D. 32 7. 若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是菱形．则四边形ABCD一定是 ( ) A. 菱形 B. 对角线互相垂直的四边形 C. 矩形 D. 对角线相等的四边形 8. 如图，在四边形中，，则四边形的面积是（ ） A. B. C. D. 100 9. 关于一次函数，下列结论正确的是（ ） A. 图象必经过点 B. 图象经过第一、二、三象限 C. 图象与直线平行 D. 随的增大而增大 10. 如图，在中，的平分线交于点的平分线交于点．若，则的长是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 11. 某父子骑自行车沿直线骑行，孩子先前进了一段长距离，在休息亭休息了一段时间后未见爸爸，又按原路原速度返回一段短距离，相遇后，又再前进一段距离，则孩子离出发点的距离与时间的关系示意图是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，四边形是边长为的菱形，其中对角线的长为，则菱形的面积是（ ） A. B. C. D. 13. 如图，，要证明，则需添加下列条件中的一个，其中不正确的是（ ） A. B. C. D. 14. 观察下列各式： ； ； ； …… 根据你的观察，计算的值是（ ） A. B. C. D. 15. 小王家和小红家都距学校3千米，两人约好在学校门口相遇．已知小王骑车的平均速度是小红骑车的平均速度的1.25倍，结果小红比小王多用了15分钟．若设小红平均每小时骑行千米，根据题意，可列方程（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 要使有意义，则的取值范围是______． 17. 如图，在中，分别是边的中点．若的周长为40，则的周长为_______． 18. 已知，满足等式，则______． 19. 如图，直线与直线相交于点，则关于的一元一次不等式的解集为_____． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 计算：． 22. 某社区有一块空地需要绿化，某绿化组承担了此项任务．工作一段时间后，绿化组提高了工作效率．该绿化组完成的绿化面积与工作时间（单位：）之间的函数关系如图所示． （1）求直线的函数解析式． （2）求该绿化组提高工作效率前每小时完成的绿化面积． 23. 在八年级学生中随机抽取若干名学生参加普法知识竞赛，将成绩收集、整理成如图所示的扇形统计图和条形统计图． 根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）抽取的学生人数是_________． （2）在样本中，94分的学生人数为_______．抽取的样本中，学生成绩的中位数是_______． （3）已知八年级共有学生300人，若普法知识竞赛成绩在96分及以上为优秀，请你估计该校八年级共有多少名学生可以获得优秀成绩． 24. 如图，是的中点，四边形是矩形． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）求证：． 25. 定义：若两个实数满足，则与互为“和谐数”，点为“和谐点”． （1）若为“和谐点”，求的值． （2）已知点是关于的一次函数和的图象的交点，是否存在实数，使点为“和谐点”？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 26. 某省发生了地震，牵动着全国人民的心，各地开展了“一方有难，八方支援”的救援活动．其中甲、乙两厂积极投入，生产了救灾帐篷共5000顶，且乙厂的生产量比甲厂生产量的2倍少1000顶．这批帐篷将运往A，B两地，其中运往A地2400顶，运往B地2600顶，运费（单位：元/顶）情况如下： A地 B地 甲厂 2 2.5 乙厂 1.5 2.4 （1）求甲、乙两厂各生产了多少顶救灾帐篷． （2）设这批救灾帐篷从乙厂运往地顶，全部运往两地的总运费为元，求与之间的函数解析式，并设计使总运费最少的调运方案． 27. 倍长中线法是一种常见的几何解题方法，它是指延长中线，使所延长部分与中线相等，然后连接相应的顶点，构造出全等三角形，将分散的条件集中起来，从而解决问题的方法． 问题解决 如图1，在中，是边上的中线，延长到点，使，连接． （1）求证：． （2）若，，，求的长． 拓展应用 （3）如图2，在正方形中，是的中点，连接，过点作于点，连接，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $